高一下学期期中试题

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黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高一下学期期中考试英语试卷

铁人中学2023级高一下学期期中考试英语试题试题说明：1、本试题满分150 分, 答题时间120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上, 考试结束后只交答题卡。

第一部分听力（共两节，满分30分）第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the woman complain about the museum shop?A. The location.B. The goods.C. The opening hours.2. What does the woman want to do about the kitchen?A. Keep the traditional look.B. Change it into a farmhouse.C. Redecorate it in a modern style.3. What are the speakers mainly talking about?A. A report.B. Weekend plans.C. The weather.4. How do the speakers find the concert?A. Excellent.B. Average.C. Disappointing.5. What does the woman suggest doing?A. Waiting several days.B. Organizing the food now.C. Inviting more people.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一下学期5月期中英语试题(解析版)

南昌二中2023-2024学年度下学期高一期中考试英语试卷第一部分：听力理解（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。

1.What are the speakers talking about?A.A floodB. A fireC. A car accident2.How many tickets does the woman need to buy?A.7B.6C.53.What do we know about the man?A. He just bought a new house.B. He doesn’t get along with his roommates.C. He is a man of bad temper.4.What time is it now?A.9:00B. 9:10C.9:405.What does the man say about the woman?A. She should have been more active.B. She was very talkative.C. She danced very well.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白,每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6.Where does the woman come from?A. Australia.B. EnglandC. Brazil.7.What does the woman do ?A. She’s a trader.B. She’s a student.C. She’s a receptionist.听第7段材料,回答第8至9题。

北京市2023-2024学年高一下学期期中练习物理试卷含答案

北京2023~2024学年第二学期期中练习高一物理（答案在最后）2024.4注意事项1.本试卷共4页，共四道大题，20小题，满分100分。

考试时间90分钟。

2.在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号。

3.试卷答案填写在答题纸的相应位置上，在试卷上作答无效。

4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。

）1.物体做曲线运动时，一定发生变化的是（）A.速度方向B.速度大小C.加速度方向D.加速度大小【答案】A【解析】【详解】物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但是速度大小不一定变化，例如匀速圆周运动；加速度方向和大小都不一定变化，例如平抛运动。

故选A。

2.如图所示的曲线为运动员抛出的铅球运动下落轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是()A.沿AB的方向B.沿BD的方向C.沿BC的方向D.沿BE的方向【答案】B【解析】【详解】曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向．铅球做平抛运动轨迹由A到C，B点的速度方向沿切线方向，即BD方向，故B正确,ACD错误。

故选B。

3.用如图所示装置研究物体做曲线运动的条件。

小铁球以图甲所示的初速度v 0在水平桌面上运动，忽略阻力，要使小铁球沿图乙中曲线所示轨迹运动，磁铁应该放在（）A.位置AB.位置BC.位置CD.位置D【答案】C 【解析】【详解】磁铁对钢球的作用力为引力，轨迹往引力的方向偏转，所以磁铁可能放在C 位置。

故选C 。

4.两个质点之间万有引力的大小为F ，如果将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为（）A.4F B.4FC.2F D.2F【答案】A 【解析】【详解】万有引力2GMm F r =将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，它们之间万有引力的大小变为2(2)4GMm FF r '==故选A 。

北京市2023—2024学年高一下学期期中考试语文试卷含答案

北京市2023～2024学年第二学期期中考试高一语文（答案在最后）2024年4月班级姓名考号（考试时间150分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成下面小题。

材料一阅读是伟大的文化发明，但文字出现的历史非常短暂，人类尚不足以进化出一个先天的“阅读脑”。

这意味着，我们无法仅依靠遗传获得阅读技能。

我们之所以能够完成从“非阅读脑”到“阅读脑”的转变，既有赖于先天的大脑特性，又有赖于后天的阅读训练。

虽然人类没有进化出“阅读脑”，但先天拥有“口语脑”。

口语是人类自然习得的本能。

通过遗传，每一个准备接受阅读训练的个体已经具备了从语音通达语义的口语加工脑区和环路。

这些加工口语的脑区与环路即是“阅读脑”形成的开端。

从出生到死亡，人类的大脑并非一成不变，你可以把大脑想象成一台持续更新的机器，始终处于调整变化中。

这种能够不停“重组”的特性被称为“脑的神经可塑性”。

后天的阅读训练，有针对性地促成了先天脑的重组，其中最重要的改变当属视觉词形区的出现。

法国认知神经科学家斯坦尼斯拉斯•德阿纳比较了无阅读能力（文盲）和有阅读能力的两组成年人，发现在阅读任务中，有阅读能力组的左脑梭状回（即视觉词形区）在观看文字时的活跃强度要高于观看人脸、房屋等其他视觉刺激时的活跃强度；而文盲组，相应的脑区未发现异常活跃现象。

这一发现首次直接证明了阅读训练对脑区功能的塑造作用。

除此之外，阅读还会“改写”大脑的灰质和白质结构。

一项追踪研究发现，与刚入学时相比，儿童在二年级时，左半球的顶下小叶、中央前回和中央后回的灰质体积有所减小，推测是阅读训练引发了相关脑区神经突触的修剪过程，使这些脑区变得更加精简高效。

另一项研究发现，8-10岁儿童在接受100小时的阅读训练后，白质纤维束的走向一致性显著增强，意味着不同脑区之间的信息传输能力有所提高。

2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高一下学期期中质量监测生物试题

2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高一下学期期中质量监测生物试题1.下列关于细胞中元素和化合物的叙述，错误的是（）A．组成血红蛋白的某些氨基酸含 FeB．糖类是细胞的主要能源物质C．缺乏 P 会导致磷脂、核酸等物质的合成受影响D．有些无机盐是细胞中复杂化合物的重要组成成分2.下列有关细胞结构和功能的叙述，错误的是（）A．细菌无线粒体，因此不能进行有氧呼吸B．功能越复杂的细胞膜，蛋白质的种类和数量就越多C．核仁与某种 RNA 的合成以及核糖体的形成有关D．细胞骨架能影响细胞的物质运输、能量转化和信息传递3.下列有关细胞的物质输入和输出的叙述，错误的是（）A．转运蛋白包括载体蛋白和通道蛋白两大类B．自由扩散和协助扩散都是顺浓度梯度运输C．钠钾泵是一种载体蛋白，既可以运输 Na +又可以运输K +D．蛋白质和多糖等有机大分子进出细胞的方式是主动运输4.为探究不同温度条件下两种多酚氧化酶（PPO）活性大小，某同学设计了实验并检测各组的酚剩余量，结果如图所示。

