“赵爽弦图”考题聚焦
勾股定理之“赵爽弦图”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点：勾股定理之“赵爽弦图”模型【知识梳理】“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.【考点剖析】一．选择题（共2小题）1．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC ＝56的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．76B．72C．68D．52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH 的长为（）A．6B．C．6D．8【分析】由题意得，设AH＝DE＝CF＝BG＝x，则AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．AB＝10，EF＝2，∴设AH＝DE＝CF＝BG＝x，则AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，即102＝x2+（x+2）2，整理得，x2+2x﹣48＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴AH＝6．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键．二．填空题（共4小题）3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为．【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2＝107，∴a2+2ab+b2＝107，∵大正方形的面积为57，∴2ab＝107﹣57＝50，∴小正方形的面积为57﹣50＝7，故小正方形的边长为．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5．四边形EFGH的面积是．【分析】四边形EFGH的面积＝四边形ABCD的面积﹣四个全等直角三角形的面积．直角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答．【解答】解：因为AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25．Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，则BF＝＝3，所以SRt△ABF＝×3×4＝6，四个直角三角形的面积为：6×4＝24，四边形EFGH的面积是25﹣24＝1．故答案为1【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中．5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．6．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC 中，若直角边AC＝6cm，BC＝5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是．【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：图①，小正方形的面积＝（6﹣5）2＝1cm2；图②，外围直角三角形的斜边＝＝13cm，周长＝4×（13+6）＝4×19＝76cm，即，需要彩带的长度至少是76cm．故答案为：1cm2，76cm．【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．三．解答题（共3小题）7．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．【分析】（1）由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为（a﹣b）2，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为，以此即可证明；（2）设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，可得S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，则S1+S2+S3＝12y+3x＝16，根据整体思想即可求出S2＝4y+x＝．【解答】（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键．8．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）先由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积求CD的长即可．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，得：AB＝＝5∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD∴CD＝．【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用，属于基本题型．9．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC＝5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．（1）这个风车至少需要绕着中心旋转才能和本身重合；（2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）．【分析】（1）根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．（2）在直角△ABC中，已知BC，AB，根据勾股定理即可计算AC的长，AC＝7，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：（1）：∵360°÷4＝90°，∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．（2）在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC＝5，AB＝，由勾股定理得：AC＝7，CD＝7+5＝12，∴BD＝＝13，∵风车的外围周长为4（BD+AD）＝4（13+5）＝72．【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022春•东城区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝56的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72B．52C．80D．76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2．（2021秋•邳州市期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1B．3C．4D．9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b＝＝4，∴小正方形的边长＝4﹣3＝1，∴小正方形的面积＝12＝1，故选：A．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．3．（2021春•长垣市期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：5D．1：10【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长＝＝2，∴＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．4．（2022秋•青秀区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12B．13C．14D．15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面积＝4×ab+5＝13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．5．（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．6．（2022秋•平湖市期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．2【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据AB＝7，BC＝8，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可．【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，∵AB＝7，BC＝8，∴，解得，∴小正方形的边长为＝．故选A．【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．7．（2022秋•鄄城县校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（）A．16cm2B．25cm2C．30cm2D．169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形①的面积＝（cm2），故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．8．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（）A．8B．16C．4D．4+4【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：∵S1＝AC2＝4，∴AC＝2，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴S3＝AB2＝16，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．9．（2022秋•温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG＝5，则小正方形的面积为（）A．15B．16C．20D．25【分析】由等腰三角形性质可得出BF＝CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根据余角的性质得出∠BAG＝∠ABF，进而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面积法求得BN＝8，再运用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案．【解答】解：设小正方形为EHMN，如图，∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG，∵△BCF为等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC，∴BF＝CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF，∴AB＝AD＝2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD＝∠DAG，∴∠AFB＝∠DAG，∴AG＝FG，∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠ABF，∴AG＝BG，∴CF＝BF＝2AG＝10，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴（2AF）2+AF2＝102，∴AF＝2，∴AB＝BC＝4，∵S△BCF＝BC•AB＝CF•BN，∴BN＝＝＝8，∴CN＝＝＝4，∵△ABM≌△BCN，∴BM＝CN＝4，∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4，∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．10．（2022春•南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接DG，先由已知条件分别求得S2＝CD2＝32＝9，S1＝，小正方形边长为，再由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，进而得AE＝BF＝CG＝DH＝x＝＝EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三线合一”得∠DGH＝∠HGE＝45°进而得∠DGI＝90°最后由勾股定理得：GI＝＝＝，即得选项A．【解答】解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案．二．填空题（共7小题）11．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，由勾股定理知，AB＝＝13．故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝132﹣×5×12＝169﹣30＝139．故答案为：139．【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．12．（2022秋•德惠市期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．（2022秋•建邺区校级期中）将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），然后根据图1、2列出关于a、b 的方程组即可求解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．14．（2021秋•龙泉驿区校级月考）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是．【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并整理，最后把值整体代入和平方的展开式（a+b）2＝a2+b2+2ab即可得出答案．【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，∴，即，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+16＝33．故答案为：33．【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a，b的关系是解题关键．15．（2022秋•金台区校级月考）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．∵∠BCD＝90°∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2∴BD＝13∴AD+BD＝6+13＝19∴这个风车的外围周长是19×4＝76．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．16．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为．【分析】由题意可得AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，即可证明△AFG≌△CIJ，FG＝IJ，再根据四边形EFHI为正方形，得到△GHK≌△JEK，从而得到点K为正方形EFHI的中心，过点K作KM⊥FH于点M，由勾股定理得DE＝4，FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，最后用a，b表示出S1+S2＝2（a+b），将a+b的值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．17．（2022秋•宁德期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上说法正确的是.（填写序号）【分析】由全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，结合“赵爽弦图”的特点，可以解决问题．【解答】解：∵Rt△BCG≌Rt△∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），∴S△CGP＝S△AEM，CP＝ME，∴S△AFP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，∴S四边形MEFP＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S△AFP﹣S△CGP＝1，∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式，关键是读懂“赵爽弦图”并灵活应用以上定理和公式．三．解答题（共2小题）18．（2021秋•凤翔县期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．【分析】（1）先根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度；（2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD，德关于x的方程求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．19．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根据S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．。
“赵爽弦图”考题聚焦
“赵爽弦图”考题聚焦王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．解析 如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．∵AC ＝6，BC ＝5．∴GD ＝6．DE ＝5．∵FG ＝DC ，∴FD ＝2DG ＝12．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF ＝2222512DE DG +=+＝13．∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的是( )(A)①②(B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④解析大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，①正确．由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x－y＝2，②正确．大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×12xy＋4＝49，即2xy＋4＝49，③正确．由①、③，得x2＋y2＋2xy＋4＝49 ×2，即（x＋y）2＝94，所以x＋y＝49，④不正确．综合知，选B．例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方形A n B n C n D n的面积为______．解析由小正方形ABCD的面积为1，知它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正方形A1B1C1D1的面积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝5，D1A2＝2D1A1＝25．在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n．例5 2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、C2、C3、…、C n分别在直线y＝－12x＋3＋1和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．。
