待定系数法求递推数列通项公式
(精选)构造法待定系数法求一类递推数列通项公式
构造法、待定系数法求一类递推数列通项公式陕西省周至中学 尚向阳 邮编710400摘要：求数学通项公式是学习数列时的一个难点，在教学过程中，笔者发现求解递推数列通项公式是学生学习的难点，这也是高考考查的重点、热点问题，如何来突破这个难点，很好的解决这个问题，其核心思想是构造新的数列，转化为学生熟悉的等差数列或等比数列来解决，下面笔者重点介绍用构造法和待定系数法来求下列六类递推数列模型通项公式的解决策略。
关键字：数列、数列通项、构造法、待定系数法、叠加法由等差数列联想推广到的递推数列模型：【模型一】b ka a n n +=+1 （0≠kb ）。
（1） 当1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅=（2） 当1≠k 时，采用待定系数法，构造新的数列---等比数列}1{-+k b a n 解：由已知1≠k 时，可设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴1-=k bm ∴构造 新的数列}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴1)1(11--⋅-+=-k b k k b a a n n 例1：已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。
解：设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列∴ 1241-⋅=+n n a ∴121-=+n n a 【模型二】叠加法（或迭代法）求解)(1n f a a n n =-+由已知)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用叠加（或迭代法）消项的方法求解。
例2：已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.解： k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a…… ……k k k k a a )1(31212-+=--+将以上k 个式子相加，得]1)1[(21)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得1)1(21321112--+⋅=++k k k a ， 1)1(21321)1(122--+⋅=-+=-k k k k k a a 。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
用待定系数法求解递推数列的通项公式
用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。
它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。
因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。
2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。
假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。
3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。
有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
用待定系数法求递推数列的通项公式
用待定系数法求递推数列的通项公式待定系数法是求递推数列通项公式的一种常用方法。
该方法基于递推数列的特点，通过设定合适的待定系数，将通项公式表示成由待定系数组成的表达式，并经过递推关系的逐步化简，最终求解出待定系数的值，从而得到递推数列的通项公式。
下面将详细介绍待定系数法的求解步骤。
首先，我们假设递推数列的通项公式为An=f(n)，其中An表示数列的第n项。
为了方便计算，我们通常假设数列的递推关系为线性关系，即数列的第n项可以通过前面若干项的线性组合来表示。
接下来，我们使用待定系数法的基本步骤来求解递推数列的通项公式。
第一步：确定待定系数的个数根据递推数列的递推关系，确定待定系数的个数。
一般来说，待定系数的个数等于递推数列递推关系中的最高指数。
例如，如果递推关系中的最高指数为k，那么待定系数的个数就是k+1、通过确定待定系数的个数，我们可以知道通项公式中所需的待定系数个数。
第二步：设定待定系数设定待定系数的具体值。
通常情况下，我们设定待定系数为a0、a1、a2等。
第三步：根据递推关系列出方程根据递推数列的递推关系，使用已设定的待定系数列出方程。
将递推数列的递推关系代入通项公式中，得到包含待定系数的方程。
第四步：递推计算根据前面列出的方程，逐步计算数列的各项，并同时计算待定系数的值。
通过从1到k的递推计算，可以求解出待定系数的值。
第五步：得到通项公式将求得的待定系数的值代入到第一步所确定的通项公式中，即可得到递推数列的通项公式。
通过以上五个步骤，可以使用待定系数法求解递推数列的通项公式。
在实际应用中，待定系数法可以广泛应用于求解各种类型的递推数列，无论是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的一种常用方法。
通过设定待定系数、列出方程、递推计算和得到通项公式的步骤，我们可以求解出递推数列的通项公式。
待定系数法在数列的研究和应用中有着重要的地位，通过手动计算或使用计算机软件进行数值计算，可以求解出复杂的递推数列的通项公式。
用待定系数法求数列的通项公式
用待定系数法求数列的通项公式给出数列的递推公式求数列通项公式，常用到待定系数法，就是设法在原递推式中增添适当的项，进而把它转化为一个等比数列的递推公式，这种方法应用广泛，易于掌握。
现举例说明。
（其中,,,p q r s 为常数）题型一：1n n a pa q +=+型例1 在数列}{n a 中，11=a ，831+=+n n a a ，求数列的通项公式。
