秦树人机械工程测试原理与技术习题解答

《测试技术与信号分析》习题与题解适用专业: 机械类、自动化课程代码:学时: 42-48编写单位:机械工程与自动化学院编写人:余愚审核人:审批人:第二章 习题解答2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2．信号分类的方法有哪些？2-3．求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2x ψ。

解：()24sin 4222cos 12sin 2sin 11222022022022022A T T A T dtt A T tdt A T dtt A T dt t x T T T T T x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-====⎰⎰⎰⎰ωωωωωψ 也可先求概率密度函数：221)(xA t p -=π则：⎰∞∞-==2)(222A dx x p x xψ。

2-4．求正弦信号())sin(ϕω+=t A t x的概率密度函数p(x)。

解： 2221)(111,arcsinxA Ax A dx dt A x t -=-=-=ωωϕω代入概率密度函数公式得：22222200122221lim 1lim)(x A xA x A T Tdt dx T t x x p x x -=-=-=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆=∑→∆→∆πωπωω2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为⎩⎨⎧<<≤=21)(11T t T T t t x该信号基本周期为T ，基频ω0=2π/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。

由于x (t )关于t =0对称，我们可以方便地选取-T /2≤t ≤T /2作为计算区间。

计算各傅里叶序列系数c n 当n =0时，常值分量c 0：txT 1-T 1T-TTT dt T a c T T 1002111===⎰- 当n ≠0时，110110011T T tjn T T t jn n e Tjn dt e Tc -----==⎰ωωω最后可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22000ωωω注意上式中的括号中的项即sin (n ω0 T 1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数c n 可表示为0)(sin 2)sin(210010≠==n T n c TT n T n c n ，ωπωω其幅值谱为：)(sin 211T n c TT c o n ω=，相位谱为：ππϕ-=,,0n 。

频谱图如下：2-6．设c n 为周期信号x (t )的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。

即：若有()n FSc t x −→←则 ()n t j FSc et t x 000ω±−→←±证明：若x (t )发生时移t 0（周期T 保持不变），即信号x (t - t 0)，则其对应的傅立叶系数为()⎰-=T tj n dt e t x Tc 01'ω 令0t t -=τ，代入上式可得()()nt j Tj t j Tt j n c e d e x T e d e x T c 000000011)('ωτωωτωττττ---+-===⎰⎰因此有()n t T j n t j FSc e c e t t x 000)/2(0πω--=−→←-同理可证 ()n t T j n t j FSc e c e t t x 000)/2(0πω++=−→←+证毕！nC T T /211/T πω00ωn C T T /211/T πω00ωn ϕππ-ω02-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数)(sin 2110110T n c TT dt e T C T T tjn n ωω==⎰-- 则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有)()(sin 22)(0101ωωδωπωn T n c TT X n -=∑∞-∞=此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0ω以及所有谐频处，其脉冲强度为01/4T T π被)(sin t c 的函数所加权。

与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

解：符号函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧=<->=000101)(t t t t x 可将符号函数看为下列指数函数当a 0时的极限情况解 ⎩⎨⎧><-==00)sgn()(t et e t t x at at()()fj fjf j a f j a dt e e dt e e dt e t x f X a ft j at ft j at a ft j πππππππ12121lim ..lim 0020202=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==→∞--∞--→∞+∞--⎰⎰⎰ 2-9．求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0002/101)(t t t t[])sgn(121)(t t +=μ所以：2-10．求指数衰减振荡信号()t e t xat 0sin ω-=的频谱。

解： )(2sin sin 21sin 21)(0000)(000t j t j t j a tj at e e jt td e dt e t e X ωωωωωωπωπω-==⋅=-+-∞--∞⎰⎰ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=f j f f πδμ1)(21)([]22000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)(00ωωωπωωωωππωωωωω++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-+-++-∞⎰j a j j a j j a j dt e e j X t j j a tj j a2-11．设X (f )为周期信号x (t )的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 ()()f X t x FT−→← 则()()020f f X e t x FT t f j −→←±π证明：因为 )(][020f f e F t f i δπ=±又因为()()][*00202t f i FT t f j e F f X e t x ππ±±−→←()()()0002)(*0f f X f f f X e t x FT t f j =−→←±δπ证毕！2-12．设X (f )为周期信号x (t )的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若 ()()f X t x FT−→← 则()()f X t x FT-−→←**式中x *(t )为x (t )的共轭。

证明： ()⎰∞+∞-=df e f X t x ft j π2)(由于()⎰⎰∞+∞-∞+∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dte t x dt e t xf X ft j ft j ππ2**2*)()( 上式两端用 -f 替代 f 得()⎰∞+∞--=-dt e t x f X ft j π2**)(上式右端即为x *(t )的傅里叶变换，证毕！特别地，当x (t )为实信号时，代入x *(t )= x (t )，可得X (f )共轭对称，即()()f X f X *=-2-13．设X (f )为周期信号x (t )的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 ()()f X t x FT−→←则 ()()f x t X FT-−→← 证明：由于 ⎰∞+∞-=df e f X t x ft j π2)()(以 -t 替换 t 得()⎰∞+∞--=-df e f X t x ft j π2)(上式 t 与 f 互换即可得()⎰∞+∞--=-dt e t X f x ft j π2)(即 ()()f x t X -↔证毕。

特殊情况,当()x t 为偶函数时，()()f x t X FT−→←2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g (t )的傅里叶变换G (f )，g (t )定义如下：()212tt g +=且已知()2222)()(f a af X et x FTta π+=−→←=- 解：当a =2π，不难看出g (t )与X (f )非常相似。

代入a =2π，根据傅里叶变逆换有()()⎰⎰∞+∞-∞+∞--+=+⨯=df e f df e f eftj ftj tπππππππ22222212212222 等式两端同时乘以2π，并用-t 替代变量t 得⎰∞+∞---+=dt e f eftj tπππ222122交换变量t 和f 得⎰∞+∞---+=dt e t eftj fπππ222122上式正是g (t )的傅立叶变换式，所以f FTe f G tt g ππ222)(12)(-=−→←+=2-15．所示信号的频谱)5.2()5.2(21)(21-+-=t x t x t x 式中x 1(t ), x 2(t )是如图2-31b ），图2-31c ）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x 1(t ), x 2(t )的频谱分别为f f f X ππsin )(1=和fff X ππ3sin )(2=根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=-f f ef X fj ππππ3sin sin )(215)(t x )(1t x t tt )(2t x图2-312-16．求信号x (t )的傅里叶变换0)(>=-a et x ta解：由例2-16已知 f j a t u eFTatπ21)(+−→←-注意到x (t )为实偶函数， t >0 时)()(t u e t x at -=，t <0 时)()(t u e t x at-=，所以)()()(t u e t u e t x at at -+=-，根据线性叠加特性[][])()()(t u e F t u e F f X at at -+=-又根据时间比例特性有()()f X t x FT-−→←-，所以fj a t u e FTat π21)(-−→←-最后得()22222121)(f a af j a f j a f X πππ+=-++=在实际应用中，一般a 为>0的实数则 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a f X a at x FT12-17．已知信号x (t )试求信号x (0.5t ) ，x (2t )的傅里叶变换⎩⎨⎧><=11,0,1)(T t T t t x 解：由例可知x (t )的傅里叶变换为112sin 2)(fT c T f X π=根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。