深圳高级中学2012届高三上学期第一次测试(文数)

深圳高级中学2012届高三上学期第一次测试数学（文科）试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1． =++-ii i 1)21)(1(( )A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 2．集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=22|｝, 则 M N = ( )A.{0}B.{2}C. ΦD. {}72|≤≤x x 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数4．对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 ( )A ． k ≥1 B. k >1 C . k ≤1 D . k <15．若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A 、1.2B 、1.3C 、1.4D 、1.56．在空间，下列命题正确的是（ ）A. 若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B. 若直线m 与平面α内的一条直线平行，则m//αC. 若平面αβαβ⊥=，且 l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD. 若直线a//b ，且直线l a ⊥，则l b ⊥ 7．图l 是某县参加2010年高考的 学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A ．9i < B ．8i < C ．7i < D ．6i <8．若m 、n 都是正整数，那么“m 、n 中至少有一个等于1”是“m n mn +>”的（ ） A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 9．已知f x x x f x f x a f b f ()l n ()()'()()'()=>==0712，的导数是，若，，c f ='()13，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. c<b<a B. a<b<c C. b<c<aD. b<a<c10．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2006)f f f +++ 的值为 A ．2- B ．0 C ．1D ．2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．）11．若椭圆经过点（2，3），且焦点为），（），，（020221F F -，则这个椭圆的离心率等于_________________：12．一个正方体的全面积为a 2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为______________：13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为2cos 4sin 3=-ϑρϑρ，则点（)4,2π-到直线l 的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周 上一点，3BC =过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．(本小题满分12分)已知2sin 22cos 2)(2+--=x x x f 定义域为R ，（1）求)(x f 的值域； （2在区间]2,2[ππ-上，3)(=αf ，求)32sin(πα+）17. (本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧棱底面ABCD ，，E 是PC 的中点，作交PB 于点F ；(I)证明 平面；(II)证明平面EFD ；18(本小题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （Ⅰ)设(,)i j 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况． （Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．19(本小题满分14分)已知直线)0(112222>>=++-=b a by a x x y 与椭圆相交于A 、B 两点。

（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）若OB OA ⊥（其中O 为坐标原点），当椭圆的离率]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值。

20．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=5，S 15=225. （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；（Ⅱ）设b n =n a2+2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .21．(本小题满分l4分)已知函数f(x)=ax 3+bx 2－3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.参考答案一选择题: CABDC DBCBD二填空题: 11. 21 12. 22a 13. 8 14. 59 15. 30︒三解答题:16.解: （1）1)22(sin 22sin 22)sin 1(2)(22--=+---=x x x x f []1,1sin ,-∈∈x R x 值域[]222,1+-（2）由（1）得，31)22(sin 2)(2=--=ααf 2)22(sin 2=-∴α，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα ，4πα-=∴ 21)6sin()32sin()32sin(-=-=+-=+∴ππππα 17．(I)证明：连结AC ，AC 交BD 于O 。

连结EO 。

底面ABCD 是正方形，点O 是AC 的中点在中，EO 是中位线，。

而平面EDB 且平面EDB ，所以，平面EDB 。

(II)证明：底在ABCD 且底面ABCD ，①同样由底面ABCD ，得底面ABCD 是正方形，有平面PDC而平面PDC ，② 由①和②推得平面PBC而平面PBC ，又且，所以平面EFD18解: 解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、 （4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4）， 共12种不同情况（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为32； （3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ’，2）、（4 ’，3）5种， 甲胜的概率1512p =，乙获胜的概率为21712p =．∵125＜127， ∴此游戏不公平．19解: （1）.2,3,22.33,3322=-=====c a b a c a c e 则解得又即 .12322=+∴y x 椭圆的标准方程为（2）由,0)1(2)(,1,12222222222=-⋅+-⋅+⎪⎩⎪⎨⎧+-==+b a x a x b a y x y b y a x 得消去由.1,0)1)((4)2(22222222>+>-+--=∆b a b b a a a 整理得2221122121222222(1)(,,),(,),,.a a b A x y B x y x x x x a b a b -+==++设则.1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y …………7分.01)(2,0),(21212121=++-=+∴⊥x x x x y y x x O OB OA 即为坐标原点其中.02.012)1(222222222222=-+=++-+-∴b a b a ba ab a b a 整理得 222222221112,e a e a a c a b -+=-=-=代入上式得 ，).111(2122e a -+=∴2221111341[,,1,2,2422431e e e e ∈∴≤≤∴≤-≤∴≤≤-2222717313,,1,3162a ab e ∴≤+≤∴≤≤+>-适合条件由此得.26642≤≤a .6,62342故长轴长的最大值为≤≤∴a20解: ．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+5.2221415155211d a d a 解得 ⎩⎨⎧==211d a ∴a n =2n －1 （Ⅱ）n n b na n n242122+⋅=+=， ∴n n b b b T +++= 21)21(2)444(212n n +++++++==n n n ++-+21644 32432-++⋅=n n n n 21解: （I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,03230323⎩⎨⎧=--=-+b a b a解得a=1，b=0. ∴f(x)=x 3－3x.（II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)||f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4（III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.30300x x y -= 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为13)1(3003020---=-x mx x x ， 整理得03322030=++-m x x .∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根. 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1. ∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x 0)= 3322030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1 ∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.。