1.7 Smith圆图
史密斯圆图的原理及应用
史密斯圆图的原理及应用一、史密斯圆图的概述史密斯圆图（Smith Chart）是一种常用的电路设计工具，广泛应用于微波电路的设计与分析。
它可以通过坐标变换的方式将复抗匹配器的阻抗表示在一个圆图上，方便工程师快速计算和优化电路。
二、史密斯圆图的原理史密斯圆图的构建基于复平面的坐标转换技术，将复抗匹配器的阻抗表示在一个单位圆上。
具体步骤如下：1.将复抗匹配器的阻抗表示为复平面上的点，以阻抗的实部和虚部作为横纵坐标。
2.将复抗匹配器的阻抗归一化到一个标准的单位圆上，使得阻抗归一化到圆上的点表示为单位圆上的点。
3.在单位圆上绘制一系列等效电阻德曼圆，并标记常用的阻抗值。
这些等效电阻德曼圆的半径是固定的，通过变换得到的阻抗点在不同等效电阻德曼圆上的位置。
4.通过在复平面上作圆的平移和旋转操作，将复抗匹配器的阻抗点转换成单位圆上的点。
5.将复抗匹配器转换后的阻抗点与等效电阻德曼圆上的点连接，得到史密斯圆图。
三、史密斯圆图的应用1. 阻抗匹配•利用史密斯圆图可以方便地进行阻抗匹配的计算和设计。
通过在史密斯圆图上移动阻抗点，可以得到与之匹配的负载阻抗或源阻抗。
工程师可以根据需要，选择合适的匹配器或变换线来实现阻抗的最大传输。
2. 反射系数的计算•史密斯圆图也可以方便地计算反射系数。
通过在史密斯圆图上读取阻抗点对应的反射系数，工程师可以快速了解电路中的反射情况，并根据需要进行相应的优化调整。
3. 变换线设计•史密斯圆图可以帮助工程师设计不同类型的变换线，如电阻性变换线、电容性变换线和电感性变换线。
通过在史密斯圆图上进行阻抗点的变换，可以得到满足特定要求的变换线参数。
4. 频率扫描分析•在频率扫描分析中，史密斯圆图可以帮助工程师分析电路在不同频率下的阻抗变化情况。
通过在史密斯圆图上绘制多个频率下的阻抗点，可以得到电路的频率响应特性。
5. 负载匹配•史密斯圆图也可以应用于负载匹配。
通过在史密斯圆图上绘制负载阻抗曲线和源阻抗曲线，可以找到使得负载与源之间产生最小干扰的最佳匹配点。
Smith圆图概述
一、Smith圆图概述Smith圆图（Smith chart）是用来分析传输线匹配问题的有效方法。
它具有概念明晰、求解直观、精度高等特点，因而被广泛应用于射频工程中分析传输线问题。
高频与微波电路设计中，最基本且重要的课题为阻抗匹配。
透过阻抗匹配的运用与设计，可以使信号有效率的由电源端传送到负载端。
现阶段，阻抗匹配须借重史密斯图的运用才能快速、有效的达成。
随着时间的流转，阻抗匹配的方式也由过去在史密斯图上以手绘计算结果，转而经由计算机化的史密斯图达成，其优点在于：(1)免除复杂计算过程中可能产生的人为错误，(2)透过计算机化史密斯图的运用可以进一步达到宽频带阻抗匹配的目的。
电子SMITH圆图软件能将计算结果以图形和数据并行输出，处理包括复数的矩阵运算。
且拥有良好的用户界面以及函数本身会绘制图形、自动选取坐标刻度等优点。
本设计即是利用vb6.0针对阻抗匹配设计的计算机化史密斯图。
其优点在于图面功能非常清楚，并且运用可视化的安排，使匹配电路直接显示，使设计者可以轻松的了解如何进行阻抗匹配工作也同时可以观察加入各项组件后的输入阻抗变化情形。
二、Smith圆图结构阻抗圆导纳圆阻抗圆导纳圆反射系数圆软件界面电抗圆电阻圆三、Smith圆图基本原理史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。
正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。
史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号Γ表示)的极座标图。
