第 2 章 电势

四、电势梯度 例题
五、电势能
1.定义
静电场是保守场，可引进静电势能的概念。检验
电荷 q0 在静电场中从 a 点移到 b 点电场力作正
功，电势能减少。
定义电势能增量Δ W
W Wb Wa dA
L rb ra
E P mgh
q0 E dl
b a
x2 r 2
r
O
R
x
P

dS
4 0 x 2 r 2
S
dS 2rdr R 2 rdr ( x 2 R2 x) 0 4 0 x 2 r 2 2 0
三、电势叠加原理 讨论
(1) x R时 R2 1 1 R2 2 ( x R ) x(1 2 ) 2 x(1 ) 2 x 2 x R2 x 2x R2 R2 Q (x x) 2 0 2x 40 x 40 x
rb
ra
E dl
q0 (b a )
五、电势能 定义电势能
W q0
即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 势能为
W q0
r
E dl
五、电势能
2.注意
（1）电势能是属于系统的，为场源电荷和电荷
第 2 章
电势
一、静电场环路定理 二、电势差和电势 三、电势叠加原理 四、电势梯度 五、电势能 六、静电场的能量
一、静电场环路定理
1.静电场力所作的功
与引力场相类似，静电场也是保守场，静电力
是保守力，即静电力作功与具体路径无关。 点电荷电场： dA q0 E dl q0 cos1 dl q E b E e 2 r 40 r q0 Edr
所共有，它是验电荷与电场之间的相互作用能。
（2）电势能的量值只有相对意义，它与电势能
零点的选择有关。 （3）电势能的单位（SI）：焦耳（ J ）；电子伏 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
五、电势能
W Wb Wa 0时，检验电荷从 a 运 动到 b 过程中，电势能减少，电场力作正功；
二、电势差和电势
4.求空间的电势分布
明确电势零点，
求出电场分布，
选一条积分路径积分。
三、电势叠加原理
1.多个电荷的电场在空间中的电势
E Ei
P0 P0 P0 E dl Ei dl E1 dl E2 dl
（4）当
（5）当 W Wb Wa 0 时，电势能增加，电 场力作负功。
例题
六、静电场的能量
以后再讲



b
a
E dl En

E n
a b E
Δn
四、电势梯度
3.电势梯度
n 为等势面的法线方向，指向电势升高的方 向，与 E 反向。对任意方向 l ,有 ( ) E Δl n c E Δl El l b l Δn θ El El E cos Δl l a l 0 d E E l l i m( ) l 0 l dl
1 2 2
此时圆盘相当于一个点电荷。
三、电势叠加原理 讨论
( 2) x 0时
R 2 2 ( x R x) 2 0 2 0
它表明把单位正电荷从无穷远处沿任意路径移到 盘中心所需做的功。
三、电势叠加原理 例题P37 39 42
四、电势梯度
1.等势面
在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面。
A dA q0 Edr
rb L ra
q0q 1 1 ( ) 40 ra rb
一、静电场环路定理
2.静电场的保守性
在点电荷电场中，电场力对检验电荷所作的
功，只取决于检验电荷 q0 及其始末位置，与连 接始末位置的具体路径无关。这个性质称为静电 场的保守性。
一、静电场环路定理
3.静电场的环路定理
任意带电体可以看作是由无穷多个点电荷组成的， 由场强叠加原理
E Ei
i
A
L
q0 E dl q0 Ei dl q0 Ei dl
L i i L
L
q0
E1 dl q0 E2 dl
r
R

1
Q 1 Q 0 dr 2 R 4 r 40 R 0

1
三、电势叠加原理
r
E r 关系曲线
r 关系曲线
三、电势叠加原理 [例2]求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。已
知盘半径为 R，电荷面密度σ 。
dr r
x 2 r 2
O
R
x
P
三、电势叠加原理 dr
rR 时 Q 2 E 外 dS E外 4r
r
R
0
Q r
Q E外 40 r 2
1
三、电势叠加原理 由电势定义可得
rR


r
E外 dl
rR
Q 1 Q dr 2 r 4 r 40 r 球 内 为 等 势 0 区，球面为 E dl r 等势面。 R E内 dl E外 dl
P
P P
i

P0
P
1 2 i
在由多个点电荷产生的电场中，任意一点的电
势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。
三、电势叠加原理
2.多个点电荷电场中的电势
单个点电荷的电势
1 q 40 r
多个点电荷的总电势
1 qi i 40 ri
规定，相邻等势面之间电势差相等。 等势面用来形象表示电场中电势的分布。 等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强 小。
四、电势梯度
点电荷电场及等势面
均匀电场及等势面 等量异号电
荷电场及等
势面
四、电势梯度
2. 等势面与电力线的关系
（1）等势面与电力线处处正交。
（2）电力线方向，指向电势降落的方向。 （3）等势面在电力线密集处场强大，稀疏处 场强小。
三、电势叠加原理
3.任意带电体电场中的电势
任意带电体可以看作由无穷多个电荷元组成，
每个电荷元可以看成点电荷，则
dq d 40 r 1 dq 40 r 1
电荷线分布 电荷面分布 电荷体分布
1 40 1 40 1 40

dl
r
L

dS
r
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
四、电势梯度 在直角坐标系中
Ex , Ey , Ez x y z E ( E x i E y j E z k )
( i j k) x y z
电场还有另一个单位，即伏特/米（V/m），与 牛顿/库仑（ N/C ）同量纲。
S

dV
r
V
三、电势叠加原理
4.例题
[例1] 求均匀带电球面内外的电势。已知球半径
为 R，带电荷为 Q。
解：先用高斯定理求出球
面内外的电场分布。
r
在球面内外做与带电 球面同心的高斯球面 S Q
R
r
三、电势叠加原理
rR 时 E 内 dS E内 4r 2 0
E内 0
二、电势差和电势
3.单个点电荷在空间的电势
点电荷在空间任意一点的电势 E dl
r
q
r
p


r
q dr 2 40 r
1
E
1 q 40 r
q e 2 r 40 r 1
积分路径沿位矢方向
二、电势差和电势
1 q 40 r
在正电荷的电场中，各点的电势均为正 值，离电荷越远的点，电势越低； 在负电荷的电场中 ，各点的电势均为负 值，离电荷越远的点，电势越高。
四、电势梯度
d E l E cos dl 电场中给定点的场强在任一方向的分量，等于
电势沿该方向的变化率的负值。负号表示场强指 向电势降低的方向。 n c b l 电场强度 Δn θ d E Δl dl max a
d E dn
E
四、电势梯度 定义电势梯度(gradient)矢量：
(V)。量纲L2MT-3I-1
二、电势差和电势
3.电场力作功
点电荷经任意路径移动电场力所作的功 rb A q0 E dl
q0 (a b ) q0 (b a )
ra
b
rb A a b E dl ra q0
电场力作正功，电 场的电势降低。
L
一、静电场环路定理 上式中每一项均与路径无关，其和也必与路径
无关，只与始末位置有关，故对任意闭合回路： E dl 0
L
即：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分等于零。
上式称为静电场的环路定理。
二、电势差和电势
1.电势差
A
rb ra
rb q0 E dl q0 E dl q0
ra
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电
荷的始末位置。 定义 电势差
rb A a b E dl ra q0
二、电势差和电势
2.电势
b a E dl ra d E dl
rb
即 若