相关叙述错误的是（）A．该实验的自变量是温度和酶的种类B．实验过程中应将底物和酶溶液分别放在相同温度下保温后再混合C．图中相同温度条件下酶 A 的活性更高D．若要进一步探究酶 B 最适温度，应在 30～50℃之间设置多个温度梯度进行实验5.实验材料和处理方法对实验结果有着重要影响，相关叙述正确的是（）A．黑藻细胞的细胞液无色，不能用来观察细胞的质壁分离和复原B．验证酶的专一性实验中，向蔗糖和淀粉溶液中加入淀粉酶，用斐林试剂进行检测C．纸层析法分离滤液中的色素时，应连续画 2～3 次滤液细线以增加色素含量D．探究酵母菌呼吸方式实验中，CO 2 可使溴麝香草酚蓝水溶液由橙色变成灰绿色6.如图是某高等植物体细胞有丝分裂某时期模式图，下列叙述正确的是（）A．图为有丝分裂后期，是观察染色体的最佳时期B．图中细胞含有8个核DNA分子C．图中①和⑤互为姐妹染色单体D．由图分析该细胞处于中期时含有8条染色体7.下列关于细胞生命历程的叙述，正确的是（）A．细胞越小，越有利于存活B．造血干细胞可分化形成多种血细胞，体现了细胞的全能性C．细胞衰老发生时，水分减少，细胞核体积变小D．细胞在凋亡过程中伴随着基因的表达和新蛋白质的合成8.下列关于遗传学实验材料、实验方法及结论的叙述，错误的是（）A．孟德尔完成测交实验，属于“假说-演绎法” 中的“实验验证”B．艾弗里在实验中运用“减法原理”证明了 DNA 是遗传物质C．萨顿利用蝗虫为材料，证明了基因在染色体上D．富兰克林应用 X 射线衍射技术获得了高质量的 DNA 衍射图谱9.下列关于基因的叙述，正确的是（）A．基因是有遗传效应的 DNA 片段或 RNA 片段B．基因通过控制酶的合成来直接控制生物体的性状C．一对同源染色体的相同位置上分布的一定是等位基因D．真核细胞的基因均存在于染色体上，随染色体的复制而复制10.下列有关双链线性 DNA 分子的叙述，错误的是（）A．一个双链线性 DNA 分子中含有 2 个游离的磷酸基团B．若一条 DNA 链的序列是5′-GATACC-3 ′ ，则其互补链为5′-GGTATC-3 ′C．若一条单链上（A+G）/（T+C）= m ，则 DNA 双链中该比值也为 mD．碱基特定的排列顺序，构成了每个 DNA 分子的特异性11.果蝇幼虫接触一种叫作盖达纳霉素的药物后，眼睛上就会长出赘疣。

浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数()()1i 3i +-（其中i 是虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若a b ⊥r r ，则实数λ=（）A ．12 B ．12- C ．2- D ．23．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（）A ．,,,m n A A αβααβ=⊂⊂⊂IB ．,,m n m n A αβα⋂=∈⋂=C ．,,m n m n A αβα⋂=⊂⋂=D ．,,,m n A A αβααβ=∈∈∈I4．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若2b =，c =60C =︒，则角B 等于（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．90°5．在平行四边形ABCD 中，AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则用a r ，b r 表示向量AD u u u r 和AB u u u r 分别是（）A ．a b +r r 和a b -r rB ．a b -r r 和a b +r rC ．2a b +r r 和2a b -r rD ．2a b -r r 和2a b +r r 6．已知圆台的上、下半径分别为1r ，2r ，1233r r ==.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（）A ．5πB ．12πC ．6πD ．36π 7．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60B =︒，2b =，则边AC 上中线BD 的取值范围为（）A ．⎣B ．⎝C ．(D ．(8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形OCD ，其中120AOB ∠=︒，4OD =，1OB =，动点P 在弧CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OP xOC yOD =+u u u r u u u r u u u r ，则下列说法错误的是（）A ．若y x =，则2x y +=B ．5AB PQ ⋅>-u u u r u u u rC ．232PA PB ⋅≥u u u r u u u rD ．若3y x =，则0OA OP ⋅=u u u r u u u r二、多选题9．如果a r ，b r 是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（）A ．1a b ==r rB ．a b ⊥r rC ．a b r r =D ．1a b ⋅=r r10．对于ABC V ，有如下判断，其中正确的是（）A ．若sin sin AB =，则ABC V 为等腰三角形B ．若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰或直角三角形C ．若cos cos A B <，则A B >D ．若tan tan A B >，则A B >11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O ，则下列说法正确的是（）A ．球O 的体积为43π B ．球O 内接圆柱的侧面积的最大值为4πC ．球O 在正方体外部的体积小于()413πD ．球O 在正方体外部的面积大于三、填空题12．若复数z 满足()1i 23i z -⋅=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =.13．已知平面向量a r ，b r ，c r 不共线，且两两所成角相等，若2a b ==r r ，1c =r ，0λ>，则()()a b a c λ-⋅-r r r r 的值为. 14．如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线BC ，在点B 处测量这个孔明灯的仰角为45OBA ∠=︒，在C 处测量这个孔明灯的仰角为30OCA ∠=︒，在基线BC 上靠近B 的四等分点处有一点P ，在P 处测量这个孔明灯的仰角为60OPA ∠=︒，则这个孔明灯的高度OA =.四、解答题15．已知复数()()2246i z m m m =-+--，R m ∈，i 是虚数单位.(1)若复数z 是纯虚数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值.17．如图，在平行四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，G 为BC 上一点且满足2CG GB =u u u r u u u r ，AB a u u u r r =，AD b u u u r r =.(1)试用向量a r ，b r 表示BF u u u r ，DG u u u r ；(2)若60A =︒，3,2AB AD ==，求向量BF u u u r ，DG u u u r 夹角的余弦值.18．在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D ，1CD 上各有一个动点M ，N ，使得直线//MN 平面11A ACC .(1)当M ，N 为对角线1A D ，1CD 的中点，T 为CD 的中点时，证明：平面//MNT 平面11A ACC ； (2)当正方体棱长为2时，求线段MN 长度的最小值.19．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b =，sin C A .(1)若ABC V 为锐角三角形时，求边a 的取值范围；(2)求ABC V 面积的最大值；(3)在（1）的条件下，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，连接CE ，BF 交于点O ，求co s E O F ∠的取值范围.。

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试卷(含答案)

沈阳二中2023-2024学年度下学期期中考试高一（26届）语文试题说明：1.考试时长：150分钟满分：150分2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。

第I卷（71分）一、现代文阅读（36分）(一）现代文阅读I(本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1-5题。

材料一：《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院，是国宝级文物。

在这幅近12米的长卷中，王希孟主要运用了石青、石绿两种矿物质颜料，以细腻的工笔勾勒出连绵起伏的群山、烟波浩渺的江海、点缀其间的村舍、江中独钓的渔翁和挺拔秀丽的松竹。

以《千里江山图》为创作蓝本的舞蹈诗剧《只此青绿》以一场视听盛宴掀起了文化自信的国潮热，引发了一轮对“青绿腰”的模仿热，影响力覆盖全民。

《只此青绿》打破了赏画的平面视角，用多维的舞蹈语言和舞台空间让《千里江山图》这幅画“活”了起来。

青绿女子刚柔并济，舞姿翩跹，曼妙的“青绿腰”将古典式的奇幻美学呈现得淋漓尽致，使观众获得了私享画作的沉浸感。

这独特的沉浸式“赏画”方式重塑了当代观众对传统中国画的审美体验，这“复活的艺术品”成为了连接古今的时空穿梭机，让观众穿越时空与画家王希孟对话，走进王希孟的心路历程，走进北宋工匠艺人们的生活。

这种赏画经验的革新，让源远流长的传统文化焕发了新的生命力。

一直以来，守正与创新都是古典题材舞蹈创作者们的共识。

“守正”体现在尊重历史文化传统上。

五千多年的中华文明，为新的文化创造提供了丰沛源泉。

而“创新”则是在表现形式、叙事手法、舞蹈技巧等舞蹈要素的“文化性”上进行的想象和开发。

《只此青绿》为优秀传统文化的创新性表达做出了一次成功探索。

思考大众对“青绿腰”动作的模仿热现象，我们不难发现这其实是一种大众对传统文化表达喜爱和认同的质朴方式。

他们通过对“险峰”动作形态的模仿，再现了自己心中对于“气韵山河”的想象和价值认同。

单从舞蹈动作层面来看，“青绿腰”并不属于舞蹈中的典型技巧动作，但它却能够成为一种符号，带着传统文化的印记进入大众的认知。

辽宁省协作校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题(解析版)