反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即s11。
史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。
这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数ΓL，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时ΓL更加有用。
我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比：图3. 负载阻抗负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。
反射系数的表达式定义为：由于阻抗是复数，反射系数也是复数。
阻抗圆图应用
Z0=100ohm, ZL=100-j200 λ=c/f=300/10=30m
d=25/30=0.833 λ =(0.5+0.333) λ
0.833
i
0.145
B
C 0.45+j1.2
r=1
Zin=45+j120 Yin=(0.26-j0.74)/100
r
A x=-2
0.312 5
求传输线上的驻波比
a)求解过程：
(1)圆图中找E点: (SWR-1，0)
(2)以圆图中心为圆点，OE为半径做小圆
(3) OE向负载转动 dmin 刻度，得到点F
(4) 小圆与射线OF相交得到G点
i
(5)由G点得到“归一化负载阻抗” (6)反归一化
2 2l
E
O
SWR
r
G F
13
例题
特性阻抗为50Ohm的无耗传输线端接阻抗ZL，最大和 最小驻波电压分别为2.5V和1V，相邻2个最小点的距离为 5cm。传输线先接短路线，然后接未知负载，波节点向源 方向移动1.25cm。确定负载阻抗。
6
例题2：由圆图求驻波比(SWR)
已知：无损耗传输线，Z0 50() ZL 85 j30 ()
Solution： Normalize:
In Chart:
zl
ZL R0
r 1.7
... 1.7
x 0.6
j0.6
i
i
x =0 .6
r
x =0
r=1.7
r
x =0
r SWR
SWR=2
7
求传输线上的负载阻抗
Z0=50Ω, Vmax=2.5V,Vmin=1V;VSWR=2.5
史密斯圆图基本原理及应用
解： 先求出归一化负载阻抗0.5+j0.5，在圆图上找出与此相对应的
点P1，以圆图中心点O为中心、以OP1为半径，顺时针（向电 源方向）旋转0.2到达点P2，查出P2点的归一化阻抗2j1.04， 将其乘以特性阻抗即可得到z=0.2处的等效阻抗为100 j52()
微波工程基础
17
第一章 均匀传输线理论之史密斯圆图及其应用
第一章 均匀传输线理论之史密斯圆图及其应用
3.阻抗圆图（smith chart）
实轴右半边为 电压波腹点又 代表驻波比
向电源
实轴左半边为电 压波节点又代表 行波系数K
向负载
将反射系数圆 图、归一化电 阻圆图和归一 化电抗圆图画 在一起，为完 整的阻抗圆图， 也称为史密斯 圆图。
微波工程基础
9
2 2
Z in 1 u jv 传输线上任意一点归一化阻抗为： Z in Z 0 1 u jv 令 Zin r jx ，则得到下列方程
微波工程基础
4
第一章 均匀传输线理论之史密斯圆图及其应用
阻抗到反射系数的映射示意图---等电阻圆
微波工程基础
15
第一章 均匀传输线理论之史密斯圆图及其应用
[例1-2]已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω，终端接有下 列负载阻抗，将其线上各点反射系数在圆图上表示
