高考数学试卷答题卡—上海卷
(完整版)全国卷高考数学答题卡模板(文理通用)
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题〔每题 5 分，共 60 分〕
1A B C D 2A B C D
3A B C D
4A B C D
5A B C D 6A B C D 7A B C D 8A B C D
二、填空题〔每题 5 分，共 20 分〕
9 ABCD 10 A B C D 11 A B C D 12 A B C D
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、〔本小题总分值 12 分〕
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21、〔本小题总分值 12 分〕
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 .题〔10 分〕
13、______ ___ __ ___
14、_______ _______
15、______ __ ______
16、
三、解答题〔共 70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18、〔本小题总分值 12 分〕
17、〔本小题总分值 12 分〕
…………………………………………密…………………………………封…………………………………………
座位号
重庆两江育才中学高 2021 级高一〔上〕第一次月考
数学试题答题卡
座号 ________________________ 准考证号
考生禁填：缺考考生由 监考员填涂右 边的缺考标记．
考生条形码粘贴处
正确填涂 填
涂 样 错误填涂
例√× ○
●
2019年上海市高考数学真题试题含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7T2题每题5分）123456789（4 分）己知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5）, B = {3, 5, 6},则 A B =（4分）计算lim（4分）不等式|x + l|<5的解集为.（4分）函数f （x ） = x 2（x>0）的反函数为・（4分）设，为虚数单位，3z-i = 6 + 5i ,贝！J |z|的值为（4分）己知J2x + 2； = T,当方程有无穷多解时，。
的值为_.[4x + a y = a（5分）在3 + *）6的展开式中，常数项等于.（5 分）在 AABC 中，AC = 3, 3sinA = 2sin3,且 cosC = -,则 AB=4 ----（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有—种（结果用数值表示）_2_10.（5分）如图，已知正方形OABC ,其中OA = a （a>l ）,函数j = 3x 2交BC 于点P,函数y = G交AB 于点！2，当\AQ\ + \CP\最小时，则。
的值为.11. （5分）在椭圆七+匕=1上任意一点F, Q 与P 关4 2于x 轴对称，若有F {P F 2P… 1,则gP 与乙。
的夹角范围为.12. （5 分）已知集合A = [t, z + 1] [r + 4, t + 9], 0",存在正数九，使得对任意aeA,都有-eA,贝!U 的值a是.二、 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. （5分）下列函数中，值域为[0, +8）的是（ ）2A. y = 2xB. y = x 2C. y = tan xD. y=cosx14. （5 分）己知 a 、beR,则" a 2>b 2 "是"\a\>\b\"的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15. （5分）已知平面a 、§、/两两垂直，直线a 、b 、c 满足：aga , b g 0 , cc.y ,则直线a 、b. c 不可能满足以下哪种关系（ ）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16. （5分）以（％, 0） , （a 2, 0）为圆心的两圆均过（1,0）,与y 轴正半轴分别交于, 0） , （y 2,0）,且满足lny }+lny 2=O,则点（―,—）的轨迹是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18 = 76分）— 3n +1/ — 4〃+117. (14 分)如图，在正三棱锥P-AB C 中，PA = PB = PC = 2,AB = BC = AC = @(1) 若正3的中点为M, BC 的中点为N ,求AC 与A/N 的夹角；(2) 求P-AB C 的体积.18. (14分)已知数列｛%｝, %=3,前〃项和为S 广(1) 若｛弓｝为等差数列，且％=15,求& ;(2) 若｛%｝为等比数列，且limS… <12,求公比g 的取值范围.n —>oo19. (14分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍.卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年-2015年我国卫生货用中 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比.(数据来源于国家统计年鉴)(1) 指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化 趋势：(2) 设，=1表示1978年，第〃年卫生总费用与年份f 之间拟合函数的)=*2盟 研究 函数/■①的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.年份卫生总费用(亿元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数(亿元)占卫生总费用比重(％)绝对数(亿元)占卫生 总 费用比重(%绝对数(亿元))占卫 生 总 费 用 比 重(%)201228119. 009656. 3234. 3410030.7035. 678431. 9829. 99201331668.9510729.3433.8811393.7935. 989545.8130. 14201435312. 4011295.4131.9913437. 7538. 0510579. 2329. 96201540974. 6411992.6529. 2716506. 7140. 2912475. 2830. 4520. (16分)已知抛物线方程尸=4了，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，。
(上海卷)高考数学试题详细解答及考点解读
全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z 满足(1)1z i i +=-(i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ ． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且A B R =，则实数a 的取值范围是________．3．若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________．4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）． 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ ．7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）． 8．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________．9．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ． 10．在极坐标系中，由三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=围成圆形的面积是 ．11．当0≤x ≤1时，不等式sin2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是 ．12．已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ． 13．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4）， （-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短． 14．将函数2642--+=x x y （]6,0[∈x ）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θαθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．“22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 （ ）（A ）必要不充分条件． （B ）充分不必要条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分也不必要条件．16．若事件E 与F 相互独立，且41)()(==F P E P ，则)(F E P 的值等于（ ） （A ）0．（B ）161． （C ）41． （D ）21．17．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4． （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0． （C ）丙地：中位数为2，众数为3．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3．18．过圆1)1()1(:22=-+-y x C 的圆心，作直线分别交 x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足ⅢⅡⅣⅠS S S S +=+，则 这样的直线AB 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，求二面角111C C A B --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．有时可用函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,44.4,6,ln 151.0)(x x x x xa a x f描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数)(*N ∈x ，)(x f 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7≥x 时，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(](](]133,127,127,121,121,115．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．21．（本题满分16分）本题共有12个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知双曲线,12:22=-y x C 设过点)0,23(-A 的直线l 的方向向量),1(k =． （1）当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 距离； （2）证明：当22>k 时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为.6 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数)()(1x f y x fy ==-是的反函数，定义：若对给定的实数)0(≠a a ，函数)(')(1a x f y a x f y +=+=-与互为反函数，则称)(x f y =满足“a 和性质”；若函数)(ax f y =与)(1ax fy -=互为反函数，则称)(x f y =满足“a 积性质”．（1）判断函数)0(1)(2>+=x x x g 是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数)0)((>=x x f y 对任何0>a ，满足“a 积性质”．