2023—2024学年度下学期期中考试高一试题数学考试时间：120分钟满分：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. （）A.B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】本题先利用诱导公式进行化简，再利用两角和正弦公式，即可得到结果.详解】，故选：C.2. 下列函数中，周期为1的奇函数是　( )A. y=1-2sin 2πxB. y=sinC.y=tanx D. y=sinπxcosπx【答案】D 【解析】【分析】对，利用二倍角余弦公式化简后判断；对直接判断奇偶性即可；对，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin 的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tanx 是奇函数，周期为2，不合题意；y=sinπxcosπx=sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【的sin 735cos 45sin105sin135︒︒+︒︒=12()()()sin 735cos 45sin105sin135sin 720+15cos 45sin 90+15sin 90+45︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒+=+()sin15cos 45cos15sin 45sin 1545sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+==π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭π2A B C D ()2πx π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭π212【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为.3. 已知，，且，则与的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据模长公式可得，即可由夹角公式求解.【详解】由题意，，，又，所以，．故选：B ．4. 在中，，，则“恰有一解”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理可得，利用一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类求解只有一个解时的范围，即可根据逻辑关系求解.【详解】由，得，方程的判别式，①，解得．()cos y A x ωϕ=+2πω()sin y A x ωϕ=+2πω()tan y A x ωϕ=+πω()2,1a = 2b = a b ⊥ a b - a 3a b -=a == 2b = a b ⊥ 0a b ⋅= 3a b -=== ∴()2co s a b a a b a a b a a b a a b a -⋅-⋅-====-⨯-⨯,ABC cos B =2AC =AB m =ABC 02m <≤2240a m +-=ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2240a m +-=2240a m +-=2223244161699m m m ∆=-+=-22232441616099m m m ∆=-+=-=6m =±当时，转化为，解得符合题意；当时转化为，解得不符合题意；②，且两根之积，可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时；③，且两根之积，解得，当时，，解得符合题意；当时，解得不符合题意；故若有一解，则或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件故选：B ．5. 英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的n 阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（）A. 0.83 B. 0.46C. 1.54D. 2.54【答案】C 【解析】【分析】首先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用，即可求解.6m =2240a m +-=2320a -+=a =6m =-2240a m +-=2320a ++=a =-22232441616099m m m ∆=-+=->240m -<a ABC 02m <<22232441616099m m m ∆=-+=->240m -=2m =±2m =20a =a =2m =-20a +=a =ABC 02m <≤6m =ABC 02m <≤()f x 0x (),a b ()1n +(),x a b ∀∈()()()()()()()()()200000000!1!2!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+⋅⋅⋅ 00x =()()()()()()200000!1!2!!n n f f f f f x x x x n =+++⋅'⋅⋅+''+⋅⋅⋅()f x 0x =0!1=!123n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯sin x cos x e x ln x 357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋅⋅⋅246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅π112sin cos222⎛⎫+ ⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅【详解】，因为，所以，近似值为，所以的近似值为.故选：C6. 扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（）A. B. 0C. D. -1【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，其中，，，故，，，，，，，的取值范围为,，故的最小值为；故选：A ．2π1112sin cos 2cos cos112222⎛⎫+==+⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅111cos11 (224720)=-+-+0.54π112sin cos 222⎛⎫+ ⎪⎝⎭1.54AOB 120AOB ∠=︒C AB CA CB ⋅12-32-(cos ,sin )C θθ1πsin()26CA CB θ⋅=-+ O OA x O OA y AOC θ∠=(cos ,sin )C θθ2π03θ≤≤(1,0)A 1(2B -(1cos ,sin )CA θθ=-- 1(cos 2CB θ=-- sin )θ-∴1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB θθθθ⋅=-+--+--111πcos sin()2226θθθ=--=-+2π03θ≤≤∴ππ5π666θ≤+≤∴1πsin()126θ≤+≤11πsin()0226θ∴-≤-+≤∴CA CB ⋅ 1[2-0]CA CB ⋅ 12-7. 2023年下半年开始，某市加快了推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为，基站A ，B 在江的北岸，测得，，，，则A ，B 两个基站的距离为（）A. B. C. 40kmD. 【答案】D 【解析】【分析】利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可．【详解】在中，，，所以，即，得故．在中，．由正弦定理得，，解得，在中，由余弦定理得，，解得、之间的距离为．故选：D．75ACB ∠=︒120ACD ∠=︒30ADC ∠=︒45ADB ∠=︒ACD AC BCD △BC ACB △AB ACD 30ADC ∠=︒120ACD ∠=︒30CAD ∠=︒CAD ADC ∠=∠AC CD ==BDC 180()180(4575)60CBD BCD BDC ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒sin sin BC CDBDC CBD=∠∠()40sin 30cos 45cos30sin 45BC ===︒+︒= cos75cos30cos 45sin 30sin 45=︒-︒=ABC 222222cos 2cos752000AB AC BC AC BC BCA =+-⋅⋅∠=++-⨯⨯︒=AB =A B8. 已知函数，则下列结论错误的是（）A. 函数偶函数 B. 函数关于对称C. 函数的最大值为D. 函数在上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用偶函数定义判断A ；计算，从而判断B ；利用二次复合函数的性质判断C ；利用复合函数的单调性判定D.【详解】根据题意，函数定义域为，故函数为偶函数，A 不符合题意；，，故，即函数关于对称，B 不符合题意；，又，当时，函数取最大值，C 符合题意；当，则，，且为增函数，为()cos sin 2xf x x =-()f x ()f x πx=()f x 98()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭(π)(π)f x f x +=-()f x R ()()()cos sincos sin cos sin 222x x xf x x x x f x --=--=--=-=()f x ()()ππcos πsin cos cos 22x x f x x x -⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭()()ππcos πsincos cos 22x xf x x x ++=+-=--(π)(π)f x f x +=-()f x πx =()22cos sin12sin |sin 12sin |sin 22222x x x x xf x x =-=--=--2192sin 248x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭[]sin0,12x ∈|sin |02x=()f x 1π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sinsin 22x x ⎛=∈ ⎝所以函数在上单调递减，D 不符合题意.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（）A. ，，则的外接圆半径是4B. 若，则C. 若，则一定是钝角三角形D. 若，则【答案】BCD 【解析】【分析】根据正弦定理可得，即可判断A ；由正弦定理即可求解BD ，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断C.【详解】A ．，，设的外接圆半径是，则，解得，故A 错误；对于B ，由可得，由正弦定理可得，故B 正确，对于C ．，则，为钝角，故一定是钝角三角形，因此C正确；对于D ，由以及正弦定理可得：，，因为，故D 正确；故选：BCD ．10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭ABC ,,A B C ,,a b c 2a =30A =︒ABC A B >sin sin A B>222a b c +<ABC cos sin a bA B=45A =︒2sin aR A=222cos 2a b c C ab+-=C 2a =30A =︒ABC R 224sin sin 30a R A ===︒2R =A B >a b >sin sin a bA B=sin sin A B >222a b c +< 222cos 02a b c C ab+-=<C ∴ABC cos sin a b A B =sin sin a bA B=sin cos A A =tan 1A ∴=0180,45A A ︒<<︒∴=︒()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π<ϕA.，频率为，初相为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在上的值域为D. 若在上恰有4个零点，则m 的取值范围是【答案】BD 【解析】【分析】利用函数的图象求出，进而根据相关定义即可求解A ，代入验证是否为最值即可求解B ，利用整体法结合三角函数的性质即可求解CD.【详解】根据函数的图象，，，故，所以；当时，，所以，，整理得，，由于，所以当时，，故．对于A ，，频率为，初相为，故A 错误；对于B ：当时，，故B 正确；对于C ：由于，故，故，故C 错误；对于D ：，则，若在上恰有4个零点，则，解得，2A =1ππ6()f x π6x =-()f x π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎣()f x []0,m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭π()2sin(26f x x =-2A =313π4π3π=412124T =-πT =2ω=π3x =π2π(2sin()233f ϕ=+=2ππ2π+32k ϕ+=()k ∈Z π2π6k ϕ=-()k ∈Z ||πϕ<0k =π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-:2ω=πT =1ππ6-π6x =-ππ(2sin()262f -=-=-π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦[]π()2sin(2)0,26f x x =-∈[]0,x m ∈πππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x []0,m π3π24π6m ≤-<19π25π1212m ≤<故的取值范围是，D 正确．故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，的三个顶点都在单位圆上，且则（）A. B. C. 为锐角三角形 D. 在上投影的数量【答案】BCD 【解析】【分析】由，可得，化为，得到,即可求解B ．由，可得化为,即可根据投影的公式求解D ，根据，即可根据夹角公式求解A ，根据数量积的正负求解角，即可判断C.【详解】由于的外接圆半径为1，圆心为，．由，可得，化为．，，．故是等腰直角三角形．B 正确，由，可得，,所以，故，A 错误，由得，所以,,,因此均为锐角，故为锐角三角形，C 正确．m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC 3450OA OB OC ++=3cos ,5OA OC =OA OB⊥ ABC AB OC15-3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 0OA OB = OA OB ⊥ 3450OA OB OC ++= 534OC AB OA AB OB AB =-- 15OC AB =- 3455OC OA OB -=-ABC O ∴||||||1OA OB OC === 3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 2229162425OA OB OA OB OC ++= 9162425OA OB ∴++= ∴0OA OB = ∴OA OB ⊥OAB 3450OA OB OC ++= 534OC OA OB =-- 25343OC OA OA OB OA =--⋅=- 35OC OA =- 3cos ,5OC OA OA OC OC OA⋅==-534OC OA OB =-- 3455OC OA OB -=-()()()2239396055555B BC OA OB OC OB OA OB OA OB O OB A A --⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=+=> ⎪⎝⎭()()()2284844055555A AC OB OA OC OA OB OA OA OB OA OB B -⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-=> ⎪⎝⎭ ()()2284392436120555525255C CB OA OC OB OC OA OB O A A OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+⋅+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,A B C ABC ∴()()22534341OC AB OA OB OB OA OA OB ⋅=--⋅-=-=-．