分析：为使原递推式两端项数相同，并能满足同一对应关系，可知应在左端添加常数项，故需设待定系数x ，将原递推式恒等变形。
解：∵831+=+n n a a ∴ x a x a n n ++=++831 ∴)38(31x a x a n n ++=++，应使1n a x ++与83n x a ++满足同一函数()n f n a λ=+的对应关系，以便化为等比数列求解。
可令83x x +=，所以4x =，∴143(4)n n a a ++=+。
∴数列{4}n a +是首项145a +=，公比为3的等比数列。
故1453n n a -+=⋅ ∴1534n n a -=⋅+。
掌握了这个基本思想，我们就可以用同样的方法做下面的几个例题。
题型二：1n n a pa rn s +=++型 与11n n n a pa r q s ++=+⋅+型。
例2．在数列}{n a 中，已知1117,5234n n n a a a ++==+⋅-，求数列}{n a 的通项公式。
分析：为使原递推式两端的项数相同，并满足同一种对应关系，在左端应添加含23n +的项和常数项，故需设两个待定系数,x y ，将原式恒等变形。
解：115234n n n a a ++=+⋅- ∴2121352334n n n n n a x y a x y ++++++=+⋅++- 即：211(23)435[3]55n n n n x y a x y a ++++-++=+⋅+，应使该等式两侧满足同一函数1()3n n f n a λμ+=+⋅+的对应关系，以便求解，可令(23)4,55x y x y +-==，∴1,1x y ==，∴211315(31)n n n n a a +++++=++，于是数列1{31}n n a ++-是首项为15，公比为5的等比数列。
待定系数法求通项公式
待定系数法求通项公式
待定系数法是一种求解递推数列通项公式的常用方法。
递推数列是一种按照一定规律递推生成的数列，而通项公式则是这个数列的第n项与n的函数的关系式。
我们可以通过待定系数法来求递推数列的通项公式。
具体地说，待定系数法是一种猜测法，我们假设通项公式为某个形式，再通过数列前几项的值和递推式来确定该形式中出现的未知系数，最终得到通项公式。
以下是待定系数法的具体步骤：
1. 根据数列的性质和规律猜测通项公式的形式，如等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 根据数列前几项的值和递推式来确定未知系数的值。
3. 验证得到的通项公式是否符合数列的性质和规律。
举例来说，假设我们要求递推数列{an}的通项公式，其中a1=1，a2=2，a3=4，递推式为an=3an-2+2an-1，我们可以按照以下步骤来使用待定系数法求解：
1. 假设通项公式为an=2n+k，其中k为待定系数。
2. 根据数列前几项的值和递推式，得到以下方程组：
a1=2+k
a2=4+k
a3=8+k
an=3an-2+2an-1
将an=2n+k代入递推式得到：
2n+k=3(2n-2+k)+2(2n-1+k)
化简得到k=-1，因此通项公式为an=2n-1。
3. 验证通项公式是否符合数列的性质和规律，可以发现该通项公式满足递推式和数列前几项的值，因此是正确的。
总之，待定系数法是一种简单有效的方法，可以帮助我们求解各种递推数列的通项公式。
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武待定系数法是一种常见的求解递推数列通项公式的方法，通过假设数列的通项公式并利用递推关系逐步确定待定系数的值。
本文将以几类典型的递推数列为例，详细阐述待定系数法的应用。
首先考虑等差数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
假设数列的通项公式为 an = an-1 + d，其中d为公差。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以令an = a1 + (n-1)d，再将an-1 = a1 + (n-2)d代入等式中，经过化简得到 an = a1 +(n-1)d，即数列的通项公式。
其次考虑等比数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
假设数列的通项公式为 an = a1 * q^n ，其中q为公比。
根据递推关系an = a1 * q^n，我们可以令an = a1 * q ^ (n-1)，再将an-1 = a1 * q ^ (n-2)代入等式中，经过化简得到 an =a1 * q ^(n-1)，即数列的通项公式。
再次考虑斐波那契数列：数列的通项公式一般形式为 an = an-1 +an-2，其中a1 = 1，a2 = 1、假设数列的通项公式为 an = ax ^ n + by ^ n，其中x、y为待定系数。
根据递推关系an = an-1 + an-2，我们可以令an = ax ^ (n-1) + by ^ (n-1)，再将an-1 = ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)、an-2 = ax ^ (n-3) + by ^ (n-3)代入等式中，经过化简得到 an = (x + y) * (ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)) - aux^(n-3) - by^(n-3)，即数列的通项公式。
最后考虑二次递推数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * n^2 + b1 * n + c1，其中a1、b1、c1为常数。
谈谈三类递推数列通项公式的求法