求)(x f y =表达式． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列．（1）若13+=n a n ，是否存在k m m a a a N k m =+∈+*1,,有？说明理由；（2）找出所有数列}{n a 和}{n b ，使对一切n nn b a a N n =∈+*1,，并说明理由； （3）若3,4,511====q b d a ，试确定所有的p ，使数列}{n a 中存在某个连续p 项的和是数列}{n b 中的一项，请证明．全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案及解读一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． i .【解读与点评】由(1)1z i i +=-，得11iz i i-==-+，从而z i =，故答案为：i . 点评：熟记一些常用的复数运算，如2211(1)2,(1)2,,1i i i i i i i i i ++=-=-=-=-，11i ii-=-+等．2． (,1]-∞．【解读与点评】利用数形结合的方法，易知实数a 的取值范围是1a ≤，故答案为：(,1]-∞．3． 8(,)3+∞．【解读与点评】依题意可知元素4的代数余子式为 38 9x ，即为898303x x -⨯>⇒>，故答案为：8(,)3+∞．4． 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．【解读与点评】依题意，可知程序框的判定语句，当1x >时，是将2x -赋予y ，否则1x ≤时，2x赋予y ． 从而可知输出量y 与输入量x 满足的关系式是：2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．5． ．【解读与点评】解析：因为11//A D AD ，所以直线11A D 与1BD 所成的角即为异面直线1BD 与AD 所成角因为正四棱柱底面边长为2，高为4，所以在11Rt A D B ∆中，112A D =，1A B ==所以11111tan A BD A B D A ∠==11D A B arc ∠=arc6．1-．【解读与点评】解析：依题意有22cos sin 21cos 2sin 2)14y x x x x x π=+=++=++当2242x k πππ+=-，即3,8x k k Z ππ=-∈时，sin(2)14x π+=-，此时有函数22cos sin 2y x x =+的最小值是：1，故答案为：1-7．47．【解读与点评】依题意可知随机变量ξ值可为0,1,2, 252710(0)21C P C ξ===，11522710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===． 所以10101124012212121217E ξ=⨯+⨯+⨯==，故答案为：47． 8．=．【解读与点评】依题意可知2221122334,4,4S R S R S R πππ===，从而123R R R =12323R R R +=， 23= 9． 3．【解读与点评】解法一：由已知条件可设12,PF m PF n ==,则9,22,mnm n a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩则22222212()24364m n m n mn a F F c +=+-=-==, 得2229b a c =-=,∴3b =．解法二：利用结论：122212tan 2PF F b S F PF ∆=∠，从而有1222212991tan 2PF F b b S F PF ∆==⇒=∠，又0b >，所以3b =，故答案为：3． ．【解读与点评】解析：方法一：依题意，因为cos sin 1ρθρθ+=，从而方法二：依题意在极坐标系中三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=，转化为直角坐标系方程即为：0y =，,1y x y =+=，在直角坐标系画出图象如图所示：可知1AB =，3CAB π∠=，4ABC π∠=，从而512ACB π∠=，由正弦定理得：sin 1554sin sin sin 124124AB AC AB AC ππππ=⇒===三条直线所围成的图形的面积为113sin 1)123224S AC AB π=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：34-． 11． (,1]-∞．【解读与点评】方法一：当0x =时,不等式sin2x kx π≥恒成立；当0x ≠时,不等式sin2x kx π≥恒成立,等价于sin2xk xπ≤((0,1]x ∈),令sin2()xf x x π=,则2cossin222()x x xf x x πππ-'=, ∵(0,1)x ∈时,(0,)22x ππ∈, tan 22x x ππ>,即可得cos sin 0222x x x πππ-<,从而()0f x '<,又(1)0f '<,∴()f x 在(0,1]x ∈上为减函数, 即可得()(1)1f x f ==最小值,∴1k ≤．故答案为：(,1]-∞． 方法二：利用性质：当[0,]2πα∈，2sin 1απα≤≤．所以当0≤x ≤1，[0,]22xππ∈，所以不等式sin 2x kx π≥恒成立,等价于sin sin2222x xk xxππππ≤=，又当[0,]22x ππ∈时，sin222x x πππ的最小值为1，所以1k ≤， 故答案为：(,1]-∞．12． 14．【解读与点评】依题意可知：函数()sin tan f x x x =+为(,)22ππ-上的奇函数且单调递增,又(0)0f =,且等差数列{n a a }满足1227()()()0f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则必有127226325,,,a a a a a a =-=-=-⋅⋅⋅且140a =, 即得14k =时,14()0f a =． 故答案为：14．13． (3,3)．【解读与点评】设零售点坐标为(x ,y ),则6个零售点沿街道到发行站之间的路程为(|2||2|)(|2||3|)(|3||1|)(|3||4|)(|4||5|)(|6||6|)x y x y x y x y x y x y ++-+++-+-+-+-+-+-+-+-+-即为2|2|2|3||4||6||1||2||3||4||5||6|x x x x y y y y y y ++-+-+-+-+-+-+-+-+-， 不难知横坐标(2,4)x ∈时,横坐标差的绝对值之和较小,纵坐标[3,4]y ∈时,纵坐标差的绝对值之和较小,去掉绝对值可得142|3|8|3||4|x y y +-++-+-,当3x =时,去掉不可取的零售点(3,4)外可取3y =,此时最小路程为23, 故可以确定(3,3)为发行站． 故答案为：(3,3)． 14． 2tan3arc ．【解读与点评】将函数变形为方程可得 22(3)(2)13x y -++=, [0,6],0x y ∈≥,其图象如右图所示,过点O 作该圆的切线OA,将该函数的图象绕原点逆时针旋转时,其最大的旋转角为AOy ∠，此时曲线C 都是一个函数的图象（理解好函数的概念：一个x 值只能对应一个y 的值） ∵132OA OC k k =-=, ∴12tan 3OA AOy k ∠==, ∴其最大的角α的为2tan3arc ．故答案为：2tan 3arc ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15． A ．【解读与点评】由实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根,可得240a ∆=-<, 即可得(2,2)a ∈-,∵(2,2)[2,2]-⊆-, ∴“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的必要不充分条件, 故应选A ．16． B ．【解读与点评】∵事件E 与F 相互独立, ∴1()()()16P E F P E P F =⨯=, 故应选B ．17． D ．【解读与点评】甲地取0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,该组数据均值为3,中位数为4,显然不符合该该标志；乙地取0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,该组数据均值为1,总体方差大于0,显然也不符合该标志； 丙地取0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,该组数据中位数为2,众数为3,显然也不符合该标志； 丁地的均值为2,则样本总和为20,由于总体方差为3,可知该组每一个数据与2的差的平方和为30,若该组数据中有一个超过7则,其方差必大于3,于是可得丁地一定符合该标志, 故应选D ．18． B ．【解读与点评】解析：如右图所示,设圆与两坐标轴的切点分别为E ，F ,BAO α∠=,((0,)2πα∈),则11tan ,1tan OB OA αα=+=+, 由S Ⅰ+S Ⅳ12AOB S ∆=，可得111112(1t a n)(1)2t a n 222tanπαπααπα+⋅+⨯=⨯⨯++, 整理可知得1tan 22tan απαα-=-+,(0,)2πα∈,此方程可化为(22)sin 22cos 20πααα-++=, 令()(22)sin 22cos 2f απααα=-++,(0,)2πα∈,由(0)20,()202f f π=>=-<，可知函数()f x 与x 轴必有一个交点,即上述上程必有一解,所以这样的直线AB 有1条, 故应选B ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．【解读与点评】如图，建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1`（0，2，2），设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， 设法向量与的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．111||1cos |cos |,.23||||.3n BM n BM B AC C πθφθπ⋅====⋅∴--解得二面角的大小为20．【解读与点评】证明：（1）当.)4)(3(4.0)()1(,7--=-+≥x x x f x f x 时而当)4)(3(,7--=≥x x y x 函数时单调递增，且.0)4)(3(>--x x故)()1(x f x f -+单调递减．7≥∴x 当，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降．解（2）由题意知.85.06ln151.0=-+a a整理得05.06c a a =-，解得(]127,1210.123,0.123650.206135.035.0∈=⨯≈⋅-=e e a 由此可知，该学科是乙学科． 21．【解读与点评】（1）双曲线C 的渐近线02,02:=±=±y x y x m 即l 直线∴的方程,0232=+±y x l 直线∴与m 的距离.62123=+=d（2）证法一：设过原点且平行于l 的直线,0:=-y kx b则直线l 与b 的距离21||23k k d +=，当.6,22>>d k 时 又双曲线C 的渐近为 .02=±y x ∴ 双曲线C 右支在直线D 的右下方∴双曲线右支上的任意点到l 的距离大于6．故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l． [证法二] 假设双曲线C 右支上存在点),.(00y x Q 到直线l 的距离为.6则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-)2(,22)1(,61|23|2020200y x k k y kx 由（1）得2001623k k kx y +⋅±+=设21623k k t +⋅±=,当22>k 时， 016232>+⋅+=k k t , .01312616232222>++-⨯=+⋅-=k k k k k t将t kx y +=00代入（2）得 0)1(24)21(20202=+---t ktx x k （*）0,22>>t k ， .0)1(2,04,02122<+-<-<-∴t kt k∴方程（*）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．22．【解读与点评】（1）函数)0(1)(2>+=x x x g 的反函数是)1(1)(1>-=-x x x g)0()1(1>=+∴-x x x g ．