在上的投影．D 正确故选：BCD第II 卷（非选择题92共分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理边角互化可求，代入已知面积公式可求．【详解】由题意得，，所以，则，所以．故答案为：．13. 已知向量，将绕原点O 沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标________.【答案】【解析】【分析】由条件得，设，则，，再求的正弦和余弦，然后由坐标，，即可求出结果．【详解】，设，则，，∴15OC AB =-∴AB OC 11515||OC AB OC -⋅===- ABC ,,A B C ,,a b c 2a b cp ++=ABC S =ABC ()()()sin sin :sin sin :sin sin 5:7:6A B BC C A +++=ABC 4,6,8a b c ===18a b c ++=(sin sin ):(sinsin ):(sin sin )():():()5:7:6A B B C C Aa b b c c a+++=+++=::2:3:4a b c =4,6,8a b c ===92a b cp ++==S =()4,3OP = OP 45︒1OP 1P ||5OP = xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=45︒cos x r α=sin y r α=||5OP == xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=设,，则，故，故答案为：14. 如图，在四边形中，分别在边上，且，，，，与的夹角为，则________.【答案】【解析】【分析】本题关键是对向量进行线性运算，并用基底与线性表示，然后再做数量积运算即可.【详解】由图形结合向量线性运算可得：，由，可得，由可得，由上面两式相加得：，即又由，，与的夹角为，可得，11(P x 1)y 15cos(45)5(cos cos 45sin sin 45)x θθθ=+︒=︒-︒=15sin(45)5(sin cos 45cos sin 45)y θθθ=+︒=︒+︒=1P ABCD E F ，AD BC ，13AE AD =13BF BC =3AB =2DC =AB DC 60︒AB EF ⋅= 7EF AB DC EF ED DC CF =++ 13AE AD =13BF BC =22EF EA D F C B =-+- EF EA AB BF =++ 2222EF EA AB BF =++ 32F D E AB C =+ 23AB EF DC += 3AB =2DC =AB DC 60︒1cos 603232AB DC AB DC ︒⋅=⋅=⨯⨯=所以，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）且.【解析】【分析】（1）先设的坐标，再利用向量垂直关系得到向量积为0和它的模已知列方程组求坐标；（2）利用向量夹角为锐角，肯定向量积大于0，但要注意检验是否有可能夹角为0即可.【小问1详解】由，可得，设，则由，可得，又因为，可得，联立方程组解得：或即或.【小问2详解】由与的夹角为锐角，可得，代入，可得：，解得，当时，，可得，解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形，222+293=7333AB AB AB AB EF AB DC DC +⋅⨯+⋅=⋅== 7()1,2a = ()3,2b =--r ()2c a b ⊥+ c = c a a b λ+ λ()4,2c = ()4,2c =-- 57λ<0λ≠c()1,2a = ()3,2b =-- ()()()2=21,23,21,2a b ++--=- (),c x y = ()2c a b ⊥+ ()()()2=,1,220c a b x y x y ⋅+⋅-=-+= c = 2220x y +=42x y =⎧⎨=⎩42x y =-⎧⎨=-⎩()4,2c = ()4,2c =-- a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> ()1,2a = ()3,2b =-- ()()()()()()1,21,23,21,213,2213222=570λλλλλλ⎡⎤⋅+--=⋅--=-+-->⎣⎦57λ<()//a a b λ+ ()()1,2//13,22λλ--()()21322=0λλ---=0λ57λ<综上可得与的夹角为锐角时，且.16. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若的值.【答案】（1）最小正周期为，单调减区间，（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用周期公式求解，利用整体法求解单调性，（2）代入化简可得，进而利用和差角公式以及二倍角公式化简即可代入求值.【小问1详解】函数，，，令，，，，，单调减区间，【小问2详解】根据（1）知，，故，a a b λ+ 57λ<0λ≠()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-()f x π28f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos3θππ5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈2327-π())4f xx =+1cos3θ=()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=+-=+-+cos 2sin 2x x =+π4x =+π()4f x x ∴=+2ππ2T ==∴ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+Z k ∈∴π5π2π22π44k x k +≤≤+∴π5πππ88k x k +≤≤+Z k ∈∴π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈π()4f x x =+ππππ2282842f θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故，故17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________，在①；②，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求角A 的大小；（2）若AD 是的角平分线，且，，求线段AD 的长；（3）若，判断的形状.【答案】（1）（2（3）直角三角形【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解；（2）设，结合，列出方程，即可求解；（3）由余弦定理得，再由，联立得到，进而得到方程，求得或，进而得到三角形的形状.1cos 3θ∴=28sin 9θ=()()222cos3cos 2cos 2cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+=-=--181********9327⎛⎫=-⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ABC 2S AC AB =⋅ a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+ABC 2b =3c =b c -=ABC π3sin A A =tan A =cos 1A A =+π1sin()62A -=222sin sin sin sin sinBC A B C +=+222b c a bc +-=1cos 2A =AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 222a b c bc =+-b c -=232a bc =222520b bc c -+=2b c =12b c =【小问1详解】选择①：由，可得，即，即，因为，所以；选择②：因为②，，因为，可得，所以，，可得，因为，可得，所以；选择③，由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】因为AD 是的角平分线，且，设，因为，可得，即，解得，即.【小问3详解】由（1）知，由余弦定理得，因为，平方得，即，代入上式，可得，即，2S AC AB =⋅ 12sin cos 2bc A bc A ⨯=sin A A =tan A =(0,π)A ∈π3A =a c =sin si n A C =sin sin cos sin A C C A C =+(0,π)C ∈sin 0C >cos 1A A =+cos 2sin()16πA A A -=-=π1sin()62A -=(0,π)A ∈ππ66A -=π3A =2sin sin sin 1sin sin sin sinBC A C B B C+=+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A =ABC 2,3b c ==AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 1π1π1π23sin 3sin 2sin 232626x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯11111233222222x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯x =AD =π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-b c -=222123b c bc a +-=222123b c a bc +=+223a bc =232a bc =将代入，可得，解得或，当时，可得，此时，可得为直角三角形；当（不成立，舍去）；综上可得，为直角三角形.18. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.【答案】（1）（2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而求出的最大值；（2）由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积．（3）根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值.232a bc =222a b c bc =+-222520b bc c -+=2b c =12b c =2b c =a =222a c b +=ABC 12b c =12c =-ABC ABCD AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =BD 2AB =6BC =4AD CD ==ABCD A ABCD P ABD △,B D PB PD +2π3A =ABCD AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯BD πA C +=ABD △BCD △2BD cos A A ABCD ()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=【小问1详解】由，，，，可得，由题意可得，即，，当且仅当四点共圆时等号成立即的最大值为；【小问2详解】如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，所以，即，，在中，，①在中，由余弦定理可得，②由①②可得，解得，而，可得，所以此时．所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为【小问3详解】由题意可知所以，即，在中，由余弦定理可得,故,故，AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =AD =AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯AB CD BC CD BD ⨯+≥⨯BD ≥,,,A B C D BD BD 2AB =6BC =4AD CD ==πA C +=cos cos C A =-sin sin A C =ABD △2222cos 416224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯=-BCD △2222cos 3616264cos 5248cos BD BC CD BC CD C A A =+-⋅=++⨯⨯=+2016cos 5248cos A A -=+1cos 2A =-(0,π)A ∈2π3A =sin sin A C ==1111sin sin 24642222ABCD ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯= 2π3A =ABCD πA P +=1cos cos 2P A =-=BPD △222222cos 5248cos BD PB PD PB PD P PB PD PB PD A =+-⋅=+-⋅=+()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=()222832832PB PD PB PD PB PD +⎛⎫+=+⋅≤+ ⎪⎝⎭故，当且仅当时等号成立，故最大值为19. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A 、B 是固定，点C 在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l ，如图2所示，经测量直线AB 与直线l 平行，A 、B 两点距离及点A 、B 到直线l 的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA 、MB 、MC 三条线在点M 处相交，，，设.（1）若时，求MC 的长；（2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.【答案】（1）米（2）①时，取得最小值为米；②答案见解析【解析】【分析】（1）首先求直角三角形中斜边的高，即可求解的值；（2）①首先利用三角函数表示，再根据三角函数关系式，利用换元法，即可求解；②当点是中垂线上，且结合图形，设时，利用角三角函数表示，再利用三角恒等变换，结合基本不等式，计算最小值.【小问1详解】中，，，，则，，点到，所以米；的的PB PD +≤=PB PD ==PB PD +M A M B ⊥MC l ⊥MAB θ∠=π3θ=θMA MB MC ++100-π4θ=MA MB MC ++50MAB △AB MC MA MB MC ++M AB AMC α'∠=αMA MB MC ++MAB △M A M B ⊥100AB =π3MAB θ∠==50MA =MB =M AB =100MC =-【小问2详解】①中，，，设点到的距离为，则，则，则，所以，设，，，，所以，所以，当时，即时，取得最小值为米.②当点是中垂线上，且时，桥面长更小，证明：记，则，，记，因为，而，当且仅当时等号成立，此时由最小值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数表示长度，再结合三角运算和性质，求解最值.MAB △100cos MA θ=100sin MB θ=M AB h 100100100sin cos h θθ=⨯⨯100sin cos h θθ=100100sin cos MC θθ=-()100sin cos 100100sin cos MA MB MC θθθθ++=++-sin cos t θθ+=21sin cos 2t θθ-=ππsin cos ,0,42t θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(t ∈()()22100501100501200MA MB MC t t t ++=--+=--+t =π4θ=MA MB MC ++50+M AB 120AMB ∠= π0,2AMC α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭'50sin MA MB α==50100tan MC α=-()100502cos 10010050sin tan sin g MA MB MC ααααα-=++=+-=+⨯22cos 3sin 2cos 11322tan sin 2222sin cos tan 222αααααααα+-==⋅+≥()tan 0,12α∈tan 2α=()g α10050+<+。