【常考压轴题】勾股定理常考压轴题汇总—2023-2024学年八年级数学下册(人教版)(解析版)
勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得：a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，在△F AM与△ABN中，，∴△F AM≌△ABN（ASA），∴S△F AM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得：AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，则S△BMF+S△MBF＝S△BEF，即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，∴S△EMF＝S△EF A'＝m，∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，∴S正方形EFCH＝EF＝，故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【答案】．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．故答案为：．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵P A2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠P AC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。
数学勾股定理知识点及练习题及答案(1)
数学勾股定理知识点及练习题及答案(1)一、选择题1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．93．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）A ．3B ．11C ．23D ．44．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③5．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ）A ．32B ．213C ．5D ．66．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．187．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.A ．49B ．25C ．13D ．18．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽9．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）A ．10B ．5C ．4D ．310．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）A ．22﹣2B ．32﹣2C ．2﹣2D ．2﹣1二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)13．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．14．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.15．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.16．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．17．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．18．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）24．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．25．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．26．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示) 28．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．已知ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
勾股定理单元 易错题专题强化试卷学能测试试卷
勾股定理单元 易错题专题强化试卷学能测试试卷一、选择题1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．2543．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．6 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．cmB ．cmC ．cmD ．9cm6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．127．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A ．236、、 B ．3、4、5 C ．3、4、7D ．2、3、48．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．12．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．13．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.14．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.15．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°17．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝（2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 23．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求ADAB的值.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒）， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
北师大版八年级上册勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用
勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用一、赵爽弦图的历史我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，如图1，后人称之为“赵爽弦 图”，流传至今．二、赵爽弦图的几何意义 1.证明勾股定理 ：222c a b =+. 2.GH=b-a ；3. 222ABCD S c a b ==+正方形,2-a)S b =正方形EFGH （， S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=（22a b +）-2-a)b （.三、赵爽弦图的应用1.正确识别赵爽弦图例1 （2019•湖北省咸宁市）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是 （ ）A ．B ．C ．D ．解析：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，故选：B ．点评：熟记赵爽弦图的基本构造，明白弦图的构成要素，清楚弦图的构造方式，懂的弦图的构造原理，把握弦图的意义，是解题的关键.通过弦图的识记，也培养自己的爱国热情.2.探求赵爽弦图中四个直角三角形的面积和例2（2020.绍兴）如图2，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图3放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图3中阴影部分面积为 ．解析：由题意可得，223ABCD S c ==正方形=9，直角三角形的另一条直角边长为：=，∴S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=9-25-2)（=9-（9-45）=45. 点评：运用勾股定理，求得直角三角形的另一直角边长是解题的关键.3.变式赵爽弦图，探求2a+b)（的值 例3（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图4），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图5的形式摆放，那么图5中最大的正方形的面积为 ．解析：根据赵爽弦图的几何意义，得22a b +=15，2-a)b （=3，图5中大正方形的面积为：2a+b)（，∵2-a)b （=3，∴222a ab b -+=3，∴15﹣2ab=3，∴2ab=12，∴2a+b)（=2-a)b （+4ab=3+2×12=27，或2a+b)（=22a b ++2ab=15+12=27. 点评：熟练运用赵爽弦图的几何意义是解题的关键，其次，灵活进行和的完全平方公式，差的完全平方公式的变形计算，也是解题的重要基本技能.4.构造赵爽弦图，探求直角边积的最值例4（2020·湖南娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图6所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积。
专题12 赵爽弦图模型与勾股树模型(解析版)
专题12赵爽弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF 于点E ，BF ⊥CG 于点F ，CG ⊥DH 于点G ，DH ⊥AE 于点H ，则有结论：△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。
图1图2图3（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边上的点，且四边形EFGH 是正方形，则有结论：△AHE ≌△BEF ≌△CFG ≌△DGH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFGH =S 正方形ABCD +S 正方形PQMN .例1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若168ab =，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（）A ．7B ．24C ．17D ．25【答案】C 【分析】勾股定理得：22625a b +=，又222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯=，由此即可求出17()a b a b -=>，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a b -，由勾股定理得：22625a b +=，222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯= ，17()a b a b ∴-=>，A ．8B ．12【答案】C 【分析】设AE x =，3BE x =积公式可推导出FGQ AEP S S = 式求解即可．【详解】解：由题意，AEP ∠∴AE CF ∥，BE DG ∥，EF ∴()ASA AEP CGQ ≌，∴∵:3:1BE AE =，∴设AE =∴2EF GF CF CG x ==-=，∴∴阴影部分的面积之和为S 梯形例3．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC ＝12，BC ＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．148B ．100C ．196D ．144【答案】A 【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．【详解】解：如图，设将CA 延长到点D ，连接BD ，由题意得：12224,7,90CD BC BCD =⨯==∠=︒，25BD ∴=，122537AD BD ∴+=+=，∴这个风车的外围周长是374148⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例4．（2022·中山八年级期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ,2 S ，3S ．若12318S S S ++=,则正方形EFGH 的面积为_______．【答案】6【分析】设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y 即可．【解析】解：设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=18，∴得出S 1=x ，S 2=4y+x ，S 3=8y+x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S 2=x+4y=6，即正方形EFGH 的面积为6．故答案为6【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．【答案】①②③【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形公式，勾股定理逐项进行判断即可．【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形∴21S b =，22S a =，()2224MNPQ S c c ==四边形．∴22122S a S c b =++=．模型2.勾股树模型例1．（2022·重庆市八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是28cm ，212cm ，214cm ，则正方形D 的面积是______2cm ．【答案】15【分析】根据勾股定理有S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，等量代换即可求正方形D 的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理可知，∵S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，∴S 大正方形=S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B =49．∴正方形D 的面积=49-8-12-14=15（cm 2）；故答案为：15．【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）A ．S S =甲丁B ．S S =乙丙C ．S S S S -=-甲乙丁丙D ．S S S S +=+甲乙丁丙【答案】D 【分析】连接AC ，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC ，由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2，AD 2+CD 2=AC 2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2022S 的值为___________．【答案】201912【分析】根据勾股定理可得222DE CE DC +=，从而得到2112S S =，依次类推，即可得到3211124S S S ==，找出规律，进而得到S 2022的值．【详解】解：如图所示，△CDE 为等腰直角三角形，则CE =DE ，222DE CE DC +=，∴222DE CD =，即221112222S S ==´=，同理可得：32111124S S S ===，4311311112822S S S S ====，∴202212021202120191114222S S ==´=．故答案为：201912．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A ．12B ．32C ．64D ．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，222=2=4⨯图（3）比图（2）多出8个正方形，342=2=8⨯；图（4）比图（3）多出16个正方形，482=2=16⨯；图（5）比图（4）多出32个正方形，5162=2=32⨯；照此规律，图（n ）比图（n -1）多出正方形的个数为：2n故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：62=64；故答案为：C ．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．例5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图ABC 为直角三角形，斜边4AC =，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出22216AB BC AC +==，再根据圆的面积公式表示出2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理解得得出答案．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，斜边4AC =，∴22216AB BC AC +==，∴2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244AB BC π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()228AB BC π=+168π=⨯2π=故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．例6．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．