而)1(1)1()1(2->++=+x x x g ， 其反函数为)1(11>--=x x y , 故函数)0(1)(2>+=x x x g 不满足“1和性质” ．（2）设函数)()(R x b kx x f ∈+=满足“2和性质”，0≠k ， )()(1R x k b x x f ∈-=∴-， ∴k bx x f -+=+-2)2(1．而)()2()2(R x b x k x f ∈++=+，得反函数k kb x y 2--= ,由“2和性质”定义可知k kb x k b x 22----+对R x ∈恒成立．R b k ∈-=∴,1，即所求一次函数为)()(R b b x x f ∈+-=．（3）设0,00>>x a ，且点),(00y x 在)(ax f y =在图像上，则),(00x y 在函数)(1ax f y -=图像上， 故⎩⎨⎧==-,)(,)(00100x ay f y ax f可得),()(000ax af x f ay ==令x ax -0， 则0x xa =， )()(00x f x xx f =∴， 即.)()(00xx f x x f =综上所述，)0()(≠=k x kx f ，此时ax kax f =)(，其反函数就是,ax ky =而,)(1ax kax f =-故)()(1ax f y ax f y --==与互为反函数．23．【解读与点评】（1）由k m m a a a =++1，得,1356+=+k m 整理后，可得,342=-m k,,*N k m ∈ m k 2-∴为整数，*,N k m ∈∴不存在，使等式成立．（2）解法一：若n n n b a a =+1，即1111)1(-=-+-n q b dn a nd a （*）（i ）若0=d ，则.111n n b q b ==-当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求．（ii ）若0≠d ，（*）式等号左边取极限和1)1(lim 11=-+∞→d n a nda a ，（*）式等号右边的极限只有当1=q 时，才可能等于1，此时等号左边是常数，,0=∴d 矛盾．综上所述，只有当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求 10分 解法二：设,c nd a n +=若n n n b a a =+1， 对*N n ∈都成立，且}{n b 为等比数列， 则q a a a a nn n n =+++112/，对*N n ∈都成立，即212++=n n n qa a a ． *2)()2)((N n c d dn q c d dn c dn ∈++-+++∴对都成立，22qd d =∴．（i ）若0=d ，则0≠=c a n ，*,1N n b n ∈=∴． （ii ）若0≠d ，则,1=q m b n =∴（常数），即m c dn c d dn =+++，则0=d ，矛盾． 综上所述，有1,0=≠=n n b c a ，使对一切n nn b a a N n =∈+1*,． （3）*,3,14N n b n a n n n ∈=+=设.,,,3*21N m N k p b a a a k k p m m m ∈∈==++++++ ,321)(41)1(4k p p m m =+++++ 93324k p m =++∴． N p N k p ∈=∴∈δδ,3,,* ,取03)14(2)14(33234,232222≥--⨯--=-⨯-=+=+-s s s s m s k ．由二项展开式可得正整数M 1、M 2，使得,114)14(22+=-+M s,2)1(8)14(22s N M -+=-⨯ 2)1)1(()2(4421+---=∴s M M m ，∴存在整数m 满足要求．故当且仅当N s p s∈=,3时，命题成立．说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p 为偶数，则p m m m a a a ++++++ 21为偶数，但k 3为奇数，故此等式不成立，∴p 一定为奇数．当1=p 时，则k m b a =+1，即k m 354=+．而kk )14(3-=当k 为偶数时，存在m ，使k m 354=+成立．当3=p 时， 则k m m m b a a a =+++++321，即k m b a -+23也即k m 3)94(3=+， 1135)1(4,394--=++=+∴k k m m由已证可知，当1-k 为偶数即k 为奇数时，存在k m m 394,=+成立．当5=p 时， 则k m m m b a a a =++++++521 ，即k m b a =+35 也即，而k 3不是5的倍数， ∴当5=p 时，所要求的m 不存在．故不是所有奇数都成立试卷综合解读与评析——上海秋季高考数学试卷评析：基础与能力是立足点上海秋季高考数学卷立足于科学性，考查考生对基本数学思想和基本数学方法的掌握程度，鼓励中学数学教学围绕基本内容，提高对数学概念的本质认识，提高学生分析问题的能力．试卷保持了2007、2008年的风格，从宏观上看基本上是稳定的，即“在稳定中前行，在变化中发展”，这是今年高考的特点．试卷的题型结构不变，在题量、背景、方法、思维方式上有一些变化．难易梯度上保持循序渐进，基础题1—10题比较容易，但整卷有三个波浪：理科数学选择题后四题、填空题后两题难度较大，解答题后三题坡度比较高．今年数学卷的基本特点是：1．题型变化大．本卷共23道试题，填空题改为14道是意料之外的变化，解答题5道是在意料之中．也许填空题若设置5分一道，对考生压力较大，再加上《考试说明》中对“主客观题的分值约为1:1”的规定，因而增加了三道填空题，将减少一道解答题的分值分散在2～3道填空题中．2．知识点覆盖全．上海高考坚持能力立意以来，对知识点的考查不再求全．但本试卷较全面地考查了知识点，尤其是新增内容，基本都涉及到了，部分试题要求较高，如行列式、算法、期望、独立事件、旋转体、统计初步、矩阵等．3．新题数量较多．填空题中第12、13、14题，选择题中第17、18题，解答题中第20、22、23题给人耳目一新的感觉．有些问题的表述比较陌生，考生需要较强的数学理解和化归能力，有些试题的提问方式新颖，对考生的综合数学能力要求较高．4．提倡理性思维，强化数学思想的考查要求．数学科学的特点之一就是理性思维，在高考考试目标中对理科考生尤其如此．理性思维要求考生在问题解决中，运用所学的基本知识和基本概念，会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，会正确而简明地表述推理过程，而不是都以算为手段，用算解决问题．例如理科第17、20题，依据统计中的有关基本概念、函数单调性的概念等对问题作出判断．如果只是用计算器将所有情形算一遍，虽然得分不低，但可能损失时间，不利于考生的整体发挥．又如理科第21（2）题，将含有点的方程代入双曲线方程，由演绎推理得到所设方程不成立即可，如果用判别式和韦达定理则要大算一通，这道题考查对于数学思想方法本质的理解．本卷较多地考查了对数形结合思想．不仅有代数对应几何图形的准确快速作图要求，还有对图形变化以及图形中代数性质概括的要求，如第10、11、13、14、18、21等．第10题，将三条直线围成的图形做出后，就转化为一个解斜三角形的问题，若无较强的平面几何知识，按部就班计算，问题变得复杂．第13、14题作为提高区分度试题，要求很高，要想完全弄清题意，给出充分解释，并非易事．第17题，选项中同时出现了均值、中位数、众数、方差等概念，而且需要对选项逐一检验．四个选项，无论是肯定还是否定，学生都不容易，再加上大多少学生对上述统计量并没有深刻理解，因而，猜的成份更大．第18题，需要将图形从静止到运动，才能体会其中的关系．第21(2)题的解答表述比较困难，从图形分析，学生容易理解，但难以说清楚，对考生的表达能力要求较高．第23(3)题，需要考生有一定的数论整除知识．对大多少的考生甚至教师而言，都非常欠缺数论知识．5．源于教材，注重过程．试卷没有一道题目直接来自教材，但从教材改编的题目很多．这些源于教材，又不同于教材的题目，目的在于鼓励师生钻研教材，不远离课本，减轻学生负担．例如理科第13题，源于高三的“统计案例”一章，教材分析了在一维条件下到有限点距离最短的结论，试题在此基础上，利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么．由于这里横坐标、纵坐标可以独立考虑，因此并不需除教材例题之外的方法．又如理科第17题，源于高三统计基本方法一章，教材对具体数学对象中的中位数、众数和平均值作了详尽的说明，试题结合社会实际现象，设计的问题落在考查准确把握上述统计内容中的基本概念，以及如何解释它的实际意义上．再如理科第20题，源于高一（二）对数函数例3“学习曲线”的描述，第（2）题的问题是要验证参数的区间，相当于对模型的应用和检验．由于每年的应用题得分率都不高，失分大多是因为未能建立数学模型，今年的应用题（理科第20题）改编自课本，题目给出了数学模型，从某种意义上说扫清了“拦路虎”．由上述3题考试目标的阐述可见数学教学应注重学习过程，准确把握基本概念内涵，要从“教题”转化到“教书”，而不是从“题型”出发，把学生淹没在题海中．有些试题考生可能第一眼看上去像新面孔，但分析一下会有“他乡遇故知”的感觉．6．体现“二期”课改理念和要求．今年在全面推行“二期”课改的前提下，试卷体现了“二期”课改的理念和要求：一，注重过程与方法；二，体现新增内容的基本要求，如代数余子式、框图、球、独立事件等均要考查知识和基本技能，立体几何以向量为工具解决问题．7．夯实基础，着眼能力．从理科试卷的几个能力型问题考查目标分析，尽管试题体现了一定的能力要求，但落脚点都在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．又如第22（3）题，虽然是一个自主学习能力的试题，但是考查的重点还是反函数的概念和互为反函数的图像是关于对称的基本要求．再如第23（3）题，它有一定深度的探究能力，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，对p的开始几个值上的试探，即可获得这小题的部分分值是我们对不少考生的期望．对比往年的数学试题，今年的知识点较多，没有“挖陷阱”的题目．但拿到题目时不要计算器当家，应有所分析，让大脑指挥手．只要对题目给出的提示信息获取充分，试题本身并不难．8．导向良好：教会学生思考．上海市高考理科数学，不少学生说题目难．因为许多题目都是“新面孔”，所以不会做．“新面孔”题目比例的提升，传递出一个信号：高考越来越注重对学生能力的考察，应试教育下的“条件反射”日渐失灵．在今年的试卷面前，考生的能力高下很容易区分．对于能力强的考生来说，有些题目第一眼看上去像“新面孔”，但分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉，落脚点还是在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．中学教学过程中有一个误区：学理科归根到底就是做题目．老师、学生一起苦战“题海”，以机械操练代替对数学基本概念、基本原理的理解，甚至有学生认为学习概念浪费时间，不如多做几道题痛快，这是舍本求末的表现．还有学生学习时往往看一遍题目，再翻到答案部分看一遍解法就“懂了”，如此囫囵吞枣，跳过对解题思路的琢磨，只能就题论题，无法举一反三．如果靠大量简单重复训练形成条件反射，在未来的高考中可能会事倍功半．同时，学习时不但要重视解题，更应重视概念的形成、论证过程，解题思路的探究过程．教师在教学过程中，不应简单把学生淹没在题海中，而是要考虑中学数学教育如何从“教题”（教会学生做题）回归到“教书”“教思考”，掌握数学的本质，培养更多“有想法”的学生．对于高中数学教学的导向，体现在“品、做、悟”．要学会品数学，所谓“品”，就是从不同角度欣赏她的美感，就会热爱她，热爱她就会关注她，就能够极大地激发学生学习数学的兴趣、主动性．第二，在多思指导下的精练，不是多做，更不是背．第三要“悟”，学会归纳、发现、创新，以数学的目光看问题能不能变化，能不能发展，能不能进行总结，能不能发现新的规律．全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数1)(3+=x x f 的反函数)(1x f -＝ _____________．2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且AB R =，则实数a 的取值范围是______________________ ． 3．若行列式4513789x x中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________ ． 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_____________ ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）．6． 