高一数学课堂训练6-3

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高一数学压轴题强化训练题学生版

高一数学压轴题强化训练题1.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a 的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)2.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是()A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤43.已知非空集合A,B 满足以下两个条件：（i）A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=∅(ii)若x∈A,则x+1∈B.则有序集合对（A,B）的个数为（）A.12B.13C.14D.154.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“好元素”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．A ．6个B ．12个C ．9个D ．5个5.如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素,其中:),,(2Q b a b a x ∈+=则下列元素中不属于集合M 的元素的个数是由（）①.,0=x ②,2=x ③,223π-=x ④,2231-=x ⑤246246++-=x .A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是()A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定7.已知z y x ,,是非零实数,代数式xyz z z y y x x +++的值所组成的集合为M,则下列判断正确的是（）A.M ∉0B.M ∈2C.M ∉-4D.M∈48.已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}9.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是()A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－110.对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a ＝a ⊕e ＝a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A ＝R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有1×a ＝a ×1＝a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A ＝R ，运算“⊕”为普通减法；②A ＝R ，运算“⊕”为普通加法；③A ＝{X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③11.已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．12.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.①若}6,3,2{=M ，则C U M 表示的6位字符串为；②若{1,3}A =,集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是.13.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.14.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意，P b a ∈,都有P b a ab b a b a ∈-+,,,（除数),0≠b 则称P 是一个数域.例如有理数Q 是数域，有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③数域必为无限集.其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.16.已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是；（写出一个即可）（2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为.17.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数。

人教版A高一数学同步课堂精讲练导学案第二册8.6.3 平面与平面垂直的判定1课时(解析版)

8.6.3平面与平面垂直的判定导学案编写:XXX 初审:谭光垠终审:谭光垠XXX【学习目标】1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小2.理解两平面垂直的定义3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题【自主学习】知识点1 二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念:①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法:(4)记法:二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点2 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．②画法:③记作:α⊥β.(2)判定定理l⊥α,l⊂β⇒α⊥β【合作探究】探究一二面角的概念及求法【例1】如图,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度数;(2)求二面角B-P A-D平面角的度数;(3)求二面角B-P A-C平面角的度数．[分析](1)证明平面P AD⊥平面PCD;(2),(3)先找出二面角的平面角,再证明该角满足平面角的定义,最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵P A⊥平面ABCD,∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PCD,∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B-P A-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°,∴二面角B-P A-D平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B-P A-C的平面角．又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC＝45°,即二面角B-P A-C平面角的度数为45°.归纳总结:清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”【练习1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值．解:如图,取A1C1的中点O,连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a,则OB1＝2 2a.在Rt△BB1O中,tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2,所以二面角B-A1C1-B1的正切值为 2.探究二平面与平面垂直的判定【例2】如图所示,四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD ⊥AD.求证:平面PDC⊥平面P AD.[证明]∵P A⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD,P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又∵CD⊂平面PDC,∴平面PDC⊥平面P AD.归纳总结:判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面【练习2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD＝AA1＝2,AB＝4,E为AB的中点．求证:平面DD1E⊥平面CD1E.证明:在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD＝2,AB＝4,所以DE＝CE＝22,因为CD ＝4,所以CE ⊥DE , 因为D 1D ⊥平面ABCD ,所以D 1D ⊥CE ,因为D 1D ∩DE ＝D , 所以CE ⊥平面D 1DE ,又CE ⊂平面CED 1, 所以平面DD 1E ⊥平面CD 1E .探究三线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图所示,已知三棱锥P -ABC ,∠ACB ＝90°,CB ＝4,AB ＝20,D 为AB 的中点,且△PDB 是正三角形,P A ⊥PC .(1)求证:平面P AC ⊥平面ABC ; (2)求二面角D -AP -C 的正弦值;(3)若M 为PB 的中点,求三棱锥M -BCD 的体积．[分析] 本题的题设条件有三个:①△ABC 是直角三角形,BC ⊥AC ;②△PDB 是正三角形;③D 是AB 的中点,PD ＝DB ＝10.解答本题(1),只需证线面垂直,进而由线面垂直证明面面垂直,对于(2)首先应找出二面角的平面角,然后求其正弦值,解答(3)小题的关键是用等体积法求解．[解] (1)证明:∵D 是AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB ＝20, ∴PD ＝12AB ＝10,∴△P AB 为直角三角形且∠APB ＝90°,∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC ,PB ∩PC ＝P ,∴AP ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ,∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ,AP ∩AC ＝A ,∴BC ⊥平面P AC . 又BC ⊂平面ABC ,∴平面P AC ⊥平面ABC .(2)∵P A ⊥PC ,且P A ⊥PB ,∴∠BPC 是二面角D -AP -C 的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ,则BC ⊥PC , ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝25.(3)∵D 为AB 的中点,M 为PB 的中点, ∴DM ∥P A ,故DM ＝53,由(1)知P A ⊥平面PBC ,∴DM ⊥平面PBC . ∵S △BCM ＝12S △PBC ＝221,∴V M -BCD ＝V D -BCM ＝13×53×221＝107.归纳总结:本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题,解决这类问题的关键是转化:线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直【练习3】如图,在三棱锥P -ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,D ,E 分别是AB ,PB 的中点．(1)求证:DE ∥平面P AC ; (2)求证:AB ⊥PB ;(3)若PC ＝BC ,求二面角P -AB -C 的大小．解:(1)证明:因为D ,E 分别是AB ,PB 的中点, 所以DE ∥P A .又因为P A ⊂平面P AC ,DE ⊄平面P AC ,所以DE∥平面P AC.(2)证明:因为PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC,PC∩BC＝C,所以AB⊥平面PBC, 又因为PB⊂平面PBC,所以AB⊥PB.(3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角,因为PC＝BC,∠PCB＝90°,所以∠PBC＝45°,所以二面角P-AB-C的大小为45°.课后作业A组基础题一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交,所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【答案】 D详细解析如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是()A．若a∥M,b∥M,则a∥bB．若b∥M,a⊥b,则a⊥MC．若b⊂M,a⊥b,则a⊥MD．若a⊥M,a⊂N,则M⊥N【答案】 D详细解析A中,当直线a,b都在一个平面上相交,且这个平面与M平行,可推断出A不一定成立;B中,可能存在a⊂M的情况,故B的结论不一定成立;C中,可能存在a∥M的情况,故C项错误;D中,若a⊥M,a⊂N,由面面垂直的判定定理可知M⊥N,故D项中说法正确．3．如图所示,在四面体D－ABC中,若AB＝BC,AD＝CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【答案】 C详细解析因为AB＝BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC.又BE∩DE＝E,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.4．如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC 翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】 C详细解析由已知得BD＝2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC＝60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角,其大小为60°.5．如图,AB是圆O的直径,P A垂直于圆O所在平面ABC,点C是圆上的任意一点,图中互相垂直平面的对数为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】 B详细解析∵P A⊥圆O所在平面ABC,∴平面P AB⊥平面ABC,同理可得:平面P AC⊥平面ABC,∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,又∵P A⊥圆O所在平面ABC,BC⊂平面ABC,∴P A⊥BC.又∵P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC.∴BC⊥平面P AC.又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面P AC.综上相互垂直的平面共有3对．6．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在【答案】 C详细解析设两点为A,B,平面为α,若直线AB⊥α,则过A、B与α垂直的平面有无数个;若直线AB与α不垂直,即直线AB与α平行、相交或在平面α内,均存在唯一平面垂直于已知平面．7．在正四面体P ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是() A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【答案】 C详细解析如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF,∴A正确．由BC⊥PE,BC⊥AE,得BC⊥平面P AE,∴DF⊥平面P AE,∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE),∴D正确．8．如图所示,已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形,P A⊥平面ABC,P A＝2AB,则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】 D详细解析∵P A⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD＝2AB,即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.二、填空题9．已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β之外的直线,给出下列三个论断:①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.(用序号表示)【答案】①②⇒③详细解析由l∥β可在平面β内作l′∥l,又l⊥α,∴l′⊥α,∵l′⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③.10．下列结论中,所有正确结论的序号是________．①两个相交平面形成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．【答案】②④详细解析由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确,④正确;②中所成的角虽不是二面角的平面角,但由平面几何的知识易知②正确．11．如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,BC＝2,AA1＝1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1－EF－C等于45°,则BF＝________.【答案】 1详细解析由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥EF,又BC∩CC1＝C,∴EF⊥平面CC1F,∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角,即∠C1FC＝45°,∵AA1＝1,∴CF＝1,又BC＝2,∴BF＝1.12．如图所示,在四棱锥P－ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题13．如图所示,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,E为BB1的中点,求证:截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示,取A 1C 的中点F ,AC 的中点G ,连接FG ,EF ,BG ,则FG ∥AA 1,且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1,A 1B 1＝CB ,∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°, 所以△A 1B 1E ≌△CBE ,所以A 1E ＝CE . 因为F 为A 1C 的中点,所以EF ⊥A 1C . 又FG ∥AA 1∥BE ,GF ＝12AA 1＝BE ,且BE ⊥BG ,所以四边形BEFG 是矩形,所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ,所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF ⊂平面A 1CE ,所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.14．如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形,P A ⊥底面ABCD ,AC ,BD 交于点E ,F 是PB 的中点．求证: (1)EF ∥平面PCD ; (2)平面PBD ⊥平面P AC .证明 (1)∵四边形ABCD 是正方形,∴E 是BD 的中点．又F 是PB 的中点,∴EF ∥PD . 又∵EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面P AC . 又BD ⊂平面PBD , ∴平面PBD ⊥平面P AC .15．如图,在四面体A -BCD 中,BD ＝2a ,AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ,求证:平面ABD ⊥平面BCD .证明:如图,取BD 的中点E ,连接AE ,CE .由AB ＝AD ＝CB ＝CD ,知AE ⊥BD ,CE ⊥BD ,所以∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角．在△ABE 中,AB ＝a ,BE ＝12BD ＝22a ,所以AE 2＝AB 2－BE 2＝12a 2,同理CE 2＝12a 2,所以AE 2＋CE 2＝a 2＝AC 2, 所以∠AEC ＝90°.所以平面ABD ⊥平面BCD .B组能力提升一、选择题1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下列结论中不正确的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【答案】D详细解析:∵P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,又∵DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正确．∵P A＝PB＝PC,△ABC为等边三角形,E是BC中点,∴PE⊥BC,AE⊥BC.∵PE∩AE＝E,∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC,∴DF⊥平面P AE,故B正确．∵BC⊥平面P AE,BC⊂平面ABC,∴平面P AE⊥平面ABC,故C正确．设AE∩DF＝O,连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心,∴PO与平面ABC不垂直,∴平面PDF与平面ABC不垂直,故D错误．2．在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB＝6,BC＝3,则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D详细解析:如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D,则∠ADB为二面角α-l-β的平面角(或其补角),∵AB＝6,BC＝3,∴∠BAC＝30°,∴∠ADB＝60°,∴二面角大小为60°或120°.二、填空题3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点．当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析:如图,连接AC,则BD⊥AC.由P A⊥平面ABCD,可知BD⊥P A,所以BD⊥平面P AC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答题4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD＝a,P A＝PC＝2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面P AC⊥平面PBD;(3)求二面角P-AC-D的正切值．解:(1)证明:∵PD＝a,DC＝a,PC＝2a, ∴PC2＝PD2＋DC2,∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD,又AD∩DC＝D,∴PD⊥平面ABCD.(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,而四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,又BD∩PD＝D,∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面P AC,∴平面P AC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O,如图,连接PO.由P A＝PC,知PO⊥AC.又由DO⊥AC,故∠POD为二面角P-AC-D的平面角．易知OD＝2 2a.在Rt△PDO中,tan∠POD＝PDOD＝a22a＝ 2.5．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AD＝AA1＝1,AB＝2,点E在棱AB上移动．(1)证明:D1E⊥A1D;(2)求AE等于何值时,二面角D1－EC－D的大小为45°?(1)证明连接D1A,D1B.∵在长方形A1ADD1中,AD＝AA1＝1,∴四边形A1ADD1为正方形,∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D,且AB∩AD1＝A,∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1,∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F,连接D1F.∵D1D⊥平面DB,EC⊂平面DB,∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D,∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF,∴EC⊥D1F,∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角,∴∠DFD1＝45°,又∠D1DF＝90°,D1D＝1,∴DF＝1.在Rt△DFC中,∵DC＝2,∴∠DCF＝30°,∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中,∵BC＝1,∴EB＝3,AE＝2－ 3.。