思路探寻求递推数列的通项公式问题是一类难度系数较大的问题，侧重于考查同学们的运算和推理能力.求递推数列的通项公式问题中的递推式多种多样,解答这类问题的关键是合理整合递推式,将问题转化为简单的、易于求解的数列问题.本文主要分析三类递推数列通项公式的求法.一、a n +1=qa n -1+d 型递推数列对于形如a n +1=qa n -1+d （q ≠1,d ≠0）的递推数列问题，我们一般采用待定系数法进行求解.在解题时，要先设出待定系数m ，使a n +1+m =q (a n −1+m )，然后将其与原递推式中对应项的系数相比较，建立含有待定系数的方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值，就能构造出一个等比数列{}a n +m ，再根据等比数列的通项公式就可以求出数列{}a n 的通项公式.例1.在若数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=12a n +1()n ∈N +，求a n .解：令a n +1+m =12()a n+m ，则m =-2，所以{}a n -2是首项为-1，公比为12的等比数列，所以a n -2=-æèöø12n -1，即a n =-æèöø12n -1+2.该递推式属于a n +1=qa n -1+d 型，因此我们需从a n +1=12a n +1入手，运用待定系数法进行求解.二、a n +1=ca n +f ()n 型递推数列当遇到形如a n +1=ca n +f ()n （c ≠0）型的数列递推式时，一般要先将递推式变形为a n +1f ()n =ca nf ()n +1的形式，然后令a n f ()n =b n ，得到b n +1=c q b n +1q ，这样便将问题转化求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.运用待定系数法构造出等比数列便可解答出来.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=3a n +2n ()n ∈N +，求a n .解：由a n +1=3a n +2n得2∙a n +12n +1=3∙a n 2n +1，令b n =a n 2n ，则b n +1=32b n +12.由待定系数法得b n +1+1=32(b n +12)，令c n =b n +1，则c n +1=32c n ，所以{}c n 是首项为c 1=b 1+1=32，公比为32的等比数列，所以c n =æèöø32n，b n =æèöø32n-1，即a n =2n ∙b n =32-2n .我们先通过换元，把分散的条件联系起来，让隐含的条件显露出来，将问题转化为求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.再运用待定系数法便可求出数列的通项公式.三、a n +1∙a n =ca n +1+da n 型递推数列对于形如a n +1∙a n =ca n +1+da n （c ≠0，d ≠0）递推数列，在求其通项公式时，我们先要在递推式的两边同时除以a n +1·a n ，得到c a n +da n +1=1，将问题转化为a n +1=qa n −1+d 型递推数列问题，再运用待定系数法求解即可.例3.已知数列{}a n 满足：a n ≠0，且a n =3a n -1a n -1+3()n ≥2，a 1=12，求数列的通项公式.解：在递推式a n =3a n -1a n -1+3的两边取倒数得1a n =1a n -1+13，所以数列{}a n 是首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，所以1a n=2+()n -1∙13=13()n +5，所以a n =3n +5.我们先在递推式的两边取倒数，便可构造出首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项公式.虽然求递推式数列的通项公式问题的难度较大，但是我们只要掌握方法，善于整合数列的递推式，将问题转化为等比、等差数列问题进行求解，问题便能迎刃而解.在解题时，要抓住关键，重点分析数列的递推式，将其合理进行变形，如引入待定系数、取倒数、换元等，构造出等差、等比数列，根据等差、等比数列的通项公式进行求解.（作者单位：湖北省襄阳市南漳县第一中学）谈谈三类递推数列通项公式的求法石磊53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
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5223(522)nnnnaa
522n
a是首项为15，公比为3的等比数列
152215353nnn
a
5(32)2nn
a
a的首项，
(01,1,)nnnaparqspqrpqqp且
）当0s,即
nnnaparq由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造
1nq，将不含
7.在数列
a中，111,
2nn
aaaa，试求其通项na。
这是一个分式型数列，如果去分母变为
1320nnnnaaaa后就无法进行处理
321123nnnnaaaa
11323nnaa
13
a是首项为1134a，公比为2的等比数列，不难求出
1
3nna
8.在数列
a中，1121,
2nn
aaaa，试求其通项na。
()fn=0为例。
5.在数列
a中，1221211,2,
3nnnaaaaa,试求na的通项。
na看做常数进行处理，可变
111()
nnnnaaaa，先求出数列1nnaa的通项
1
1()
nnnaa
a的通项na。
对于形如
1nnnapaqa的递推数列，可以设211()nnnnaxayaxa展开，利用
xyp
q
于是数列
nnaxa就是以21axa为首项，y为公比的等比数列，不难求出
nnaxa的通项进一步利用相关即可求出na。
同理，
1()nnnapaqafn当()fn为非零多项式或者是指数式时，也可结合前
11()()nnnnaxayaxafn
nnaxa看做一个整体就变为了前面的类型。
求数列的通项公式(学生版)
求数列的通项公式1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r的数列求通项可用倒数法； (3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法； (5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路： ①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n . 考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