河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中英语试题(含答案)

信阳高中北湖校区2023-2024学年高一下期05月测试（二）英语试题分值：150分时间：120分钟注意事项：1.答题前请填好自己的姓名，班级，考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、单词汉译英、英译汉(共20小题；每小题1.5分，共30分)1.g adj.全球的；全世界的2.a adv.每年；一年一度地3.m n.大多数4.d v.消失，不见5.o adj.普通的；平常的6.c adj.当前的，现在的7.f adj.以前的，从前的8.o vt.克服(困难);控制情感9.s n.继续生存，幸存10.p n.建议，提议11.solution n.12.bother vi&vt.13.firm adj.14.involve vt.15.profit n.16.contented adj.17.determination n.18.slim adj.19.destination n.20.indicate vt.二、阅读理解(共两节，共20小题，每小题2.5分，满分50分)第一节(共15小题；每小题2.5分，共37.5分)AGreen Line Performing Arts CenterUpcoming Programs:First Monday Jazz Series:CrosswindMonday Feb 4|7-9 pmFirst Monday Jazz is a free monthly event showcasing local Chicago jazz artists.Green Light Series:South Side Story TimeSunday Feb 17|10-11 amBring your kids to listen,learn,sing,dance,and interact!South Side Story Time is a small gathering that focuses on readings for its young attendees along with the chance for their parents to socialize.Open to families with children of all ages.Sistergirls and Freedom Fighters:Stories in Celebration of Women's Power and Grace Wednesday Feb 20|7-8 pmJoin us for an evening of storytelling featuring the dynamic singing,in the Spirit by Emily Hooper Lansana.This performance will highlight a range of stories that demonstrate women's creative and political genius from folk heroines to Nobel Peace Prize winners.Family Saturdays:Art togetherEvery 1st Saturday of the Month|3-5 pmExplore your child's artistic curiosity with hands-on art workshops designed to stimulate creativity and play.These interdisciplinary workshops are exciting for the entire family,offering activities from music to arts and e to learn something new!Appropriate for families with children.Registration(注册)is encouraged.Follow Arts +Public Life on Facebook for more event details and a full list of all upcomingperformances.21.When can people enjoy jazz in February?A.At 8 pm every first Monday. C.At 7 pm every first Wednesday.B.At 4 pm every other Saturday.D.At 9 pm every other Monday.22.What do we know about Sistergirls and Freedom Fighters?A.It lasts two hours.C.It is a prize-winning performance. B.It is organized by Emily.D.It celebrates women's achievements.23.What do Green Light Series and Family Saturdays have in common?A.Activity typesC.Target participants.B.Event frequencyD.Registration requirements. BI used to believe that only words could catch the essence of the human soul.The literary(文学的)works contained such distinct stories that they shaped the way we saw the world.Words were what composed the questions we sought to uncover and the answers to those questions themselves.Words were everything.That belief changed.In an ordinary math class,my teacher posed a simple question:What's 0.99 rounded to the nearest whole number?Easy.When rounded to the nearest whole number,0.99 =1.Somehow,I thought even though 0.99 is only 0.01 away from 1,there's still a 0.01 difference.That means even if two things are only a little different,they are still different,so doesn't that make them completely different?My teacher answered my question by presenting another equation(等式):1=0.9,which could also be expressed as 1=0.99999...repeating itself without ever ending.There was something mysterious but fascinating about the equation.The left side was unchangeable,objective:it contained a number that ended.On the right was something endless,number repeating itself limitless times.Yet,somehow,these two opposed things were connected by an equal sign.Lying in bed,I thought about how much the equation paralleled our existence.The left side of the equation represents that sometimes life itself is so unchangeable and so clear.The concrete,whole number of the day when you were born and the day when you would die.But then there is that gap in between life and death.The right side means a time and space full of limitless possibilities,and endless opportunities into the open future.So that's what life is.Objective but imaginative.Unchangeable but limitless.Life is an equation with two sides that balances itself out.Still,we can't ever truly seem to put the perfect words to it.So possibly numbers can express ideas as equally well as words can.For now,let's leave it at that:1=0.99999...and live a life like it.What does the author emphasize about words in paragraph 1?A.Their wide variety. C.Their expressive power.B.Their literary origins D.Their distinct sounds.25.What made the author find the equation fascinating?A.The repetition of a number.B.The difference between the two numbers.D.The way two different numbers are equal.C.The question the teacher raised.26.Which of the following can replace the underlined word paralleled"in paragraph 6?A.Measured.posed.C.Mirrored.D.Influenced.27.What does the author think of“1=0.9”?A.They uncover the meaning of life.C.They are useful in learning maths.B.They are reliable in expressing ideas.D.They give limited possibilities.CDuring space missions,astronauts can experience a loss of some of the inner structural support in their bones.For trips in space lasting at least six months,that loss is equal to about 20 years of aging.Luckily,a new study finds a year back on Earth rebuilds half of the strength lost in the affected bone.Exercise scientist Leigh Gabel was part of a team that tracked 17 astronauts,each of whom had spent four to seven months in space.The team measured the 3-D structure of bone.They focused on the structure of the tibia(胫骨)and the lower-arm bone.The researchers took images of the bones3times—before spaceflight and again six months and one year later when the astronauts returned home from space.From these pictures,Gabel's team calculated an astronaut's bone strength and density(密度)at each of those times.What did hey find through comparison of the pictures?Astronauts in space for less than six months regained their preflight(起飞前的)bone strength after a year back on Earth.But those who stayed in space longer suffered permanent bone loss in their tibias.That loss was equal to a decade of aging.The lower arm bones showed almost no loss.Tat was likely because these aren’t weigh-bearing bones on Earth,Gabel explains.In fact,those arms can get bigger workout in space than on Earth as astronauts use them to move around their craft by pushing off handles and doors.“Increasing weight-lifing exercises in space could help alleviate (解)bone loss in the legs,”says Steven Boyd,also in exercise scientist.“With longer spaceflight,we can expect bigger bone loss-and probably a bigger problem with recovery,”says physiologist Laurence Vico.