7.3.1+正弦函数的性质与图象(共2课时)高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)

画出y = sinx， ∈[0,]的图像
1.列表
x
y=sinx
0
0

6

4

3
1
2
2
2
3
2

2
1
2
3
3
2
3
4
5
6
2
2
1
2

0
2.描点
3.连线

sinx在[0, ]上递增，在[ , ]上递减，
2
2
根据y =
将这些点连成光滑的曲线.
y
.
.
.. ...
.
.
1
-
-

O
2

4

2
3
4

-1
2.两相邻对称中心之间的距离为
2.相邻对称中心之间的距离是多少？
3. y sin x在对称中心处的函数值为0
7
2
4
探究点3：五点法作图
思考：正弦函数 = 图象也可由其在[0,2]上的图象得到.观察
图象上起关键作用的点是哪些？
五点作图法
y

( 2,1)

( 2,1)

( 2,1)
1
5
当 = − 时取得最小值− ，当
2
4
5
因此，函数值域为[− , 1].
4
2
= 1时取得最大值1.
）
正弦函数 = 的性质
定义域和值域定义域：R 值域:[-1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调性
增区间[− + , + ]( ∈ );减区间[ + ,

1.1集合的概念(教学课件)高一数学高效课堂(人教A版2019)(1)

4 中国四大发明 5 中国十二生肖 6 到定点O的距离等于1的所有点
1，3，5，7，9
x1=-3，x2=3
2，3，5，7
元素造纸术、指南针、火药、印刷术
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪圆心是O，半径为1的圆上的点
学习新知
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
常用的数集
自然数集
记法
—N—
举例 0,1,2,3，…
正整数集整数集有理数集实数集
N—*—或——N＋
1,2,3，…
—Z—
Q
R
——
——
0,±1,±2, ±3，…
整数+分数
有理数无理数
学习新知
【练习】用符号“∈”或“ ∉”填空。
(1) 2
N.
(2) 2 _______ Q.
(3) 0
{0}.
学习目标
通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题。
了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号, 并能够用其解决有关问题。
会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
目录
C ATA L O G
01.元素和集合的概念 02.集合的表现方式
设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的
集合表示为：
x A P(x)
我们称这种方法为描述法。
x为该集合的代表元素
P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质
学习新知
例如，实数集R 中，有限小数和无限循环小数都具有 q ( p, q Z, p 0) 的 p

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(52)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a 1，a 2，b 1，b 2 均为非零实数，不等式 a 1x +b 1<0 与不等式 a 2x +b 2<0 的解所组成的集合分别为集合 M 和集合 N ，则“a 1a 2=b 1b 2”是“M =N ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件2. 下面各组角中，终边相同的是 ( ) A ． 390∘，690∘ B ． −330∘，750∘ C ． 480∘，−420∘D ． 3000∘，−840∘3. 若对于任意实数 x 总有 f (−x )=f (x )，且 f (x ) 在区间 (−∞,−1] 上是增函数，则 ( ) A ． f (−32)<f (−1)<f (2) B ． f (−1)<f (−32)<f (2) C ． f (2)<f (−1)<f (−32)D ． f (2)<f (−32)<f (−1)4. 函数 f (x )=(x +sinx )cosx 的部分图象大致为 ( )A ．B ．C．D．5.集合A={x∣ −1<x<3}，B={x∣ x2+x−6<0,x∈Z}，则A∩B=( )A．(−1,2)B．(−3,3)C．{0,1}D．{0,1,2}6.已知集合A={x∣ 1≤x<3}，B={x∣ x2≤4}，则A∩B=( )A．{x∣ 1≤x<2}B．{x∣ −2≤x<1}C．{x∣ 1≤x≤2}D．{x∣ 1<x≤2}7.已知cos(π2+α)=√33(−π2<α<π2)，则sin(α+π3)=( )A．3√2−√36B．3√2+√36C．√6−36D．√6+368.设集合M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，则M∩N=( )A．{x∣ 0≤x≤1}B．{x∣ 0≤x<1}C．{x∣ 1<x≤2}D．{x∣ −1<x≤2}9. 式子 a√−1a 经过计算可得 ( ) A ． √−a B ． √a C ． −√a D ． −√−a10. 设集合 A ={x∣ −1<x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则 A ∩B = ( )A ． {−1,0,1}B ． {−1,0}C ． {0,1}D ． {1,2}二、填空题（共10题）11. 已知集合 A =(−2,3)，B =[−1,4]，则集合 A ∩B = ．12. 已知 a >0，b >0，则 a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为．13. 若 (3−2m )12>(m +1)12，则实数 m 的取值范围为．14. 若 cosα=13，则 sin (α−π2)= ．15. 若角 α 终边经过点 P (−1,2)，则 tanα= ．16. 二次函数 y =ax 2+bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如表：x−3−2−101234y 60−4−6−6−406则不等式 ax 2+bx +c >0 的解集是．17. 已知 a >b >0，则 a +4a+b +1a−b 的最小值为．18. 若 π2<α<π 且 cosα=−13，则 tanα= ．19. 如果 α∈(π2,π)，且 sinα=45，那么 sin (α+π4)+cos (α+π4)= ．20. 已知函数 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)．用分段函数的形折表示该函数为；该函数的值域为．三、解答题（共10题）21.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性．(1) y=x2−5x−6；(2) y=9−x2．22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．(1) 对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么log a M n=nlog a M(n∈R)．(2) 请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值．(3) 因为210=1024∈(103,104)，所以210的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20192020的位数．（注：lg2019≈3.305）．23.回答下列问题：(1) 将log232=5化成指数式；(2) 将3−3=127化成对数式；(3) 已知log4x=−32，求x；(4) 已知log2(log3x)=1，求x．24.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1) p：不论m取何实数，方程x2+mx−1=0必有实根；(2) ∀x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5=0．25.已知集合A={x∣2−a≤x≤2+a}，B={x∣∣x≤1或x≥4}．(1) 当a=3时，求A∩B；(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．26.已知函数f(x)=log a(x+2)−1，其中a>1．(1) 若f(x)在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．(2) 若f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．27.求2π3的六个三角比的值．28.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？,b}，Q={0,a+b,b2}，且P=Q．求a2018+b2019的值．29.已知集合P={1,ab30.已知集合A={x∣ 1≤x≤2}，B={x∣ 1≤x≤a,a≥1}．(1) 若A⫋B，求a的取值范围；(2) 若B⊆A，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】取 a 1=b 1=1，a 2=b 2=−1，则可得 M =(−∞,−1)，N =(−1,+∞)，M ≠N ，因此不是充分条件，而由 M =N ，显然可以得到 a 1a 2=b 1b 2，所以是必要条件．故选D ．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】B【解析】因为 390∘=360∘+30∘，690∘=720∘−30∘，所以 390∘ 与 690∘ 终边不同，A 错误；因为 −330∘=−360∘+30∘，750∘=720∘+30∘，所以 −330∘ 与 750∘ 终边相同，B 正确；因为 480∘=360∘+120∘，−420∘=−360∘−60∘，所以 480∘ 与 −420∘ 终边不同，C 错误；因为 3000∘=2880∘+120∘，−840∘=−720∘−120∘，所以 3000∘ 与 −840∘ 终边不同，D 错误．故选B ．【知识点】任意角的概念3. 【答案】D【解析】由 f (−x )=f (x ) 可得 f (x ) 为偶函数，且在 (−∞,1] 上单增，由偶函数性质可知其在区间 [1,+∞) 上，因为 f (−32)=f (32)，f (−1)=f (1)，所以 f (2)<f (−32)<f (−1)．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 为奇函数，故排除B ，又因为当 x ∈(0,π2) 时，f (x )>0，当 x ∈(π2,π)时，f (x )<0，故排除C ，A ．【知识点】函数的奇偶性、函数图象5. 【答案】C【解析】 B ={x∣ x 2+x −6<0,x ∈Z }={x∣ −3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}，又 A ={x∣ −1<x <3}，所以 A ∩B ={0,1}，故选C ．【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】因为cos(π2+α)=−sinα=√33，所以sinα=−√33，所以−π2<α<0，所以cosα=√63，所以sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3 =−√33×12+√63×√32=3√2−√36,故选A．【知识点】两角和与差的正弦8. 【答案】B【解析】因为M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，所以M∩N={x∣ 0≤x<1}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【解析】因为√−1a 成立，所以a<0，所以a√−1a=−√−a2a=−√−a．故选D．【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】C【解析】A∩B={0,1}．【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题）11. 【答案】[−1,3)【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】 4【解析】由a 2+4+4ab+4b 2a+2b=(a+2b )2+4a+2b=(a +2b )+4a+2b ，因为 a >0，b >0，所以 a +2b >0，4a+2b >0，所以 (a +2b )+4a+2b≥2√(a +2b )⋅4a+2b=4，当且仅当 a +2b =2 时取等号，即a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为 4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】 [−1,23)【知识点】幂函数及其性质14. 【答案】 −13【知识点】诱导公式15. 【答案】 −2【知识点】任意角的三角函数定义16. 【答案】 (−∞,−2)∪(3,+∞)【知识点】二次不等式的解法17. 【答案】 3√2【解析】 4a+b +1a−b =22a+b +12a−b ≥(2+1)2(a+b )+(a−b )=92a ，所以 a +4a+b +1a−b≥a +92a≥2√a ⋅92a=3√2，当且仅当 {2a+b=1a−b,a =92a,即 a =3√22，b =√22时等号成立．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】 −2√2【知识点】同角三角函数的基本关系19. 【答案】 −3√25【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦20. 【答案】 f(x)={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2； [1,3)【解析】 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)，当 −2<x ≤0 时，f (x )=1−x ；当 0<x ≤2 时，f (x )=1．所以函数 f (x )={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2，函数 f (x ) 的图象如图所示：根据图象，得函数 f (x ) 的值域为 [1,3)．【知识点】分段函数、函数的值域的概念与求法三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 图略．函数 y =x 2−5x −6 在 (−∞,52] 上单调递减，在 [52,+∞) 上单调递增． (2) 函数 y =9−x 2 在 (−∞,0] 上单调递增，在 [0,+∞) 上单调递减．【知识点】函数的单调性22. 【答案】(1) (a m )n =a mn ， log a (a m )n =log a a mn ， log a (a m )n =mn ，令 a m =M ，则 m =log a M ，则 log a M n =nlog a M ．(2) lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=34+23=1712． (3) lg20192020=2020lg2019≈2020×3.305=6676.1，所以20192020≈106676.1∈(106676,106677)，所以20192020位数为6677．【知识点】对数的概念与运算23. 【答案】(1) 因为log232=5，所以25=32．(2) 因为3−3=127，所以log3127=−3．(3) 因为log4x=−32，所以x=4−32=22×(−32)=2−3=18．(4) 因为log2(log3x)=1，所以log3x=2，即x=32=9．【知识点】对数的概念与运算24. 【答案】(1) ¬p：存在一个实数m，使方程x2+mx−1=0没有实数根．因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立，所以¬p为假命题．(2) ¬p：∃x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5≠0．因为x2+y2+2x−4y+5=(x+1)2+(y−2)2，当x=0，y=0时，x2+y2+2x−4y+5≠0成立，所以¬p为真命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定、复合命题的概念与真假判断25. 【答案】(1) 当a=3时，A={x∣−1≤x≤5}，B={x∣∣x≤1或x≥4}，所以A∩B={x∣∣−1≤x≤1或4≤x≤5}．(2) ①若A=∅，则2−a>2+a，解得a<0，满足A∩B=∅；②若A≠∅，则2−a≤x≤2+a，所以a≥0．因为A∩B=∅，所以{2−a>1,2+a<4,解得0≤a<1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1)．【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】(1) 函数f(x)=log a(x+2)−1的定义域是(−2,+∞)．因为a>1，所以f(x)=log a(x+2)−1是[0,1]上的增函数．所以f(x)在[0,1]上的最大值是f(1)=log a3−1；最小值是f(0)=log a2−1．依题意，得log a3−1=−(log a2−1)，解得a=√6．(2) 由（1）知，f(x)=log a(x+2)−1是(−2,+∞)上的增函数．在f(x)的解析式中，令x=0，得f(0)=log a2−1，所以，f(x)的图象与y轴交于点(0,log a2−1)．依题意，得f(0)=log a2−1≤0．解得a≥2．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】sin2π3=√32，cos2π3=−12，tan2π3=−√3，cot2π3=−√33，sec2π3=−2，csc2π3=23√3．【知识点】任意角的三角函数定义28. 【答案】（1）任何一个元素；A⊆B；B⊇A；A包含于B；B包含A（2）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B．例如{0,1}⊆{−1,0,1}，则由0∈{0,1}能推出0∈{−1,0,1}．【知识点】包含关系、子集与真子集29. 【答案】−1．【知识点】集合相等30. 【答案】(1) 若A⫋B，由下图可知，a>2．(2) 若B⊆A，由下图可知，1≤a≤2．【知识点】包含关系、子集与真子集11。