若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________． 7． 已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2Z x y =-的最小值是___________．8． 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．9． 过点(1,0)A 作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则 MN = ．10． 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 ．11． 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且 21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ．13． 已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．14． 某地街道呈现东—西、南—北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则K 得值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或216．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是4 4 4 3 3 4 45 (D)(C) (B) (A)17． 点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ）（A ）22(2)(1)1x y -++= （B ）22(2)(1)4x y -++=（C ）22(4)(2)4x y ++-= （D ）22(2)(1)1x y ++-=18． 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”． 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 ．（B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 ．（C ）丙地：中位数为2，众数为3 ．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3 ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分14分）已知复数z a bi =+（a 、b R +∈）(I 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ． 复数3w u i =+（u R ∈）满足w z -< u 的取值范围 ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- ．（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积 ． 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 ．有时可用函数 0.115ln ,6,() 4.4,64a x a x f x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩ 描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
【解析】根据向量减法的运算规律，ai bj {1,2}可转化为以向量a1 和 a2 终点为圆心，作半径r1 1 和 r2 2
的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知， k 的最大值为 6。
1 /6
二、 13.【答案】B 14.【答案】D 15.【答案】D 【解析】 延长 BC 至 M 点，使得CM 2 延长C1C 至 N 点，使得CN 3 ，
2
b4 a b2
，
所以有4＜ b4 ，解得b2＞2 2 5 ，或 b2＜2 2 5 （舍） 4 b2
又因为OM ON由 ON 在 OM 上的投影可知： OM ON b2 4
所 以 OM ON b2 4＞6 2 5
OM ON 6 2 5,
21.【答案】（1）对于第一个数列有 2 3 1， 5 3 2 ， 1 3 2 ， 满足题意，该数列满足性质 p
以 C 、 M 、 N 为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为 H ， 连接 A1P 、 PH 、 HC ，则易得四边形 A1PHC 为平行四边形，
因为点 P 在平面 ADD1A1内，点 H 在平面 BCC1B1 内，
且点 P 在平面 ABCD 的上方，点 H 在平面 ABCD 下方， 所以线段 PH 必定会在和平面 ABCD 相交， 即点Q 在平面 ABCD 内。 16.【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P 的条件是，存在a R 且 a 0 ，
2020年上海高考数学真题试卷(word解析版)
⎨ ⎩ 2 2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1. 已知集合 A = {1 ，2， 4} ，集合 B = {2 ，4， 5} ，则 AB = ．2. 计算： limn + 1= ．n →∞3n -13. 已知复数 z = 1 - 2i (i 为虚数单位），则| z |=．4. 已知函数 f (x ) = x 3 ， f '(x ) 是 f (x ) 的反函数，则 f '(x ) = ．⎧x + y - 2 05. 已知 x 、 y 满足⎪x + 2 y - 3… 0 ，则z = y - 2x 的最大值为 ．⎪ y 01 6. 已知行列式2 a ba b c d = 6 ，则 =．3 0 0c d7. 已知有四个数 1，2， a ， b ，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则ab =．8. 已知数列{a } 是公差不为零的等差数列，且a + a = a ，则 a 1 + a 2 +⋯+ a 9= ．n 1 10 9a 109. 从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，第三天安排 2 个人，则共有 种安排情况．2 10. 已知椭圆C : x + y= 1 的右焦点为 F ，直线l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆C 于 P 、Q 两4 3点（点 P 在第二象限），若点Q 关于 x 轴对称点为Q ' ，且满足PQ ⊥ FQ ' ，求直线l 的方程是 ．11. 设a ∈ R ，若存在定义域为 R 的函数 f (x ) 同时满足下列两个条件： （1） 对任意的 x ∈ R ， f (x ) 的值为 x 或 x 2 ；⎨ y = -1 - 4t⎨y = -1 + 3t ⎨y = -1 + 4t⎨y = 1 - 3t （2） 关于 x 的方程 f (x ) = a 无实数解，则 a 的取值范围是 ．12.已知a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 ， ，b k (k ∈ N *) 是平面内两两互不相等的向量，满足| a 1 - a 2 |= 1 ，且| a i - b j |∈{1 ， 2} （其中i = 1 ，2， j = 1 ，2， ， k ) ，则k 的最大值是．二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.下列等式恒成立的是( )A. a 2 + b 2… 2abB. a 2 + b 2…- 2abC. a + b …2D. a 2 + b 2…- 2ab14.已知直线方程3x + 4 y + 1 = 0 的一个参数方程可以是( )A. ⎧ x = 1 + 3t⎩ (t 为参数） B ． ⎧x = 1 - 4t ⎩ (t 为参数）C ． ⎧x = 1 - 3t ⎩ (t 为参数）D ． ⎧x = 1 + 4t (t 为参数） ⎩15.在棱长为 10 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，P 为左侧面 ADD 1 A 1 上一点，已知点 P 到 A 1 D 1的距离为 3， P 到 AA 1 的距离为 2，则过点 P 且与 A 1C 平行的直线相交的面是()A. AA 1 B 1 BB ． BB 1C 1CC ． CC 1D 1 DD ． ABCD16.命题 p ：存在a ∈ R 且a ≠ 0 ，对于任意的 x ∈ R ，使得 f (x + a ) < f (x ) + f （a ）；| ab |命题q1: f (x) 单调递减且f (x) > 0 恒成立；命题q2 : f (x) 单调递增，存在x< 0 使得f (x) = 0 ，则下列说法正确的是( )A.只有q1 是p 的充分条件B．只有q2是p 的充分条件C．q1 ，q2都是p 的充分条件D．q1，q2都不是p 的充分条件三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分）17．（14 分）已知ABCD 是边长为1 的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转π至ABC D ，求线段CD 与平面ABCD 所成的角．2 1 1 118．（14 分）已知函数f (x) = sin ωx ，ω> 0 ．（1）f (x) 的周期是4π，求ω，并求f (x) =1的解集；2（2）已知ω= 1 ，g(x) =f 2 (x) + 3 f (-x) f (π-x) ，x ∈[0 ，π] ，求g(x) 的值域．246 ⎨19．（14 分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v = q， x 为道路密度， q 为车x 辆密度．⎧100 - 135 (1)x , 0 < x < 40 v = f (x ) = ⎪3． ⎪⎩-k (x - 40) + 85, 40剟x 80（1） 若交通流量v > 95 ，求道路密度 x 的取值范围；（2） 已知道路密度 x = 80 ，交通流量v = 50 ，求车辆密度q 的最大值．x 2 y 2 Γ2 2 220．（16 分）已知双曲线Γ1 : 4 - = 1与圆 b2 2 : x + y = 4 + b (b > 0) 交于点 A (x A ， y A ) （第一象限），曲线Γ 为Γ1 、Γ2 上取满足 x >| x A | 的部分．（1） 若 x A = ，求b 的值；（2） 当b=5 ，Γ2 与 x 轴交点记作点 F 1 、F 2 ，P 是曲线Γ 上一点，且在第一象限，且| PF 1 |= 8 ，求∠F 1 PF 2 ；（3） 过点 D (0, b 2+ 2) 斜率为- b的直线l 与曲线Γ 只有两个交点，记为 M 、 N ，用b 表示2OM ON ，并求OM ON 的取值范围．21．（18 分）已知数列{a n } 为有限数列，满足| a 1 - a 2 |剟| a 1 - a 3 | ⋯? | a 1 - a m | ，则称{a n } 满足性质 P ．（1） 判断数列 3、2、5、1 和 4、3、2、5、1 是否具有性质 P ，请说明理由；（2） 若a 1 = 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 P ，求q 的取值范围；（3） 若{a n } 是 1，2，3， ，m 的一个排列(m …4) ，{b n } 符合b k = a k +1 (k = 1，2， ，m - 1) ，{a n } 、{b n } 都具有性质 P ，求所有满足条件的数列{a n } ．212 + (-2)2 5 5 3 y 3 x ⎨ ⎩4． 3 x参考答案1. {2 ， 4}【解析】因为 A = {1 ，2， 3} ， B = {2 ，4， 5} ，则 A B = {2 ， 4} ．故答案为：{2 ， 4} ．2.13【解析】lim n + 1 = lim1 + 1 n =1 + lim 1 n →∞ n = 1 + 0 = 1，故答案为： 1．n →∞ 3n -1 n →∞ 3 -1 n3 - lim 1 n →∞ n 3 - 0 3 33.【解析】由 z = 1 - 2i ，得| z |= = ．故答案为： ．【解析】由 y = f (x ) = x 3 ，得 x = ，把 x 与 y 互换，可得 f (x ) = x 3 的反函数为 f -1(x ) = ．故答案为： 3 x ．5．