【答案】2.5【分析】DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H ；设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n =△，由222+=a b c ，可得ABD ACE BCF S S S +=△△△，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H∵△ABD 、△ACE 、△BCF 均是等腰直角三角形∴AB ＝BD ，AC ＝CE ，BC ＝CF ，设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n=△∵222+=a b c ∴ABD ACE BCF S S S +=△△△∵1ABD S S m =+△，4ACE S n S =+△，23BCF S S S m n =+++△∴1423S m n S S S m n +++=+++∴4231=3.5 5.5 6.5 2.5S S S S =+-+-=故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．例7．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC 中，∠BAC =90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＋∠BCD =90°，BC =2AD ，分别以AB 、CD 、AD 、BC 为边向四边形外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1S 、2S 、3S 、4S 之间的数量关系式为（），请说明理由．【答案】（1）123S S S +=；（2）123S S S +=；理由见解析；（3）123412S S S S =++，理由见解析．【分析】（1）利用直角ABC 的边长就可以表示出等边三角形1S 、2S 、3S 的大小，满足勾股定理；【点睛】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．课后专项训练1．（2023·北京初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（）A ．1S +2S =3S B ．222123S S S +=C ．222123S S S +＞D ．222123S S S +＜【答案】A 分析：设直角三角形各边长为2a 、2b 、2c ，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a ）2+（2b ）2=（2c ）2，化简得：a 2+b 2=c 2，S 1=12πa 2，S 2=12πb 2，S 3=12πc 2；S 1+S 2=12π（a 2+b 2）=12πc 2=S 3．故选A ．考点：勾股定理．2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是a ，b ，c ，根据勾股定理，得222+=a b c ，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，同理：正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202212022⨯=．故选：D【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．3．（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．最大正方形与直角三角形的面积和D ．较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D 【分析】根据勾股定理得到222c a b =+，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，由勾股定理可得，222c a b =+，阴影部分面积222()()()c b a c b a a c b a a b c =---=--=+-，较小两个正方形重叠部分的面积()a a b c =+-，∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，△ABC 中，90ACB ∠= ，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A ．以BC 为边的正方形面积B ．以AC 为边的正方形面积C ．以AB 为边的正方形面积D ．△ABC 的面积【答案】D 【分析】如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，证明△ADE ≌△CAN 得到=ADE CAN S S △△，AE =CN 同理可证△BGH ≌△CBN ，得到=BGH CBN S S △△，BH =CN ，则==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，即可推出=5ABC S S △阴影由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，∴∠CNA =∠DEA =∠DAC =90°，∴∠DAE +∠EDA =∠DAE +∠CAN =90°，∴∠ADE =∠CAN ，又∵AD =CA ，∴△ADE ≌△CAN （AAS ），∴=ADE CAN S S △△，AE =CN同理可证△BGH ≌△CBN ，∴=BGH CBN S S △△，BH =CN ∴==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，∴=ABC S AB AE AB BH S ⋅+⋅+△阴影=2ABC AB CN S ⋅+△=5ABC S △，∴只需要知道△ABC 的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．5．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A +S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为（）A．144【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的根据勾股定理，得AF所以正方形ABCD的面积为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．7．（2023春·湖北武汉A．1B．2【答案】C△≌△【分析】先证明EDO【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键8．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五积关系验证勾股定理．图2G，H，I都在长方形KLMJA ．420B ．440【答案】B 【分析】延长AB 交KL 于P ，延长AC 交LM 相等可得PB AC CQ AB ==，，然后求出IP 和【详解】解：如图，延长AB 交KL 于P ，延长由题意得，90BAC BPF FBC ===︒∠∠∠，【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．9．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）勾股定理，如图所示的“弦图角形较短直角边长为a ，较长直角边长为为．【答案】1【分析】结合图形，得出【详解】解：根据题意得：【答案】4π【分析】先分别算出1S 、【详解】解：∵12AC S π⎛= ⎝∴211S S AB BC ππ+=+【答案】63【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有123+=（个），第二代勾股树中正方形有21227++=（个），第三代勾股树中正方形有234512222263+++++=（个）故答案为：13．（2022·广西·八年级课时练习）如图，Rt △ABC 的两条直角边6BC =，8AC =．分别以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，则4S 的值为______，231S S S +-的值为______．【答案】240【分析】先证明,ADE ABC V V ≌从而可得4,S 再利用图形的面积关系可得：223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==证明132,S S S -=从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形，,,90,AC AE AB AD EAC DAB \==Ð=Ð=°226810,AB =+=,EAD CAB \Ð=Ð,ADE ABC \V V ≌46116824,22S S AC BC \===创=g 223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==132,S S S \-=23113310.S S S S S S S -=-+-=∴+故答案为：24，0【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明ADE ABC ≌是解本题的关键.【答案】55n(3)新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题．①某个直角三角形的两条直角边a 、b 满足式子②由①中结论，此三角形斜边c 上的高为形组成的，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为【答案】(1)b a -(2)222+=a b c (3)①5c =根据勾股定理可得：222,a b c +=∴正方形,G H 的面积之和等于正方形E 的面积，同理可得：正方形E 的面积等于正方形A ，B ，C ，D 的面积的和，所以正方形E 的面积为2＋4＋1＋2＝9，所以正方形E 的边长为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要．17．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断1S 、2S 、3S 的数量关系并说明理由．【答案】【实践操作】见解析；【探索发现】123S S S +=，理由见解析【分析】在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得222+=a b c ．在图2中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得222+=a b c ．在图3中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：222+=a b c ．由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论．即()22142c ab b a =⨯+，整理得：222+a b c ，在图2中，连接，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即()()11+2a b a b +=222+=a b c ；中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，18．（2022·北京昌平·七年级期末）数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a 和b ，且a b <；最长的那条边叫做斜边，边长为c ）围成一个边长为c 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为b a -的小正方形．(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为2S c =，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为214()2S ab b a =⨯+-，∴2214()2c ab b a =⨯+-．化简等号右边的式子可得∴2c =_______．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．【答案】(1)a 2+b 2；(2)见解析【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；（2）利用以c 为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a +b 的正方形的面积建立方程，即可得出结论．(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S =c 2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×12ab+（b-a）2，∴c2=4×12ab+（b-a）2．化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2；(2)如图4，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12ab，∴c2+2ab=a2+b2+2ab，∴a2+b2=c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．。
最新“赵爽弦图”考题聚焦
“赵爽弦图”考题聚焦 王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．解析 如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．∵AC ＝6，BC ＝5．∴GD ＝6．DE ＝5．∵FG ＝DC ，∴FD ＝2DG ＝12．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF ＝2222512DE DG +=+＝13．∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的是( )(A)①② (B)①②③(C)①②④ (D)①②③④解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x －y ＝2，②正确．大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×12xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即（x ＋y ）2＝94，所以x ＋y ＝49，④不正确．综合知，选B ．例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方形A n B n C n D n的面积为______．解析由小正方形ABCD的面积为1，知它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正方形A1B1C1D1的面积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝5，D1A2＝2D1A1＝25．在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n．例5 2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、C2、C3、…、C n分别在直线y＝－12x＋3＋1和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．大米成本简易定价决策对决策准确性的影响大米行业流行一种简易的大米定价决策方法，这种简易定价方法对规范化运行的大型米业决策的准确性影响如何?黑龙江北大荒有限公司钟泉伟根据实践和有关财务核算办法，对此作一探讨。
赵爽弦图模型与勾股树模型(解析版)
赵爽弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023春·安徽·八年级统考期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=168，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为()A.7B.24C.17D.25【答案】C【分析】勾股定理得：a2+b2=625，又(a-b)2=a2+b2-2ab=625-2×168=289，由此即可求出a-b=17 (a>b)，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a-b，由勾股定理得：a2+b2=625，∵(a-b)2=a2+b2-2ab=625-2×168=289，∴a-b=17(a>b)，∴小正方形的边长为17．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2(2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为( )．A.8B.12C.16D.20【答案】C【分析】设AE=x，BE=3x，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得x2=8，再根据题意和三角形的面积公式可推导出S△FGQ=S△AEP+S△CGQ，进而推出阴影部分的面积之和为梯形GQPF的面积，利用梯形面积公式求解即可．【详解】解：由题意，∠AEP=∠CGQ=∠CFP=90°，AE=CG=BF，BE=CF，∴AE∥CF，BE∥DG，EF=GF，∴∠EAP=∠GCQ，∴△AEP≌△CGQ ASA，∴EP=GQ，S△AEP=S△CGQ，∵BE:AE=3:1，∴设AE=x，则AE=CG=BF=x，BE=CF=3x，∴EF=GF=CF-CG=2x，∴S△FGQ=2S△CGQ=S△AEP+S△CGQ，∴阴影部分的面积之和为S梯形GQPF =12GQ+PF⋅GF=12EP+PF⋅GF=12EF⋅GF=12×2x2=2x2，∵正方形ABCD的面积为80，∴AE2+BE2=AB2即x2+9x2=80，∴x2=8，∴阴影部分的面积之和为16．故选C．【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解．3(2022·辽宁阜新·八年级期末)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=12，BC=7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.148B.100C.196D.144【答案】A【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．【详解】解：如图，设将CA延长到点D，连接BD，由题意得：CD=12×2=24,BC=7,∠BCD=90°，∴BD=BC2+CD2=25，∴AD+BD=12+25=37，∴这个风车的外围周长是37×4=148，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．4(2022·中山八年级期末)中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1,S2，S3．若S1+S2+S3=18, 则正方形EFGH的面积为．【答案】6【分析】设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y即可．【解析】解：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故答案为6【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．