高一数学上册课堂练习题4(答案)

高一数学上册课堂练习题4（答案）A.8B.2C.4D.1[答案] C[解析] ∵AB，AC，集合A中的元素只能由a或b构成.这样的集合共有22=4个.即：A=，或A={a}，或A={b}或A={a，b}.7.设集合M={x|x=k2+14，kZ}，N={x|x=k4+12，kZ}，则()A.M=NB.M?NC.M?ND.M与N的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k=-2，-1,0,1,2可得M={-34，-14，14，34，54}，N={0，14，12，34，1}，M?N，故选B.解法2：集合M的元素为：x=k2+14=2k+14(kZ)，集合N的元素为：x=k4+12=k+24(kZ)，而2k+1为奇数，k+2为整数，M?N，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数，则k+m(m是一个整数)也是任意整数，而2k+1,2k-1均为任意奇数，2k为任意偶数.8.集合A={x|03且xN}的真子集的个数是()A.16B.8C.7D.4[答案] C[解析] 因为03，xN，x=0,1,2，即A={0,1,2}，所以A的真子集个数为23-1=7.9.(09广东文)已知全集U=R，则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析] 由N={x|x2+x=0}={-1,0}得，N?M，选B.10.如果集合A满足{0,2}?A{-1,0,1,2}，则这样的集合A个数为()A.5B.4C.3D.2[答案] C[解析] 集合A里必含有元素0和2，且至少含有-1和1中的一个元素，故A={0,2,1}，{0,2，-1}或{0,2,1，-1}.本文导航 1、首页2、***二、填空题11.设A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}，E={多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________. [答案] A?D?B?C?E[解析] 由各种图形的定义可得.12.集合M={x|x=1+a2，aN*}，P={x|x=a2-4a+5，aN*}，则集合M与集合P的关系为________.[答案] M?P[解析] P={x|x=a2-4a+5，aN*}={x|x=(a-2)2+1，aN*}∵aN*a-2-1，且a-2Z，即a-2{-1,0,1,2，}，而M={x|x=a2+1，aN*}，M?P.13.用适当的符号填空.(，，，，?，?，=)a________{b，a};a________{(a，b)};{a，b，c}________{a，b};{2,4}________{2,3,4};________{a}.[答案] ，，?，?，?*14.已知集合A=x|x=a+16，aZ，B={x|x=b2-13，bZ}，C={x|x=c2+16，cZ}.则集合A，B，C满足的关系是________(用，?，=，，，中的符号连接A，B，C).[答案] A?B=C[解析] 由b2-13=c2+16得b=c+1，对任意cZ有b=c+1Z.对任意bZ，有c=b-1Z，B=C，又当c=2a时，有c2+16=a+16，aZ.A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系.15.(09北京文)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k-1A，那么k是A的一个孤立元.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含孤立元的集合共有______个.[答案] 6[解析] 由题意，要使k为非孤立元，则对kA有k-1A.k最小取2.k-1A，kA，又A中共有三个元素，要使另一元素非孤立元，则其必为k+1.所以这三个元素为相邻的三个数.共有6个这样的集合.三、解答题16.已知A={xR|x-1或x5}，B={xR|ax[解析] 如图∵A?B，a+4-1或者a5.即a-5或a5.17.已知A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}，当BA时，求实数a的取值范围.[解析] ∵A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}={x|x-a4}，∵AB，-a4-1，即a4，所以a的取值范围是a4.18.A={2,4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，a、xR，求：(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2B，B?A成立的a、x的值;(3)使B=C成立的a、x的值.[解析] (1)∵A={2,3,4}x2-5x+9=3解得x=2或3(2)若2B，则x2+ax+a=2又B?A，所以x2-5x+9=3得x=2或3，将x=2或3分别代入x2+ax+a=2中得a=-23或-74(3)若B=C，则x2+ax+a=1①x2+(a+1)x-3=3②①-②得：x=a+5 代入①解得a=-2或-6此时x=3或-1.*19.已知集合A={2,4,6,8,9}，B={1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.[解析] 由题设条件知C{0,2,4,6,7}，C{3,4,5,7,10}，C{4,7}，∵C，C={4}，{7}或{4,7}.。