已知下列负载阻抗：a Z L 50 bZ L 48.5
cZ L (75 j 25) d Z L (10 j5)
Zl=(0.77+j1.48)50=38.5+j74()
微波工程基础
18
第一章 均匀传输线理论之史密斯圆图及其应用
6.阻抗匹配 阻抗匹配的方法1—电抗匹配
(完整版)史密斯圆图及应用
(z) u jv
Z(z) 1 (z) 1 (z)
Z (z) 1 u jv 1 u jv
1 (u2
2 v
)
j
2u
(1 u )2 v2 (1 u )2 v2
r jx
阻抗圆图----等阻抗圆
r 1 (u2 v2 ) (1 u )2 v2
x
2u
(1 u )2 v2
(u
r
r )2 1
– 已知负载阻抗ZL，确定传输线上第一个电 压波腹点与波节点距离负载的距离；
– 已知驻波系数VSWR及距离负载电压波节 点的位置，确定负载阻抗ZL
阻抗圆图的应用----阻抗变换
一个典型的包含有长度为d、特性阻抗为Z0、终端 负载为ZL的传输线的电路，采用Smith圆图分析 其阻抗特性，可以按以下步骤进行：
两个旋转方向
– 顺时针向源 – 逆时针向负载
阻抗圆图----特点
Smith圆图可以直接提供如下信息
– 直接给出归一化输入阻抗值zin ，乘以特性 阻抗即为实际值；
– 直接给出反射系数的模值||及其相位； – 根据反射系数模值计算出驻波系数的值
阻抗圆图的应用
应用于下列问题的计算
– 已知负载阻抗ZL，确定传输线上的驻波系 数或反射系数和输入阻抗Zin；
jX
ji
4
2
0.5
1
2
1 x=0.5
x=-0.5
0.2 RC
4 D r
-1
-0.2
-4
-2
-2
-0.5 -1
-4
(b)
阻抗圆图----等电抗圆
||1，因此只有单位圆内的部分才有物理意义 等电抗圆都相切于点，即D点x＝0时，圆的半 径为无限大对应于复平面上的实轴即直线CD 当x时，电抗圆缩为一个点，D点
史密斯圆图
9.旋转方向：圆图还注明了顺时针旋转为向始端（信号源端）方向移
动，逆时针旋转为向终端（负载端）方向移动。 10.
r 值的标注： r 值标注在纯电阻线上，开路点为 ，短路点为0，
匹配点为1。
11.X值的标注:标注在 1 大圆的内侧等X线与 1 大圆的交点处。
Zb zb Zc (105 j50)
作业：用Smith圆图完成以下作业
特性阻抗为 Z0 50 ，负载阻抗为Z L (50 j100) ，
l 0.2 ,求输入阻抗 Z in 。
1.等反射系数图
均匀无耗线上任一处的反射系数 ( z ) 可以表示为
( z) 2 e
j (2 2 z )
在极坐标中其曲线是一个以原点为圆心、 2 为半径的 圆。在一段终端接以某负载、无分支的无耗线上，其 的值由长线的特性阻抗 Z0 和负载阻抗 Z L 所决定，而沿 线各处的 2 与 是相同的，只是反射相位将随位置的 改变而改变，故称此圆为等反射系数图。因为反射系数 的模与驻波比 是一一对应的，故又称为等驻波比圆。
Smith圆图(极坐标圆图)
构成圆图的依据是长线理论中的一些基本公式（沿线Z坐标原点均选在终端）
Z in ( z ) 1 ( z ) Z (z) Z0 1 ( z)
L 1 2 Z 1 2
(z) 1 Z (z) (z) 1 Z
( z ) 2e
u
的直线上。圆心的纵坐标等于圆半径。故所有等 X 圆也全相切于点 （1，0）。
圆、等 将等 R X 圆绘制在同一复平面 u j v 上便得到如下所示的等 阻抗图。
史密斯圆图即为等反射系数圆与等阻抗圆的重叠图
Smith圆图详解知识分享
S(1,1)
Smith 圆图——ADS验证
m1 freq=2.400GHz S(1,1)=0.013 / -160.338 impedance = Z0 * (0.976 - j0.008)
m1
