3运输问题

22 13
11 -1
10 5 5 18 -4 5 x 16
34
A1 初0 始 调 运2 表 5 9 A2 11 A3 14
18 x 1 1 x
21
9
10
6
31
8 3 2
12
6
Σa =Σb
收量
4
9
7
5
用行列位势ui与vj确定非基变量的检验数
闭回路法进行检验
闭回路的构造
从选中的非基变量出发，沿水平或铅垂方向 前进，确保只以途中的基变量为拐角点实施转向， 直到返回出发的非基变量。
销量
5 3
2 1
3 0
6 6 0
5 0
3 6 3
7 2 4 1 9 3 0
第一步：计算运价表中同行同列的最小运费与次小运费之差（行差和列差）。 第二步：以与行差、列差的最大值同行（或同列）的最小元素为准，倾所在行的 库存物，最大限度地满足所在列的求货之需；一旦需求（或库存）被彻底满 足（或库存调光），则随即划去该列（或行）的所有运价（或库存）信息。 第三步：重新计算同行同列的最小运费与次小运费之差，并对其它未被确定调拨 值的行列，重复第二步的处理，直至构造出某初始调拨方案（初始解）。
c c · c · ·
Ai到 Bj的物质调运计划量为 xij
min Z 9 x 18 x x 10 x 11 x 6 x 16 x
11 12 13 14 21 22
34
x x
11
x x x
12 13
（1）确定初始方案
（收发平衡的运输问题）
方法之一 最小元素法
基本思想：就近收发
以运价表中的最小运价为准，逐一确定 各点的产、销量，直到所有产、销地的产、 销量都被分派落定。
销地 产地
B1
x c
11 11
B2
x c12 x
12
· Bn 销量 · · · · · · · · · · ·
x c1n x
14
9 x x x x
21 22 23 24
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
10
31 32 33 34
x x x x 6
11
x
12
x x
13
21
x
22
x x
23
31
4 x
32
9 x
33
7 x 5
34
x
14
x
闭回路偶点中 取值最小的基变量出基
奇偶点上变量取值的调整
以 θ记最小基变量的取值，
调整时应让
偶点基变量减 θ，奇点变量加 θ。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 A3 1 3 x 4 0 14 ②偶点 12 2
A1 x11 x12 · x1n · · A2 x x · x · 2n · 21 22 : : : : Am x x · x · ·
n1 n2
am
Σa =Σb
A1 A2 : Am
c c · c · · c c · c · ·
11 12 21 22
1n
2n
:
n1 n2
:
nn
:
nn
销量
b1 b2 · b n · ·
Σ50 =Σ50
例 3 产小于销
销 产 A1 B1 4 B2 1 B3 2
ai
10
A2
3
8
4
10
3
5
12
22 23
bj
解法：虚设一销地，令其销量为产销之差 b4=∑ai-∑bj=4 令该列运价为0，如此化为平衡
155
伏 格 尔 法 的双表作业方案
计算量虽比最小元素法稍大，源自文库常能构造出较好的初始解，乃至最优解。
销地 产地
B1 B2 B3 B4
行差 额
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3
列差额
3 1 7 2
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 1 3 2 2
0 7 0 6 1 2 1
A1 A2 A3
1 2 m 1 2 n
2. 表 上 作 业 法 解运输问题
（收发平衡的运输问题）
表上作业法是运输问题单纯形解法的简化形式， 其计算过程与单纯形法基本一致：
（1） 找初始可行基 （2） 计算各非基变量的检验数 （3） 确定进基变量和出基变量，得出新 可行基（在表上用闭回路法调整） （4） 重复(2)、(3)直到得出最优解
x 1 14 14
31
32
×x 1 1 10 ×x ×x 8 18 x 5 ×x 16 2
23 33
9
10
24
34
6
Σa =Σb
4
9
7
5
对应目标函数的取值 z = ∑∑cij xij =
184
最小元素法的双表作业方案
表1
销地 产地
表2
B1 B2 B3 B4
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
2n 1n
产 销 平 衡 及 运 价 表
A1 A2
:
a1 a2
:
x
21
22
c
21
c
:
22
c
2n
:
:
Am
产量
x
c
m1
m1
x
c
m2
m2
x
c
mn
mn
am
Σa =Σb
b1
b2
· bn · ·
销地 产地
B1
x 2 99
11
B2
x 18
12
B3
x 7 11
13
B4 产量
x 10
14
调 运 表
A1
2 9
A2 A3
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
A1
A2 A3
销量
4
3
0 3
3 3 6
1
7 0 4 0 0 9
6 0 6
0 5
最小元素法计算步骤: 第一步:从表3-3中找出最小的运价1,即先把A2的产品运给B1. 第二步:再找次小运价, 剩下的1吨运给B3. 第三步:剩下的运价中再找最小运价,把A1运给B3. 依次进行下去,直到所有货物都运完得到上面的调运方案.
