广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学(文)试题 Word版含答案

广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015
届高三第一次联考数学（文）试题
3．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是（ ）. A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞
4.在数列{}n a 中，11=a ，公比2q =，则4a 的值为（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．16
5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）.
A.4π
B.5π
C.12π
D.15π
6．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）. A ．123 B.38 C ．11 D ．3
7．已知向量()2,1=→
a ，()1,0=→
b ，()2,-=→k
c ，若（2+→a →b ）⊥→
c ，则k = （ ）.
第6题 第5题
D
A.2
B. 2-
C.8
D.8-
8．将函数()sin(2)6
f x x π
=+的图像向右平移
6
π
个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）.
A.sin 2y x =
B.cos 2y x =
C.2sin(2)3
y x π
=+ D.s i n (2)
6
y x π
=-
9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于
( ) .
A.
1
10．已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有
)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则(2013)(2014)f f -+的
值为( ) .
A.1-
B. 2-
C. 2
D.1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。

（必做题）
11.在ABC △中，若1
3,1,cos 3
b c A ===，则a = .
12．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为__ _____．
13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0，
则目标函数z ＝3x －y 的最大值为_ _______．
（选做题）请在14、15题中选一题作答。

14．（坐标系与参数方程选做题）若直线y ＝x －b 与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋cos θ，
y ＝sin θ，θ∈[0,2π)有两个不
同的公共点，则实数b 的取值范围是________．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O 外一点A 引圆
的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，
C
B
D 1 C 1
A
D
E
P
圆O 的半径为3，则圆心O 到直线AC 的距离为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(0,1)M ． （1）求()f x 的解析式；
（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13
f B =，求()f C 的值．
17.（本小题满分12分）
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步
的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18.（本小题满分14分）
在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，E 是棱
CD 上中点，P 是棱1AA 中点。

（1）求证：//PD 面1AB E ； （2）求三棱锥1B AB E -的体积．
19．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a S 在直线20x y +-=上，*n N ∈． （1）证明数列{}n a 为等比数列，并求出其通项；
（2）设12
()log n f n a =，记1(1)n n b a f n +=⋅+，求数列{}n b 的前n 和n T ．
20．(本小题满分14分)
已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点12⎫⎪⎭，．
（１）求椭圆R 的方程；
（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455
OM OA OB −−→
−−
→−−→=
+，点N 为线段AB 的中点，C 、D
两点的坐标分别为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
、⎫
⎪⎪⎝⎭
，求证：NC ND +=
21（本小题满分14分） 函数2
()ln f x x ax a x =+-
（1）1a =时，求函数()f x 的单调区间; （2）1a >时，求函数()f x 在[1,]a 上的最大值.
B
A D
E
P
Q
17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于3215
8
60=⨯人.…4分 （2）设第三组的乘客为d c b a ,,,，第四组的乘客为1，2；
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A .………………………………5分
所得基本事件共有15种，即：
12,2,1,2,1,,2,1,,,2,1,,,d d c c cd b b bd bc a a ad ac ab …………………8分
其中事件A 包含基本事件2,1,2,1,2,1,2,1d d c c b b a a ，共8种，………10分 由古典概型可得15
8
)(=
A P ， ………………………12分 18.解：（1）取1A
B 中点Q ，连接PQ ， 则PQ 为中位线，111
PQ//
2
A B ，…………2分 而正方体1111
ABCD-A B C D ，
E 是棱CD 上中点，
故112
1
//
D B A
E ，………………4分 DE //PQ ∴，所以四边形DE PQ 为平行四边形。

QE PD //∴， ……………6分
而⊂QE 面E AB 1，⊄PD 面E AB 1， 故E AB PD 1//面……………………………8分
（2）正方体1111ABCD-A B C D 中，ABE BB 面⊥1，故1BB 为高，21=BB ………10分
AB CD // 2222
1
21=⋅⋅=⋅=
=∴∆∆BC AB S S ABC ABE
…………12分 故
3
4
31111=⋅=
=∆--ABC ABE B E AB B S BB V V (14)
分
12(2)2n
n T n ⎛⎫
∴=-+⋅ ⎪⎝⎭
……14分
20. (本小题满分14分)
解:(1)由已知22
241341a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, ……………………………………………………２分
解得2,1a b ==. ………………………………………………………………４分
∴椭圆的方程为2
214
x y +=． ……………………………………………５分
（２）设()()()1122,,,,M M A x y B x y M x y ，，则22
1114x y +=，222214
x y +=．………6分 由3455
OM OA OB −−→
−−
→−−→=+, 得12123434,5555M M x x x y y y =
+=+,即12123
434,5555M x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．……………７分
M 是椭圆R 上一点，所以
∴2
212123
43455145
5x x y y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭， ……………８分
即22
2222121212123434()214545554x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得2
2
121234342155554x x
y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故121204x x y y +=．……………９分
又线段AB 的中点N 的坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭， ……………10分
∴2
122222212
12121212112212224244x x y y x x x x y y y y +⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎝⎭+=+++++= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，…11分 ∴线段AB 的中点N 1212,2
2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22
212x y +=上． ……………12分
椭圆22212x y +=的两焦点恰为
C 2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，
D 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
……………13分
∴NC ND += ……………14分。