5(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是【答案】①②③【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，则小正方形的边长为b -a ，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形MNPQ 的边长为2c ，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，则小正方形的边长为b -a ，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形MNPQ 的边长为2c ，∴S 1=b 2，S 2=a 2，S 四边形MNPQ =2c 2=4c 2．∴S 1+S 2=a 2+b 2=c 2．∴S 1+S 2=14S 四边形MNPQ ．故①正确；∵AF =b -a ，∴AG =FG -AF =a -b -a =2a -b ．∴DG =AD -AG =b -2a -b =2b -a ．∴DG =2AF ．故②正确；∵∠EMH =30°，∠MHE =90°，∴MH =3HE ．即b =3a ．∴b 2=3a 2．∴S 1=3S 2．故③正确；∵点A 是线段GF 的中点，∴AG =AF ．即2a -b =b -a ．∴2b =3a ．∴4b 2=9a 2．∴4S 1=9S 2．故④不正确；故答案是①②③．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，用a ,b ,c 表示出相关线段的长度，从而解决问题．模型2. 勾股树模型6(2022·重庆市八年级期中)如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是8cm 2，12cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是cm 2．【答案】15【分析】根据勾股定理有S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，等量代换即可求正方形D 的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理可知，∵S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，∴S 大正方形=S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B =49．∴正方形D 的面积=49-8-12-14=15(cm 2)；故答案为：15．【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁【答案】D 【分析】连接AC ，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC ，由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2，AD 2+CD 2=AC 2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．8(2022·江苏·八年级专题练习)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯，按照此规律继续下去，则S 2022的值为．【答案】122019【分析】根据勾股定理可得DE 2+CE 2=DC 2，从而得到S 2=12S 1，依次类推，即可得到S 3=12S 2=14S 1，找出规律，进而得到S2022的值．【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，则CE=DE，DE2+CE2=DC2，∴2DE2=CD2，即S2=12S1=12×22=2，同理可得：S3=12S2=14S1=1，S4=12S3=18S1=123S1=12，∴S2022=122021S1=122021×4=122019．故答案为：122019．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．9(2023春·重庆·八年级专题练习)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图(2)比图(1)多出4个正方形，图(3)比图(2)多出8个正方形，图(4)比图(3)多出16个正方形，⋯⋯，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图(2)比图(1)多出4个正方形，2×2=22=4图(3)比图(2)多出8个正方形，4×2=23=8；图(4)比图(3)多出16个正方形，8×2=24=16；图(5)比图(4)多出32个正方形，16×2=25=32；照此规律，图(n)比图(n-1)多出正方形的个数为：2n故图(6)比图(5)多出正方形的个数为：26=64；故答案为：C．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．10(2022·广东珠海·八年级期末)如图△ABC为直角三角形，斜边AC=4，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为()A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】A【分析】先根据勾股定理得出AB2+BC2=AC2=16，再根据圆的面积公式表示出S1+S2=12×πAB22+1 2×πBC22，整理解得得出答案．【详解】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AC=4，∴AB2+BC2=AC2=16，∴S1+S2=12×πAB22+12×πBC2 2=π2AB24+BC24=π8AB2+BC2=π8×16=2π故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．11(2023·江苏八年级期末)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1=6.5，S2=3.5，S3=5.5，则S4=．【答案】2.5【分析】DE分别交BF、CF于点G、点H；设AB=BD=a，AC=CE=b，BC=CF=c，S△ABG=m，S△ACH=n，由a2+b2=c2，可得S△ABD+S△ACE=S△BCF，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，DE分别交BF、CF于点G、点H∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB=BD，AC=CE，BC=CF，设AB=BD=a，AC=CE=b，BC=CF=c，S△ABG=m，S△ACH=n∵a2+b2=c2∴S△ABD+S△ACE=S△BCF∵S△ABD=S1+m，S△ACE=n+S4，S△BCF=S2+S3+m+n∴S1+m+n+S4=S2+S3+m+n∴S4=S2+S3-S1=3.5+5.5-6.5=2.5故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．12(2023·四川达州·八年级校考阶段练习)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1：△ABC中，∠BAC=90°)．(1)如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是()．(2)如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是( )，请说明理由．(3)如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC +∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4之间的数量关系式为()，请说明理由．【答案】(1)S1+S2=S3；(2)S1+S2=S3；理由见解析；(3)S1+S2+S3=12S4，理由见解析．【分析】(1)利用直角△ABC的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小，满足勾股定理；(2)利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理；(3)利用BC、AD的长分别表示正方形S1、S2、S3、S4的大小，根据BC=2AD，即可求解．【详解】解：(1)由题意可得：AB2+AC2=BC2，S1=34AB2，S2=34AC2，S3=34BC2，S1+S2=34(AB2+AC2)=34BC2=S3，故答案为：S1+S2=S3；(2)由题意得：S1=π8AB2，S2=π8AC2，S3=π8BC2，S1+S2=π8AB2+π8AC2=π8BC2=S3，故答案为：S1+S2=S3；(3)过D作DE⎳AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故AD=BE，又∵BC=2AD，∴AD=BE=EC，∠EDC=180°-∠DEC-∠DCB=180°-∠ABC-∠DCB=180°-∠ABC+∠DCB=90°，∴DE2+DC2=AB2+DC2=EC2=AD2，∵S1=AB2，S2=DC2，S3=AD2，S4=BC2=4AD2，∴S1+S2+S3=2AD2=12S4，故答案为：S1+S2+S3=12S4．【点睛】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．课后专项训练1(2023·北京初二期中)如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是()A.S1+S2=S3B.S12+S22=S32C.S12+S22>S32D.S12+S22<S32【答案】A分析：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴(2a)2+(2b)2=(2c)2，化简得：a2+b2=c2，S1=12πa2，S2=12πb2，S3=12πc2；S1+S2=12π(a2+b2)=12πc2=S3．故选A．考点：勾股定理．2(2022成都市八年级数学期中)有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为()A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是a，b，c，根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1=2022．故选：D【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．3(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，由勾股定理可得，c2=a2+b2，阴影部分面积=c2-b2-a(c-b)=a2-a(c-b)=a(a+b-c)，较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．4(2022·江苏·八年级课时练习)如图，△ABC中，∠ACB=90°，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道()A.以BC为边的正方形面积B.以AC为边的正方形面积C.以AB为边的正方形面积D.△ABC的面积【答案】D【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到S△ADE=S△CAN，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到S△BGH=S△CBN，BH=CN，则S△ADE=5S△ABC由此即可得到答案．+S△BGH=S△CAN+S△CBN=S△ABC，即可推出S阴影【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN(AAS)，∴S△ADE=S△CAN，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，∴S△BGH=S△CBN，BH=CN∴S△ADE+S△BGH=S△CAN+S△CBN=S△ABC，=AB⋅AE+AB⋅BH+S△ABC=2AB⋅CN+S△ABC=5S△ABC，∴S阴影∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．5(2022·广东湛江·八年级期末)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为()A.4B.6C.8D.12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为()A.144B.100C.49D.25【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理，得AF =EF 2-AE 2=132-122=5．所以AB =12-5=7．所以正方形ABCD 的面积为：7×7=49．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．7(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-2【答案】C【分析】先证明△EDO ≌△GBO ，得出OE =OG ，再根据已知条件GO =GP ，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得∠CBG =22.5°=∠PBG ，进而证明△BPG ≌△CPG ，得出PG =CG =OG ，设PG =CG =OG =BF =1，得到BG =BF +FG =2+1，进而求解.【详解】解：∵四边形EFGH 、ABCD 是正方形，∴EH =FG ,EH ∥FG ,∠EGP =45°，∠BGP =90°，∠CBD =45°，∴∠DEO =∠BGO ,∠EDO =∠GBO ，∵四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，∴DE =BG ,BF =CG ，∴△EDO ≌△GBO ，∴OE =OG ，∵GO =GP ，∠EGP =45°，∴∠GOP =∠OPG =12180°-45° =67.5°，∴∠PBG =90°-67.5°=22.5°，∴∠CBG =22.5°=∠PBG ，∵∠PGB =∠CGB =90°,BG =BG ，∴△BPG ≌△CPG ，∴PG =CG =OG ，设PG =CG =OG =BF =1，则EG =2OG =2，∴FG =2EG 2=2，∴BG =BF +FG =2+1，∴CG BG =12+1=2-1；故选：C .【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.8(2023春·山东临沂·八年级统考期末)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为()A.420B.440C.430D.410【答案】B【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得△ABC、△PFB、△QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC=∠BPF=∠FBC=90°，BC=BF，∴∠ABC+∠ACB=90°=∠PBF+∠ABC，∴∠ACB=∠PBF，∴△ABC≌△PFB AAS，，同理可证△ABC≌△QCG AAS∴PB=AC=8，CQ=AB=6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP=8+6+8=22，DQ=6+8+6=20，∴长方形KLMJ的面积=22×20=440．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．9(2023春·广西南宁·八年级统考期末)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么a -b 2为．【答案】1【分析】结合图形，得出12ab ×4+b -a 2=17，12ab =4，再整体代入求解即可．【详解】解：根据题意得：12ab ×4+b -a 2=17，12ab =4，∴4×4+b -a 2=17即b -a 2=1∴a -b 2=1故答案为：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确识图是解题的关键．10(2022·江苏宿迁·八年级统考期中)如图，S 1、S 2、S 3分别是以Rt △ABC 的三边为直径所画半圆的面积，其中S 1=10π，S 2=6π，则S 3=．【答案】4π【分析】先分别算出S 1、S 2、S 3的面积，然后根据勾股定理即可解答．【详解】解：∵S 1=πAC 2 2=14πAC 2，S 2=πAB 2 2=14πAB 2，S 3=πBC 2 2=14πBC 2∴S 2+S 3=14πAB 2+14πBC 2=14πAB 2+BC 2 ∵AB 2+BC 2=AC 2∴S 1=S 2+S 3．∵S 1=10π，S 2=6π，∴S 3=4π故答案为4π．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．11(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．【答案】63【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3(个)，第二代勾股树中正方形有1+2+22=7(个)，第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15(个)，由此推出第五代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25=63(个)故答案为：63．【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．12(2022秋·广东深圳·八年级校联考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中I，II，III部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时III刚好盛满水，而I，II无水．如图2摆放时，水面刚好经过III的中心O(正方形两条对角线的交点)，则II中有水部分的面积为．【答案】14【分析】由勾股定理求出AB=10，根据已知条件得到Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，于是得到结论．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=10，∴Ⅲ部分的面积是100，∵水面刚好经过Ⅲ的中心O，∴Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，∴Ⅱ中有水部分的面积为100-36-50=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13(2022·广西·八年级课时练习)如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S4的值为，S2+S3-S1的值为．【答案】 24 0【分析】先证明△ADE≌△ABC,从而可得S4, 再利用图形的面积关系可得：S3+S4+S5=82=64,S1+S5+S6 +S7=102=100, 两式相减可得：S1+S7-S3=36, 而S2+S7=62=36,证明S1-S3=S2, 从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt△ABC的三边为边作三个正方形，∴AC=AE,AB=AD,∠EAC=∠DAB=90°, AB=62+82=10,∴∠EAD=∠CAB,∴△ADE≌△ABC, ∴S4=S6=12AC∙BC=12×6×8=24,S3+S4+S5=82=64,S1+S5+S6+S7=102=100,两式相减可得：S1+S7-S3=36, 而S2+S7=62=36,∴S1-S3=S2,∴S2+S3-S1=S1-S3+S3-S1=0.