“Space agencies should also consider other bone health measures,such as nutrition,to reduce bone loss and increase bone formation.”28.Why did Gabel's team take pictures at different times?A.To offer evidence for their predictions.B.o show their respect for the astronauts.C.To compare the changes in the astronauts' bones.D.To find out the proper length of staying in space for astronauts.29.Which of the following may Gabel agree with?A.A spaceflight in less than half a year does no harm to astronauts.B.Astronauts coming back from a spaceflight look much older.C.Astronauts can aybid bone loss through doing enough exercise.D.There is almost no difference in the astronauts' lower-arm bones.30.What can we conclude from this text?A.People on Earth never suffer bone loss.B.The finding of the new study is good news for astronauts.C.The 17 astronauts knew the bone loss before their spaceflights.D.Astronauts can regain their bone strength as soon as they return to Earth.31.What does the text mainly talk about?A.ow to prevent bone loss in space.B.Problems faced by astronauts in space.C.Astronauts' suffering from bone loss in space.D.Astronauts' contributions to the development of science.DThe innovation is part of research into brain-computer interfaces(接口)to help improve the lives of people with disabilities.The researchers included machine learning capabilities with their brain-computer interface,making it a one-size-fits-all solutionTypically,these devices require extensive adjustment for each user-every brain is different,both for healthy and disabled users and that has been a major obstacle to mainstream adoption.This new solution can quickly understand the needs of an individual subject and self-adjust through repetition.That means multiple patients could use the device without needing to adjust it for better functioning.In a clinical setting,the subjects wear a cap packed with electrodes(电极)that is connected to a computer.The electrodes gather data by measuring electrical signals from the brain,and the decoder translates the brain signals into commands,which are used to control devices or applications.In this case,the decoded signals are translated into actions in a car racing game and a simpler task involving balancing a digital bar.Subjects were trained simultaneously for both the simpler bar game and the more complex car racing game,thus improving their brain function.This project used 18 subjects with no motor disabilities.As they continue down this road,they will test this on people with motor disabilities to apply it to larger groups in clinical settings.“To achieve this,we need to improve our technology to make it easier to use,'Millan.a professor in the University of Texas says.On the side of translating the research,Millan and his team continue to work on a wheel chair that users can drive with the brain-computer interface.At the South by Southwest Conference and Festivals this month,the researchers showed off another potential use of the technology:controlling two rehabilitation(康复)robots for the hand and arm.This was not part of the new paper but a sign of where this technology could go in the future.“We'll continue down this path wherever it takes us in the pursuit of helping people.”Millan says.32.Who will benefit the most from the Brain-Computer Interface innovation?A.People with physical disabilitiesB.Businessmen selling wheelchairsC.Students seeking academic improvement.D.Athletes seeking performance enhancement.33.What is the main advantage of the new solution?A.Faster adjustment process C.I proved mainstream adoption.B.Decreased need for adjustingD.Quick understanding of commands34.What is the function of electrodes?A.Translating signals C.Controlling devicesB.Measuring brain signals D.Enhancing brain function.35-What is the probable focus of Millan and his team's future work?A.Exploring hand and arm rehabilitation.B.Showcasing technology at conferences.C.Translating and publishing research papers.D.Enhancing brain-computer interface technology.第二节七选五(共5小题；每小题2.5分，共12.5分)When I graduated from high school,I wanted to major in comparative literature.But,once I found out my fiends were going into“real”majors,like marketing,nursing,and engineering,II forced myself to believe that figured I needed to do the same to ensure a good career. 36 I would enjoy(it and succeed in the future,but eventually I exhausted myself understanding theeconomy and trying new marketing ing out of this experience,I realize it is OK tobe different from others and to study things like classics,art history and other majors offered in the College of Humanities(人文学科)!The worries most people have about a Humanities degree and finding a career afterwards are Actually ideas discussed in Humanities classes,which that the majors are too abstract. 37 are occasionally different from what people commonly believe,offer a broad perspective(视角).How could one effectively be an unbiased(无偏见的)writer with only a knowledge of the popular opinion of society?How could one speak persuasively with closed minds?Only seeing the world through a single perspective leads to missed learning,missed friendships,and missed growth! 38STEM(science,technology,engineering,and mathematics)graduates learn actual skills in their studies,while humanities majors learn "soft skills"like communicating effectively through writing critically and speaking persuasively,synthesizing(综合)ideas through gathering and interpreting information,and developing cultural awareness.Do those soft skills sound useless and inapplicable Produce ideas?Encounter people from other cultures?Every day.to you?Think of it.39 Every SECOND of every day.So why not master these skills?40 The job market is quietly creating thousands of openings a week for people who can bring a humanist's grace to our rapidly evolving high-tech future.Your skills will be valuable to any workplace you hope to be in.Stick to your dream major with all your energy,no matter what other people think.A.So one will not obtain any practical skills.B.How often do you communicate with others?C.How much progress can you make in a certain time?D.So I changed my mind and chose Business Management as my major.E.If you choose a major in the College of Humanities,you will be needed.F.The number of students majoring in the humanities has declined by about half.G.With a broader perspective,we will be more open-minded and less limited in what we can become!第三节完形填空(共15小题，每小题1分，满分15分)In 1980,Foley was a new nurse,working the night shift in a maternity ward(产房).One night,a baby girl was born with a 41 congenital(天生的)disorder that affected her brain.She was 42 to die soon.As Foley had seen in similar cases,babies in this 43 were often placed in a bassinet(摇篮)and received little 44 until they died.But Foley said Nancy Allspach,a colleague of hers,had a 45 approach.“She went into the nursery multiple times through the shift and 46 that baby,”Foley recalled.“She put her 47 right down next to the baby,and she talked to the baby.And she even 48 the baby a bottle and rocked her in the big rocking chair.And she 49 the baby as thoughshe were her own.”Foley 50 remembers how the baby was treated,and how the mother was treated,too.Over her nearly 50-year 51 as a registered nurse,Foley has 52 many babies and children who died later.And looking back,she said she always tied to treat both the children and their parents with compassion(同情)—the way she 53 from Nancy Allspach."I never forgot the importance of touching and being 54 to the baby or the child and also the parents,”she said.“Because,at that moment,what they need is 55 .And Nancy taught me that.'41. A. fancy42. A. encouraged43. A. atmosphere44. A. attention45. A. passive46. A. spoiled47. A. face48. A. showed49. A. noticed50. A. clearly51. A. request52. A. met with53. A. heard54. A. polite55. A. compassionB. severeB. forcedB. pointB. commitment B. differentB. rankedB. footB. boughtB. treatedB. hardlyB. ambitionB. looked atB. learnedB. familiarB. destinationC. mildC. considered C. conceptC. contribution C. fatalC. held C. earC. drankC. defeated C. normally C. planC. cared for C. received C. similarC. exampleD. joyfulD. managed D. condition D. improvement D. broadD. setD. backD. fedD. keptD. carefully D. careerD. picked up D. borrowed D. closeD. competition第Ⅱ卷(非选择题共55分)第一部分语法填空(共10小题,每小题1.5分;共15分)阅读下面短文,在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式(注意:答案请写在答题卡上,写在本卷无效)。