freq (2.000GHz to 3.000GHz)
VSWR1
dB(S(1,1))
m2 freq=2.400GHz dB(S(1,1))=-37.839
以实轴中心为原点，画圆，使负载点 在圆上。圆与实轴左边的那个交点上， 画一条直线下来。
从Smith 圆图中读参数_2
由上图可以看出： 驻波比SWR=2.6 回波损耗：RTN LOSS=7dB 反射系数： |Γ|=0.44
从Smith 圆图中读参数_3
在smith图中找到 负载点，如红点所 示。
通过实轴中心与负 载点画一条直线， 直线与相位圆相交 于紫色点，读出该 点相角约为26.2度
freq, GHz
m3 freq= 10.00GHz S(1,1)=0.447 / 26.565 impedance = Z0 * (2.000 + j1.000)
VSWR1
2.6180340
m2 freq=3.000GHz VSWR1=2.618
2.6180340
2.6180340
m2
2.6180340
2.6180340
Smith 圆图_ADS验证
dB(S(1,1))
-6.9897000
m1 freq=3.000GHz dB(S(1,1))=-6.990
-6.9897000
-6.9897000
m1
-6.9897000
-6.9897000
-6.9897000
Smith 圆图
r 1
r，,0而半径是
。1
1 r
圆心在实轴上。考虑到
r 1 1 1 r 1 r
电阻圆始终和直线 r 相1 切。
(7-5) (7-6)
二、Smith圆图的基本构成
园心坐标
r
半径
r
r 1 r
i 0
1 1 r
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
1
0
2
1
0
3
二、Smith圆图的基本构成
虚部又可得到方程
(r
1)2
x=0
r shorted.c
0
r =1
x= open.c
容抗
图 7-2 等电阻图
图 7x-=3-1/2等电抗x=图-1
3. 标定电压驻波比实轴表示阻抗纯阻点。因此，可 由电阻r 对应出电压驻波比。
4. 导纳情况
二、Smith圆图的基本构成
Y (z ) 1 (z ) 1 (z )
令 Y z g， 完jb 全类似可导出电导圆方程
二、Smith圆图的基本构成
1. 反射系数Γ图为基底
i 向负载
0 0.3 0.6 1.0 r 向电源
图 7-1 反射系统Γ图
反射系数图最重要的概念是相角走向。 (z' ) l e j2z'
二、Smith圆图的基本构成
式中 z'是向电源的。因此，向电源是反射系数的负角
方向；反之，向负载是反射系数的正角方向。
(z' ) l e j2z' |l |e j(l 2 ) |l |e j θ 的 周 期 是 1 / 2 λg。 这 种 以 | Γ| 圆 为 基 底 的 图 形 称 为
史密斯圆图简介
史密斯圆图（Smith chart ）分析长线的工作状态离不开计算阻抗、反射系数等参数，会遇到大量繁琐的复数运算，在计算机技术还未广泛应用的过去，图解法就是常用的手段之一.在天线和微波工程设计中，经常会用到各种图形曲线，它们既简便直观，又具有足够的准确度，即使计算机技术广泛应用的今天，它们仍然对天线和微波工程设计有着重要的影响作用。
Smith chart 就是其中最常用一种.1、Smith chart 的构成在Smith chart 中反射系数和阻抗一一对应；Smith chart 包含两部分,一部分是阻抗Smith 圆图（Z-Smith chart ），它由等反射系数圆和阻抗圆图构成；另外一部分是导纳Smith 圆图(Y —Smith chart ），它由等反射系数圆和导纳圆图构成；它们共同构成YZ —Smith chart 。