24 14
A1 A2
9
10
A3
销量
x
14
31
x
12
32
x
2
33
x
16
34
6
Σa =Σb
4
9
7
5
运输模型的一般提法：
有m 个发送物资的产地 Ai ( i = 1,2, ·, m) ， · · 产量分别为 ai (i = 1,2, ·, m)； · · 有n个接收该物质的销地Bj (j = 1,2, ·, n )， · ·
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
10
θ θ
18
-4 1 5 x
34
16
6
Σa =Σb
收量
4
9
7
5
偶点基变量x31的取值 1 最小 ：θ= 1
3. 产 销 不 平 衡 的 运 输 问 题
（产大于销 或 销大于产）
例 2 产大于销
销地 产地
B1 5 3 6 18
B2 9 1 2 12
第一步：计算运价表中同行同列的最小运费与次小 运费之差（行差和列差）。 第二步：以与行差、列差的最大值同行（或同列） 的最小元素为准，倾所在行的库存物，最大限 度地满足所在列的求货之需；一旦需求（或库 存）被彻底满足（或库存调光），则随即划去 该列（或行）的所有运价（或库存）信息。 第三步：重新计算同行同列的最小运费与次小运费 之差，并对其它未被确定调拨值的行列，重复 第二步的处理，直至构造出某初始调拨方案 （初始解）。
（2）非基检验数的确定
（收发平衡的运输问题）
检 验 数 方 程
σij = cij – ui – vj ui
行位势
，
vj
列位势
因基变量的σij= 0，故确定ui与vj可借 助基变量的位势方程组
ui + vj = cij
它总共含有 m + n – 1 个方程
求解时可先令某ui = 0， 然后逐一确定其它ui和vj的值
收点 发点
B1
x 3
11
B2
x
12
B3
x 1
13
B4 发量 行差
x 5
14
A1
A2
9
x 1
21
18
x 9
22
1
x
23
10
x
24
8 09 3 1 10 0
1 8
8
11
x
31
6
8
x
32
18
x 6
33
7 3 2 x
34
A3 O 14
收量 4 0 1
2
O 12
0 9
2 1 0 7
O 16
0 5
6 0
Σa =Σb
（收发平衡的运输问题）
收点 发点 9
B1
4
B2
-1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
A1
构 0 造 闭 2 回 路 5 9 A2
x 2
x 1
11
14
18 x 9
22
x 7
1 5
13
③奇点
偶点④
9
10
21
11
A3 1 x
31
6
3
8
-4
18
5 x
34
14 ②偶点 12
2
16
6
Σa =Σb
收量
4
9
7
5
非基变量x33的检验数为-4 且最小
24
x 0
ij
( i 1, 2 ,3 ;
j 1, 2 , 3 , 4 )
min z c x
ij i1 j1
m
n
ij
s .t . x a , i 1,2 , , m x b , j 1,2 , , n x 0 , i 1,2 , , m ; j 1,2 , , n ( a b )
运输问题
主 要 内 容
1. 2. 3. 4. 运输问题的数学模型 表上作业法（重点） 收发不平衡的运输问题 应用举例
1. 运 输 问 题 的 数学模型
（产销平衡的运输问题）
例 1
销地 产地
B1
x 9 x 11
21 11
B2
x 18 x 6
22 12
B3
x 1 x 8
23 13
B4 产量
x 10 x 18
销量分别为bj (j = 1,2, ·, n)。 · · 已知 Ai到 Bj的单位物质运价为 cij（具体数 据通常载于产销平衡表和单位运价表）。试建 立使总运费最小的调运方案模型。