山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学含答案

高一数学试题（答案在最后）2024.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．设x ∈R ，向量(1,)a x =r ，(2,1)b =r，若a b ⊥r r ，则x =（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-2．已知复数z 满足(14z +=（i 是虚数单位），则||z =（）A ．2B ．4C ．8D ．163．已知02παβ<<<，且5cos()13αβ-=，4cos 25β=，则cos()αβ+=（）A ．3365-B ．1665-C ．5665D ．63654．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC △的面积是（）A ．32B ．2C ．94D ．45．若23||||||3a b a b b +=-=r r r r r ，则a b -r r 与b r 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．在Rt ABC △中，2AB AC ==，,BC AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，则MPN ∠的余弦值是（）A ．105-B ．1010-C ．1010D ．1057，数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O ，G ，H 分别为三角形ABC 的外心，重心，垂心，则（）A ．1233AG AO AH=-uuu r uuu r uuu r B ．1233AG AO AH=+uuu r uuu r uuu rC ．2133AG AO AH=-uuu r uuu r uuu r D ．2133AG AO AH=+uuu r uuu r uuu r 8．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3B π=，sin sin sin B C b A ac =2取值范围是（）A ．21,52⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．22,53⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设z 为非零复数（i 是虚数单位），下列命题正确的是（）A ．若||z z =，则z 为正实数B ．若2z ∈R ，则z ∈R C ．若210z +=，则iz =±D ．若0z z +=，则z 为纯虚数10．下列命题中正确的是（）A ．若,a b r r是单位向量，则a b=r r B ．若(0)a b b ≠∥r r r，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=r rC ．若向量a r 和b r ，满足||1a =r ，||||2b a b =+=r r r ，则||a b -=r rD ．若向量(1,3)a =-r ，(3,0)b =r ，则a r 在b r 方向上投影的数量是10-11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以下命题中正确的是（）A ．若9a =，10b =，3A π=，则符合条件的三角形有两个B ．若22tan tan a b A B=，则ABC △为等腰或直角三角形C ．若2sin ABC S b B =△，则cos B 的最小值为54D ．若3A π=，BC =BC 边上的高为1，则符合条件的三角形有两个第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα=-，则tan 2α=___________．13．若O 为ABC △的外心，且2BO BA BC =+uu u r uu r uu u r ，则AB BC ⋅=uu u r uu u r___________．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(1cos )(2cos )a B b A +=-，sin cos sin B A C =，且16AB AC ⋅=uu u r uuu r ，则b =___________；若在线段AB 上存在动点P 使得2||||CA CBCP x y CA CB =+uu r uu ruu r uu r uu r ，则xy 的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知θ为三角形的一个内角，i 为虚数单位，复数cos isin z θθ=+，且2z z +在复平面上对应的点在实轴上．（1）求θ；（2）设2,i z z ，21z z ++在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC △的面积．16．（本小题满分15分）已知平面上三点A ，B ，C ，且(0,4)A ，(,3)B k -，(2,0)C ．（1）若A ，B ，C 不构成三角形，求实数k 应满足的条件；（2）若ABC △为针角三角形，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知函数()sin (sin )1f x x x x =+-，x ∈R ．（1）若31(),0,222f πθθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求tan θ的值；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()0f x f x m ++=成立，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分17分）如图所示，在扇形AOB 中，AOB ∠为锐角，四边形OMPN 是平行四边形，点P 在弧»AB 上，点M ，N分别在线段OA ，OB 上，OP =，6OA OB ⋅=uu r uu u r，记POB θ∠=．（1）当6πθ=时，求OP NB ⋅uu u r uu u r ；（2）请写出阴影部分的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最小值．19．（本小题满分17分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，sin sin cos cos cos cos sin C B B AB A C--=+．（1）若236ABC S c =△，求证：23c b =；（2）若2DC BD =uuu r uu u r ，求||||AD BD uuu ruu u r 的最大值．高一数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．D8．A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．ACD10．BC11．ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．4313．014．4，32四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．解：（1）22(cos sin )cos 2sin 2z i i θθθθ=+=+Q ，2(cos 2cos )(sin 2sin )z z i θθθθ+=+++，因为2z z +在复平面上对应的点在实轴上，所以sin 2sin 2sin cos sin 0,(0,)θθθθθθπ+=+=∈，所以1cos 2θ=-，2;3πθ=（2）由（1）知：sin 2θ=，21z =-+，所以11i i i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，213313i i 44222z =--=--所以2131311i i 02222z z ++=-+--=．在复平面上对应的点分别为(A -，31,22B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0,0)C ，所以2AC =，1BC =，1(022CA CB ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭uu r uu r 所以，CA CB ⊥uu r uu r ，所以，12112ABC S =⨯⨯=△．16．解：（1）由题可知，(2,3)BC k =-uu u r ，(2,4)AC =-uuu r，三点A ，B ，C 不构成三角形，得A ，B ，C 三点共线，所以4(2)230k ---⨯=，解得72k =．（注：利用AB uu u r求解，同样得分）（2）当C 为钝角时，0AC BC ⋅<uuu r uu u r，所以2(2)3(4)0k ⨯-+⨯-<，解得4k >-且72k ≠，当A 为钝角时，(,7)AB k =-uu u r ，(2,4)AC =-uuu r，0AB AC ⋅<uu u r uuu r，即(,7)(2,4)0k -⋅-<，2280k +<，所以14k <-．当B 为钝角时，(,7)BA k =-uu r ，(2,3)BC k =-uu u r，(,7)(2,3)0BA BC k k ⋅=-⋅-<uu r uu u r，22210k k -+<，无解．所以14k <-或4k >-且72k ≠．17．解：（1）()sin (sin )1f x x x x =+-2sin cos 1x x x =+-1cos 2212xx -=+-1sin 262x π⎛⎫=--⎪⎝⎭131()sin 26222f πθθ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，sin 262πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πθ<<，52666πππθ-<-<，所以263ππθ-=或23π，即4πθ=或512π，当4πθ=时，tan tan 14πθ==，当512πθ=时，tan tan46tan tan 2461tan tan 46ππππθππ+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭-（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，则111sin 2622x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，即11()2f x -≤≤，令()t f x =，112t -≤≤，关于t 的方程20t t m ++=在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，即2m t t -=+在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，当112t -≤≤时，21344t t -≤+≤，由1344m -≤-≤，得3144m -≤≤，即实数m 的取值范围是31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．解：（1）根据题意，||||cos cos 6OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=uur uu u r uur uu u r，1cos 2AOB ∠=因为AOB ∠为锐角，所以，3AOB π∠=，6πθ=，四边形OMPN 是平行四边形，所以，OPM △为等腰三角形，OP =2OM ON ==，||||cos 2)662OP NB OP NB π⋅=⋅=-⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r ．（2）由题可知，在PMO △中，OP =23PMO π∠=，MPO θ∠=，3MOP πθ∠=-，则由正弦定理sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP==∠∠∠，sin sin 3OM PMπθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得4sin OM θ=，4sin 3PM πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1sin 2PMO S OM MP PMO =⨯⨯⨯∠△14sin 4sin 232πθθ⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭sin 3πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππθθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，AOB OMPNS S S =-扇形平行四边形226ππθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，03πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当6πθ=时，sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S取得最小值2π-．19．解：（1）sin sin cos cos cos cos sin C B B AB A C--=+(sin sin )sin (cos cos )(cos cos )C B C B A B A -=+-222sin sin sin cos cos C B C B A-=-()222sin sin sin 1sin 1sin C B C B A-=---由正弦定理得222c b a bc +-=，2221cos 22c b a A bc +-==，0A π<<，所以3A π=，21sin 26ABC S bc A c ==△，所以23c b =．（2）2DC BD =uuu r uuu r ，11()33BD BC AC AB ==-uu ur uu u r uuu r uu u r ，又2133AD AB BD AB AC =+=+uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r ，所以1|2|||31||||3AB AC AD BD AC AB +==-uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r ，令0bt c=>，所以||||AD BD ===uuu r uu u r ，1=≤==+．当且仅当1t =取等号，所以||||AD BD uuu r uu u r1+．。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。