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高一数学练习试题答案及解析1.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，写出要求点的坐标．解：空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，∴Q（1，，0）故选D．点评：不同考查空间中点的坐标，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，它只是立体几何与空间向量中所出现的题目的一个小部分．2.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．3.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．4.点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是，关于平面yOz的对称点是，关于平面zOx的对称点是，关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是，关于z轴的对称点是．【答案】（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．【解析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．解：根据点的对称性，空间直角坐标系的八卦限，分别求出点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是（﹣3，2，1）；关于平面yOz的对称点是：（3，2，﹣1）；关于平面zOx的对称点是：（﹣3，﹣2，﹣1）；关于x轴的对称点是：（3，﹣2，1）；关于y轴的对称点是（3，2，1）；关于z轴的对称点是（3，﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．点评：本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．5.点M（4，﹣3，5）到原点的距离d= ，到z轴的距离d= ．【答案】；5【解析】直接利用空间两点间的距离公式，求出点M（4，﹣3，5）到原点的距离d，写出点M （4，﹣3，5）到z轴的距离d，即可．解：由空间两点的距离公式可得：点M（4，﹣3，5）到原点的距离d=到z轴的距离d==，点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d==5故答案为：；5点评：本题是基础题，考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．6.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．7.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P（4，1，2）的距离为．【答案】点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．【解析】设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．解：设点P的坐标是（x，0，0），由题意，即，∴（x﹣4）2=25．解得x=9或x=﹣1．∴点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，是一个基础题，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．8.在空间，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B．有一组对边平行的四边形一定是平面图形C．四边相等的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形【答案】B【解析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．解：对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故B正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故C不正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D不正确．故选B．点评：本题考查平面的基本性质和推论，解题时要认真审题，仔细解答，注意确定一个平面的条件．9.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．10.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．11.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．12.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．13.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．14.在空间直角坐标系O﹣xyz中，z=1的所有点构成的图形是．点P（2，3，5）到平面xOy的距离为．【答案】过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．【解析】空间直角坐标系中，z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，点P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故可算出点到平面的距离．解：z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，故z=1的所有点构成的图形是过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故点P（2，3，5）到平面xOy的距离为|5﹣0|=5故答案应依次为过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．点评：本题考点是空间直角坐标系，考查空间直角坐标系中点到面的距离的计算方法与空间中面的表示方法．15.点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是，关于平面yOz的对称点是，关于平面zOx的对称点是，关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是，关于z轴的对称点是．【答案】（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．【解析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．解：根据点的对称性，空间直角坐标系的八卦限，分别求出点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是（﹣3，2，1）；关于平面yOz的对称点是：（3，2，﹣1）；关于平面zOx的对称点是：（﹣3，﹣2，﹣1）；关于x轴的对称点是：（3，﹣2，1）；关于y轴的对称点是（3，2，1）；关于z轴的对称点是（3，﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．点评：本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．16.已知空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p= ，q= ．【答案】3；2【解析】根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据三个点共线，得到两个向量之间的共线关系，得到两个向量之间的关系，即一个向量的坐标等于实数倍的另一个向量的坐标，写出关系式，得到结果．解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），∴=（1，﹣1，3），=（p﹣1，﹣2，q+4）∵A，B，C三点共线，∴∴（1，﹣1，3）=λ（p﹣1，﹣2，q+4），∴1=λ（p﹣1）﹣1=﹣2λ，3=λ（q+4），∴，p=3，q=2，故答案为：3；2点评：本题考查向量共线，考查三点共线与两个向量共线的关系，考查向量的坐标之间的运算，是一个基础题．17.求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】见解析【解析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．点评：本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．19.试解释方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36的几何意义．【答案】在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．【解析】题中式子可化为：，只要利用两点间的距离公式看看它所表示的几何意义即可得出答案．解：在空间直角坐标系中，方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36即：方程表示：动点P（x，y）到定点（12，﹣3，5）的距离等于定长6，所以该方程几何意义是：在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．点评：本题主要考查了球的性质和数形结合的数学思想，是一道好题．20.与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选D．点评：本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．21.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，可由线面平行的条件进行证明；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β可由面面垂直的判定定理进行判断；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，本题可由面面垂直的性质进行判断；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断．解：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，a⊥b，a⊥α，可得出此b∥α或b⊂α，再b⊄α，可得b∥α由是真命题；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，是真命题；③若a⊥β，α⊥β，由图形即可得出a∥α或a⊂α，是正确命题；④由a⊥b，a⊥α可推出b∥α或b⊂α，再有b⊥β，可得出α⊥β，故是真命题．故选D．点评：本题考查了线面平行，面面垂直的判定及性质，重点考查了空间立体感知能力及运用相关知识组织判断的能力．22.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C两个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解：不共线的三点确定一个平面，故A不正确，四边形有时是指空间四边形，故B不正确，梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．23.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．24.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（2，﹣3，5）D．（3，0，4）【答案】A【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．解：到A项点的距离为=，到B项点的距离为=3到C项点的距离为=到D项点的距离为=5故选A点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．属基础题．25.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．26.若向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量平行的坐标平面是（）A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能【答案】B【解析】根据向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，设出向量的坐标，并用与坐标轴平行的单位向量表示出来，即可找到答案．解：设=（a，0，b），（a≠0，b≠0）∴（分别是x，z轴上的单位向量）∴与向量平行的坐标平面是xoz平面．故选B．点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系．27.在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．【答案】（0，0，）【解析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）点评：本题考查两点之间的距离公式，不是求两点之间的距离，而是应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个基础题．28.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．29.求到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点的坐标（x，y，z）满足的条件．【答案】6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．【解析】直接利用空间坐标系中两点间的距离公式得关于x，y的方程式，化简即可得所求的点的坐标（x，y，z）满足的条件．解：设P（x，y，z）为满足条件的任一点，则由题意，得，．∵|PA|=|PB|，平方后化简得：6x﹣4y﹣13=0．∴6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．30.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．【答案】见解析【解析】找出P点在横轴和纵轴上的投影，以这两个投影为邻边的矩形的一个顶点是点P在xOy坐标平面上的射影，过这个射影对应的点作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到要求的点．解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题的关键是能够想象出空间图形，是一个送分题目．。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(39)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④2. 设全集为 R ，A ={x ∣x 2−5x −6>0}，B ={x ∣−2<x <12}，则 ( ) A ． (∁R A )∪B =R B ． A ∪(∁R B )=R C ． (∁R A )∪(∁R B )=RD ． A ∪B =R3. 已知函数 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1，则满足 f (2x +1)<f (3x −2) 的实数 x 的取值范围是( ) A ． (−∞,0] B ． (3,+∞) C ． [1,3) D ． (0,1)4. 已知函数 f (x )={x 2+4a,x >01+log a ∣x −1∣,x ≤0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递增，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=x +3 恰好有两个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (34,1316]B ． (0,34]∪{1316}C ． [14,34)∪{1316}D ． [14,34]∪{1316}5. 已知 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，则 cos (α−β)= ( ) A ． −12B ． −√32C ． 12D ． 16. 已知函数 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m 区间 [0,1] 上有且只有一个零点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,√2]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,1]∪[3,+∞)7. 已知函数 f (x )=sin2x ，x ∈[a,b ]，则“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A ． [25,12)B ． (0,25]C ． (0,12)D ． (0,15]9. 函数 f (x )=lnx +2x −6 的零点一定位于区间 ( ) A ． (1,2) B ． (2,3) C ． (3,4) D ． (4,5)10. 已知 a =log 0.92019，b =20190.9，c =0.92019，则 ( ) A ． a <c <b B ． a <b <c C ． b <a <c D ． b <c <a二、填空题（共10题） 11. 已知函数 f (x )=3x −13x +1，若不式 f (kx 2)+f (2x −1)<0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是．12. 已知函数 f (x )=lg 1−x 1+x ，若 f (a )=b ，则 f (−a )= ．13. 已知一次函数 f (x ) 满足 f [f (x )]=4x +3，且 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (1)= ．14. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是．15. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为．16. 用二分法求函数 y =f (x ) 在区间 [2,4] 上零点的近似解，经验证有 f (2)f (4)<0．取区间的中点 x 1=2+42=3，计算得 f (2)f (x 1)<0，则此时零点 x 0∈ （填区间）．17. 函数 f (x )=2x 与 g (x )=x 2 的图象交点个数是个．18. 若某种参考书每本 2.5 元，则购书 x 本这种参考书的费用 y 关于 x 的函数表达式为．19.已知13≤k<1，函数f(x)=∣2x−1∣−k的零点分别为x1，x2（x1<x2），函数g(x)=∣2x−1∣−k2k+1的零点分别为x3，x4（x3<x4），则(x4−x3)+(x2−x1)的最小值为．20.已知函数f(x)=∣∣x+1x∣∣，给出下列命题：①存在实数a，使得函数y=f(x)+f(x−a)为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称；③若对任意非零实数a，f(x)+f(x−a)≥k都成立，则实数k的取值范围为(−∞,4]；④存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共10题）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)．(1) 当θ=π6时，求ab的值；(2) 设θ∈[π4,π2]，求b−a的取值范围．22.化简：(1) 1+sin(α−2π)sin(π+α)−2cos2(−α)；(2) sin(−1071∘)sin99∘+sin(−171∘)sin(−261∘)．23.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．24. 已知 α，β 为锐角，tanα=43，cos (α+β)=−√55． (1) 求 cos2α 的值； (2) 求 tan (α−β) 的值．25. 设函数 f (x )=∣x −a ∣，a ∈R ．(1) 当 a =2 时，解不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣；(2) 若关于 x 的不等式 f (x )≤4 的解集为 [−1,7]，且两正数 s 和 t 满足 2s +t =a ，求证：1s+8t ≥6．26. 已知 a ≥1，函数 f (x )=sin (x +π4)，g (x )=−sinxcosx −1+√2af (x )．(1) 若 f (x ) 在 [−b,b ] 上单调递增，求正数 b 的最大值； (2) 若函数 g (x ) 在 [0,3π4] 内恰有一个零点，求 a 的取值范围．27. 对于函数 f (x )=ax 2+(b +1)x +b −2，(a ≠0)，若存在实数 x 0，使 f (x 0)=x 0 成立，则称x 0 为 f (x ) 的不动点．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点；(2) 当 a =2 时，函数 f (x ) 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，求实数 b 的取值范围； (3) 若对于任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个不相同的不动点，求实数 a 的取值范围．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y =x 2−4 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 y =2x 的自变量组成的集合； (3) 不等式 3x ≥4−2x 的解集．29. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x ≤0 时，f (x )=x 2+4x ．(1) 求出 f (x ) 的解析式，并直接写出 f (x ) 的单调区间． (2) 求不等式 f (x )>3 的解集．30. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2016 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p =3−2x+1（其中 0≤x ≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），每一件产品的)元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．销售价格定为(4+20p(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即 1x 2=2−1x 1，当 x 1=12 时，2−1x 1=2−2=0，此时 1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2，即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】法一：由 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1可得当 x <1 时，f (x )=1；当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (1)=log 22=1，要使得 f (2x +1)<f (3x −2)，则 {2x +1<3x −2,3x −2>1, 解得 x >3，即不等式 f (2x +1)<f (3x −2) 的解集为 (3,+∞)．法二：当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (x )≥f (1)=1，要使 f (2x +1)<f (3x −2) 成立，需 {2x +1≥1,2x +1<3x −2 或 {2x +1<1,3x −2>1,解得 x >3．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】由函数的解析式可知函数在区间(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，函数y=∣x−1∣单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<a<1，且函数在x=0处满足：02+4a≥1+log a∣0−1∣，解得：a≥14，故14≤a<1，方程∣f(x)∣=x+3恰有两个不相等的实数解，则函数∣f(x)∣与函数y=x+3的图象有且仅有两个不同的交点，绘制函数∣f(x)∣的图象如图中虚线所示，令1+log a∣x−1∣=0可得：x=1±1a，由14≤a<1可知1+1a>1，1−1a≥−3，则直线y=x+3与函数∣f(x)∣的图象在区间(−∞,0]上存在唯一的交点，原问题转化为函数y=x+3与二次函数y=x2+4a(14≤a<1)在区间(0,+∞)上存在唯一的交点，很明显当4a≤3，即a≤34时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为(x0,x02+4a)，亦即(x0,x0+3)，由函数的解析式可得：yʹ=2x，故2x0=1，x0=12，则x0+3=72，故切点坐标(12,72)，从而x02+4a=72，即14+4a=72，a=1316．据此可得：a的取值范围是[14,34]∪{1316}．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】A【解析】由 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，两边平方相加得，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(√32)2=1，所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1，所以 cos (α−β)=−12．故选A ．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】由 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m =0，得 m 2x 2−2mx +1=√x +m ，令 g (x )=m 2x 2−2mx +1=(mx −1)2，ℎ(x )=√x +m ，问题等价于函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点．又函数 g (x )=(mx −1)2 的图象为经过点 (0,1)，对称轴为 x =1m 的抛物线，函数 ℎ(x )=√x +m 在区间 [0,1] 上单调递增，且图象经过点 (0,m ) 和 (1,1+m )． ①当 0<m ≤1 时，1m ≥1，所以函数 g (x )=(mx −1)2 在区间 [0,1] 上单调递减，又当 0<m ≤1 时，g (1)=(m −1)2<1，ℎ(1)=1+m >1，所以 g (1)<ℎ(1)，所以函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． ②当 m >1 时，0<1m<1，在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示．由图形可得，要使两个函数的图象有且只有一个交点，则需满足当 m >1 时，g (1)≥ℎ(1)，即 {m >1,m 2−3m ≥0,解得 m ≥3．综上，正实数 m 的取值范围是 (0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【解析】 f (x ) 的最小正周期 T =2π2=π，所以当 x ∈[a,b ] 时，f (x )∈[−1,1]，则 b −a ≥π2 恒成立，而当 a =0，b =π2时，a −b ≥π2，此时 f (x )∈[0,1]，故“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的必要而不充分条件．故B 选项符合题意．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，所以 {2a −1<0,0<a <1,log a 1≥2(2a −1)+a,即 {a <12,0<a <1,a ≤25,解得 0<a ≤25．【知识点】函数的单调性9. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】A【解析】因为 a <0，b >1，0<c <1，所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (−∞,−1)【解析】易证 f (x )=3x −13x +1 为奇函数，所以 f (kx 2)+f (2x −1)<0⇒f (kx 2)<f (1−2x )．因为 f (x )=3x −13x +1=1−23x +1，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，所以 f (kx 2)<f (1−2x )⇒kx 2<1−2x ⇒kx 2+2x −1<0 在 R 上恒成立，所以 {k <0,Δ=4+4k <0, 解得 k <−1，所以实数 k 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性12. 【答案】 −b【解析】由 1−x1+x >0，得 {1−x >0,1+x >0, 或 {1−x <0,1+x <0,所以 −1<x <1．故 f (x ) 的定义域为 (−1,1)，而 f (−x )=lg 1+x1−x =lg (1−x 1+x )−1=−lg 1−x1+x =−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数，所以 f (−a )=−f (a )=−b ．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 3【解析】根据题意，函数 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax 十b ，则 f [f (x )]=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x +3，则有 {a 2=4,ab +b =3.解得：{a =2,b =1, 或 {a =−2,b =−3.又由 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (x )=2x +1，故 f (1)=2+1=3．【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (−∞,−1e]∪[13e ,1e)【知识点】函数的零点分布15. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0．当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点；当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象16. 【答案】 (2,3)【解析】因为 x 1=3，且 f (2)⋅f (3)<0，所以 x 0∈(2,3)．【知识点】零点的存在性定理17. 【答案】 3【知识点】函数的零点分布18. 【答案】 y =2.5x ，x ∈N ∗【知识点】函数的解析式的概念与求法19. 【答案】log23【解析】f(x)=∣2x−1∣−k=0⇒2x1=1−k，2x2=1+k⇒x1=log2(1−k)，x2=log2(1+k)，g(x)=∣2x−1∣−k2k+1=0⇒2x3=k+12k+1，2x4=3k+12k+1⇒x3=log2k+12k+1，x4=log23k+12k+1，由（1）（2）得(x4−x3)+(x2−x1)=log23k+11−k =log2(41−k−3)，因为13≤k<1，故(x4−x3)+(x2−x1)≥log23．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】②③④【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由三角函数的定义，可得P(cosπ4,sinπ4)，Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))．当θ=π6时，Q(cos5π12,sin5π12)，即a=cos5π12，b=sin5π12，所以ab=cos5π12sin5π12=12×2×cos5π12sin5π12=12×sin5π6=14．(2) 因为Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))，所以a=cos(π4+θ)，b=sin(π4+θ)，由三角恒等变换的公式，化简可得：b−a=sin(π4+θ)−cos(π4+θ)=√2[sin(π4+θ)cosπ4−cos(π4+θ)sinπ4]=√2sinθ,因为θ∈[π4,π2]，所以1≤√2sinθ≤√2．即b−a的取值范围为[1,√2]．【知识点】任意角的三角函数定义、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) −cos2a．(2) 0．【知识点】诱导公式23. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性24. 【答案】(1) 因为 tanα=43，tanα=sinαcosα，所以 sinα=43cosα，因为 sin 2α+cos 2α=1，所以 cos 2α=925，因此，cos2α=2cos 2α−1=−725．(2) 因为 α，β 为锐角，所以 α+β∈(0,π)，因为 cos (α+β)=−√55，所以 sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．因此 tan (α+β)=−2，因为 tanα=43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−247，因此tan (α−β)=tan [2α−(α+β)]=tan2α−tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=−211.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式25. 【答案】(1) 当 a =2 时，不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣，可化为 ∣x −2∣+∣2x −5∣≥6． ① x ≥2.5 时，不等式可化为 x −2+2x −5≥6，所以 x ≥133；② 2≤x <2.5，不等式可化为 x −2+5−2x ≥6，所以 x ∈∅； ③ x <2，不等式可化为 2−x +5−2x ≥6，所以 x ≤13，综上所述，不等式的解集为 (−∞,13]∪[133,+∞)．(2) 不等式 f (x )≤4 的解集为 [a −4,a +4]=[−1,7]，所以 a =3，所以 1s +8t =13(1s +8t )(2s +t )=13(10+ts +16s t)≥6，当且仅当 s =12，t =2 时取等号．【知识点】绝对值不等式的求解、均值不等式的应用26. 【答案】(1) 由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z．因为f(x)在[−b,b]上单调递增，令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，所以{b≤π4,−b≥−3π4,解得b≤π4，可得正数b的最大值为π4．(2) g(x)=−sinxcosx+√2af(x)−1=−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1，设t=sinx+cosx+√2sin(x+π4)，当x∈[0,3π4]时，t∈[0,√2]．它的图形如图所示．又sinxcosx=12(t2−1)，则−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1=12t2+at−12，t∈[0,√2]，令ℎ(t)=−12t2+at−12，则函数g(x)在[0,3π4]内恰有一个零点，转化为ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点．①当t=0时，ℎ(t)无零点．②当t=√2时，由√2a−32=0，得a=3√24，把a=3√24代入−12t2+at−12=0中，得−12t2+3√24t−12=0，解得t1=√2，t2=√22，不符合题意．③当0<t<√2时，若Δ=a2−1=0，得a=1，此时t=1，由t=√2sin(x+π4)的图象可知不符合题意；若Δ=a2−1>0，即a>1，设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，要使ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点，则两同时为正，且一个根在(0,1)内，另一个根在(√2,+∞)内，所以{ℎ(1)>0,ℎ(√2)>0,解得a>3√24．综上，a的取值范围为(3√24,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2，所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2，由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根，设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−120,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立，所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布28. 【答案】(1) {y∣ y ≥−4}． (2) {x∣ x ≠0}． (3) {x∣ x ≥45}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 当 x >0 时，−x <0，f (−x )=(−x )2+4(−x )=x 2−4x ，因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (x )=−f (x )=−x 2+4x ，所以 f (x )={x 2+4x,x ≤0−x 2+4x,x >0，f (x ) 的单调减区间为 (−∞,−2) 和 (2,+∞)，单调增区间为 (−2,2)．(2) 当 x ≤0 时，x 2+4x >3，即 x 2+4x −3>0，即 x <−2−2√7 或 x >−2+2√7，因为 x ≤0，所以 x <−2−2√7，当 x >0 时，−x 2+4x >3，即 x 2−4x +3<0，即 (x −1)(x −3)<0，解得 1<x <3．综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2−2√7)∪(1,3)．【知识点】函数的奇偶性、函数不等式的解法30. 【答案】(1) 由题意知，t=(4+20p)p−x−(10+2p)，将p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x(0≤x≤a)．(2) y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13，当且仅当4x+1=x+1，即x=1时，上式取等号，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，y=17−(4x+1+x+1)在[0,a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型。

