弧度制(必修四数学)PPT课件
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人教版高二数学必修四课件：弧度制(共13张PPT)
解： S=｛α︱α=k·3600,k ∈z｝
= ｛α︱α=2kπ,k ∈z｝
【探求新知】
定义：这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数，任一负 角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式：
【小结】
（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度 量角的单位。 （2）能进行弧度与角度的转化。 （3）能初步运用弧度制表示的弧长公式，扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢
= ｛α︱α=2kπ,k ∈z｝
【探求新知】
定义：这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数，任一负 角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式：
【小结】
（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度 量角的单位。 （2）能进行弧度与角度的转化。 （3）能初步运用弧度制表示的弧长公式，扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢
人教版2017高中数学(必修四)1.1.2 弧度制 PPT课件
表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要
统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋
2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋ k· 360°(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．
2． 将下列各Байду номын сангаас化成 0～ 2π 范围内的角加上 2kπ(k∈ Z)的形式． 19 (1) π；(2)－315° . 3
用弧度制表示终边相同的角
(1) 把－ 1 480° 写 成 α ＋ 2kπ(k ∈ Z) 的 形式，其中 0≤α≤2π. (2)若 β∈[－4π，0]，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β.
1 480π 74π 16π [解] (1)∵－1 480° ＝－ ＝－ ＝－10π＋ ， 180 9 9 16π 又 0≤ ≤2π， 9 16π 16π ∴－1 480° ＝ －2×5π＝ ＋2×(－5)π. 9 9
1．角的单位制 (1)角度制 1 规定周角的________ 360 为1度的角，用度作为单位来度量角 的单位制叫做角度制． (2)弧度制 半径长 的弧所对的________ 圆心角 叫做1弧度的 把长度等于________ 弧度制 ， 角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________ 弧度 ，通常略去不写． 它的单位符号是rad，读作________
(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180° 是关键．由它可以得到： π 180 度数× ＝弧度数，弧度数×( )° ＝度数． 180 π (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． 3 (1)－18° ；(2) π；(3)－2 rad. 10 π π 解：(1)－18° ＝ ×(－18) rad＝－ rad. 180 10 3 3 180 (2) π＝ π·( )° ＝54° . 10 10 π 180 (3)－2 rad＝－2× ( )°≈－57.30° × 2＝－114.60° . π
必修4-1.1-任意角和弧度制PPT课件
的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
人教高中数学必修4PPT课件：.2弧度制.
5.弧长公式 l l r
r 6.扇形的公式:
(1)l R;(2)S 1 R2;(3)S 1 lR.
2
2
其中R是圆的半径,l是弧长,
(0 2 )为圆心角,
S是扇形的面积.
OB旋转方向 逆时针 逆时针
逆时针 顺时针
顺时针 不旋转
逆时针
AOB的弧度数 AOB的度数
1800
2
3600
1
(180 )0
2
( 360 )0
1800
0
00
1800
人 教 高 中 数 学必修 4PPT课 件：.2 弧度制 .
2.弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
②整圆所对的圆心角为2 r 2 .
思考: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比
值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
答: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是
唯一确定的,与圆的半径无关.
由弧度的定义可知：
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
长的比的绝对值。
注：比值
定
B
义
B
l=r
的 合 理
1弧度
l=r
1弧度
OO r r A
正角 零角 负角
正实数
零 负实数
3.角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad, 180º = π rad
1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad = (
180
π
) º 57.3º =57º 18′
4.特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 0 4 3 2 23
高中数学课件--必修四1.1.2 弧度制
0° 360°
x
几何法
如图
如图
1.1.2
弧度制
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角， 即用弧度制度量时，这样的 圆心角等于1 rad. 若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
问题 1 ：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多 少？若弧是一个整圆呢？
2 当 k 2n( n Z ) 时 ，
180°
y
90°
0°
O
360°
x
n 360 n 360 45 ， n Z 2 故 是第一象限的角 . 2 当 k 2n 1( n Z ) 时 ， n 360 180 n 360 225 ， n Z 2 故 是第三象限的角 . 2 综上可知： 是第一或第三象限的角 .
4 r AOB 4 . r
注意: 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0）； 用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数 也不同.