-1⎧x + y - 2 0【解析】由约束条件⎪x + 2 y - 3… 0 作出可行域如图阴影部分，⎪ y …0 5⎨x + 2 y - 3 = 0 ⎨y = 1化目标函数 z = y - 2x 为 y = 2x + z ，由图可知，当直线 y = 2x + z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，联立⎧x + y - 2 = 0 ⎩ ，解得⎧x = 1 ，即 A (1,1) ．⎩z 有最大值为1- 2⨯1 = -1．故答案为： -1 ．6．21 【解析】行列式 2a b c d = 6 ，可得3a b= 6 ，解得 a b= 2 ． 3 0 0c d c d故答案为：2．7．36【解析】因为四个数的平均数为 4，所以a + b = 4 ⨯ 4 - 1 - 2 = 13 ，因为中位数是 3，所以 2 + a = 3 ，解得a = 4 ，代入上式得b = 13 - 4 = 9 ，2所以ab = 36 ，故答案为：36．8．278【解析】根据题意，等差数列{a n } 满足a 1 + a 10 = a 9 ，即a 1 + a 1 + 9d = a 1 + 8d ，变形可得a 1 = -d ，所以 a 1+ a 2 +⋯+ a 9 =9a 1 + 9 ⨯ 8d 2=9a 1 + 36d = -9d + 36d = 27 ．a 10a 1 + 9da 1 + 9d -d + 9d86 5 4 2 故答案为：27 ．89．180【解析】根据题意，可得排法共有C 1C 1C 2=180 种．故答案为：180．10. x + y - 1 = 02【解析】椭圆C :x+y= 1 的右焦点为 F (1, 0) ，4 3直线l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆C 于 P 、Q 两点（点 P 在第二象限），若点Q 关于 x 轴对称点为Q ' ，且满足 PQ ⊥ FQ ' ，可知直线l 的斜率为-1 ，所以直线l 的方程是： y = -(x - 1) ，即 x + y - 1 = 0 ． 故答案为： x + y - 1 = 0 ．11. (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞)【解析】根据条件（1）可得 f (0) = 0 或 f （1） =1， 又因为关于 x 的方程 f (x ) = a 无实数解，所以a ≠ 0 或 1，故 a ∈ (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞) ， 故答案为： (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞) ．12．6OA 2 = a 2 ⎨y = -1 - 4t⎩⎩ 【解析】如图，设OA 1 = a 1 ， ，由| a 1 - a 2 |= 1 ，且| a i - b j |∈{1 ， 2} ，分别以 A 1 ， A 2 为圆心，以 1 和 2 为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有 6 个．故满足条件的k 的最大值为 6．故答案为：6． 13．B【解析】 A ．显然当a < 0 ， b > 0 时，不等式a 2 + b 2… 2ab 不成立，故 A 错误；B ． (a + b )2…0 ，∴ a 2 + b 2 + 2ab …0 ，∴ a 2 + b 2…- 2ab ，故 B 正确；C ．显然当a < 0 ， b < 0 时，不等式a + b …2 不成立，故C 错误；D ．显然当a > 0 ， b > 0 时，不等式a 2 + b 2… - 2ab 不成立，故 D 错误．故选： B ．14．B【解析】⎧ x = 1 + 3t ⎩ (t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 3 ，即4x + 3y - 1 = 0 ，不正确；y + 1 4⎧x = 1 - 4t⎨y = -1 + 3t (t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 4 ，即3x + 4 y + 1 = 0 ，正确； y + 1 3⎧x = 1 - 3t⎨y = -1 + 4t(t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 3 ，即4x + 3y - 1 = 0 ，不正确； y + 1 4 | ab |FM ⎩ ⎧x = 1 + 4t (t 为参数）的普通方程为：x -1 =- 4，即3x + 4 y - 7 = 0 ，不正确；故选： B ． ⎨y = 1 - 3ty -1 315．D【解析】如图，由点 P 到 A 1 D 1 的距离为 3， P 到 AA 1 的距离为 2，可得 P 在△ AA 1D 内，过 P 作EF / / A 1 D ，且 EF AA 1 于 E ， EF AD 于 F ，在平面 ABCD 中，过 F 作 FG / /CD ，交 BC 于G ，则平面 EFG / / 平面 A 1DC ．连接 AC ，交FG 于 M ，连接 EM ， 平面 EFG / / 平面 A DC ，平面 A AC ⋂平面 A DC = AC ， 1111平面 A AC ⋂平面 EFM = EM ，∴ EM / / AC ．11在∆EFM 中，过 P 作 PN / / EM ，且 PN 于N ，则 PN / / A 1C ．线段 FM 在四边形 ABCD 内， N 在线段 FM 上，∴ N 在四边形 ABCD 内．∴过点 P 且与 A 1C 平行的直线相交的面是 ABCD ．故选： D ．16．C【解析】对于命题 q 1 ：当 f (x ) 单调递减且 f (x ) > 0 恒成立时，当 a > 0 时，此时 x + a > x ，又因为 f (x ) 单调递减，所以 f (x + a ) < f (x )2 3 1 又因为 f (x ) > 0 恒成立时，所以 f (x ) < f (x ) + f （a ），所以 f (x + a ) < f (x ) + f （a ），所以命题 q 1 ⇒ 命题 p ，对于命题q 2 ：当 f (x ) 单调递增，存在 x 0 < 0 使得 f (x 0 ) = 0 ，当 a = x 0 < 0 时，此时 x + a < x ， f （a ） = f (x 0 ) = 0 ，又因为 f (x ) 单调递增，所以 f (x + a ) < f (x ) ，所以 f (x + a ) < f (x ) + f （a ），所以命题 p 2 ⇒ 命题 p ，所以 q 1 ， q 2 都是 p 的充分条件，故选： C ．17.【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为 1 的圆面和一个长为2π 、宽为 1 的矩形组成，∴ S = 2 ⨯ π ⨯12 + 2π ⨯1 = 4π ．故该圆柱的表面积为4π ． （2） 正方形 ABC 1 D 1 ，∴ AD 1 ⊥ AB ，又∠DAD = π，∴ AD ⊥ AD ，121AD AB = A ，且 AD 、 AB ⊂ 平面 ADB ，∴ AD 1 ⊥ 平面 ADB ，即 D 1 在面 ADB 上的投影为 A ，连接CD 1 ，则∠D 1CA 即为线段CD 1 与平面 ABCD 所成的角，而cos ∠D CA = AC = =6 ，∴线段CD 与平面 ABCD 所成的角为arccos 6 ． CD 1 3 318.【解析】（1）由于 f (x ) 的周期是4π ，所以ω =2π= 1 ，所以 f (x ) = sin 1x ． 4π 2 2令sin 1 x = 1 ，故 1 x = 2k π + π 或2k π + 5π ，整理得 x = 4k π + π 或 x = 4k π + 5π．22266 33故解集为{x | x = 4k π +π或 x = 4k π + 5π ， k ∈ Z }．33（2）由于ω = 1 ，所以 f (x ) = sin x ．所以g (x ) = sin 2 x + 3 sin(-x ) s in(π - x ) =1 - cos 2x - 3 sin 2x = - 3 sin 2x - 1 cos 2x + 1 = 1 - sin(2x + π) 2 2 2 2 2 2 2 61(1)x> 95 36 135 ( ) ⎨ A A由于 x ∈[0 ， π ]，所以 π 剟2x +π2π ．46 631 剟sin(2x + π ) 1 ，故-1剟- sin(2x + π ) - 1 ，故- 1剟g (x ) 0 ． 2 6 6 2 2所以函数 g (x ) 的值域为[- 1, 0] ．219. 【解析】（1） ，∴v 越大， x 越小，∴v = f (x ) 是单调递减函数， k > 0 ，当 40剟x 80 时， v 最大为 85，于是只需令100 -135 ，解得x > 3 ，故道路密度 x 的取值范围为(3, 40) ．（2）把 x = 80 ， v = 50 代入v = f (x ) = -k (x - 40) + 85 中，得50 = -k 40 + 85 ，解得k = 7．8⎧100x - 1 x x , 0 < x < 40 ∴ q = vx = ⎪ ⎪- 7 ⎪⎩ 83 ， (x - 40)x + 85x , 40剟x 80当0 < x < 40 时， q 单调递增， q < 100 ⨯ 40 -135 ⨯ (1)40⨯ 40 ≈ 4000 ； 3当 40剟x 80 时， q 是关于 x 的二次函数，开口向下，对称轴为 x =480 ，7此时q 有最大值，为- 7 ⨯ (480)2 + 120 ⨯ 480 = 28800> 4000 ． 87 7 7故车辆密度q 的最大值为28800 ．7⎧ x 2 y 2⎪ A - A= 1 20. 【解析】（1）由 x A = ，点 A 为曲线Γ1 与曲线Γ2 的交点，联立⎨ 4 b2，解 ⎪⎩x 2 + y 2 = 4 + b 2 v = qx2 5 1 + b 244 + b 2 得 y A = ， b = 2 ；（2） 由题意可得 F 1 ， F 2 为曲线Γ1 的两个焦点，由双曲线的定义可得| PF 1 | - | PF 2 |= 2a ，又| PF 1 |= 8 ， 2a = 4 ，所以| PF 2 |= 8 - 4 = 4 ，因为b = ，则c = = 3 ，| PF |2 + | PF |2 - | F F |2所以| FF |= 6 ，在△ PF F 中，由余弦定理可得cos ∠F PF =121 21 2 1 22 | PF 1 | | PF 2 |= 64 + 16 - 36 = 11 ，由0 < ∠F PF< π ，可得∠F PF = arccos 11 ；2 ⨯ 8 ⨯ 4 16 121 2 16b 4 + b 24 + b 2| | （3） 设直线l : y = - x +，可得原点O 到直线l 的距离d = 2 2 2 = ，所以直线l 是圆的切线，设切点为 M ，所以k= 2 ，并设OM : y = 2 x 与圆x 2 + y 2 = 4 + b 2 联立，可得 x 2 + 4x 2 = 4 + b 2 ， OMb b b 2可得 x = b ， y = 2 ，即 M (b , 2) ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当 y A > 2 时，直线l 才能与曲线Γ 有两个交点，⎧ x 2 y 2⎪ A - A= 12 b 4 由⎨ 4 b 2 ，可得 y A = ， ⎪ 22 2 a + b 2 ⎩x A + y A = 4 + b所以有4 < b 44 + b 2，解得b 2 > 2 + 2 5 或b 2 < 2 - 2（舍去），因为OM 为 在OM 上的投影可得， OM ON = 4 + b 2 ，所以OM ON = 4 + b 2 > 6 + 2 ，则OM ON ∈(6 + 2 ， +∞) ．4 +5 5 ON 5 5 1 221.【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有| 2 - 3 |= 1 ，| 5 - 3 |= 2 ，| 1 - 3 |= 2 ，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，| 3 - 4 |= 1 ，| 2 - 4 |= 2 ，| 5 - 4 |= 1．不满足题意，该数列不满足性质P ．（2）由题意：| a -a q n|…|a -a q n-1 | ，可得：| q n-1| …| q n-1-1| ，n ∈{2 ，3，，9} ，1 1 1 1两边平方可得：q2n- 2q n+1…q2n-2- 2q n-1+1，整理可得：(q -1)q n-1[q n-1(q +1) -2]…0，当q…1时，得q n-1(q +1) -2…0此时关于n 恒成立，所以等价于n = 2 时，q(q + 1) -2…0 ，所以，(q + 2)(q -1)…0，所以q… - 2 ，或q…1，所以取q…1，当0 <q… 1时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，此时关于n 恒成立，所以等价于n = 2 时，q(q +1) - 2… 0 ，所以(q + 2)(q -1)… 0 ，所以-2剟q1，所以取0 <q… 1．