产销平衡表
销地 产地
单位运价表
B1 B2 · Bn · ·
产量 a1 a2 :
销地 产地
B1 B2 · Bn · ·
例如，若 x11为基变量，则在 u1 + v1 = 9 （= c11）中令 u1 = 0， 即可得出 v1 = 9 ；进而又可由方 程u2 + v1 = 11 （= c21）定出u2 = 2 等等。
收点 发点 v1 9
B1
v2 4
B2
v3 1
B3
v4 11
B4
发量
A1
x 2
11
x 7
22
13
9 18 1 0 初 u1 9 始 A2 x x 1 调 u 22 11 6 8 运 A3 x 1 表 5 u3 14 12 2
n ij i j1 m ij j i1 ij m n i1 i j1 j
约束矩阵的特征
（1）有m×n个变量，m+n 个约束方程 （2） 约束矩阵的秩为m+n-1
(3) 约束矩阵具有特殊的结构，为
“稀疏阵”。
约 束 矩 阵
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a b b b
B3
2 7 8 16
产量 15 18 17 Σ50 ≠Σ46
A1 A2 A3 销量
解法：虚设一销地，令其销量为产销之差 b4=∑ai-∑bj=4 该列运价为0，如此化为平衡
销地
产地
B1 5 3 6 18
B2 9 1 2 12
B3
2 7 8 16
B4
0 0 0 4
产量 15 18 17
A1 A2 A3 销量
闭回路形式：
收点 发点
B1 x 2
9 x 1
11
B2 14
18 1 9 x
22
B3 x 7
5
13
B4
-1 10 5
发量
A1
初 始 调 运 表 A2
9
10
34
21
11
A3 x 1
31
6
3
8
-4
18
x 5
14
12
2
16
6
Σa =Σb
收量
4
9
7
5
行位势ui与列位势vj的确定方法
（3）用闭回路法 调整进基和出基变量
最小元素法运用原则：
当选定最小元素后，若该元素所在行 产量等于所在列的销量，则此时需同时 划去一行和一列；为使调运方案的有数 字格仍为m+n-1个，需要在同时划去的 该行或该列的任一空格位置补填一个 “0”。
最小元素法缺点：
为节省一处费用，可能在其 他各处要多花几倍的费用
方法之二 伏格尔方法
21 31
10
9
10
18
x 5
34
16
6
Σa =Σb
收量
4
9
7
5
行位势ui与列位势vj的确定方法
利用已确定好的ui与vj值，再结合cij 值计算非基变量的检验数
σij = cij –ui - vj
总共 (m –1)( n – 1 ) 个
收点 发点 9
B1
B2
B3
B4
发量
4
x 2
11
1 14
x 7 1 x 9
销量
x 1
11
21
x 9
66
22
x
8
23
x
18
24
10 1
5 6
Σa =Σb
1 x
14 14
31
x
12
32
x
2
33
5 x
16 16
34
14 2
9
7
5
销地 产地
B1
x 2 9 9 x 1
21 11
B2
×x 18 x 9 6 6 ×x 12
2
B3
7x
2
B4 销量
14
A1
调 运 表
A2 A3
产量
22
11
10
列差
0 12 12 6
07 1
08 8 6
收点 发点
B1
x 3 9 x 1
21 11
B2
x 18 x 9
22 12
B3
x 1 1 x
23 13
B4 发量
x 5 10 x
24 14
A1 A2
A3
收量
9
10
11
x
31
6
x
32
8
x 6
33
18
x
34
14
12
2
16
6
Σa =Σb
4
9
7
5
对应目标函数的取值 z = ∑∑cij xij =