华师大版初中数学七年级下册《8.2解一元一次不等式》3课时教学设计

8.2 解一元一次不等式
1 . 不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中，我们发现，一3、一2、一1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x + 2>5的解。

由此可以看出，不等式X + 2>5有许多个解。

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进而看出，大于3的每一个数都是不等式x+ 2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x + 2>5 的解。

由此可见，不等式X+ 2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式X + 2>5的解集。

plEanqFDPw 概括一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集(solution set )。

研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式(soIving
in equality ) 。

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不等式x + 2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.1所示。

同样，如果某个不等式的解集为x<- 2,也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2所示。

练习
1. 根据“当x为任何正数时，都能使不等式x + 3>2成立”，能不能说“不等式x+ 3>2的解集是x>0”？
为什么？RTCrpUDGiT
2. 两个不等式的解集分别为x<2和x w 2,它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？
3. 两个不等式的解集分别为x<1和x> 1,分别在数轴上将它们表示出来。

2. 不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。

在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的
变形规律。

如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b (显然a>b)，如果在两边盘内分别加上等量的砝码C,那么盘子仍然像原来那样倾斜(即 a + c>b + c)。

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概括
不等式的性质1 如果a> b，那么
a+ c>b+ c, a —c>b—c
这就是说，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。

思考
不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？试一试
将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“ >”填空:
7X 3 _____ 4 X 3,
7X 2 _____ 4 X 2,
7X 1 _____ 4 X 1,
7X 0 _____ 4 X 0,
7X(—1) ________4 X(—1),
7X(—2) ________4 X(—2),
7X(—3) ________4 X(—3),
从中你能发现什么？
概括
不等式的性质 2 如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

不等式的性质 3 如果a>b，并且c<0，那么acvbc。

这就是说，不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

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与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x<a的形式。

例1解不等式：
(1)x —7<8 ( 2) 3x<2x-3
解(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变，所以
x—7+ 7<8 + 7,
得x<15
(2)不等式的两边都减去2x (即加上一2x)，不等号的方向不变，所以
3x —2x<2x —3—2x
得x< — 3
这里的变形，与方程变形中的移项相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
例2解不等式：
1
(1)2x>—3; (2)—2x<6。

解 (1)不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以
1
2x X 2> (—3)X 2,
得x> —6。

1
(2)不等式的两边都除以一 2 (即乘以一2)，不等式的方向改变，所以
1 1
—2x X(—2 ) >6 X(—2 ),
得x> 一3。

这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为 1 ”相类似，它依据的是不等式的性质2或3, 要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。

XHAQX74J0X 练习
解下列不等式，并在数轴上表示出来：
1 . X —2>0 2. X + 1>0
3. —2x<4
4. 3x< 0
3. 解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点：它们都只含有一个未知数，且含未知
数的式子是整式，未知数的次数是1。

像这样的不等式叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown )。

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我们再来解一些一元一次不等式。

例3解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
(1)2x —1<4x + 13;
(2) 2 (5x + 3)< x —3 (1 —2x).
解(1) 2x—1<4x + 13,
2x —4x<13 + 1 ,
—2x<14 ,
x> — 7.
它在数轴上的表示如图 8.2.4.
(2) 2 (5x + 3)< x — 3 (1 — 2x ),
10x + 6 w x — 3 + 6x , 3x w — 9, x <— 3.
它在数轴上的表示如图 x + 4 3x — 1
例4当x 取何值时，代数式 3 与与 2 的值的差大于1 ?
x + 4 3x — 1
解 根据题意，得 —3 — — —2 — >1,
2 ( x + 4)—
3 (3x — 1) >6,
2x + 8— 9x + 3>6,
—7x +11>6,
—7x> — 5,
5 得 x< 7
讨论 试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。

练习
1 •解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来: (1) 2x +1>3;
(3) 2 (x+1) <3x ;
(2) 2— x<1 ; (4) 3 (x + 2)> 4 (x — 1)+ 7. 2x -3 3x — 2 2 •解不等式： 3 > 2
3 .一个工程队原定在10天内至少要挖土 600m 3,在前两天一共完成了 120 m 3,由于整个工程调整工期，要
求提前两天完成挖土任务。

问以后几天内，平均每天至少要挖土多少
m 3? Zzz6ZB2Ltk 问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有 20道题，对于每一道题，答对得 10分，答错或不答扣 5
分，总得分不少于80分者通过预选赛。

育才中学25名学生通过了预选赛， 它们分别可能答对了多少道题？ dvzfvkwMI1
实践与探索
8.2.5
5
所以，当x 取小于7的任何数时，代数式 x + 4 3x — 1 3 与与 2 的值的差大于1。

试解决这个问题(不限定方法)。

你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下。

如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？练习
1.求下列不等式的正整数解：
(1)—4x>- 12; ( 2) 3x —11<0.
2 •学校图书馆搬迁，有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了 1.8万册。

如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，则在以后五天内，每天至
少安排几个小组搬书？rqyn14ZNXI
习题8.2
1.解不等式：
(1) x—5<0
(2) 3x>2x —6
(3) 2x< —3
1 (4)—2x>3
2 .写出下图所表示的不等式的解集
3 •解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

(1) 3x>—3; (2)—3x + 3<0
x — 1 x + 4 (4)
3 — 2 > — 2.
6 •求不等式1 — 2x<6的负整数解。

7 •某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到 400米以外的安全区域。

已知导火线的燃烧速度是
1.2厘米/秒，人跑步的速度是 5米/秒。

问导火线必须超过多长，才能保证操作人 员的安全？ EmxvxOtOco 4. a 取什么值时，代数式 4a + 2的值：
(1)大于1？ (2)等于1？
5.解下列不等式：
x (1) 2 + 1>x ； (2) 3 (x + 2) <4 (3) 2x + 2< 3x + 3 (4) 5x — 1>8x +
3 (3)小于1 ？
(x — 1)+ 7;
(3) (x — 3) <5 — 2x ;。