2023-2024学年山东省济宁市高一数学人教A版一元二次函数强化训练-3-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省济宁市高一数学人教A版一元二次函数强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）9-91. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（）A .B .C .D .2. 已知，则的最大值为（）A .B .C .D .3. 若对任意实数x不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A . B . C .D .b＜c＜a a＜b＜c c＜a＜bc＜b＜a 4. 设a=50.3 ， b=0.35 ， c=log 50.3+log 52，则a，b，c的大小关系是（）A .B .C .D .充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件5. 是的（）A .B .C .D .6. 设函数若关于的方程有四个实根，且，则的最小值为（）b＞c＞a b＞a＞c a＞b＞c c＞b＞a 7. 已知a= ， b=20.3 ， c=0.30.2 ，则a，b，c三者的大小关系是（）A . B . C . D .8. 不等式的解集为（）A .B .C .D .或或 9. 已知，，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .10. 已知，，则，的大小关系是（）．A .B .C .D .11. 设，则（）A .B .C .D .49101212. 已知，，且，则的最小值为（）A .B .C .D .13. 已知正数，满足，则的最小值为．14. 已知，则的最小值为 .15. 已知，，，，则是的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.16. 已知，则的最小值为，此时．(1) 求的最大值；(2) 从下面①②两个结论中任意选择一个证明，如果两个都证明，按第一个计分.①；②.18. 已知集合， .(1) 求集合、；(2) 若，求实数的取值范围.19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中.(1) 求函数和的解析式；(2) 若不等式在恒成立，求实数的取值范围.20. 有一批材料，可以建成长为240米的围墙.如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.21. 求下列函数的最值(1) 若正数，满足，求的最小值．(2) 求函数的最小值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.10.11.12.13.14.15.16.17.(2)18.(1)19.(1)(2)20.(2)第 11 页共 11 页。

高一数学必修一步步高分层测评与训练答案

高一数学必修一步步高分层测评与训练答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“ ”或“ ”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若A {x|x2 x}，则 1_______A；（3）若B {x|x2 x 6 0}，则3_______B；（4）若C {x N|1 x 10}，则8_______C，9.1_______C．1．（1）中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．2 （2） 1 A A {x|x x} {0,．1 }2 （3）3 B B {x|x } x 6 0} { 3．,2（4）8 C，9.1 C 9.1 N．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2 9 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x 5 3的解集．22．解：（1）因为方程x 9 0的实数根为x1 3,x2 3，所以由方程x 9 0的所有实数根组成的集合为{ 3,3}；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；y x 3y 2x 6 x 1 y 42 （3）由，得，即一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点为(1,4)，1/29所以一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由4x 5 3，得x 2，所以不等式4x 5 3的解集为{x|x 2}．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{a,b,c}的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；取一个元素，得{a},{b},{c}；取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；取三个元素，得{a,b,c}，即集合{a,b,c}的所有子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．2．用适当的符号填空：（1）a______{a,b,c}；（2）0______{x|x2 0}；（3） ______{x R|x2 1 0}；（4）{0,1}______N；（5）{0}______{x|x2 x}；（6）{2,1}______{x|x2 3x 2 0}．2．（1）a {a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素；（2）0 {x|x2 0} {x|x 0 }22 {；0}22（3） {x R|x 1 0} 方程x 1 0无实数根，{x R|x 1 0} ；（4）{0,1}（5）{0}N （或{0,1} N） {0,1是自然数集合N的子集，也是真子集； }{x|x x} （或{0} {x|x x}） {x|x x} 222{0,；1 }22（6）{2,1} {x|x 3x 2 0} 方程x 3x 2 0两根为x1 1,x2 2．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）A {1,2,4}，B {x|x是8的约数}；（2）A {x|x 3k,k N}，B {x|x 6z,z N}；（3）A {x|x是4与10的公倍数,x N }，B {x|x 20m,m N }．2/293．解：（1）因为B {x|x是8的约数} {1,2,4,8}，所以AB；（2）当k 2z时，3k 6z；当k 2z 1时，3k 6z 3，即B是A的真子集，BA；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设A {3,5,6,8},B {4,5,7,8}，求A B,A B．1．解：A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {5,8}，A B {3,5,6, 8}{4,5 ,7,8}{3,．42．设A {x|x2 4x 5 0},B {x|x2 1}，求A B,A B．2．解：方程x2 4x 5 0的两根为x1 1,x2 5，方程x2 1 0的两根为x1 1,x2 1，得A { 1,5},B { 1,1}，即A B { 1},A B { 1,1,5}．3．已知A {x|x是等腰三角形}，B {x|x是直角三角形}，求A B,A B．3．解：A B {x|x是等腰直角三角形}，A B {x|是． x等腰三角形或直角三角形}4．已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，A {2,4,5},B {1,3,5,7}，B),(求A (痧UA) ( UB)． U。

高一数学必修三课时分层训练答案

高一数学必修三课时分层训练答案1、22.若+3x+m=0的一个根为2，则m=（）[单选题] *A.3B.10C.-10(正确答案)D.202、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q 的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)3、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数4、3．下列命题中，为真命题的是( ) [单选题] *A．6的平方根为±3B．若x2>0，则x>0C．无理数是无限小数(正确答案)D．两点之间直线最短5、28．下列计算结果正确的是（）[单选题] *A．（a3）4＝a12(正确答案)B．a3?a3＝a9C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（ab）2＝ab26、15．已知命题p:“?x∈R，ex－x－1≤0”，则?p为（）[单选题] * A．?x∈R，ex－x－1≥0B．?x∈R，ex－x－1>0C．?x∈R，ex－x－1>0(正确答案)D．?x∈R，ex－x－1≥07、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] * A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣48、已知点A（4，6），B（－4，0），C、（－1，－4），那么（）[单选题] *A、AB⊥ACB、AB⊥ACCAB⊥BC(正确答案)D、没有垂直关系9、13．设x∈R，则“x3（x的立方）>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] *A．充分而不必要条件(正确答案)B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+311、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定12、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.113、若10?＝3,10?＝2，则10的值为( ) [单选题] *A. 5B. 6(正确答案)C. 8D. 914、4.一个数是25，另一个数比25的相反数大- 7，则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 5715、下列各角中与45°角终边相同的角是（）[单选题] *A. 405°(正确答案)B. 415°C. -45°D. -305°16、13．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是() [单选题] *A．(0,4)→(0,0)→(4,0)B．(0,4)→(4,4)→(4,0)C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)(正确答案)D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)17、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A．{－3,3}B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}18、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个19、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)20、5．在下列四点中，与点所连的直线不与y轴相交的是（）．[单选题] * A．（-2，3）B．（2，-3）C（3，2）D（-3，2）(正确答案)21、下列函数中奇函数是（）[单选题] *A、y=2sin x(正确答案)B、y=3sin xC、y=2D、y=22、1.计算| - 5 + 3|的结果是[单选题] *A. - 2B.2(正确答案)C. - 8D.823、16.5-（-3）-2的计算结果为（）[单选题] *A.3B.4C.0D.6(正确答案)24、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}25、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对26、7．已知集合A={－13，12}，B={x|ax＋1=0}，且B?A，则实数a的值不可能为( ) [单选题] *A．－3(正确答案)B．－1/12C．0D．1/1327、4. 下列命题中，是假命题的是（）[单选题] *A、两点之间，线段最短B、同旁内角互补(正确答案)C、直角的补角仍然是直角D、垂线段最短28、-120°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限29、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-230、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] *A．±8(正确答案)B．﹣3或5 C．﹣3 D．5。