当-1… q < 0 时：q n-1[q n-1(q +1) -2]… 0，当n 为奇数时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，恒成立，当n 为偶数时，q n-1(q +1) -2…0，不恒成立；故当-1… q < 0 时，矛盾，舍去．当q <-1 时，得q n-1[q n-1(q +1) - 2]… 0 ，当n 为奇数时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，恒成立，当n 为偶数时，q n-1(q +1) -2…0，恒成立；故等价于n = 2 时，q(q +1) -2…0，所以(q + 2)(q -1)…0，所以q…-2 或q…1，所以取q…-2 ，综上q ∈ (-∞，-2] (0, +∞) ．（3）设a1=p ，p ∈{3 ，4，，m - 3 ，m - 2} ，因为a 1 = p ， a 2 可以取 p - 1 ，或 p + 1 ， a 3 可以取 p - 2 ，或 p + 2 ，如果a 2 或 a 3 取了 p - 3 或 p + 3 ，将使{a n } 不满足性质 P ；所以{a n } 的前 5 项有以下组合：① a 1 = p ， a 2 = p - 1 ； a 3 = p + 1 ； a 4 = p - 2 ； a 5 = p + 2 ；② a 1 = p ， a 2 = p - 1 ； a 3 = p + 1 ； a 4 = p + 2 ； a 5 = p - 2 ；③ a 1 = p ， a 2 = p + 1 ； a 3 = p - 1 ； a 4 = p - 2 ； a 5 = p + 2 ；④ a 1 = p ， a 2 = p + 1 ； a 3 = p - 1 ； a 4 = p + 2 ； a 5 = p - 2 ；对于①， b 1 = p - 1 ， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 1 ，与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于②， b 1 = p - 1 ， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 3 ， | b 4 - b 1 |= 2 与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于③， b 1 = p + 1， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 3 ， | b 4 - b 1 |= 1 与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于④ b 1 = p + 1， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 1 ，与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；所以 P ∈{3 ，4， ， m - 3 ， m - 2} ，均不能同时使{a n } 、{b n } 都具有性质P ．当 p = 1 时，有数列{a n }:1，2，3， ， m - 1 ， m 满足题意．当 p = m 时，有数列{a n }: m ， m -， ，3，2，1 满足题意．当 p = 2 时，有数列{a n }: 2 ，1，3， ， m - 1 ， m 满足题意．当 p = m - 1 时，有数列{a n }: m -1 ， m ， m - 2 ， m - 3 ， ，3，2，1 满足题意．所以满足题意的数列{a n } 只有以上四种。
2017年高考真题——数学(上海卷)含答案
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ） A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则AB =【解析】{3,4}A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为 【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ==18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
普通高等学校招生全国统一考试 数学(上海卷)
普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为2.双曲线的渐近线方程为______3.的二项展开式中的系数为(结果用数值表示)4.设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则=5.已知复数满足,(是虚数单位),则6.记等差数列的前项和为,若,则7.已知.若函数为奇函数,且在上递减,则8.在平面直角坐标系中,已知点是轴上的两个动点,且,则最小值为9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为___________(结果用最简分数表示)10.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________11.已知常数,函数的图像经过点,若,则=12.已知实数1212,,,x x y y 满足:22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则+的最大值为_____二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设p 是椭圆22153x y +=上的动点,则p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. B. C. D.14.已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2023年上海市高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。
2021 年上海市高考数学试卷(后附答案解析)
2021年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知11i z =+，223i z =+，则12z z +=2.已知{|21}A x x =≤，{1,0,1}B =-，则A B = 3.已知圆22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为4.如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=5.已知3()2f x x=+，则1(1)f -=6.已知二项式5()x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =7.已知实数x 、y 满足2203803x x x y y ⎧⎪--≥≥≤⎨⎪+-⎩，则z x y =-的最大值为8.已知无穷等比数列{}n a 和{}n b ，满足13a =，2n n b a =，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为9.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 为下底面圆周上的一个动点，则ABC 的面积的取值范围为10.已知花博会有四个不同的场馆A 、B 、C 、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为11.已知抛物线：22y px =(0)p >，若第一象限的A 、B 两点在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，则直线AB 的斜率为12.已知*i a ∈N (1,2,,9)i =⋯，对任意的*k ∈N (28)k ≤≤，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，且16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.3y x=- B.3y x = C.3log xy = D.3xy =14.已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[1,1]t ∈-，下列选项的图中，符合该方程的是（）A. B. C.D.15.已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,2x π∈，使得12()2()3f x f x θ++=成立，则下列选项中，θ可能的值为（）A.35π B.45π C.65π D.75π16.已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +>=，则下列选项中恒成立的是（）A.2132x x x <+ B.2132x x x >+ C.2213x x x < D.2213x x x >三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =.（1）若点P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小.18.已知在ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3a =，2b c =.（1）若23A π=，求ABC 的面积；（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC 的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20.已知椭圆22:12x y Γ+=，1F 、2F 是其左右焦点，直线l 过点(,0)P m (m <交椭圆Γ于A 、B 两点，且A 、B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上.（1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅= ，且原点O 到直线l 的距离为15，求直线l 的方程；（3）对于任意点P ，是否存在唯一直线l ，使得12F A F B∥成立，若存在，求出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.21.已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的1x 、2x ∈R ，21x S x -∈，均有12(())f f x S x -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明()21f x x =+是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？（2）若()f x 是{3}关联，当[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，解不等式2()3f x ≤≤；（3）证明：“()f x 是{1}关联，且是[0,)+∞关联”的充要条件是“()f x 是[1,2]关联”.2021年上海市高考数学试卷答案一.填空题1.已知11i z =+，223i z =+，则12z z +=【解析】34i +，121i 23i 34i z z +=+++=+2.已知{|21}A x x =≤，{1,0,1}B =-，则A B =【解析】{1,0}-，1(,]2A =-∞，{1,0,1}B =-，∴A B = {1,0}-3.已知圆22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为【解析】(1,2)，2222240(1)(2)5x y x y x y +--=⇒-+-=，故圆心为(1,2)4.如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=【解析】9，由数量积几何意义，29AB AC AB ⋅== 5.已知3()2f x x=+，则1(1)f -=【解析】3-，3()213f x x x=+=⇒=-，∴1(3)1(1)3f f --=⇒=-6.