阻抗圆图又由电阻和电抗两部分构成，导纳圆图由电导和电纳构成.1.1 等反射系数圆在如图1所示的带负载的传输线电路图中，由长线理论的知识我们可以得到负载处的反射系数0Γ为:000000Lj L u v L Z Z j eZ Z θ-Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中00arctan(/)L v uθ=ΓΓ.图1 带负载的传输线电路图在离负载距离为z 处的反射系数Γ为：2000L j j z in u v in Z Z j e eZ Z θβ--Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中220u vΓ=Γ+Γ,arctan(/)L v u θ=ΓΓ。
椐此我们用极坐标当负载和传输线的特征阻抗确定下来之后，传输线上不同位置处的反射系数辐值（1Γ≤)将不再改变，而变得只是反射系数的辐角；辐角的变化为2z β-∆,传输线上的位置向负载方向移动时,辐角逆时针转动，向波源方向移动时，辐角向顺时针方向转动，如图2所示。
图2 等反射系数圆传输线上不同位置处的反射系数的辐角变化只与2z β-，其中传波常数2/p βπλ=，所以Γ是一个周期为0.5p λ的周期性函数。
史密斯圆图
导纳圆图的特点
' jG b
B 0.5
G 0.5
(0,0) 开路点
(1,0)
匹配点
电流波节 Gmin=K B 0.5
B0
导纳圆图使用原则： 容性 同一张圆图，既可以当 作阻抗圆图来用，也 B 1 可以当作导纳圆图来 G 1 G (,) 用，但是在进行每一 短路点 次操作时，若作为阻 B 1 抗圆图用则不能作为 电流波腹 Gmax=S 导纳圆图。
例3 在Z0为50Ω 的无耗线上测得 VSWR为5，电压驻波最小点
出现在距负载λ /3处，求负
载阻抗值。 解：电压驻波最小点:
rmin = K = 1/ VSWR = 1/ 5 = 0.2
在阻抗圆图实轴左半径上。以rmin点沿等 VSWR=5的
圆反时针旋转转λ /3得到 zL 0.77 j1.48 ， 故得负载阻抗为 Z 38.5 j 74() L
| G | 1/ 3 圆
0
zmin 1.55
0.5
zL
zL 1.55 j 0.65
j 0.65
例9 双导线的特性阻抗为250Ω，负载阻抗为500－j150Ω， 线长为4.8λ，求输入导纳。
解：zL 2 j0.6
180度，得 yL 0.45 j0.15
zL 点沿等Γ线旋转
8
例2 已知： Z 0 50
Z L 100 j50
0.24
ZL
求：距离负载0.24波长处ห้องสมุดไป่ตู้Zin.
解
ZL zL 2 j Z0
l 0.213
查史密斯圆图，其对应的 电波长数为
向电源顺时针旋转0.24(等半径)
zin 0.42 j0.25
Smith(史密斯)圆图阻抗匹配
2
2 2
等归一化电阻圆方程
2
1 1 2 a 1 b X X
等归一化电抗圆方程
归一化电阻圆
j b
R0
a=1
R 0.5
R 1
电流反射系数 与导纳的关系
两个公式在形式上是完全相同的，所以导纳 圆图与阻抗圆图在图形坐标的数值、符号和曲线 形状上是相同的，可以把阻抗圆图当作导纳圆图 来使用，但是图上各点所代表的物理含义要作不 同的解释。
1、导纳圆图的特点
' j b
B0
B 0.5
B 1
容性
G 0.5
(0,0) 开路点
2 2 z ' tan1 a b
j b 向电源 135 180 180 135 向负载 90
电刻度 起点
反射系数相角射线方程
特点：
45 a 0
90
z'变化 /4 ，变化， z'变化 /2 ， 变化2，故绕圆一周相当于考察 点在线上移动/2。 旋转方向：向电源移动，z'增加， 顺时针旋转；向负载移动，z'减小， 逆时针旋转。