可用待定系数法求通项的主要有三种：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ＝k (a n ＋λ)，整理后与a n ＋1＝ka n ＋b 对比可求出λ的值，得出数列 是公比为 的等比数列；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ∙b n +1＝k (a n ＋λ∙b n )，整理后与a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 对比可求出λ的值，得出数列 是公比为 的等比数列；③形如a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 的数列求通项，方法是：a n ＋2＋λa n ＋1＝μ(a n ＋1＋λa n )，整理后与a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 对比可求出λ、μ的值，得出数列 是公比为 的等比数列．变式1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2，求数列的通项公式a n .例2—1 已知数列{a n }中，其中a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝a n －12a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式。
数列待定系数法公式
数列待定系数法公式数列待定系数法是解决递推关系式问题的一种常用方法，它的基本思路是：设出数列的通项公式并求出待定系数的值，从而得到数列的通项公式，进而求出数列中任意一项的值。
接下来，本文将详细介绍数列待定系数法的公式和具体步骤，希望能为大家提供一些参考和帮助。
一、数列待定系数法公式假设有一个数列 {an}，它的通项公式为 an = a1 + (n-1)d +c1n + c2n² + c3n³ + … + ck nk，其中 d 为公差，c1、c2、c3、…、ck 为待定系数，k 为低于 n 的正整数。
那么，我们可以通过数列待定系数法求出 c1、c2、c3、…、ck 的值，从而确定数列的通项公式。
二、数列待定系数法具体步骤1. 带入部分已知项首先需要将前几项数列的值带入公式中，得到一个关于 c1、c2、c3、…、ck 的方程组。
例如，若已知数列的前三项分别为 a1、a2、a3，则可得以下方程组：a1 = a1 + c1 + c2 + c3 + … + cka2 = a1 + d + 2c1 + 4c2 + 8c3 + … + 2k-1cka3 = a1 + 2d + 3c1 + 9c2 + 27c3 + … + 3k-1ck2. 确定待定系数的个数由于方程组中未知数的个数是无穷多的，因此需要根据已知项的个数来确定待定系数的个数。
通常可以根据公式的形式和题目要求来确定，一般来说，待定系数的个数要等于公式中多项式的最高项次数。
3. 解方程组求解待定系数将步骤1中得到的方程组进行化简和求解，得到待定系数的值。
这一步需要采用数学中的代数方法，如高斯消元法、克莱姆法则等。
4. 求解数列的通项公式将待定系数的值代入数列通项公式中，即可求得数列的通项公式。
例如，若经过求解得到 c1 = 1、c2 = 1、c3 = 1，则数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d + n + n² + n³。
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式
・．ຫໍສະໝຸດ ・ ．． ＋ ＝Ｐ ・ （ Ｐ为非零常数） ． 当６ ｌ ≠０时 ， ｛ ） 为等 比数 列 ，公 比为 Ｐ，首
．
项 ，
・ ． ．
＋
・
一 １
（ Ｐ 为非零常数 ，ｆ （ ｎ ） 为关于 的函数）
这 是 比较 常 见 的一 类 数 列 的递 推 式 ，下 面 对 关 于 的 式子 ｆ（ ｎ ） 进 行 讨论 ，分 别探 讨 求 通项 公 式 的
１ ． １／ （ ） 为 常数 ： ａ ｌ ＝ａ， ａ ｎ ＋ １ ＝Ｐ・ ａ ｎ ＋ ｒ （ Ｐ， ， ． 为 非零常 数 ， Ｐ≠１ ）
解过程简洁明了， 应是首选的方法 ． 那么“ 系数” 如何 待 定？对这类简单的问题解决后，较复杂的问题也
３ ６
就 类似 了 ．
福 建 中学数 学
２ ０ １ ３ 年第 １ ２期
方法求解 ：对 ａ 川＝ Ｐ ・ ＋ ｇ ・ ｒ 两边 同除以 ｒ ，得
＝
ａ 的系数 Ｐ是 给定 的 ， 而ｒ 是常数 ， 如 果能 把常 数ｒ “ 消 去” ，问题 就转化 为 等 比数 列 了 ．设 “ ａ ＋ ｘ” 与“ ａ ＋ ｘ ” 的 目的就 是要构造 ＋ 与 的关系 ， 转化
Ｐ一
数列是代数的重要 内容之一 ．在现行 的课标课
程 中 ，虽然 数 列 的学 习时数 有 所减 少 ，但 其 在 全 国
各地 的高考试题 中仍 占有重要的地位 ，每年都有省 （ 市）把数列作最后一题 ．通过递推公式求数列的
通 项 公 式 是本 章节 的难 点 ，而待 定 系 数 法和 构 造 法 是 数 学 解题 的重 要 方法 ．下 面通 过 对 近 年来 部 分 数
“待定系数法”解递推数列
“待定系数法”解递推数列求递推数列的通项，是高考数列综合题最为常见的考查内容之一，虽然试题立意“试验——猜测——证明”的思想，但抽象推演的方法，也可能有很好的通性，而且更为简捷，本文推介的就是这样一种方法，不妨统称为“待定系数法”。
始作俑者：a n+1=b·=b·a a n +c 若b=1，则数列{a n }是等差数列；若c=0, b≠0，则数列{a n }是等比数列；若c≠0, b≠1,b≠0时呢？时呢？设常数k 是c 分解所得，且满足a n+1-k=b·-k=b·(a (a n -k)，则，则 易得bc k -=1，故}1{bc a n --成等差数列。