已知二项式5()x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =【解析】2，32325802C x a x a =⇒=7.已知实数x 、y 满足2203803x x x y y ⎧⎪--≥≥≤⎨⎪+-⎩，则z x y =-的最大值为【解析】4，可行域的三个顶点为(3,4)、(2,2)、(3,1)-，可知max 3(1)4z =--=8.已知无穷等比数列{}n a 和{}n b ，满足13a =，2n n b a =，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为【解析】185，1232lim()913n n a a a q q →∞++⋅⋅⋅+==⇒=-，212a a q ==，∴2242218lim()51n n a a a a q →∞++⋅⋅⋅+==-9.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 为下底面圆周上的一个动点，则ABC 的面积的取值范围为【解析】，12ABC S AB h h =⋅=，∵h ∈，∴ABC S ∈ 10.已知花博会有四个不同的场馆A 、B 、C 、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为【解析】23，1243224423C P C C =11.已知抛物线：22y px =(0)p >，若第一象限的A 、B 两点在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，则直线AB 的斜率为【解析】52，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，1||22p AF x =+=，2||42pBF x =+=，∴12||2x x -=，由12|||3AB x x =-=，且0k >，∴2k =法二：12AA =，14BB =，由11132AA AP AB BB =⇒==∴1114cos tan 62BB ABB ABB BP ∠==⇒∠=，即：52AB k =12.已知*i a ∈N (1,2,,9)i =⋯，对任意的*k ∈N (28)k ≤≤，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，且16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为【解析】31，令k k k a a b -=+1，则依题意：k b 和1+k b 中，仅有1个为1（即只能隔项为1）若17531====b b b b ，则：61=a ，72=a ，13≥a ，24≥a ，15≥a ，26≥a ，17≥a ，28≥a ，99=a ；此时：91a a ++ 最小值为31.若18642====b b b b ，则：12≥a ，23≥a ，14≥a ，25≥a ，16≥a ，27≥a ，88=a ，99=a ；此时：91a a ++ 最小值为32.综上：91a a ++ 最小值为31.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.3y x=- B.3y x = C.3log xy = D.3xy =【解析】选A ，选项B 、C 、D 均为增函数14.已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[1,1]t ∈-，下列选项的图中，符合该方程的是（）A. B. C.D.【解析】选B ，特殊值法，当0y =时，0t =、1、1-，对应0x =、1-、115.已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()3f x f x θ++=成立，则下列选项中，θ可能的值为（）A.35πB.45π C.65π D.75π【解析】选D ，设1()f x 范围为A ，232()f x θ-+范围为B ，由题意，A B ⊆，∵1()[2,5]f x ∈，且2232()16sin()f x x θθ-+=--+，当75πθ=时，2719[,]510x ππθ+∈，21916sin()[16sin,5]10x πθ--+∈--，1916sin 0.85210π--≈<，符合题意16.已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +>=，则下列选项中恒成立的是（）A.2132x x x <+ B.2132x x x >+ C.2213x x x < D.2213x x x >【解析】选A ，令1122332x y x y x a y ++=+==，由①可知，1x a <，2x a <，3x a <，由③得，132132(2)(2)(2)2x x x x a x a a x ---+=，构造函数()(2)f x x a x =-，∴132()()2()f x f x f x +=，如图所示，()f x 为上凸函数，满足13132()()()()22x x f x f x f f x ++>=，∵()f x 在(,)a -∞上严格增，∴1322x x x +>三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =.（1）若点P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小.【解析】（1）1123233P ADC ADC V S h -=⋅⋅=⨯⨯=△（2）1111112B ACC A B C A d d --==，113AB =，∴226sin 1313θ==，即所求角为26arcsin 1318.已知在ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3a =，2b c =.（1）若23A π=，求ABC 的面积；（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC 的周长.【解析】（1）22222214937cos 2274b c a c c A c bc c +-+-=⇒-=⇒=，119sin 2227214ABC S bc A ==⨯⨯⨯=（2）依题意，正弦定理：sin 2sin sin sin b cB C B C=⇒=，∴代入计算：14sin sin 1sin 3C C C -=⇒=，则2sin 3B =当B 为锐角时，22251425sin sin()sin cos cos sin 33339A B C B C B C =+=+=⨯⨯=3sin sin sin 3c a b c A B C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨-⎪=⎪⎩，∴3ABC C =+△当B为钝角时，21sin sin()sin cos cos sin 33339A B C B C B C =+=+=⨯⨯=，3sin sin sin 3c a b c A B C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨+⎪=⎪⎩，∴3△=++ABC C综上：3△=+ABC C或319.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列；∴前20季度营业额之和为：20201920 1.10.0531.52S ⨯=⨯+⨯=（亿）（2）设2021年起第n 季度（n *∈N ）满足条件，依题意：第n 季度的营业额为： 1.1(1)0.050.05 1.05n a n n =+-⨯=+，第n 季度的利润为：10.16(14%)n -⋅+，依题意：%18)05.105.0(%)41(16.01⨯+≥+⋅-n n ，解得：26≥n 即今年起第26个季度（2027年第二季度）时满足条件.20.已知椭圆22:12x y Γ+=，1F 、2F 是其左右焦点，直线l 过点(,0)Pm (m <交椭圆Γ于A 、B 两点，且A 、B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上.（1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅= ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）对于任意点P ，是否存在唯一直线l ，使得12F A F B∥成立，若存在，求出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意：11||||BF PF a ===，∴1||1OP PF c =+=+，此时：1m =-；（2）设直线l 方程：()y k x m =-（k 必存在），11(,)A x y 22212111111(1)(1)13⋅=+-+=-+= F A F A x x y x y ，又222211111122x x y y +=⇒=-，代入：222211211111111233⋅=+-=+--=⇒=-x F A F A x y x x，13=y 即直线l：()33k m =⋅--①又点到直线距离：15d ==②联立①②：313m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即l 方程为：1()33y x =+.（3）设直线l 方程：()y k x m =-，),(11y x A ，),(22y x B 则111(1,)=+ F A x y ，222(1,)=- F B x y ，121221(1)(1)∥⇒+⋅=-⋅F A F B x y x y 消元：1221(1)()(1)()+⋅-=-⋅-x k x m x k x m ，化简：1221()20x x m x x m ++--=联立：2222222()(12)442022y k x m k x mk x k m x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩韦达：2122221224124212mk x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入：221212242()201212mk m x x m x x k k+--=⇒-=++，又：22221121222()()4(12x x x x x x k -=+-=+，代入化简：222221421024k m k m k m m-+=⇒=-，对于任意m <，都有唯一的k =，即直线有且仅有一条.21.已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的1x 、2x ∈R ，21x S x -∈，均有12(())f f x S x -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明()21f x x =+是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？（2）若()f x 是{3}关联，当[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，解不等式2()3f x ≤≤；（3）证明：“()f x 是{1}关联，且是[0,)+∞关联”的充要条件是“()f x 是[1,2]关联”.【解析】（1）任取21,x x R ∈，若21[0,)x x -∈+∞，则：1212()()2()[0,)f x f x x x -=-∈+∞，∴()f x 是[0,)+∞关联；若21[0,1]x x -∈，则1212()()2()[0,2]f x f x x x -=-∈，∴()f x 不是[0,1]关联；（2）依题意：当213x x -=时，21(3)()f f x x -=，即满足：(3)()3+-=f x f x ，数形结合：求出(1A ，(5,3)B ，∴原不等式的解集为：[1x ∈+.（3）必要性：证明：根据条件可以得到(1)()1f x f x +=+，∴()()f x n f x n +=+，n ∈Z ，21x x ≥，21()()f x f x ≥，若2112x x ≤-≤，∴12112x x x +≤≤+，∴121(1)()(2)f x f x f x +≤≤+∴121()1()()2f x f x f x +≤≤+，∴211()()2f x f x ≤-≤，∴()f x 是[1,2]关联；充分性：2112x x ≤-≤时，211()()2f x f x ≤-≤，1(2)(1)2f x f x ≤+-+≤，1(1)()2f x f x ≤+-≤，∴2(2)()4f x f x ≤+-≤，又1(2)2x x ≤+-≤，∴1(2)()2f x f x ≤+-≤，∴(2)()2f x f x +-=，∴(2)(1)1f x f x +-+=，(1)()1f x f x +-=，∴()()f x n f x n +=+，n ∈Z ，∴()f x 是{1}关联；若21[,1]x x n n -∈+，n ∈N ，21[(1)][1,2]x x n -+-∈，1n -∈Z ，∴21()[(1)][1,2]f x f x n -+-∈，21()()(1)[1,2]f x f x n ---∈，∴21()()[,1][0,)f x f x n n -∈+⊆+∞，而[0,)[0,1][1,2][,1]n n +∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ，∴21[0,)x x -∈+∞，∴存在n 使21[,1]x x n n -∈+，21()()[,1][0,)f x f x n n -∈+⊆+∞∴21()()[0,)f x f x -∈+∞，故()f x 是[0,)+∞关联；证毕.。