故答案为：24，0【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明△ADE≌△ABC是解本题的关键.14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．【答案】55n【分析】利用正方形ABCD的面积为1，求出其边长为1，可求出正方形A1B1C1D1的边长为：12+22=5，面积为：S1=52=5，再求出正方形A2B2C2D2的边长为：52=5，面积为：S2=52，正方形2+25A3B3C3D3的边长为：5 2+102=125=53，正方形A4B4C4D4的边长为：2=55，面积为：S3=55552=25，面积为：S4=252=54，依次可推出：正方形AnBnCnDn的面积为：S n=5n． 2+105【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴其边长为1，∵把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，∴正方形A1B1C1D1的边长为：12+22=5，∴正方形A1B1C1D1的面积：S1=52=5；∵正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2，∴正方形A2B2C2D2的边长为：52=5，∴正方形A2B2C2D2的面积为：S2=52；2+25同理可得：正方形A3B3C3D3的边长为：5 2+102=2=55，∴正方形A3B3C3D3的面积为：S3=55125=53；正方形A4B4C4D4的边长为：552=25，∴正方形A4B4C4D4的面积为：S4=252=54；2+105依次可推出：正方形AnBnCnDn的面积为：S n=5n．故答案为：5；5n【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是求出每一个正方形的边长，即可求出其面积．15(2023山西八年级期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S 1，S 2，S 3满足的关系是．(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案(阴影部分)的面积为．【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2)；②证明见解析；(2)S 1+S 2=S 3；(3)7.5．【分析】(1)①根据勾股定理的内容即可得；②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得；(2)根据勾股定理、圆的面积公式即可得；(3)根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得．【详解】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2)；②图1：大正方形的面积为c 2，四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×12ab +b -a 2=a 2+b 2，则a 2+b 2=c 2；图2：大正方形的面积为(a +b )2=a 2+2ab +b 2，四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×12ab +c 2=c 2+2ab ，则a 2+2ab +b 2=c 2+2ab ，即a 2+b 2=c 2；图3：直角梯形的面积为a +b 2⋅a +b =12a 2+ab +12b 2，三个直角三角形的面积之和为12ab +12ab +12c 2=ab +12c 2，则12a 2+ab +12b 2=ab +12c 2，即a 2+b 2=c 2；(2)设S 1对应的直角边长为a ， S 2对应的直角边长为b ，S 3对应的斜边长为c ，由圆的面积公式得：S 1=π⋅a 2 2=14πa 2，S 2=π⋅b 2 2=14πb 2，S 3=π⋅c 2 2=14πc 2，由勾股定理得：a 2+b 2=c 2，则14πa 2+14πb 2=14πc 2，即S 1+S 2=S 3，故答案为：S 1+S 2=S 3；(3)设直角三角形的两直角边长分别为a =3,b =5，斜边长为c ，由(2)可知，14πa 2+14πb 2=14πc 2，则阴影部分的面积为π⋅a 2 2+π⋅b 2 2+12ab -π⋅c 2 2，=14πa 2+14πb 2+12×3×5-14πc 2，=7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．16(2023·江苏扬州·七年级校联考期中)一个直角三角形的两条直角边分别为a 、b (b >a )，斜边为c ．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图的正方形，。
赵爽弦图考题聚焦教学文案
“赵爽弦图”考题聚焦王云峰，巧妙地证明了勾股定理．我国古代数学家赵爽利用弦图（图1）届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举第24 例介绍以弦图为背景的试题，供参考．是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由例1 图2 ，四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC 中，若直角边AC＝6所示的“数BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3 学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．，标注出点D、E、F、G．解析如图3．6，BC＝5AC∵＝．6．DE＝5∴GD＝，∵FG＝DC ．＝2DG＝12∴FD Rt△DEF中，由勾股定理，得1DD?? 13E＝＝76．＋6)＝∴这个风车的外围周长为4(EF＋FG)＝4×(13已1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．是用4个全等的直角三角形与例2 如图4，，）y表示直角三角形的两直角边（x>y49，小正方形面积为4．若用x，知大正方形面积为22，其中说法正确的9y＝；④4＝49x＋＝49；②x－y＝2；③2xy下列四个说法：①xy＋＋)是(①②③(B) (A)①②(D)①②③④(C)①②④大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形解析的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形2222，①正确．＝y49，所以x ＋x斜边长的平方为y＋，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边2由小正方形面积为4知它的边长为，②正确．＝2的差，所以x－y1xy＋4＝49，×大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以42 ，③正确．42xy＋＝49即49222，④不y＋＝x94yx249 42xyx 由①、③，得＋y＋＋＝×，即（＋）＝，所以正确．B综合知，选．1，后人称其为“赵我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”例3由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图6爽弦图”（如图5）．图S＋S，若S＋S中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S、321122，则10S的值是___________．＝21，把它的各边例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为．边长接原；把正方形延长一倍得到新正方形ABCDABCD1111111；以此下去……正方法延长一倍得到正方形ABCD（如图8）2222 D形ABC的面积为______．nnnn解析由小正方形ABCD的面积为1，知＝1，DA＝2．它的边长为1，则DD11 DA中，由勾股定理，得，在Rt△D 如图711＝5，＝DA＝DD＋DA12＋22 22121 5．C 所以正方形ABD的面积为11115 ＝DC＝DA，D＝AD 如图8，D211111215 2．＝＝2DA11中，由勾股定理，得DA在Rt△D2122＝CD的面积为255．B 所以正方形A2222……5；的面积为正方形＝53；ABCD625＝125DB 同理，正方形AC的面积为444333434n 5 于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为．年在北京召开的世界数学大会会例 5 2002标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B、B、B、…、B和C、1312n213＝－分别在直线、…、＋1 C、CCy＋x n232 n轴上，则第x和个阴影正方形的面积为．______34。
“赵爽弦图”考题聚焦
“赵爽弦图〞考题聚焦王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图〔图1〕，巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图〞的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，假设直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车〞，那么这个风车的外围周长〔图3中的实线〕是_______．解析 如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．∵AC ＝6，BC ＝5．∴GD ＝6．DE ＝5．∵FG ＝DC ，∴FD ＝2DG ＝12．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF ＝2222512DE DG +=+＝13．∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．大正方形面积为49，小正方形面积为4．假设用x ，y 表示直角三角形的两直角边〔x>y 〕，以下四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的选项是( )(A)①② (B)①②③(C)①②④ (D)①②③④解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x －y ＝2，②正确．大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×12xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即〔x ＋y 〕2＝94，所以x ＋y ＝49，④不正确．综合知，选B ．例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图〞，后人称其为“赵爽弦图〞〔如图5〕．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，假设S1＋S2＋S3＝10，那么S2的值是___________．例4 如图7，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2〔如图8〕；以此下去……正方形A n B n C n D n的面积为______．解析由小正方形ABCD的面积为1，知它的边长为1，那么DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正方形A1B1C1D1的面积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝5，D1A2＝2D1A1＝25．在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……于是，可猜测正方形AnBnCnDn的面积为5n．例5 2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影局部是一个小正方形的“赵爽弦图〞，如图9．假设这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、C2、C3、…、C n分别在直线y＝－12x＋3＋1和x轴上，那么第n个阴影正方形的面积为______．。
赵爽弦图模型-解析版
赵爽弦图模型模型讲解◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF= GD=AH，则四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则:(1)S正方形ABCD =4SΔAEH十S正方形EFGH;(2)S正方形EFGH =4SΔHPE十S正方形OPQR;(3)S正方形ABCD -S正方形EFGH=S正方形EFGH-S正方形OPQR.(4)2S正方形EFGH =S正方形ABCD十S正方形OPQR注：常见的勾股数组合①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1(2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习)如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=10，大正方形面积为25，则小正方形边长为()A ．3B ．2C ．5D ．3【答案】C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等的三角形的面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，∵大正方形面积为25，四个全等的直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，ab =10，∴S 正方形ABCD =25，S △ABG =S △BCH =S △CDE =S △ADF =12ab =12×10=5，∴S 正方形EFGH =FG 2=S 正方形ABCD -4S △ABG =25-4×5=5，∴FG =5，即小正方形边长为5，故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．2(2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习)如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是()A ．121B ．144C ．169D ．196【答案】C【分析】直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a =5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可.【详解】解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米∴c2=52+122=169.故答案为：C.【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键.3(2022秋·福建三明·八年级统考期末)某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b2的值()A．13B．19C．25D．169【答案】C【分析】大正方形的面积是13求得a2+b2=13，结合小正方形的面积是1求出阴影部分面积即ab=6，将a+b2变形代入求解即可．【详解】解：直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，故斜边长为:a2+b2即大正方形边长为:a2+b2大正方形的面积是13，小正方形的面积是1∴a2+b2=13阴影部分的面积为：13-1=12ab=124×12即ab=6∴a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25故选：C．【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示面积．4(2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习)如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF=1，AH=3，那么AB等于()A．4B．5C．9D．10【答案】B【分析】根据正方形的性质得到HG=EF=1，∠AHB=∠GHE=90°，再由全等三角形的性质得BG=AH=3，则BH=4，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，EF=1，∴HG=EF=1，∠AHB=∠GHE=90°，∵AH=3，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴BG=AH=3，∴BH=4，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB=AH2+BH2=32+42=5，故选B．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．5(2023春·全国·八年级专题练习)如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】由大的正方形的边长为c,结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为a-b, 结合小正方形的面积可判断②，再利用a2-2ab+b2=1, 结合a2+b2=25,可判断③，再由a2+2ab+b2=25+24,可判断④，从而可得答案.【详解】解：由题意得：大正方形的边长为c,∴a2+b2=c2=25, 故①符合题意；用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则小正方形的边长为：a-b,∴a-b2=1, 则a-b=1(负值不合题意舍去)故②符合题意；∵a-b2=1,∴a2-2ab+b2=1, 而a2+b2=25,∴25-2ab=1,∴ab=12, 故③符合题意；∵a2+b2=25,∴a2+2ab+b2=25+24,∴a+b2=49,∴a+b=7(负值不合题意舍去)故④符合题意；故选D【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.6(2023春·全国·八年级专题练习)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b a<b，斜边长为c．(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)96【分析】(1)根据图①，外面大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全形同的直角三角形面积的和，列出等式化简即可得到结论；(2)由图形的周长为48，得到AB+BC=48÷4=12，设AH=BC=x，则AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理列方程得x=2，从而OB=OH=6,OA=OH+AH=6+2=8，根据图形即可得到面积为4×12OB⋅OA=2OB⋅OA=2×6×8=96．