(1,0)
匹配点
G 1
(,) 短路点 电流波腹 Gmax=S
'a
电流波节 Gmin=K B 0.5
B0
B 1
导纳圆图使用原则： 同一张圆图，即可以 当作阻抗圆图来用， 也可以当作导纳圆图 来用，但是在进行每 一次操作时，若作为 阻抗圆图用则不能作 为导纳圆图。
感性
Y ( z ') G( z ') jB( z ')
Smith圆图快速入门
Smith 圆图快速入门
从Smith chart 我们不仅可以简化计算，同时还它还可以帮助我们理好的理解长线理论中的概念的现实含义以及它本身。
由于纳圆图（Y-Smith chart ）与阻抗圆图（Z-Smith chart ）有简单的对应关系，所以下边我们仅对阻抗圆图（Z-Smith chart ）的特点作一个归纳。
如下图图7所示，阻抗圆图可以提供四个数据：X 、R 、Γ和相位θ；在横坐标上半部分电抗呈感性，横坐标下半部分电抗呈容性；在坐标为（1，0）处表示传输线终端呈开路（开路点）；（-1，0）对应于终端短路点；开路点与短路点之间相差π相位；电压波腹都落在正的横坐标轴，电压波节落在负的横坐标轴上；处于最外边的圆（1=Γ）代表驻波状态，其上半个圆代表纯电感，其下半圆代表纯电容；坐标原点代表阻抗匹配点（0=Γ）。
图7. 阻抗圆图特性
阻抗圆图关系表
1．三个特殊点。
Smith圆图和阻抗匹配网络PDF格式讲义
C1 C2 R2
Ceq Rs
2 1 + Q2 C1 = C2 2 QQ2 − Q2
Cp
Rp
14
L型匹配网络
– 组成：两个不同性质的电抗元件构成 – 特性：窄带网络，具有滤波功能 (Q) – 两种L匹配网络
Xs
RS
Xs
RS
Xp RL
Xp
RL
Rs > RL
Rs < RL
Xs为串联支路电抗元件, Xp为并联支路电抗元件 – 若已知Rs、RL，并为纯电阻，电路工作频率为ωo，可求出匹 配网络L、C的值。
1 − Γ 1 + Γ e − jπ 1 y= = = 1 + Γ 1 − Γ e − jπ z
– 其中Y为网络端口导纳，Y0为参 考导纳，y为归一化导纳， y=Y/Y0，Y0通常为1/50=0.02S – 导纳和Γ平面上的点存在一一 对应的关系 – 比较z和y的表达式可得，阻抗到 导纳的转换，只需将该阻抗点 在Γ平面上旋转180o，即导纳点 是阻抗点关于原点的对称点 – 将 Smith 阻抗圆图旋转180o得 的圆图称为 Smith 导纳圆图
A
Zin
B
Zo
ZL
l
λ
1λ 8
Γ 为 Z L 端的反射系数
因此，在端口AB处的反射系数为Γe2jβl，与负载端的反射系数相比，其模 不便，只是相角增加了-2βl。在直角 坐标系中，将归一化阻抗zL绕着圆心， 以|Γ|为半径，顺时针旋转2βl角度， 对应的点即为归一化zin。 Zin – 顺时针旋转：ZL – 逆时针旋转：Zin ZL
网络有载 Q 值 Qe =
20
• 当RS/Ri>>1, RL/Ri >>1时
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图1.7.3 等电抗圆
（2）等电抗圆 对于等电抗圆
半半 ：
1 x
1 圆 圆 ： Γ r = 1, Γ i = x
（1.7.10）
x的范围为−∞＜x＜+∞，x可为负（即电容性），也可 为正（即电感性）。所有的圆的中心都在过Γr=+1点 并垂直于实数轴（Γr）的线（虚线）上。对于x=∞， 可以得到一个半径为零的圆，即是位于Γr=+1和Γi=0 的一个点。当x→0时，圆的半径和圆的中心沿着垂直 于实数轴（Γr）的线（虚线）的位移趋于无限大。从 图1.7.3可以看出，代表电感性阻抗的正值位于Γ平面 的上半部分，代表电容性阻抗的负值位于Γ平面的下半