【高一】高一数学上册第三章课堂练习题(附答案)

【高一】高一数学上册第三章课堂练习题（附答案）一、1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是( )A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5)[答案] A[解析] 设f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0，f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0∴f(0.1)f(0.2)<0，故选A.2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2B．奇数C．偶数D．至少是2[答案] D[解析] 由f(a)f(b)<0 知y＝f(x)在(a，b)上至少有一实根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一实根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2实根．3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案] B[解析] f(－1)＝1e－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一实数解，故选B.4．某企业2021年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2021年年度产值的月平均增长率为( )A.pp－1B.11p－1C.11pD.p－111[答案] B[解析] 设1月份产值为a，增长率为x，则ap＝a(1＋x)11，∴x＝11p－1，故选B.5．(09?福建文)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是( )A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝xD．f(x)＝ex[答案] A[解析] 函数y＝1x的定义域为(0，＋∞)，故选A.6．(09?宁夏海南文)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7[答案] C[解析] 由题意，可画下图：f(x)的最大值在A点，由y＝x＋2y＝10－x，得x＝4y＝6，∴f(x)的最大值为6.7．对任意实数x＞－1，f(x)是2x，log12(x＋1)和1－x中的最大者，则f(x)的最小值( )A．在(0,1)内B．等于1C．在(1,2)内D．等于2[答案] B[解析] 在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log12(x＋1)，y＝1－x的图象，由条件知f(x)的图象是图中实线部分，显见f(x)的最小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得．∴最小值为f(0)＝1.8．(江门一中2021～2021高一期末)设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝( )A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析] 由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B.二、题9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡．[答案] 31.2[解析] 2002年，30×1＝30万只，2021年，26×1.2＝31.2万只，2021年，22×1.4＝30.8万只，2021年，18×1.6＝28.8万只，2021年，14×1.8＝25.2万只，2021年，10×2＝20万只．10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为________．[答案] {0,1,9}[解析] 当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9.三、解答题11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)，可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x 表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？[解析] (1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b中，得400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1 000.∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得s＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．12．2021年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义．[分析] 关键是理解年递增率的意义2021年人口数为13(亿)经过1年，2021年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)经过2年，2021年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．经过3年，2021年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)．[解析] (1)由题设条件知，经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.(2)∵此问题以年作为单位时间，∴此函数的定义域是N*.(3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数，∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函数，感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高一数学必修第一册2019(A版)_《集合间的基本关系》提升训练

《集合间的基本关系》提升训练一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）1.设{|26},{|23}A x x B x a x a ==+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.13aB.3aC.1aD.13a <<2.集合{|32,},{|31,},{|61,}M x x k k P y y n n S z z m m ==-∈==+∈==+∈Z Z Z 之间的关系是（）A.S P MB.S P M =C.S P M =D.P M S =3.满足{}{,,,}a M a b c d ⊆的集合M 共有（）A.6个B.7个 C8个 D.15个4.设{}{}2*2*|1,,|45,M x x a a P y y b b b ==+∈==-+∈N N ，则下列关系正确的是（）A.M P =B.M PC.P MD.M 与P 没有公共元素5.已知集合{}2|20,A x ax x a a =++=∈R ，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（）A.1B.1-C.0或1D.01±或6.（多选）已知集合{}2|1M x x ==，N 为自然数集，则下列表示正确的是（）A.1M ∈B.{1,1}M =-C.M ∅⊆D.M ⊆NE.1M -∈二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）7.设,a b ∈R ，集合{,1}{0,}a a b =+，则b a -=__________.8.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是“伙伴关系”集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为___________.三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）9.已知{|||4},{1,2,}A x x a B b =-==.（1）是否存在实数a ，使得对于任意实数b ，都有A B ⊆？若存在，求出相应的a ；若不存在，说明理由；（2）若A B ⊆成立，求出相应的实数对(,)a b .10.已知集合{}()}22|30,{|(1)340P x x x b Q x x x x =-+==+⋅+-=.（1）若4b =，是否存在集合M 使得?PM Q ⊆若存在,求出所有符合题意的集合M ；若不存在，请说明理由；（2）P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围；若不能，请说明理由.参考答案1.答案：C解析：{|26},{|23}A x xB x a x a==+，且B A⊆, ∴当B=∅时，即2 3a a>+，解得3a>；当B≠∅时，32, 22,36, a a aa+⎧⎪⎨⎪+⎩解得13a.综上，a的取值范围是1a.2.答案：C解析：{|32,}{|3(1)1,}M x x k k x x k k==-∈==-+∈Z Z,令1,t k k=-∈Z，31,x t t∴=+∈Z,{|31,}P y y n n==+∈Z,M P∴=.61321,z m m m=+=⨯+∈Z,又2m是偶数，偶数集是整数集的真子集,S P∴.综上所述，S P M=，故选C.3.答案：B解析：依题意知a M∈，因为{,,,}M a b c d，所以M中必含有元素a，且可能含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{}b c d，，的真子集的个数，有3217-=（个）.4.答案：B解析：{}{}2*2*|1,{2,5,10,},|45,M x x a a P y y b b b ==+∈===-+∈=N N {}2*|(2)1,{1,2,5,10,},y y b b M P =-+∈=∴N .5.答案：D 解析：因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 中只有一个元素，所以方程220()ax x a a ++=∈R 仅有一个根或有两个相等的实数根.当0a =时，方程为20x =，此时{}0A =，符合题意.当0a ≠时，由2240a a ∆=-⋅⋅=，即21a =，得1a =±.此时{}{}11A A =-=或，符合题意.综上所述，01a =±或.故选D.6.答案：ABCE解析：集合{}2|1{1,1}M x x ===-，N 为自然数集，在A 选项中，1M ∈，正确；在B 选项中，1{}1M =-，，正确；在C 选项中，空集是任何集合的子集，正确；在D 选项中，M 不是N 的子集，故D 错误；在E 选项中，1M -∈，正确.二、填空题7.答案：1 解析：集合{,1}{0,}a a b =+，∴01a a b =+=，，解得01a b ==，.1b a ∴-=.8.答案:15解析：设互为倒数的两个数为一组，则集合M 中的元素共有4组，13和3，12和2，1-，1分别单独作为一组由题意可知，集合M 的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合将由以上四组数字组合形成，因此由集合及其子集数目关系可知，符合题意的集合个数为42115-=.9.答案：见解析解析：（1）不存在理由：集合4{}4A a a =-+，，2{}1B b =，，，均为有限集. 若对任意的实数b ，都有A B ⊆，则只有当1，2也是A 中的元素时，才有可能.所以41,42a a -=⎧⎨+=⎩或41,42,a a +=⎧⎨-=⎩ 但两种情况都不可能，所以这样的实数a 不存在.（2）若A B ⊆成立，则由（1）可知41,4a a b -=⎧⎨+=⎩或42,4a a b-=⎧⎨+=⎩ 或4,41a b a -=⎧⎨+=⎩或4,4 2.a b a -=⎧⎨+=⎩解得5,9a b =⎧⎨=⎩或6,10a b =⎧⎨=⎩ 或3,7a b =-⎧⎨=-⎩或2,6,a b =-⎧⎨=-⎩ 故所有的实数对(,)a b 为(5,9),(6,10),(3,7),(2,6)----.10.答案：见解析解析：（1）若4b =，则P =∅，因为(){}2|(1)340{4,1,1}Q x x x x =++-==--, 所以符合题意的集合M 共有7个，分别是{4},{1},{1},{4,1}----，{4,1},{1,1}--，{4,1,1}--. （2）当P =∅时，P 是Q 的一个子集，由0∆<，解得94b >. 当P =∅必时，{4,1,1}Q =--，可以通过假设P 为Q 的子集，逐一验证来求得b 的值. 当1P -∈时，2(1)3(1)0b --⨯-+=，解得{}24,|340{41}b P x x x =-=--==-，4,Q P ∉∴不是Q 的子集；同理，当4P -∈时，{7,4}P =-，也不是Q 的子集；当1P∈时，{1,2}P=，也不是Q的子集.综上可知，若P能成为Q的一个子集，则b的取值范围为9|4b b⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.。

高一数学复习知识点讲解专题训练6---充分条件与必要条件

A．p：ab≠0，q：a≠0 B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0 且 b≥0 C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q： a> b 答案 A 解析根据充分条件的概念逐一判断． 3．“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分又不必要条件答案 C 4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则 a 的取值范围是________．答案 a≤1 解析因为 x>1⇒x>a，所以 a≤1. 5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用 “充分”“必要”填空)．答案必要充分解析由于 x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝ 2x”的充分条件．
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(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0. 解 (1)由于 q⇒p，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件． (2)由于 q⇒p，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件．
三、充分ห้องสมุดไป่ตู้件与必要条件的应用
例 3 已知 p：实数 x 满足 3a<x<a，其中 a<0；q：实数 x 满足－2≤x≤3.若 p 是 q 的充
1．若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件答案 B 解析因为 p 是 q 的充分条件，所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件． 2．下列命题中，p 是 q 的充分条件的是( )
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答案 A
解析 B 项中，x2＝1⇒x＝1 或 x＝－1；C 项中，当 x＝y<0 时， x， y无意义；D 项中，当 x<y<0⇒x2>y2，所以 B，C，D 中 p 不是 q 的充分条件．

高一数学课堂训练7-6

第7章第6节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：A解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，综上①②符合题意．2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →可表示为(用a ，b ，c 表示)．( )A.12a ＋14b ＋14cB.12a ＋13b －12cC.13a ＋14b ＋14cD.13a －14b ＋14c 答案：A解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 3. 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则点A 在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．不能确定答案：A解析：由AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0得AB →·AC →－AC →·AD →＝AC →·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，所以AC ⊥DB ，同理可得AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，所以A 点在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的垂心．4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A解析：如图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 5. [2012·广东揭阳一模]已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A. －2B. －143C. 145D. 2答案：D解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.6. [2012·海淀一模]在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足M Q →＝λMN →的实数λ的值有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C解析：建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为(x ＋12，y ＋12，1)，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中真命题是__________．答案：③解析：①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB→＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上M O →，则13(M O →＋OA →)＋13(M O →＋OB →)＋13(M O →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋M C →＝0，MA →＝－MB →－M C →，则MA →与MB →，M C →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．8．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．答案：120°解析：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA→|AB →||CA →|＝2－3－614×14＝－714＝－12， ∴〈AB →，CA →〉＝120°，即θ＝120°.9. 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于__________．答案：657解析：由于a ，b ，c 三个向量共面，所以存在实数m ，n 使得c ＝ma ＋nb ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)EF→·FC 1→. 解：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.11. 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·(AC →－AB →) ＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC→|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.故OA →，BC →夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.12．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a|，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高一数学课堂训练6-1