【详解】(1)证明：由题意知，S大正方形=S小正方形+4S直角三角形，∴c2=b-a2+4×12ab，即c2=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2，∴a2+b2=c2；(2)解：∵AB+BC=48÷4=12，设AH=BC=x，则AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2，即62+6+x2=12-x2，解得：x=2，即在Rt△AOB中，OB=OH=6,OA=OH+AH=6+2=8，∴该图形面积为4×12OB⋅OA=2OB⋅OA=2×6×8=96．【点睛】本题考查几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，数形结合，将图中各个线段长度及面积关系搞清楚是解决问题的关键．7(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=2a-3ab-4-6b=a2-3b-22-3b=2-3ba-2解法二：原式=2a-4-3ab-6b=2a-2-3b a-2=a-22-3b【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解；【应用】(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解，再求值．【答案】(1)(x+a)(x-a+1)；(2)9【分析】(1)用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解即可；(2)先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解，再求值即可；【详解】解：(1)原式=(x2-a2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1)；(2)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b)=(a2+b2)2-2ab(a2+b2)=(a2+b2)(a2+b2-2ab)=(a2+b2)(a-b)2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2=32=9，(a-b)2=1，∴原式=9．【点睛】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．8(2023春·全国·八年级专题练习)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图2)．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证(1)中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．(用m，n表示)【答案】(1)c2=a2+b2(2)见解析(3)m2+n22【分析】(1)由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；(2)由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；(3)分别求出a，b，由勾股定理可求解．【详解】(1)解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4×12×a×b+b-a2，∴c2=4×12×a×b+b-a2，∴c2=a2+b2，故答案为：c2=a2+b2；(2)证明：如图：连接BD，∵Rt△ABC≌Rt△DAE，∴∠ADE=∠BAC，∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，∴∠DAB=90°，∵S四边形ABCD =12c2+12a b-a，S四边形ABCD=2×12ab+12b b-a，∴1 2c2+12a b-a=2×12ab+12b b-a，∴c2=a2+b2；(3)解：由题意可得：CE=CD+DE，GH=AG-AH，∴m=a+b，n=b-a，∴a=m-n2，b=m+n 2，∴BD2=BC2+CD2=a2+b2=m2+n22，∴正方形BDFA 的面积为m 2+n 22．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9(2020秋·广东佛山·八年级统考期中)我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a ，b 与斜边c 满足关系式a 2+b 2=c 2，称为勾股定理．(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．(2)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC 的高BD ，利用上面的结论，求高BD 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)画图见解析，95．【分析】(1)根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；(2)先根据高的定义画出BD ，由(1)中结论求出AC 的长，再根据△ABC 的面积不变列式，即可求出高BD 的长．【详解】1 证明：由图②得：12ab ×4+c 2=a +b 2整理得：2ab +c 2=a 2+b 2+2ab 即a 2+b 2=c 2．2 解：△ABC 的高BD 如图所示．由图可得：AC=32+42=5，AB=3，AB边上的高为3．∵S△ABC=12AC⋅BD=12AB×3，∴BD=3ABAC=3×35=95．【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．10(2022春·安徽芜湖·八年级统考期中)图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．(1)在Rt△ABCC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求a+b2；(2)在(1)的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长(图中实线部分)．【答案】(1)121；(2)76【分析】(1)由题意推出2ab=60，可得a+b2=a2+2ab+b2=121．(2)由(1)可知a+b=11b-a=1，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可．【详解】(1)由题意(b-a)2=1，a2+b2=61，∴2ab=60，∴a+b2=a2+2ab+b2=121；(2)由(1)可知(b-a)2=1，a+b2=121，∴a+b=11 b-a=1 ，11∴a=5b=6，∴AC=5，BC=6，∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12，∴AD=AC2+CD2=52+122=13，∴这个风车的外围周长=413+6=76．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键．。
初中试题研究之赵爽弦图引伸的经典题,多种方法解决问题
勾股定理是平面几何最重要的定理之一，赵爽弦图是中国古代数学最经典的表现。中考数学命题时，常常作为背景；甚至在竞赛题中也常常作为命题的依据，通常题目辅助线比较巧妙，方法众多，考查同学们不同的思维方法。对这类题型进行总结非常有必要，可以更好的应对中考时题型的各类变化，从中汲取营养。
思考十：托勒密定理
这个在上题中已经讲过，同学们可以利用此法进行尝试！
思考十一：三爪原理
思考一：赵爽弦图
当然，也可以通过多次相似求解。
思路二：旋转
思路三：四点共圆
思考四：相似或三角比
此题中最多的关系应该已经相似了，所以同学们要以在此题中可以利用相似来求解。例如
思考五：构造直角三角形
思考六：通过面积
取BC的中点G，可证明DF＝OD，OG＝FG，从面得以DG为中垂线，利用三角形OGC的面积等于OGD的面积（等积变换），而OGD的面积可以用对角线乘积的一半可得。
过O作OG BE当然，OG＝CF一般人可能看不出来，利用这个结论去求解非常便利。
思考七：K字型
此辅助线可以得出两个K字型，利用相似可求解。
思考八：建坐标系
当然，此法的好处是没有过多辅助线，入手不难，但计算量比较大。
思考九：12345模型、123模型
此法我在前面文章中已经多次提及，同学们可以翻看前面的内容。
已知 中， ，以斜边 为边向外作正方形 ，且正方形的对角线学中的一题，当时很多学生没有解答出来，成为当年的一道压轴小题。其实此题方法较多，例如直接还原赵爽弦图、邻边相等对角互补模型、托勒密定理、三爪模型等都可以解答出来。
方法一：直接还原赵爽弦图
方法二：邻边相等对角互补模型
方法三：托勒密定理
细说中考高频题
责任编辑 ： 李 诗 圜 Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｃ ｚ ｓ ｓ ｊ ｌ ｓ ＠ｌ ２ ６ ｃ ｏ ｍ
细 说 中 考 高 频 题
戴晓燕
勾 股 定理 及其 逆 定理 在 近 几年 的 中考 中是
樊 翠霞
【 解】 女 口 图３ ， 由Ａ Ｃ ＝ ６ ， 得Ｄ Ｃ ＝ １ ２ ， 在直角ＡＤ Ｂ Ｃ
＋ ６ ２ ＝ Ｂ Ｕ ， 解 得 朋 ＝ 萼， 进 一 步 算 得 ， ｊ Ｅ ＝ ．
例４ （ ２ ０ １ ７ ・ 嘉兴） 一 张矩 形 纸 片 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， 已
知Ａ Ｂ ＝ ３ ， Ａ Ｄ＝ ２ ， 小明按 下 图步骤 折 叠纸 片 ， 则 线
段 ＤＧ 长 为 （ ） ． ’
图６
【 解】 由Ａ Ｃ ＝ ５ ， Ｂ Ｃ ＝ １ ２ ， Ａ Ｂ ＝ １ ３ 知 ＡＡ Ｂ Ｃ是 直 角三角形， 故Ｃ Ｄ ＝ ６ ． ５ ．
例６ （ ２ ０ １ ７ ・ 南京） “ 直 角” 在 初 中几 何 学 习 中无 处 不在． 如 图７ ， 已知 ／ ＿ ＿ Ａ Ｏ Ｂ ． 请 仿 照 小 丽的 方
想 等 重要 的数 学 思 想 为依 托 ， 实现了对“ 四 基 四 能” 的全 面考 查．
三、 逆 定理 的应 用 例５ （ ２ ０ １ ７・ 益 阳） 如图６ ， ＡＡ ＢＣ中 ， Ａ Ｃ ＝ ５ ，
【 评析 】 勾股定理 的逆定理主要 是由数量关 系确定三角形是否为直角三角形 ， 然后在直角三 角形的背景下解决有关 问题． 勾股定理 的逆定理
一
，
近年来在全国各地 的中考题里常有出现．
二、 折 叠 问题
例３ （ ２ ０ １ ７ ・ 武威） 如 图４ ， 一 张 三 角形 纸 片
专题08 赵爽弦图模型-原卷版
培优专题08 赵爽弦图模型【模型讲解】◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则:（1）S正方形ABCD =4SAEH∆十S正方形EFGH;（2）S正方形EFGH =4SHPE∆十S正方形OPQR;（3）S正方形ABCD －S正方形EFGH＝S正方形EFGH－S正方形OPQR.（4）2S正方形EFGH =S正方形ABCD十S正方形OPQR注：常见的勾股数组合①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大ab=，大正方形面积为25，则小正方正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若10形边长为（）AB．2C D．32．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．1963．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则()2+的值（）a bA．13B．19C．25D．1694．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（）A ．4B ．5C ．9D ．105．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则下列说法：△a 2+b 2=25，△a －b =1，△ab =12，△a +b =7．正确的是（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图△所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为(),a b a b ＜，斜边长为c ．(1)结合图△，求证：222+=a b c ；(2)如图△，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH ．若该图形的周长为48，6OH =．求该图形的面积．7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【应用】（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a b >），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE BC a ==，DE AC b ==，AD AB c ==，90AED ACB ==︒∠∠，求证（1）中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE m =，HG n =，求正方形BDF A 的面积．（用m ，n 表示）9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图△），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式222a b c，称为勾股定理．+=（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图△），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出ABC 的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．10．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图△是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt ABC C中，AC=a，BC=b，△ACB=90°，若图△中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求()2+；a b（2）在（1）的条件下，若将图△中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图△所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．。
初中数学精品说题稿：再探赵爽弦图
再探“赵爽弦图”原题展示：正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，EF，则正方形ABCD的面积为（）A． 12s B． 10s C．9s D．8sB尊敬的各位评委，老师，大家好：我说题的题目是《再探“赵爽弦图”》，“赵爽弦图”在验证勾股定理时学生已有接触，因此主题定为《再探“赵爽弦图”》，我打算从“命题立意、命题解析、命题主线”三个方面来对本题进行阐述。
一、命题立意知识立意：本题着重考查勾股定理，正方形的性质，图形面积的计算等知识。
能力立意：（1）赵爽弦图嵌套美的赏识。
（2）设元、数形结合等数学思想方法的建构。
（3）读图，识图，解构图形能力的培养。
（4）探究赵爽弦图类型题的解题基本步骤的考查是本题的重点。
二、命题解析本题是2017年温州卷选择题第9题，考查学生的设元、消元、设而不求、方程、数形结合等思想方法，属于较难题，难度值比较大，解决此题是通过设元，设EF=x，用x表示其他线段，表示图形的面积，利用图形寻找到解决问题的等量关系，解决问题的关键是发现直角三角形短直角边等于小正方形的边长即EF 的长，是本题的难点，突破难点可以通过两种方法：①代数法，用x表示线段，发现直角三角形短直角边也等于x即直角三角形短直角边等于小正方形的边长②几何法，利用图形，结合线段的中点，运用线段的和差也能发现直角三角形短直角边等于小正方形的边长。
然后用勾股定理求出大正方形的边长即直角三角形的斜边长，接着消元消去x用Ｓ的关系式表示大正方形的面积，从而解决问题。
在这个过程中，解题思路是：在我们认真研读图形，认真识图后，发现此图实质上可以分解成三个基本的“赵爽弦图”嵌套而成的，具体分解如下：去四条红色的对角线也就是左下图：+通过如此的认图、识图、构图，把此一题一课的主线设计成：一个基本的“赵爽弦图”两个基本的“赵爽弦图”三个基本的“赵爽弦图”。
三、命题主线１、学生在操作中体验“赵爽弦图”（1）、用四个全等的直角三角形围成一个正方形。
以“赵爽弦图”为模型的中考试题赏析
’命 题 感 悟
以“ 赵爽弦图” 为模型的中考试题赏析
⑩江 苏 省 泗 阳 实 验初 级 中 学 朱 浩
勾股定 理是刻 画直角 三角形 特征 的一条重 要定理 ，
ＤＥ ＝ Ｅ ＋ ＤＰ ＝
＋ 苫＝ １ ３ ．
它 的发现 、 验证 、 应用 蕴含着 丰富 的文化价 值 ． 中 国古代
定 理 的图形 ， 如 图ｌ 所示． 利用 它验证 勾股 定理 的主要 思
理 求 出Ｄ Ｅ的 长 ． 从 而可得 到“ 数 学风 车” 的外 围周 长． 其 实． 利 用 图３ 还 可 以 设 计 出其 他 数 学 问题 ． 如 求 出“ 数 学 风
想是 ： 利用 两种不 同的方法 计算 同一 图形 的面积 ， 得 到
Ｚ
即可得到勾股 定理． 在 近几年 中考 中 ， 以“ 赵爽弦 图” 为模 型的一类 中考试题屡 见不 鲜．笔者从 近几 年全 国各地 中考试 题 中选取具有 代表性 的几例与 同行 分享 ，不足之处 解析 ： 如 图５ ， 因为大正方形 的面积为４ ９ ， 小正方形 的 面积为４ ， 所 以Ａ Ｂ ＝ ４ ９ ， Ｅ ＝ ４ ． 所 以Ａ Ｂ ＝ ７ ， Ｅ Ｆ ＝ ２ ．
的结果应 该相 等． 在 图１ 中， 以弦为边 长 的正方形 是 由 四
车” 的面积 ， 求△Ｄ Ｂ Ｅ的面积等．
例２ （ ２ ｏ ｌ ｏ 年 广西河 池 ） 如 图４ 是用４ 个全 等的直 角 三角形与 １ 个小正方形镶嵌而成 的正方形 图案 ， 已知大 正
个 全等 的直 角三角形 和一个 小正 方形 组成 的． 设 直 角三 角形 中较短 的直角边 长为口 ， 较长 的直角边长 为ｂ ， 斜边长
勾股定理与赵爽弦图 (30题提分练)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册精品(北师大版)
