海淀区高三年级2015—2016 学年度第二学期期末练习理科试卷

海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期末练习
数学试卷（理科） 2016.5
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集}2|{},1|{,≥=≤==x x P x x M R U ，则=⋃)(P M C U
A ．}21|{<<x x
B ．}1|{≥x x
C ．}2|{≤x x
D ．}21|{≥≤x x x 或
2．在数列{}n a 中，12a =且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
3．若点P （2,4）在直线l ：上为参数)(3,
1t at y t x ⎩
⎨
⎧-=+=,则a 的值为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1-
4．在ABC ∆中，3cos 5A =
，4
cos 5
B =，则sin()A B -= A ．7
25
-
B ．725
C ．925-
D ．
9
25
5．在5
）
（a x +（其中0≠a ）的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
6．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，在等腰梯形ABCD 中，8AB =，4BC =，4CD =，点P 在线段AD 上运动，则PA PB +
的
取值范围是
A
．[6,4+ B
． C
．
D ．[6,12]
8．直线1
:10l ax y a +
-=与x
22:1O x y +=的交点为,C D ，给 出下面三个结论： ①1a ∀≥，12AOB S ∆=
；②1a ∃≥，AB CD <；③1a ∃≥，1
2
COD S ∆< A
B
其中，所有正确结论的序号是 A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知
2
1i a i
=-+，其中i 为虚数单位，a R ∈，则a =_____________． 10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实
践活动的时间，绘成频率分布直方图（如图）。

这100名学生中参加实践活动的时间在610 小时内的人数为_______________．
11．如图，A,B,C 是⊙O 上的三点，点D 是劣弧 BC
的中点，过点B 的切线交弦CD 的延长线于点E ，若 ︒=∠80BAC ，则=∠BED ___________________．
12．若点(,)P a b 在不等式组20
201x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内，则原点O 到直
线10ax by +-=的距离的取值范围是__________________．
13．已知点A ）
，
（2
3
6
π
，B ），（14π，C ），（02π,若这三个点中有且仅有两个点在函数x x f ωsin )(=的图像上，则正数．．ω的最小值为_____________．
14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点,,P Q R 分别为棱1A A ，11A B ，
11A D 的中点，以PQR ∆为
底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高
h =__________．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15．（本小题满分13分）
已知函数()2sin cos2f x x x =-- (Ⅰ)比较,46f f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的大小； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值．
16.（本小题满分13分）
某空调专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，销售情况如下表所示：
(Ⅰ)求A 型空调前三周的平均周销售量；
（Ⅱ）根据C 型空调前三周的销售情况，预估C 型空调五周的平均周销售量为10台，
当C 型空调周销售量的方差最小时，求4C ，5C 的值；
（注：方差2
121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数） （Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A 型空调台数X 的分布列及数学期望．
17.（本小题满分14分）
如图，等腰梯形ABCD 中，CD AB //,AB DE ⊥于
E ,AB C
F ⊥于F ,且，2===EF BF AE
，2==CF DE 将AED ∆和BFC ∆分别沿DE ，CF 折起，
使A ,B 两点重合，记为点M ，得到一个四棱锥
CDEF M -，点G ,N ,H 分别是MC ，MD ，EF 的中点.
（Ⅰ）求证：//GH 平面DEM ； （Ⅱ）求证：CN EM ⊥；
（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成角的大小．
18.（本小题满分14分）
已知函数)()(2a ax x e x f x ++=. （Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()a f x e ≤在),[+∞a 上有解，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围.（只需直接写出结果）．
19．（本小题满分13分）
已知点11(,)A x y ，22(,)D x y （12x x <）是曲线2
4y x =（0y ≥）上的两点，,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ，且2BC =
（Ⅰ）当点B 坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；
（Ⅱ）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：
121
4
S S <．
20．（本小题满分13分）
已知集合12{|(,,,,,)n i n X X x x x x Ω==⋅⋅⋅⋅⋅⋅，{0,1},1,2,,}i x i n ∈=⋅⋅⋅，其中3n ≥，
12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈Ω，称i x 为X 的第i 个坐标分量，若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：
①S 中元素个数不少于4个；
②,,X Y Z S ∀∈，存在{1,2,,}m n ∈⋅⋅⋅，使得,,X Y Z 的第m 个坐标分量是1； 则称S 是n Ω的一个好子集．
（Ⅰ）{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出,Z W ； （Ⅱ）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过1
2n -；
（Ⅲ）若S 为n Ω的一个好子集，且S 中恰有1
2
n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈⋅⋅⋅，使得
S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1．。