成等差数列。
例1 已知)2(5)23(,21711³+-=-=-n aa a n n ，求na 解：设)(231k a k a n n -×-=-+，则由已知得k=2，即{an-2}成等比数列。
成等比数列。
2 拓展1：a n +1=b·+1=b·a a n +c(n) 当数列{c(n)}成等比数列时。
成等比数列时。
若b=1，则a n+1-a n =c(n)，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“累加相消法”即可解决，即a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1. 那么b≠1，且b≠0时呢？时呢？事实上，{c(n)}是等差数列Ûc(n)=p·c(n)=p·n+q n+q ，故c(n)也可以像c 一样分解：设a n -(An+B)=b{a n-1-[A(n-1)+B]}，则2)1(,1b pb qb q B bp A ---=-=,且{a n -(An+B)}成等比数列。
成等比数列。
例2 已知)2(123,2111³-+==-n n a a a n n ,求a n . 解：设a n -(An+B)=3{a n-1-{A(n-1)+B]},则a n =3a n-1-4A n +3A-4B,故2n-1=-4An+3A-4B 对n ≥2恒成立。
用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧
用待定系数法求an+1=qan+f(n)类递推数列通项公式的技巧
伴随着互联网科技的发展，群体的智慧逐步被推广和释放，越来越多的学习者
和工作者正在潜心研究如何有效地解决数学递推问题。
今天我们来学习一种求解递推数列通项公式的经典方法：待定系数法。
待定系数法用于求解形式为an+1=qan+f(n)的递推数列的通项公式，其原理是
将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T，可以推出
an+1−∑n−1k=1a(n−k+1)q(k−1)=(f1,f2,...，fn)T，有n个未知数a1,a2,...，an，构成一个n阶方程组，可用解联立方程的办法求出构成的递推数列的通项公式。
那么，该如何使用待定系数法呢？首先，理清题目中递推式的形式，即
an+1=qan+f(n)；然后，将递推式变形，令an+1−qan=f(n)=(f1,f2,...，fn)T；再
把联立方程构成的n阶方程组展开，然后就可以用解联立方程的方法求得构成递推数列的通项公式了。
最后，实际应用中，待定系数法用来求解递推数列的通项公式是十分有效的，
然而在使用过程中也有一些注意事项。
首先，待定系数法只能用于求解形式为
an+1=qan+f(n)的递推数列；其次，当求解的递推数列有多重解时，应另行作出选择；最后，求解联立方程这一步骤可能存在求解困难，因此要对待定系数法应用时要慎重。
总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的有效方法，尤其在互联网科
技领域，有助于提高程序开发者和算法工程师的处理能力，取得更佳的研究成果。
巧用待定系数法求an +1 =pan +q 型递推数列通项公式
纵观近年的高考试题可以发现,求形如a n+1=pan+q()p≠0，q≠1的递推数列的通项公式问题出现的频率越来越高，这类题目恰恰是很多同学常常丢分的题目.而待定系数法是解答此类问题的有力“武器”.本文将结合实例来探讨一下用待定系数法求a n+1=pan+q型递推数列的通项公式的思路.用待定系数法求形如a n+1=pa n+q()p≠0，q≠1递推数列的通项公式，需先引入一个待定系数k,使an+1+k=p()a n+k,将其化简可得a n+1=pa n+()p-1k，然后将这个式子与原数列递推式对比可以求得k=qp-1，于是便构造出一个形如{}an+qp-1的等比数列.通过计算可求得该数列的首项为a1+q p-1，公比为p.那么我们就可以运用等比数列的通项公式来求出{}an+qp-1的通项公式,进而得到原数列的通项公式a n=æèçöø÷a1+q p-1p n-1-q p-1.例1.已知数列{}a n中a1=2，a n+1=(2-1)(a n+2)，n∈N.求数列的通项公式.解:设a n+1+t=()2-1()a n+t，将其展开可得()2-2t=2()2-1，由a n+1=()2-1()a n+2得t=-2，则a n+1-2=()2-1()a n-2，所以数列{}an-2是首项为2-2，公比为2-1的等比数列，故a n-2=2()2-1n，所以a n=2()2-1n+2，即{}a n的通项公式为a n=2éëêùûú()2-1n+1.通过引入待定系数t,便构造出首项为2-2，公比为2-1的等比数列,根据等比数列的通项公式便可求出原数列的通项公式.例2.在数列{}a n中，a1=3，a n+1=2a2n()n∈N*，求数列{}a n的通项公式.解:在a n+1=2a2n的两边取对数可得lg a n+1=lg2a2n，即lg a n+1=2lg a n+lg2.令b n=lg a n，则b n+1=2b n+lg2.设b n+1+t=2()b n+t，则t=lg2，可得b n+1+lg2=2()b n+lg2，所以数列{}b n+lg2是首项为lg3+lg2，公比为2的等比数列，所以b n+lg2=()lg3+lg22n-1，即b n=()lg6∙2n-1-lg2，所以lg an=lg62n-1-lg2=lg62n-12，即a n=62n-12.由a n+1=Aa m n()A>0，an>0，m为常数递推式求数列的通项公式,我们需先将递推式变形,即在递推式两边取对数,以便将指数m消去，把递推式转化为an+1=pa n+q的形式,再引入一个待定系数，将其构造成一个新的等比数列的通项，借助等比数列的通项公式求得结果.例3.在数列{}a n中，a1=2，a n=4a n-1+2n，求数列{}a n的通项公式.