勾股定理与赵爽弦图问题（30题提分练）一、选择题（共10题）1．（2023春•长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，下列四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）A．B．C．D．2．（2024春•罗定市期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列A．B．C．D．3．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）A．4B．8C．12D．164．（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（ ）A．16B．8C．4D．25．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2A．24B．36C．40D．446．（2023秋•工业园区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）A ．56B ．60C ．65D ．757．（2024春•重庆期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连接CE ．若正方形ABCD 的面积为6，EF =12BG ，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．D 8．（2024春•高密市期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝12，则S 2的值是（ ）A ．103B ．4C ．5D ．2549．（2024春•铁东区校级月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE ：AE ＝3：1，正方形ABCD 的面积为80．连接AC ，交BE 于点P ，交DG 于点Q ，连接FQ ．则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2010．（2023春•南浔区期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD 和正方形EFGH ．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A ′E ＝ME ．B ′F ＝NF ，C ′G ＝PG ，D ′H ＝HQ ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A ′EF ，△B ′FG ，△C ′CH ．△D ′HE ．若FM 平分∠BFE ，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m ，则正方形EFCH 的面积是（ ）A ．76mB ．53mC ．3mD ．95m 二、填空题（共10题）11．（2023秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 是四个直角三角形，当EF ＝7，DE ＝12时，则正方形ABCD 的边长是 ．12．（2024春•金乡县月考）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是 ．13．（2023•湖北开学）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是 ．14．（2023春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD 的周长为 ．15．（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DF ．若S 正方形ABCD ＝5，EF =12BG ，则DF 的长为 ．16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ ∥AB ，则正方形EFGH 的边长为 ．17．（2023秋•乐清市校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理，现把较小的两个正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD ．若AB ＝3，则图中阴影部分的面积为 ．18．（2023春•思明区校级期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6，则该图形的面积 ．19．（2023春•姜堰区期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是 ．20．（2023春•温岭市期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 ．三、解答题（共10题）21．（2024春•汝南县期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．（2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．22．（2024春•海淀区校级期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 ；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ，整理得 ，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．23．（2023秋•焦作期末）我国汉代数学家赵爽创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．八年级小明同学在图1的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图2．已知在Rt△ABG中，AG＝a，BG＝b，∠AGB＝90°．（1）正方形EFGH的面积是 ；△ABG的面积是 ．（用含a，b的代数式表示）（2）若图中大正方形ABCD的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求△ABG的面积．（3）在（2）的条件下，求（a+b）2的值．24．（2023秋•台江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD ＝2cm，则徽标的外围周长为 cm．25．（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c 2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab ×4+(b ―a )2，从而得到等式c 2=12ab ×4+(b ―a )2，化简便得结论a 2+b 2＝c 2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长度．（2）如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，设BD ＝x ，求x 的值．26．（2023秋•尧都区校级期末）阅读材料：勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方．也就是说，设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2，迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如美国第二十任总统伽菲儿德“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为12(a+b)2或者是2×12ab+12c2．因此得到12(a+b)2=2×12ab+12c2，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2．尝试探究：（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据古人的拼图完成证明．（2）如图3，是2002年在中国北京召开的国际数学大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边为c，请你根据此图完成证明．应用定理：（3）已知a、b、c为Rt△ABC三边长（其中c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系．27．（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．（1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2；②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？（2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积．28．阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（图①）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2．（1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图②，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC =12ab，S正方形ABDE＝c2，S正方形MNPQ＝ 又∵S正方形MNPQ ＝四个全等直角三角形三角形的面积+S正方形ABDE，∴即： 整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴ （2）如图③，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．29．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．（1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 （填“长方形”或“正方形”），其面积为 （用含a、b的代数式表示）；（2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性；（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．30．（2023春•开封期末）如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．问题发现：如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 ．知识迁移：已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．（1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 ．（2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由．（3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积．。
【2】考点梳理：勾股定理必考点全梳理
必考点1： 赵爽弦图求值解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题. 例题1： “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若ab ＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．5D ．4【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，∵每一个直角三角形的面积为：12ab =12×8＝4，∴大正方形的面积为：4×12ab +（a ﹣b ）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．选C ． 【小结】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，基础题型．变式1： 如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求ab 即可．【解析】由题意：大正方形面积9，小正方形的面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ， 即a 2+b 2＝9，a ﹣b ＝1，所以ab =12[（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）2]=12（9﹣1）＝4，即ab ＝4． 解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则12ab ＝2；所以ab ＝4，选A ． 【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．变式2：如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解析】∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．选C．【小结】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．变式3：如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．【解析】根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．【小结】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．必考点2： 勾股定理的验证勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.例题2： 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解析】A 、∵12ab +c 2+12ab =12（a +b ）（a +b ），∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，不符合题意； B 、∵4×12ab +（b ﹣a ）2＝c 2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C 、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D 、∵4×12ab +c 2＝（a +b ）2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，不符合题意；选C ． 【小结】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．变式4： “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a 、b 、c 的式子表示） ， ．【分析】五边形的面积＝边长为c 的正方形面积+2个全等的直角边分别为a ，b 的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为c 的正方形面积+边长为c 的正方形面积+2个全等的直角边分别为a ，b 的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．【解析】如图所示：①S ＝c 2+12ab ×2＝c 2+ab ，②S ＝a 2+b 2+12ab ×2＝a 2+b 2+ab ． 故答案为：c 2+ab ，a 2+b 2+ab ．【小结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．变式5：如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．【解析】（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即12ab+12ab+12c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．【小结】本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．变式6： （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +（a ﹣b ）2，所以4×12ab +（a ﹣b ）2＝c 2，即a 2+b 2＝c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2＝c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【解析】（1）梯形ABCD 的面积为12（a +b ）（a +b ）=12a 2+ab +12b 2， 也利用表示为12ab +12c 2+12ab ，∴12a 2+ab +12b 2=12ab +12c 2+12ab ，即a 2+b 2＝c 2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h ，∴h =125 （3）∵图形面积为：（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，∴边长为a ﹣2b ，由此可画出的图形为：【小结】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．必考点3：勾股定理的应用之求面积解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.例题3：如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（）A．9B．5C．53D．45【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．选A．【小结】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．变式7：如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（）A．169cm2B．196cm2C．338cm2D．507cm2【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．【解析】如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．选D．【小结】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．变式8：有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2018C．2019D．2020【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．【解析】设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．选D．【小结】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键变式9：勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（）A．直角三角形纸片的面积B．最大正方形纸片的面积C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，选D ．【小结】考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2． 必考点4： 勾股定理的应用之面积法求斜边高解决此类问题要善于利用等积法求解.例题4： 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长是（ ）A ．5B ．7C ．125D ．245【分析】首先利用勾股定理计算出AB 的长，再根据三角形的面积公式计算出CD 的长即可．【解析】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB =√42+32=5，∵12×AC ×BC =12×CD ×AB ，∴12×3×4=12×5×CD ，解得CD =125．选C ． 【小结】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．变式10： 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD =52，则△ABC 的面积是（ ）A ．18B ．36C ．72D ．125 【分析】先作辅助线，AE ⊥CD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，然后根据勾股定理，可以得到CF 的长，再根据等积法可以得到AE 的长，然后即可计算出△ABC 的面积．