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，
因此 360 2 rad ，
例3.利用弧度制证明扇形弧长公式：l =R; 面积公式 :
1 S lR ，其中 l是扇形的弧长 ， R是圆的半径 .( 0) 2
圆心角为 1 rad 的扇形面积为 证明：
R
又 弧长为 l 的扇形的圆心角是 l O l rad R 1 2 l 1 扇形的面积 S R lR . 2 R 2 说明：扇形面积公式还可以表示为 S 1 | | R 2 2
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
必修四112弧度制PPT课件
角的弧度数
实数集R
2、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
180°= π 弧度
l=2 π r O r A(B)
例题： （1）把 67 30化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度 数
度 00 3 0 0 4 5 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0 1 3 5 0 1 5 0 0 1 8 0 0 2700 360 0
弧 度
0 6
43
2
2 3 5 3 2
346
2
四、例题讲解
例1（1）把67°30′化成弧度制。
（2）把 9 化成角度制。
4
解（1）∵67°30′=67.5°=
(135 )，
2
又∵1°= 180
∴67°30′=67.5
180
=
3 8
（2） 9 = 9 180°=405°
4
4
例2 用弧度制表示 （1）终边落在x轴上的角的集合 （2）终边落在y轴上的角的集合
{α| α=k·1800+900, k∈Z}
4.终边在第一象限上的角的集合为 {α| k·3600<α<k·3600+900, k∈Z}
5.已知α是第三象限的角，判断α/2是第几 象限的角
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐 角 （2） 0 到 90 的 角 （3） 第 一 象 限 的 角 （4） 小 于 90 的 角
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的 1
高中数学必修四《弧度制》名师教学课件
生 活 中 处 处 有 数 学
如何计算角的度数？
n 360 l 360 0.64 35
2 r 2.1
不用量角器，如何画出35°的角？
不用量角器，如何画给定n°大小的角？ ①以角的顶点为圆心画半径为r的圆；
②计算圆上n°圆心角所对的弧长l，并画出弧；
③画出弧长 l 所对的圆角．
2
2
答：弧AB的长为6.1米，落球区面积约为 30.16 平方米．
若r是扇形所在圆半径， (单位为弧度) 为圆心角 ， l 为扇形的弧长，S是扇形的面积．
l r
S 1 r2 1 rl.
2
2
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
小结：
生活中的数学
弧度制 弧度制与角度制
扇形中的弧 长与面积
弧所对的圆心角为 弧度，那么
l .
r
64厘米
64 0.61 rad 105
2.1米
画出
2
rad的角
rad 90
2
例1.（1）把下面的角从弧度转化为度： 3.5rad
（2）把下面的角从度转化为弧度： 11 15
0.61rad
8.95米 2.1米
L
R
l
r
EF 2.1米 BD 8.95米 AOB 0.61rad
2、正角的弧度数为正数，负角的弧度数 为负数，零角的弧度数为0．
为为为1l22r，0r，若若，则若则圆 圆则圆圆圆半 半圆心半心径 径心角径角为 为角的为的rr的弧r，，弧弧度圆圆圆度度数心心心数数为角角角为为多（（（多多少正正正少少？角角角？？）））所所所对 对对的的的圆圆圆弧弧弧长长长
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的
如何计算角的度数？
n 360 l 360 0.64 35
2 r 2.1
不用量角器，如何画出35°的角？
不用量角器，如何画给定n°大小的角？ ①以角的顶点为圆心画半径为r的圆；
②计算圆上n°圆心角所对的弧长l，并画出弧；
③画出弧长 l 所对的圆角．
2
2
答：弧AB的长为6.1米，落球区面积约为 30.16 平方米．
若r是扇形所在圆半径， (单位为弧度) 为圆心角 ， l 为扇形的弧长，S是扇形的面积．
l r
S 1 r2 1 rl.
2
2
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
小结：
生活中的数学
弧度制 弧度制与角度制
扇形中的弧 长与面积
弧所对的圆心角为 弧度，那么
l .
r
64厘米
64 0.61 rad 105
2.1米
画出
2
rad的角
rad 90
2
例1.（1）把下面的角从弧度转化为度： 3.5rad
（2）把下面的角从度转化为弧度： 11 15
0.61rad
8.95米 2.1米
L
R
l
r
EF 2.1米 BD 8.95米 AOB 0.61rad
2、正角的弧度数为正数，负角的弧度数 为负数，零角的弧度数为0．
为为为1l22r，0r，若若，则若则圆 圆则圆圆圆半 半圆心半心径 径心角径角为 为角的为的rr的弧r，，弧弧度圆圆圆度度数心心心数数为角角角为为多（（（多多少正正正少少？角角角？？）））所所所对 对对的的的圆圆圆弧弧弧长长长
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的
数学必修4(1.1任意角与弧度制课件)
B
OA:角的始边
OB:角的终边 O:角的顶点
0
A
(二)角的大小:
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角 . 负角： 按顺时针方向旋转所形成的角 .如α =-150º. 没有作任何旋转的角.记作 零角：
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点，
0 -90 时针走过的角度是＿＿
象 限. 思考：试 判断 下列 各角 所 在的
(4) 1
0 1
2
( 3.1 4
2
1.57)
( 5) (6)
4 8
1是第一象限的角 . 3 4 2 4是第三象限的角 .