第6章第1节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 若1a <1b<0，给出下列不等式： (1)a ＋b <ab ；(2)|a |>|b |；(3)a 2，则正确不等式的序号是( ) A. (1)(2)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(4)答案：D解析：由1a <1b<0可得a <0，b <0，a >b ，所以a ＋b <ab 成立，|a |>|b |不成立，a 0，a b >0，所以b a ＋a b >2b a ·a b ＝2，故b a ＋a b >2成立． 2. 已知a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a答案：D解析：由－1ab 2>a ，故选D.3. 已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c ab ，则有( ) A. P <M <NB. M b >0，且ab ＝1，所以a >1,02ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以log c a <log c ab <log c b ，即P <M <N ，选A.4. [改编题]已知a >b ≥2，对于下列不等式；①b 2>3b －a ；②1＋4ab >2(1a ＋1b)；③ab >a ＋b ；④log a 3>log b 3，其中正确的有( )A. ②④B. ①②C. ③④D. ①③ 答案：D解析：由a >b ≥2知，log 3a >log 3b >0，由对数的换底公式知log a 3<log b 3，故④不正确，排除A 、C.而对于②，当b ＝2时，1＋4ab ＝1＋2a ，2(1a ＋1b )＝1＋2a ，即1＋4ab ＝2(1a ＋1b )，所以②不正确，排除B.故选D.5. 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打a 折销售，第二次打b 折销售；乙方案是第一次打b 折销售，第二次打a 折销售；丙方案是两次都打a ＋b 2折销售，且a ≠b .则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙方案降价较多B ．乙、丙方案降价较多C ．甲、丙方案降价较多D ．三种方案降价一样多答案：A解析：甲方案、乙方案降价后的价格都是ab 折，而丙方案降价后的价格是(a ＋b 2)2折，因为(a ＋b 2)2－ab ＝(a ＋b )2－4ab 4＝(a －b 2)2>0，所以(a ＋b 2)2>ab ，所以甲、乙方案降价较多． 6. [2012·广州一模]已知a ，b ∈R 且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( )A. a b>1 B. a 2>b 2 C. lg(a －b )>0D. (12)a <(12)b 答案：D解析：令a ＝2，b ＝－1，则a >b ，a b ＝－2，故a b>1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2>b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )<0，排除C ；f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∵a >b ，∴f (a )<f (b )，即(12)a <(12)b ，故选D. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. 若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案：(－3,3)解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.8. 下列四个不等式：①a <01)，设f (x )＝bx 2－2bx ＋1b，则f (a )与f (c )的大小关系为__________．答案：f (a )<f (c )解析：易知1<a <2，c ＝log m (m 2＋0.3)>log m m 2＝2，∴1<a <2<c .∵b ＝0.32>0，∴f (x )＝bx 2－2bx ＋1b ＝b (x －1)2＋1b－b 在[1，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (c )．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知－1<a ＋b <3且2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，得x ＝52，y ＝－12. ∴－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， ∴－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132. 11．设实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，试确定a 、b 、c 的大小关系．解：∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .又∵b ＋c －(c －b )＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2.∴b －a ＝1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34≥34>0，∴b >a . 综上所述，c ≥b >a .12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即为a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式f (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式f (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

弧度制及其与角度制的换算高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)

【解析】设30°角的弧度数为，则

30
=
180

所以 = ,即30° = .
6
6
对应终边为右图中射线OA.

，60°
4

.
3
类似地，可得45° =
=
对应的终边分别为右图中射线OB,OC.
y
O

3
C

4
B
6
A
x
记住一些常见的角度与弧度制的换算：
度
弧度
注:
0º 30º 45º 60º 90º 120º
r
1rad
r
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为的弧所对
的圆心角为 ,则

弧长公式：
=
=

探究点3：角度制与弧度制的换算
思考：（1）按照定义，一个圆周对应的弧度数是多少？
（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？ 57 18 1 rad

=∙

，

可以看出，等式右端不包含半径，表示弧长与半径的比值与半径
无关，只与α的大小有关.当为定值时，这个比值也是定值.
【结论】可以用圆的半径作单位去度量弧.
探究点2：弧度制的定义：
我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度的角，弧度记作rad.
= =
=
1

2

3
=

，所以
3
50
∙ 50= (米)
3
1 50
1250

定义域问题专项训练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含解析)

高一数学定义域问题专项训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知函数()f x ()()2f x f x -+的定义域为（） A ．[)0,∞+ B ．[]4,0-C ．[]0,2D ．[]0,42．函数()ln 1x f x += ）A ． (),1-∞B ． ()1,1-C ．()(),11,-∞+∞D ． (,1]-∞3．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)∞∞--⋃+4．函数()f x ） A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．()1,+∞D ．()0,25．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤6．设定义在R 上的函数()f x 满足()02f =，且对任意的x 、R y ∈，都有()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+，则y =A ．[)2,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题7．给出下列四个结论，其中正确的是（）A ．函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．函数()f x ()g xC ．函数()2f x +的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()2f x =的最小值为28．下列选项正确的是（）A ．()12f x x =-的定义域是[)()1,22,-+∞B ．若函数()21f x -的定义域为(]1,3-，则函数()31f x +的定义域为(]1,7C ．函数()22f x x x =-+在[]2,1-的值域为[]28,D ．函数2y x =+17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值10．下列说法正确的是（）A ．函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+ B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C ．函数()1f x x x =-的图象关于坐标原点对称D ．函数()f x 满足()()21f x f x x --=-，则()213f x x =+ 三、填空题 11．已知函数()()2log 124f x x =+-，则函数的定义域为_______． 12．函数的值域是________．13．已知函数()23f x -的定义域为[]1,4-，设函数()F x =()F x 的定义域是______.14．函数()1f x x =-的定义域为[]0,4，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域为______．15．函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是_________．四、解答题(共0分) 16．求下列函数的定义域：(1) ()01y x =-(2)y =17．已知函数()y f x =的表达式()f x ()y f x =的定义域．18．已知函数()()()22lg 111,R f x a x a x a ⎡⎤=-+-+∈⎣⎦．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由()24022f x x x -≥⇒-≤≤，于是有2202222x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨-≤-≤⎩，故选：C 2．B【分析】根据二次根式、分母不为零的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】由函数的解析式可知101110x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，故选：B 3．B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-， ①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意； ①当0a >时，12{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a ≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）①当0<a 时，21{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a ≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B. 4．A【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案【详解】要使()f x =有意义，只需240x ->，解得2x >，故函数()f x =的定义域是()2,+∞故选：A5．B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，，因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠ ，即15,x -<≤ 故选：B 6．A【分析】通过赋值法求出函数()y f x =解析式，然后令()0f x ≥，即可求出函数y =定义域.【详解】令0x y ==，得()()()2102033f f f =-+=，令1y =，则()()()()132123323f x f x f x f x x +=--+=--，①令1x =，则()()()()132231f y f y f y f y +=--+=+，即()()11f x f x +=+，① 联立①①得()()()()132311f x f x x f x f x ⎧+=--⎪⎨+=+⎪⎩，解得()2f x x =+，对于函数y =20x +≥，解得2x ≥-.因此，函数y =[)2,-+∞，故选A.【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A ，要使函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，则有1sin 02x ->，即1sin 2x >，由正弦函数的图像可知：π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈，所以函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈，故选项A 错误；对于B ，因为函数()f x =[1,1]-，函数()g x =义域也是[1,1]-，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数()f x =与()g x B 正确；对于C ，因为函数()2f x +的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，则224x ≤+≤，由224x ≤≤2x ≤≤或2x -≤≤()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦，故选项C 正确；对于D ，因为函数()22f x ==(2)t t ≥，则函数可化为1(2)y t t t=+≥，因为函数1y t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以15222y ≥+=，也即函数()252f x ≥，所以函数()2f x =的最小值为52，故选项D 错误，故选：BC . 8．AD【分析】对于A 根据被开偶次根式满足不小于零，分母不等于零求解. 对于B 根据抽象函数的定义域求解,对于C 先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解，对于D ，把根式换元转化成二次函数求解.【详解】A 函数()12f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩则x ∈[)()1,22,-+∞所以函数()12f x x -的定义域是[)()1,22,-+∞，故A 正确.B 若函数()21f x -的定义域为(]1,3-,所以满足(](]1,3,213,5x x ∈--∈-又因为函数()21f x -与函数()31f x +为同一对应法则，所以(]44313,5,33x x ⎛⎤+∈-∴∈- ⎥⎝⎦，所以B 不正确.C 因为函数()[]22172,2,124f x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈- ⎪⎝⎭，所函数()min 17,24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()2max 22228f x f =-=---+=所以函数()[]22,2,1f x x x x =-+∈-的值域为7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故C 不正确.D 令0t t =≥，则21x t =-，所以2y x =()[)22117212,0,48y t t t t ⎛⎫=-+=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，即当14t =，y 有最大值为178所以函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以D 正确.故选：AD9．ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确； B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确； C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x =图象向右平移2个单位得到，所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确；对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．10．AC【分析】求出函数的定义域可判断A ；由同一函数的定义可判断B ；由奇偶性可判断C ；由方程组法求出()f x 可判断D 【详解】对于A ：由302x x -≥+解得3x ≥或<2x -，所以函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+，故A 正确；对于B ：()2x f x x=的定义域为()(),00,∞-+∞，()g x x =的定义为(),-∞+∞，定义域不相同，所以()2x f x x =和()g x x =不是同一个函数，故B 错误；对于C ：()1f x x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，所以()1f x x x =-为奇函数，所以函数()1f x x x=-的图象关于坐标原点对称，故C 正确；对于D ：因为函数()f x 满足()()21f x f x x --=-，所以()()21f x f x x --=--，由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩解得()113f x x =+，故D 错误；故选：AC11．()5,3-【分析】根据具体函数的定义域求法考虑限制条件即可求解. 【详解】函数()()2log 124f x x =-，要使解析式有意义需满足：501240x x +>⎧⎨->⎩，解得53x x >-⎧⎨<⎩，53x ∴-<<，即函数()f x 的定义域为()5,3-，故答案：()5,3-. 12．［－4，0］【详解】试题分析：由题意得2sin()2[4,0]6y x π=--∈-考点：三角函数值域13．(]1,3【分析】由()23f x -的定义域得出5235x --，进而由25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩得出所求.【详解】因为函数()23f x -的定义域为[]1,4-，所以14x -，5235x --即25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩，解得13x <≤故函数()12f x F x -=则函数()F x 的定义域是(]1,3故答案为：(]1,3 14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由()f x 定义域可求出()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.【详解】由题意可知，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦要有意义，则需20404x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，即02x ≤≤，即函数定义域为[0,2]，又2221(1)22y x x x x =-+-=-，对称轴方程为12x =，所以当12x =时，min 12y =-，当2x =时，max 4y =，所以函数值域为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．[3,1]-【分析】根据x R ∈，得到[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，从而求得函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域.【详解】因为x R ∈，所以4x R π+∈，所以[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]2cos 13,14π⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭y x ，所以函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是[3,1]-.故答案为：[3,1]-【点睛】本题主要考查余弦函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．(1)()()1,11,-+∞(2)[1,0)(0,1]-⋃【分析】根据函数的解析式，列出自变量需满足的不等式组，即可求得答案.【详解】（1）函数0()1y x =-1020110x x x -≠⎧⎪⎪≥⎨+⎪+≠⎪⎩,解得1x >- ，且1x ≠，所以这个函数的定义域为()()1,11,-+∞．（2）函数y =2201010x x x ⎧--≥⎪+≥⎨≠确定,解不等式组，得2110x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩,即[1,0)(0,1]x ∈-⋃,所以函数y =[1,0)(0,1]-⋃．17．答案见解析【分析】解不等式22320x ax a -+≥，可得函数()y f x =定义域.【详解】注意到()()2232020x ax a x a x a -+≥⇔--≥当0<a 时，()()2202，a a x a x a x a <--≥⇒≤或x a ≥，得函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，()()2200R x a x a x x --≥⇔≥⇔∈，得函数定义域是R ；当0a >时，()()220，a a x a x a x a >--≥⇒≤或2x a ≥，得函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．综上：当0<a 时，函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，函数定义域是R ；当0a >时，函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．18．(1)5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[－53，－1]【分析】（1）当210a -=时，直接求出()f x 的定义域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数y =()()22111a x a x -+-+的图象开口向上，与x 轴没有交点，再根据二次函数知识可求出结果.（2）当210a -=时，直接求出()f x 的值域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数()()()22111t x a x a x =-+-+的图象开口向上，且与x 轴有交点，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，则()()221110a x a x -+-+>在R 上恒成立．①当210a -=时，a =±1，若1a =，则1＞0恒成立，()f x 的定义域为R ，符合题意；若1,210a x =--+>，得12x <，()f x 的定义域为1(,)2-∞．不符合题意. ①当210a -≠时，则有()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩，解得53a <-或1a >，综上所述：实数a 的取值范围为5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）记()()()()22111,0t x a x a x t x =-+-+>的解集为D ，即为函数f （x ）的定义域．因为()()lg f x t x =的值域为R ，则对x D ∀∈时，函数f （x ）的值域为（0，＋∞）． ①当210a -=时，1a =±．若()1,1a t x ==，()0f x =，()f x 的值域为{0}，不符合题意；若()1,21a t x x =-=-+，1(,)2D =-∞，()f x 的值域为(0,)+∞，符合题意．①当210a -≠时，则有：()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩，解得513a -≤<-，综上所述：实数a 的取值范围为[－53，－1]。