解:在a n=4a n-1+2n的两边同除以2n,可得an2n=2a n-12n-1+1，令b n=2b n-1+1,则b n+1+1=2()b n-1+1,则{}b n+1是以b1+1=a12+1=2为首项，以2为公比的等比数列.所以b n+1=2∙2n-1=2n，所以b n=2n-1，即a n2n=2n-1，所以a n=4n-2n.对于形如a n+1=pa n+q n()p≠1，q≠0的数列递推式，在求其通项公式时,我们需将q n转化,可以在等式两边同时除以q n，再令b n=a n+1q n，这样便构造出等比数列{}b n+1,求得数列{}b n+1的通项公式，便能快速求得数列{}a n的通项公式.用待定系数法求a n+1=pa n+q型递推数列的通项公式的关键是通过引入待定系数,构造出等比数列.当出现较为复杂的数列递推式时,我们要先将递推式进行适当的变形,如取对数、取倒数等，将其转化为an+1=pa n+q的形式，然后用待定系数法来解题.（作者单位：江苏省无锡市第三高级中学）巧用待定系数法求a n+1=pa n+q孙成成学考方略50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
待定系数法在高考递推数列中的应用 (1)
待定系数法在高考递推数列题中的应用模型1：a n ＋1=pa n ＋q （其中p 、q 均为常数，（pq （p －1）≠0）） [解法]（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n ＋1－λ=p(a n －λ)其中λ=pq-1，再用换元法令b n =a n －λ，则有b n ＋1=pb n ，从而数列{b n }为等比数列，于是由a n =b n ＋λ可求出数列a n 的通项公式。
例1：已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1。
求a n 。
解：令a n ＋1＋λ=2(a n ＋λ)即a n ＋1=2a n ＋λ ∴λ=1从而a n ＋1＋1=2 (a n ＋1)，令b n = a n ＋1 则b 1=a 1＋1=2且1111++=++n n n n a a b b =2 故数列{b n }是以b 1=2为首项，以2为公比的等数列。
则b n =2×2n －1=2n ∴a n =2n －1练习1、（06重庆文）在数列{a n }中，若a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n =练习2、一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有 只羊。
模型2：a n ＋1= pa n ＋r ·q n （其中p 、q 、r 均为常数，（p ·q ·r ·(p －1)·(q －1)≠0））[解法]一般来说，要先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得q r q a q p q a n n n n +=++·11，再令b n =nn q a从而化为b n ＋1=qr b q p n +·，此即为模型1，可用模型1待定系数法解之。
例2：已知数列{a n }中，a 1=65，a n ＋1=31a n ＋(21)n ＋1，求a n 。
待定系数法求递推数列的通项公式的探讨
待定系数法求递推数列的通项公式的探讨数列中的通项公式是数列的重要内容，而通项公式的求法更是多种多样，待定系数法求通项公式则是重要的内容，现就一些常见类型进行归纳如下：题型一：形如：数列(p)例：已知数列{ }中， =1，，求数列的通项公式分析：如果没有常数则为等比数列，由于有常数则数列{ }不是等比数列，但是肯定与有关，所以我们构造一个与常数有关的{ }也是公比为2的等比数列解：令所以{ }为公比为2等比数列，首项为所以即：题型二：形如：数列(p)例：已知数列{ }中， =1，，求数列的通项公式分析：如果没有后面一次函数，则为等比数列，由于有后面的一次函数则数列{ }不是等比数列，但是肯定与有关，所以我们构造一个与一次函数有关的{ }也为公比为2的等比数列。
解：令所以{ }为公比为2等比数列，首项为所以即：题型三：形如：数列(p)例：已知数列{ }中， =1，，求数列的通项公式分析：如果没有后面二次函数，则为等比数列，由于有后面的二次函数则数列{ }不是等比数列，但是肯定与有关，所以我们构造一个与二次函数有关的{ }也为公比为2的等比数列。
解：令 =2=2则：所以{ }为公比为2等比数列，首项为所以即：题型四：形如：数列(p)例：已知数列{ }中， =1，，求数列的通项公式分析：如果没有则为等比数列，由于有则数列{ }不是等比数列，但是肯定与有关，所以我们用待定系数构造一个与有关的{ }也为公比为2的等比数列。
解：令所以{ }为公比为2等比数列，首项为所以即：另外形如：数列(p)例：已知数列{ }中， =1，，求数列的通项公式分析：如果没有则为等比数列，由于有则数列{ }不是等比数列，但是肯定与有关，假设我们用待定系数构造一个与有关的{ }也为公比为2的等比数列，看看情况如何呢?解：令则得到，没法求到c值所以数列(p)，不能用待定系数法正确解析：两边同除，构造个新的等差数列来求。
解：原式的两边同除，则得：化简得：令则，数列{ }为公差为3的等差数列，首项 = =1所以 ,综上所述，根据具体递推公式的不同形式，灵活运用待定系数法构造出一个等差或等比数列，从而求出数列的通项公式。
递推数列待定系数法
递推数列待定系数法
递推数列是指每一项数值都由前面的项数值来递推得到的数列。
在递推数列待定系数法中，我们可以通过设定一些待定系数来得到递推式，然后通过求解这些待定系数的值，找到数列的通项公式。
设递推数列的通项公式为：
an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k，
其中c1, c2, ..., ck为待求系数，k为递推的步长。
为了求解这些待定系数，我们需要已知数列中的一些初始条件。
通常，我们需要知道数列的前几项，如a1, a2, a3, ...，作为初
始条件。
假设我们已知数列的前几项a1, a2, a3，我们可以代入这些初
始条件到递推式中，得到一系列的等式。
然后，通过求解这些等式中的待定系数，可以得到数列的通项公式。