【解析】作AE ⊥CD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，∵AC ＝CD ＝5，AD ＝6，CF ⊥AD ，∴AF ＝3，∠AFC ＝90°，∴CF =√AC 2−AF 2=4，∵CD⋅AE 2=AD⋅CF 2，∴5AE 2=6×42，解得．AE =245，∵BD =52，CD ＝5，∴BC =152，∴△ABC 的面积是：BC⋅AE 2=152×2452=18，选A ．【小结】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．变式11： 如图，三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是 ．【分析】作CP ⊥AB 于P ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式求出PC ．【解析】作CP ⊥AB 于P ，由垂线段最短可知，此时PC 最小，由勾股定理得，AB =√BC 2+AC 2=√42+32=5，S △ABC =12×AC ×BC =12×AB ×PC ，即12×3×4=12×5×PC ，解得，PC =125，故答案为：125． 【小结】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．变式12：在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（ ） A ．84 B ．24 C ．24或84 D ．42或84【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．【解析】（1）△ABC 为锐角三角形，高AD 在△ABC 内部． BD =√AB 2−AD 2=9，CD =√AC 2−AD 2=5∴△ABC 的面积为12×（9+5）×12＝84； （2）△ABC 为钝角三角形，高AD 在△ABC 外部．方法同（1）可得到BD ＝9，CD ＝5∴△ABC 的面积为12×（9﹣5）×12＝24．选C ． 【小结】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论．必考点5： 勾股定理的应用之方程思想解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法. 例题5： 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°．点D 为BC 边上一点，线段AD 将Rt △ABC 分为两个周长相等的三角形．若CD ＝2，BD ＝6，求△ABC 的面积．【分析】由题意得出AC +CD +AD ＝AD +BD +AB ．得出AC ＝AB +4，设AB ＝x ，则AC ＝4+x ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB ＝6，由三角形面积公式即可得出答案．【解析】根据题意可知，△ACD 与△ADB 的周长相等，∴AC +CD +AD ＝AD +BD +AB ．∴AC +CD ＝BD +AB ．∵CD ＝2，BD ＝6，∴AC +2＝6+AB ，BC ＝CD +BD ＝8，∴AC ＝AB +4，设AB ＝x ，则AC ＝4+x ．在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，∴x 2+82＝（x +4）2．∴x 2+64＝16+x 2+8x ．∴x ＝6．∴S =12×6×8=24． 【小结】本题考查了勾股定理以及三角形面积；熟练掌握勾股定理，求出AC ＝AB +4是解题的关键．变式13： 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高．求线段AD 的长．【分析】设AD ＝x ，根据CD 2＝BC 2﹣BD 2＝AC 2﹣AD 2，构建方程即可解决问题．【解析】设AD ＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x=7 5，∴AD=7 5．【小结】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．变式14：已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【解析】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=√BD2+DE2=5．所以CE＝BE＝5．设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【小结】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．变式15：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理得到：AC=√AB2−BC2=√102−62=8（cm）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=254，∴当t=254时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=32 3，∴当t=323时，P在△ABC的角平分线上．【小结】考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．必考点6：勾股定理的逆定理之判断直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例题6：下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13B．∠A+∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：5D．a＝6，b＝12，c＝10【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解析】A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C=52+3+5×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；选D．【小结】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．变式16：在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3C．a：b：c＝7：24：25D．a：b：c＝4：5：6【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解析】A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；选D．【小结】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．变式17：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；选D．【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．变式18：在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解析】如图所示：格点C的个数是8，选C．【小结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．必考点7：勾股定理的逆定理之求面积）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例题7：如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD 的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD求解即可．【解析】∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AC•BC+12AD•CD=12×5×12+12×3×4＝36．【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形是解题关键．变式19：如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB ＝20．求：△ABD的面积．【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．【解析】在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√202−122=16，∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积=12×7×12＝42．【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．变式20：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【解析】连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5（cm）∴S△ABD=12AB•AD＝6（cm2）．在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，∴S△DBC=12BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．变式21：如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：（1）∠A+∠C的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根据四边形内角和为360°可得∠A+∠C的度数；（2）利用△ACD和△ABC的面积求和即可．【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√400+225=25，∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；（2）四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACB=12×24×7+12×20×15＝234．【小结】考查勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．必考点8：勾股数相关问题勾股数的求法：（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.变式1：下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．选D．【小结】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．变式22：在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝20时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．【解析】根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，选B．【小结】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．变式23：如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，选C．【小结】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．变式24：三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数．【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．【解析】与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．故答案为6，8，10（答案不唯一）．【小结】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…必考点9：勾股定理的实际应用之梯子问题例题8：如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．【解析】在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√2．42+0．72=2.5（米），∴A′B＝2.5米，在Rt△A′BD中，BD=√A′B2−A′D2=√2．52−1．52=2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），选C．【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．变式25：如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=√82+62=10（米），选A．【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．变式26：如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【分析】（1）由题意OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根据OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端离墙有多远；（2）由题意此时CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此时OD，继而能和（1）的OB进行比较．【解析】（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2，解得：OB＝20，（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：OD=√CD2−OC2=√252−72=24，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．【小结】考查勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．。
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“赵爽弦图”考题聚焦
王云峰
我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．
第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举
例介绍以弦图为背景的试题，供参考．
例1 图2是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由
四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，
BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．
解析 如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．
∵AC ＝6，BC ＝5．
∴GD ＝6．DE ＝5．
∵FG ＝DC ，
∴FD ＝2DG ＝12．
在Rt △DEF 中，由勾股定理，得
EF ＝2222512DE DG +=+＝13．
∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．
例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2
＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的是( )
(A)①②
(B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④ 解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形
的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形
斜边长的平方为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．
由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x －y ＝2，②正确．
大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×
12
xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．
由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即（x ＋y ）2＝94，所以x ＋y ＝49，④不正确． 综合知，选B ．
例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正
方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．
例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边
延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原
法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方
形A n B n C n D n的面积为______．
解析由小正方形ABCD的面积为1，知
它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．
如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得
D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，
所以正方形A1B1C1D1的面积为5．
如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝5，D1A2
＝2D1A1＝25．
在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得
所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．
同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……
于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n．
例5 2002年在北京召开的世界数学大会会
标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大
正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵
爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有
一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、
C2、C3、…、C n分别在直线y＝－1
2
x＋3＋1
和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．。