2021-2022学年上海高一数学下学期满分全攻略第06讲解三角形的实际应用(考点讲与练)练习版

第06讲解三角形的实际应用(核心考点讲与练)1．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角a=bsin A bsin A<ab 时有一解. 2．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．3. 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.考点一：距离、角度求解问题【例1】（2020·上海高一课时练习）如图所示，AC 是一山坡，它与地面所成的角为75，B 为山坡AC 上一点，它和点A 的距离是200m ，从A 和B 测得平地上点D 的俯角分别为60和30，求点C 和点D 之间的距离.BAA BC【例2】．（2020·上海市沪新中学高一期中）如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角60∠=，C点MAN︒的仰角45MCA︒∠=.已知山高∠=；从C点测得60MAC︒∠=以及75CAB︒=，求山高MN.BC m100【例3】（2021·上海市奉贤中学高一期中）★★☆☆☆10方向的20方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里，经过处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【例4】（2020·上海静安·高三一模）★★★☆☆（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）【例5】（2021·上海高一课时练习）★★★☆☆（1）若260αβ==，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果处向东航行多少距离后会有触礁危险？满足什么条件时，该船没有触礁危险？【巩固训练】1.（2020·上海高一课时练习）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C ，景区管委会又开发了风景优美的景点D ，经测量景点D 位于景点A 的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75︒方向上，已知=.AB km5（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果精确到0.1km）2.（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P→C→A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．3.（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一期中）★★★☆☆4.（2021·上海黄浦·格致中学）★★★☆☆5.（2018·上海市宝山中学高一期中）★★★☆☆6.（2016·长宁区·上海市延安中学高三期中）★★★★☆α考点二：最值问题【例1】（2019·上海浦东新·华师大二附中高三期中）★★☆☆☆【例2】（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆AOM ∠的大小；∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使（3）为节省投入资金，人工湖OMN∆的面积最小？最小面积是多少？OMN【例3】（2018·上海长宁区·高二期末）★★★☆☆1)出发才能【例4】（2021·上海市金山中学）★★★☆☆（1）求BD的长；【例5】（2017·上海浦东新区·高三二模）★★★★☆2π【巩固训练】1.（2020·宝山·上海交大附中高三模拟预测）★★★☆☆（1）求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；2.（2020·上海市莘庄中学高一月考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？分层提分题组A 基础过关练一、填空题1．（2020·上海高一课时练习）若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的∠=_________.南偏东45°处，则BAC2．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）3．（2020·上海高一课时练习）山上有一塔，高50m，自山下地面某点测得塔顶仰角为75°，测得塔底仰角为45°，则山高_______m.4．（2020·上海高一课时练习）一船沿北偏西30°方向，以30n mile/h的速度航行，灯塔P原在船的北偏东10°处，40min后，灯塔P在船的北偏东70°处，则船和灯塔原来的距离为____________n mile（精确到0.1nmile）.5．（2020·上海高一课时练习）某人从某处出发向正东方向走x米后，向右转150°，然后向前行走3千米，结果他与出发点相距1732米，则x=___________（结果精确到1米）.6．（2020·上海高一课时练习）若汽车自A地出发以60km/h的速度向南偏东45°方向行驶2h后，又按原速度折向正南方向行驶3h后到达B地，则A，B两地的实际距离为_________km（精确到1km）.7．（2020·上海高一课时练习）若圆内接正五边形的边长为1，则圆的半径为___________（答案保留两位小数）.三、解答题8．（2020·上海高一课时练习）某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?9．（2020·上海高一课时练习）在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3km，测得塔顶的仰角为2θ，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高.10．（2020·上海高一课时练习）已知三角形两边之和是8，其夹角为60︒，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值.11．（2020·上海高一课时练习）某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30方向，与A相距B在北偏西75︒方向，与A相距A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向，这时灯塔C与D相距多少海里？C在D的什么方向？题组B 能力提升练一、选择题1、（2021·上海高一期末）★★★☆☆⎣角形的三边和面积）表示，在ABC中，2，则ABC面积的最大值为（C．二、填空题h的铁塔AB，从塔顶A和塔底B分1．（2020·上海高一课时练习）在山顶上有一座高为m别测得地面上一点C的俯角为α和β，则山高为________m.2、（2021·上海市市西中学高一期中）★★☆☆☆3、（2018·上海市七宝中学高三开学考试）★★★☆☆30的方向上，行驶75的方30，则此山的高度二、解答题1．（2018·上海静安区·高一期末）如图是一景区的截面图，AB 是可以行走的斜坡，已知2AB =百米，BC 是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD 是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡AB 上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC 的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC 的长，并化简；（2）设3BC =百米，AC 2DBA π∠=，BAD ∠=，求山崖CD 的长.（精确到米）2．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.(1)设CD x =米,试用αβγ、、和x 表示旗杆的高度AB (米)；(2)测得x =301560αβγ=︒=︒=︒，，，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处?3、（2021·上海高三专题练习）★★★★☆ 120，D 为对角线为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 12A A D ∠（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到14、（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）★★★★☆（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧BN组成的道路，线。

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第6章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·湖北]已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A. [－2,2]B. [－2,3]C. [－3,2]D. [－3,3]答案：D解析：由已知a ⊥b 得a ·b ＝0， ∴2x ＋2z ＋3y －3z ＝0， ∴z ＝2x ＋3y ，又∵|x |＋|y |≤1表示的区域为如图所示的正方形内部包括边界．∴在点B (0,1)处，z ＝2x ＋3y 取最大值3. 在点D (0，－1)处，z ＝2x ＋3y 取最小值－3. ∴z ∈[－3,3]．故选D.2. [2012·山东烟台一模]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (2x －y ，x ＋y )表示区域的面积为( )A. 34 B. 43 C. 12 D. 1答案：D解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，得⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3，y ＝2b －a 3，代入x ，y 的关系式得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0，a ≥0，a ＋b －3≤0，易得阴影区域面积S ＝12×2×1＝1，故选D.3. [2012·汕头模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A. a ≥43B. 0<a ≤1C. 1≤a ≤43D. 0<a ≤1或a ≥43答案：D解析：如图，直线x ＋y ＝0从原点向右移动，移动到(1,0)时，再往右移，不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点A (23，23)向右移动时，不等式组所表示的区域为整个阴影部分的三角形．∴0<a ≤1或a ≥43.故选D.4. [2011·浙江]设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A. 14B. 16C. 17D. 19答案：B解析：设3x ＋4y ＝z ，则y ＝－34x ＋z4，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得点A 为(3,1)，平行移动直线y ＝－34x ，又x ，y 为整数，则当过点(4,1)时，z ＝3x ＋4y 取最小值为16.故选B.5. [2010·北京]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3，＋∞)答案：A解析：先画出可行域，如图，y ＝a x 必须过A 点或图中阴影部分．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a >1，∴1<a ≤3，故选A.6. [2011·北京]设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}答案：C解析：显然，四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k (k ＝1,2,3)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以3×3≤N (t )≤3×4＝12.如图1，图2，当四边形ABCD 的边AD 上有5个整点时，N (t )＝9；如图3，当四边形ABCD 的边AD 上有3个整点时，N (t )＝11；如图4，当四边形ABCD 的边AD 上有2个整点时，N (t )＝12；所以选C.二、填空题(每小题7分，共21分) 7. [2012·泰安模拟]设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12>0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12.(x ，y ∈R )，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)．若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则r 的取值范围是__________．答案：(0，125]解析：p 表示可行域如图所示阴影三角形部分(不包括边界4x ＋3y －12＝0)．q ：表示圆x 2＋y 2＝r 2的外部．则綈p 表示阴影三角形外部(包括边界4x ＋3y －12＝0)，綈q 表示圆x 2＋y 2＝r 2内部(包括边界)．因綈q 是綈p 的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的子集，且圆心(0,0)到直线4x ＋3y －12＝0的距离为125，所以r 的取值范围是(0，125]．8. [2011·全国新课标]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．答案：－6解析：画出⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9表示的平面区域，平移l 0：x ＋2y ＝0.当直线过A 时，z 取最小．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3x －y ＝9得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5， ∴z ＝4＋2×(－5)＝－6.9. 铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案：15解析：设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧50%x ＋70%y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋6y ，本题即求z 的最小值．线性约束条件整理为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥19，2x ＋y ≤4，x ≥0，y ≥0.画可行域如图：当x ＝1，y ＝2时，z 获最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1.x ＋2≥0(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.11. [2012·浙江杭州]已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z ＝y ＋1x ＋1的最大值为3，最小值为12.12. 已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲配件可获得利润5元，每件乙配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业在一年内可获得的最大利润．解：设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，则有关系：有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，(x ，y ∈N *)目标函数z ＝5x ＋3y .如图所示，作出可行域，求出可行域边界上各端点的坐标，A (133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为z ＝5×3＋3×4＝27.。