举个例子，假设已知数列的前三项是1, 2, 3，我们设递推式为an = c1an-1 + c2an-2，代入初始条件得到以下等式：
a2 = c1a1 + c2a0
a3 = c1a2 + c2a1
将初始条件代入这两个等式，得到：
2 = c1 * 1 + c2 * a0
3 = c1 * 2 + c2 * 1
然后，通过解这个方程组，求解出c1和c2的值，进而得到数列的通项公式。
递推数列待定系数法可以用于求解各类递推数列问题，但需要正确设定递推式和初始条件，并使用合理的数学方法来求解。
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用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。
关键词:变形 对应系数 待定 递推数列数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。
对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。
常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。
但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。
下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。
一、1n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠） 例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。
分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n na =-。
启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知121n n a a +=+，可变形为12()n n a a λλ++=+的形式，然后展开括号、移项后再与121n n a a +=+相比较，利用待定系数法可得21,1λλλ-==。
这样，对于形如1n n a pa q +=+（其中p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠）的递推数列，先变为1()n n a p a λλ++=+的形式，展开、移项，利用待定系数法有 (1)p q λ-=，1q p λ=- 即 1()11n n q qa p a p p ++=+-- 则数列1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭首项为1,p 1q a p +-公比为的等比数列 1111()()1111n n n n q q q qa a p a a p p p p p --+=+=+-----即 因此，形如1n n a pa q +=+这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。
那么，若q 变为()f n ,()f n 是关于n 非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？二 (0,1)1a pa qn r pq p n n=++≠≠+且型例题2.在数列{}n a 中，11a =,1231n n a a n +=++,试求其通项公式。
分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n 的倍数，才能使新的数列有一致的形式。
先变为1(1)2()1n n a n a n λλλ+++-=++，展开比较得3,λ=即 13(1)2(3)4n n a n a n +++=++ 进一步13(1)42(34)n n a n a n ++++=++则数列{}34n a n ++是11314831482a a +⨯+=+⨯+=首项为公比为的等比数列，所以1234822n n n a n -+++=⨯=，2234n n a n +=--同样，形如1apa qn r n n=+++的递推数列，设1(1)()n n a x n y p a xn y ++++=++展开、移项、整理，比较对应系数相等，列出方程(1)(1)p x qp y x r -=⎧⎨--=⎩解得 211(1)1q x p x r q r y p p p ⎧=⎪-⎪⎨+⎪==+⎪---⎩即122(1)1(1)11(1)1n n q q r q q r a n p a n p p p p p p +⎡⎤++++=+++⎢⎥------⎣⎦则数列21(1)1n q q r a n p p p ⎧⎫+++⎨⎬---⎩⎭是以121(1)1q q r a p p p +++---为首项，以p 为公比的等比数列。
于是就可以进一步求出{}n a 的通项。
同理，若()1a pa f n n n =++其中()f n 是关于n 的多项式时，也可以构造新的等比数列，利用待定系数法求出其通项。
比如当2()f n qn rn s =++=时，可设 221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++ 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。
()f n 为n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。
而如果当()f n 是n 的指数式，即()n f n q r =+时，递推公式又将如何变形呢？三 (0,1,1,)1n a pa rq s pqr p q p q n n=++≠≠≠≠+型且例题3.在数列{}n a 中，11a =,132n n n a a +=+,试求其通项n a 。