部分。
1.7.3 Smith圆图（阻抗圆图）
将等电阻圆和等电抗圆组合在一起，在 |Γ |≤1的圆内 可得到如图1.7.4所示的Smith圆图（也称为阻抗圆图， 简称圆图）。在Smith圆图中，上半部分x为正数，表 示阻抗具有电感性，下半部分x为负数，表示阻抗具有 电容性。水平轴表示的是纯电阻。圆图上的任何一点 描述的是电阻和电抗的串联，即z=r+jx形式。
图1.7.1 传输线终端连接不同的ZL在等反射圆图的表示
其中： （a）ZL=0（短路线）的Γ0（Γa）= −1（即∠180°）； （b）ZL=∞（开路线）的Γ0 （Γb）= +1（即∠0°）； （c）ZL=50Ω（匹配电路）的Γ0 （Γc）= 0（即在圆心 处，表示反射为0）； （d）ZL=（30.67 − j 40.8）Ω的Γ0 （Γd）= 0.50∠271°； （e）ZL=（19 + j 82）Ω的Γ0 （Γe）= 0.81∠61°。
（1.7.8）
2．等电阻圆和等电抗圆 式（1.7.7）和式（1.7.8）分别表示直角平面Γr和Γi上 的两组圆，等电阻圆如图1.7.2所示，等电抗圆如图 1.7.3所示。
图1.7.2 等电阻圆
（1）等电阻圆 对于等电阻圆有
r 圆圆 ： Γr = , Γi = 0 （1.7.9） 1+ r r的范围是0≤r＜∞。当r=0时，圆的中心在原点，半径 为1。当r=1时，圆的中心向正Γr方向位移1/2单位，半 径为1/2。当r→∞时，圆的中心位移收敛到+1点，圆 1 半半 ： r +1
（1.7.3）
式中，Zin为归一化阻抗。
用分母的复共轭乘以式（1.7.3）的分子和分母，得到
1 − Γ r 2 − Γ i 2 + 2 jΓ i Z in = r + jx = (1 − Γ r )2 + Γ i 2 （1.7.4）
可分别求得归一化电阻r和电抗x的表达式为
1 − Γ r2 − Γ i2 r= (1 − Γ r ) 2 + Γ i 2
其中
θ L =arctan(Γ 0i / Γ 0r )。
（1.7.1）
【例】 一个特性线阻抗Z0=50Ω的传输线，其终端连 接下列负载阻抗（ZL）： （a）ZL=0（短路线）； （b）ZL=∞（开路线）； （c）ZL=50Ω； （d）ZL=（30.67 − j40.8）Ω； （e）ZL=（19 + j82）Ω。 传输线终端连接不同的ZL在等反射圆图上的表示如图 1.7.1所示。
图1.7.4 Smith圆图
1.7.2 等电阻圆图和等电抗圆图
1．归一化阻抗公式 一端连接负载无耗传输线的输入阻抗可表示为
1 + Γ r + jΓ i Z in (d ) = Z 0 1 − Γ r − jΓ i
（1.7.2）
式中，Z0为特性阻抗。 对传输线的特性阻抗进行归一化处理可得
Z in ( d ) / Z 0 = Z in = r + jx = 1 + Γ ( d ) 1 + Γ r + jΓ i = 1 − Γ ( d ) 1 − Γ r − jΓ i
1.7 Smith圆图 圆图
Smith圆图是解决传输线、阻抗匹配等问题的 有效图形工具，1933年由AT&T贝尔实验室的 工程师Philip Smith发明。
1.7.1 等反射圆
等反射圆是一组同心圆，半径为0～1。等反射圆可以 用来表示相量形式的反射系数。 传输线的反射系数Γ0的表达式为
ZL − Z0 Γ0 = = Γ 0r + jΓ 0i =| Γ 0 | e jθ L ZL + Z0
2Γ i x= (1 − Γ r ) 2 + Γ i 2
（.7.5）
（1.7.6）
重新排列后得
r 1 2 Γr − + Γi = r +1 r +1
2 2
2
2
（1.7.7）
2
1 1 (Γ r − 1) + Γ i − = x x