分析 : 由于 3.14, 得 2 6.28 ,
4 12.56.而 8介于两数之间. 8 4 4.56 3 3 3 又 4.56 ( 3.14 4.71) 2 2 2 8是第三象限的角 .
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+1· ＿＿＿ 360° (-1) · 360° -330°= 30°+＿＿＿ 750°= 30°+＿＿＿ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β ︱β = 30°＋ k· 360°,k∈Z｝
，整个y轴指的是直线
例3
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合；
2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合；
| 2 ( ) | 2 ( )
| 2 2 2 7、第一象限内的角； | 2 2 8、第二象限内的角； 2 3 | 2 2 2 9、第三象限内的角； 3 | 2 2 2 10、第四象限内的角； 2
OA:角的始边
OB:角的终边 O:角的顶点
0
A
(二)角的大小:
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角 . 负角： 按顺时针方向旋转所形成的角 .如α =-150º. 没有作任何旋转的角.记作 零角：
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点，
0 -90 时针走过的角度是＿＿
象 限. 思考：试 判断 下列 各角 所 在的
(4) 1
0 1
2
( 3.1 4
2
1.57)
( 5) (6)
4 8
1是第一象限的角 . 3 4 2 4是第三象限的角 .
分析 : 由于 3.14, 得 2 6.28 ,
4 12.56.而 8介于两数之间. 8 4 4.56 3 3 3 又 4.56 ( 3.14 4.71) 2 2 2 8是第三象限的角 .
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+1· ＿＿＿ 360° (-1) · 360° -330°= 30°+＿＿＿ 750°= 30°+＿＿＿ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β ︱β = 30°＋ k· 360°,k∈Z｝
，整个y轴指的是直线
例3
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合；
2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合；
| 2 ( ) | 2 ( )
| 2 2 2 7、第一象限内的角； | 2 2 8、第二象限内的角； 2 3 | 2 2 2 9、第三象限内的角； 3 | 2 2 2 10、第四象限内的角； 2
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（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
2020年9月28日
8
4.公式： l ，
r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
2020年9月28日
9
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.
3
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
2020年9月28日
4
AB r
AB r
=定值，
设α=nº，AB 弧长为l，半径OA为r，
则 l n 2 r , l n 2 ，
半径是50米，求 AB 的长l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
答： AB 的长约为52.5米.
2020年9月28日
29
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
27
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
28
例4. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º，
180
1
rad
180
57.30
57 18'
2020年9月28日
12
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
2020年9月28日
13
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
24
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
25
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
26
特殊角的弧度
角 度
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明1：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
2020年9月28日
14
例1. 把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： (1) 112º30′=112.5×
5
=
.
180 8
2020年9月28日
360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
2020年9月28日
5
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
2020年9月28日
30
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
360o
弧 度
2020年9月28日
22
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
23
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
弧度制和弧度制与角 度制的换算
2020年9月28日
1
2020年9月28日
2
在初中几何里，我们学习过角的度量，1 度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
2020年9月28日
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
20
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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21
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
15
例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180)
8 8 (180) 55
288
2020年9月28日
16
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
17
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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18
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
2020年9月28日
10
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: l
r （l为弧长，r为半径）
2020年9月28日
11
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1= rad 0.01745rad
2020年9月28日
6
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
(1)
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心 角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心角
360
的大小；
2020年9月28日
7
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
2020年9月28日
8
4.公式： l ，
r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
2020年9月28日
9
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.
3
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
2020年9月28日
4
AB r
AB r
=定值，
设α=nº，AB 弧长为l，半径OA为r，
则 l n 2 r , l n 2 ，
半径是50米，求 AB 的长l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
答： AB 的长约为52.5米.
2020年9月28日
29
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
27
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
28
例4. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º，
180
1
rad
180
57.30
57 18'
2020年9月28日
12
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
2020年9月28日
13
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
24
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
25
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
26
特殊角的弧度
角 度
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明1：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
2020年9月28日
14
例1. 把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： (1) 112º30′=112.5×
5
=
.
180 8
2020年9月28日
360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
2020年9月28日
5
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
2020年9月28日
30
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
360o
弧 度
2020年9月28日
22
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
23
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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弧度制和弧度制与角 度制的换算
2020年9月28日
1
2020年9月28日
2
在初中几何里，我们学习过角的度量，1 度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
2020年9月28日
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
20
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
21
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
15
例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180)
8 8 (180) 55
288
2020年9月28日
16
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
2020年9月28日
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特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
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特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
角 度
135o
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
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③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: l
r （l为弧长，r为半径）
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⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1= rad 0.01745rad
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3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
(1)
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心 角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心角
360
的大小；
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（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；