2024届高三数学仿真模拟卷(上海卷)(考试版)
2024年上海高考数学第三次模拟考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ，方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ，已知{2}A B =- ，则A B =．2．复数z 满足(2)|34|i z i -=+，则z =．3．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角大小为．4．已知随机变量X 服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若(0)0.9P X >=，则(12)P X <<=．5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为ˆˆ1.9yx a =+，则ˆa =．6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．7．若多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则123a a a ++=．8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：)kg ，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是．9．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．10．已知函数()sin()(0,||2f x x πωϕωϕ=+><，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于．11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则曼哈顿距离1212(,)||||d A B x x y y =-+-，余弦距离(e A ，)1cos(B A =-，)B ，其中cos(,)cos ,(A B OA OB O =〈〉为坐标原点）．已知点(2,1)M ，(,)1d M N =，则(,)e M N 的最大值为．12．已知实数x ，y 满足223x y +=，则2214(2)(2)x y x y ++-的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
2024年上海高考数学试题(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学 试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将案写在题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3．已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k ab k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0-∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1-∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；(2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小．18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．参考答案及解析注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
[定稿]新课标全国卷高考数学答题卡模板word版
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[定稿]新课标全国卷高考数学答题卡模板word版2013保山第十中学期末考试请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效数学(文)试题答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效姓名 ________________________ 19、(本小题满分12分)准考证号生条形码粘贴处考考生禁填: 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记(1(答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并正确填涂认真检查监考员所粘贴的条形码; 填注 2(选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑涂意色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚; 错误填涂样事3(请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题? ? × 例区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
项 ? 4(保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题(每小题5分，共60分)1 A B C D 5 9 A B C D 18、(本小题满分12分) A B C D2 A B C D 6 10 AB C D A B C D 3 A B C D 11 A B C D 7 A B C D4 12 A B C D A B C D 8 A B C D二、填空题(每小题5分，共20分) 13、______ ___ __ ___ 14、______________15、______ __ ______ 16、三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、(本小题满分12分)学校姓名考场号座位号…………………………………………密…………………………………封…………………………………………线…………………………请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效22、(本小题满分12分) 20、(本小题满分12分) 21、(本小题满分12分)AC B请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。
2022年上海市高考数学答题卡
姓名 准考证号
_`ab-
c%<defgh_
7; @A B7CD
填 涂 样 错误填涂 例
;;<; ¡B+C¢\ $-]^Pa£¤'; `
< = > ?
!"/ $ : ; < = > ? @ A B + C D ' E F G H I J 准
一、填空题
1.
2.
4.
5.Βιβλιοθήκη 7.8.10.11.
二、选择题
13 15
三、解答题 17.
3. 6. 9. 12.
14 !6
18. （1） （2）
请在各题目的答题区域内作答 超出黑色矩形边框的答案无效
19 （1）
请在各题目的答题区域内作答 超出黑色矩形边框的答案无效
考证I K L M N O E F G H I J 准考证I P Q " R SH T $,/ W X $ Y Z = [ \ $- ] ^ M A S $ _ ' / 3 ` I a ( b c Y \ d e f g h i W a j k / 3 %"/ l W X $ Y Z = [ \ .,' m n ' ( ) o p q o ^ r Q $I}'/ $,-s/09/$,rQ'/345"$ D/$45 &, / $ z " / $ D | ` [ \ a c b
（2）
（3）
请在各题目的答题区域内作答 超出黑色矩形边框的答案无效
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2021年高考数学上海卷 真题+答案解析
考生注意： 1. 本试卷共 4 页, 21 道试题, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸, 试卷包括试题与答题要求, 作答必须涂 (选择题) 或写 (非选择题) 在答题纸上, 在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前, 务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号. 一、填空题：本大题共 12 小题, 满分 54 分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分, 第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分, 否则一律得零分.
x = 3t − 4t3
14.
已知参数方程
y
=
√ 2t 1
−
t2
t ∈ [−1, 1], 下列选项的图中, 符合该方程的是 ( ).
81
y 1
微信公众号：数学竞赛的那些事儿
y 1
−1
O
1x
A：
−1 y
1
−1
O
1x
B：
−1 y
1
−1 O
1x
−1 O
1x
−1 C：
−1 D：
15.
函数
f (x)
=
2
+
3
骤.
17. (本小题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分) 如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 已知 AB = BC = 2, AA1 = 3. (1) 若点 P 是棱 A1D1 上的动点, 求三棱锥 C − P AD 的体积; (2) 求直线 AB1 与平面 ACC1A1 的夹角大小.
2021年高考数学试卷(上海)(秋考)(解析卷)
2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位），则12z z += ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234z z i+=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 I A B = 【思路分析】求出集合A ，再求出A B I【解析】：{}1212A x x x x ìü=≤=≤íýîþ，所以{}1,0I A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2)【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则u u u r u u u rAB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：2=9u u u r u u u r u u u r AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =u u u r ，||AC =u u u r ，,4AC AB p<>=u u u r u u u r ，则39AB AC ⋅=´=u u u r u u u r ；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)-¥+¥U ，结合反函数的定义，得312x=+，解得3x =-，所以，1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．6.已知二项式()5x a +的展开式中，2x 的系数为80，则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。