分析1：由于132n n n a a +=+与例题1的区别在于2n 是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上22n ⨯变为112332n n n n a a +++=+⨯即 1123(2)n n n n a a +++=+则数列{}2n n a +是首项为3，公比为3的等比数列23n n n a +=，则 32n n n a =-分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除12n +1113131222222n n n n n n a a a +++=+=⋅+就回到了我们的类型一。
进一步也可求出32n n n a =-。
例题4.在数列{}n a 中，13a =,13524n n n a a +=+⨯+,试求{}n a 的通项n a 。
分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以12n +，虽然产生了112n n a ++、2n na ，但是又增加了142n +，与原式并没有大的变化。
所以只能运用思路1，在两边同时加上102n ⨯整理11523(52)4n n n n a a +++⨯=+⨯+ 进一步115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+ 则数列{}522n n a +⨯+是首项为15，公比为3的等比数列 152215353n n n n a -+⨯+=⨯=⨯ 即 5(32)2n n n a =--启示：已知数列{}n a 的首项，1(01,1,)n n n a pa rq s pqr p q q p +=++≠≠≠≠且1）当0s =,即1n n n a pa rq +=+由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。
思路一：在两边同时除以1n q +，将不含1n n a a +和的项变为常数，即11n n n n a a p rq q q q++=⋅+ 为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列1n n r a q p q q ⎧⎫⎪⎪⎪⎪+⎨⎬⎪⎪-⎪⎪⎩⎭最终求解出{}n a 的通项。
思路二：在两边同时加上n q 的倍数，最终能变形为11()n n n n a xq p a xq +++=+对应系数相等得 ()p q x r -=，即rx p q=- 即 11()n n n n r r a q p a q p q p q+++⋅=+⋅-- 求出数列n n ra q p q ⎧⎫+⋅⎨⎬-⎩⎭的通项，进一步求出{}n a 的通项。
2）当0s ≠时，即1n n n a pa rq s +=++由例4可知只能在选择思路二，两边既要加n q 的倍数，也要加常数，最终能变形为11()n n n n a xq y p a xq y ++++=++比较得x ，y 的方程组()(1)1r x p q x rp q p y ss y p ⎧=⎪-=-⎧⎪⎨⎨-=⎩⎪=⎪-⎩即 于是 11()11n n n n r s r sa q p a q p q p p q p +++⋅+=+⋅+---- 求出数列1n n r s a q p q p ⎧⎫+⋅+⎨⎬--⎩⎭的通项，进一步求出{}n a 的通项。
四：2112()(,n n n a pa qa f n a a ++=++型已知其中()f n 可以为常数、n 的多项式或指数式）以()f n =0为例。
例题5.在数列{}n a 中，1221211,2,33n n n a a a a a ++===+,试求{}n a 的通项。
分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把1n a +看做常数进行处理，可变为2111()3n n n n a a a a +++-=--，先求出数列{}1n n a a +-的通项111()3n n n a a -+-=-然后利用累加法即可进一步求出{}n a 的通项n a 。
对于形如21n n n a pa qa ++=+的递推数列，可以设211()n n n n a xa y a xa ++++=+展开，利用对应系数相等，列方程x y pxy q-=⎧⎨=⎩于是数列{}1n n a xa ++就是以21a xa +为首项，y 为公比的等比数列，不难求出{}1n n a xa ++的通项进一步利用相关即可求出n a 。
同理，21()n n n a pa qa f n ++=++当()f n 为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。
问题的关键在于先变形 211()()n n n n a xa y a xa f n ++++=++ 然后把1n n a xa ++看做一个整体就变为了前面的类型。
五：1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=⋅≠∈≠≠且，型，{}n a 为正项数列 例题6.在数列{}n a 中，2111,2n n a a a +==，试求其通项n a 。
分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于0n a >，所以可联想到对数的相关性质，对212n n a a +=两边取对数，即221lg lg(2)lg 2lg 2lg lg 2n n n n a a a a +==+=+ 就是前面的类型一了，即1lg lg 22(lg lg 2)n n a a ++=+ 112lg lg2(lg2)2lg2n n n a --+=⨯= 变形得 1212n n a --=对于类似1(10,1)r n n a p a p p R r r ++=⋅≠∈≠≠且，的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 1lg lg lg lg r n n n a p a r a p +=⋅=+然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列1lg lg 1n p a r +⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为已知首项和公比的等比数列了。