广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(含解析)

广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题考试用时：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。

选择题作答必须用2B 铅笔。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数z 满足i (1i)z =⋅+,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动,教师随机分成三组,每组至少一人,则甲、乙在同一组的概率为( )A.16 B.14C.13D.123.已知i 是虚数单位,复数1i 1||1i 2z z +=+-,则复数z 的虚部等于( )A.1 B.-1 C.i D.i-4.已知,a b 是两个不共线向量,且5,28,33AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则( )A.,,A B C 三点共线B.,,A B D 三点共线C.,,B C D 三点共线D.,,A C D 三点共线5.已知向量,OA OB是两个不共线向量,点C 在线段BA 的延长线上(如图)，且OC OA OB λμ=+ ,则( )A.1,0,0λμλμ+=<>B.1,0,0λμλμ+>><C.1,0,0λμλμ+=>< D.1,0,0λμλμ+<<>6.袋中装有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取一个球.事件1A =“第一次取出的球的数字为1”,事件2A =“第一次取出的球的数字为2”,事件3A =“两次取出的球的数字之和为8”,事件4A =“两次取出的球的数字之和为7”,则( )A.1A 与3A 相互独立B.1A 与4A 相互独立C.2A 与3A 相互独立D.3A 与4A 相互独立7.已知(2,0),(a b ==- ,则a 与a b -夹角的余弦值为( )A. B.12-C.128.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若3,2a b c ===,则ABC 外接圆半径等于( ).二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.若12,z z 是复数,则下列命题正确的是( )A.1212z z z z ⋅=⋅B.2211200z z z z +=⇔==C.1111z z z z ⋅=⋅ D.1212120z z z z z z -=+⇔⋅=10.已知向量,a b满足|||||a b a b a +=-== 则下列结论正确的是( )A.a b⊥ B.||1b = C.()3b a b ⋅-=-D.a b + 在a b -方向上的投影向量为1()3a b -11.如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着东偏北α角方向直线追击，恰好在E 点处追到走私船，则() .A.BC =B.C.∠BCE 为钝角D.150a =三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表(单位：t )：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060则可估计居民生活垃圾投放错误的概率为___________.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知8,60a b B ︒==∠=.则ABC 的面积等于________________.14.如图,在梯形ABCD 中,//,1,3AB CD AD CD AB ===.若AD BC ⊥,则AC BD ⋅的值为______________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知()3,23,(1,)a b k =-=- ,求k 为何值时:(1)//a b ;(2)a b ⊥ ;(3)a 与b 的夹角为锐角.16.(本题满分15分)从集合{1,2,3,4}中随机取两次数,每次取一个.记第一次取的数为x ,第二次取的数为y ,两次取数结束,算作一次试验,试验结果记为(,)x y .(1)写出这个试验的样本空间Ω,以及Ω中样本点的个数;(2)事件“5x y +=”包含哪几个样本点?事件“3x <且1y >”包含哪几个样本点?(3)若事件""4,""A x y B x y =⋅===,求()P A B ⋃.17.(本题满分15分)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 满足(2)cos cos b c A a C -=.(1)求角A 的大小;(2)若a BC =边上的中线AD ,求ABC 的面积.18.(本题满分17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下:拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘后,再让其品尝这n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设3n =,分别以123,,a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3的三种酒在第二次排序时的序号,并令123123X a a a =-+-+-,则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有0X =,则该品酒师被授予“特级品酒师”称号;若两轮测试都有2X ≤,且至少有一轮测试出现0X ≠,则该品酒师被授予“一级品酒师”称号.(1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的123,,a a a 排序结果,并求出相应的X 值;123,,a a a X1,2,3(2)甲参加了两轮测试,两轮测试结果相互独立,记事件D =“甲被授予一级品酒师称号”,求()P D ;(3)甲连续两年都参加了两轮测试,两年测试结果相互独立,记事件E =“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”,求()P E .19(本题满分17分)在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ,其面积记为S ,且满足22()b a c +=+.(1)求角B ;(2)D 为AC 边上一点,2BD =,且BA ADBC DC=,求S 的最小值.(3)圆O 是ABC 外接圆,P 是圆O 外一点,,PM PN 分别切圆O 于点,,M N 若1b =,求PM PN ⋅的最小值.广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】i (1i)1i 1i z z =⋅+=-+⇒=--,所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--,在第三象限.【考查目标】复数基本运算、共轭复数的概念、复数几何意义.基础题2.【答案】A.【解】甲、乙、丙、丁四名教师按要求分成三组,同一组两人共有下列6种情形:(甲乙),甲丙),甲丁),(乙丙),(乙丁),(丙丁),所以甲乙在同一组的概率16P =.【考查目标】简单古典概型概率计算.基础题3.【答案】A【解析】21i 1(1i)11||||i ||1i 21122z z z z ++=+=+=+-+,所以复数z 的虚部为1,故选项A 正确.【考查目标】复数基本概念和基本运算.基础题4.【答案】B.【解析】因为,AB BC 没有数乘关系,所以选项A 不正确;因为5BD BC CD a b AB =+=+=,所以//BD AB ,选项B 正确.【考查目标】利用向量数乘关系，判断三点共线.基础题5. 【答案】C .【解】过点C 分别作OA,OB 平行线,交OB 于F ,交OA 于E ,则,OE OA OF OB λμ== ,因为,OE OA同向,,OF OB反向,所以0,0λμ><,因为A,B,C 三点共线,所以1λμ+=.故只有选项C 正确.【考查目标】向量分解知识，三点共线性质定理.基础题6.【答案】B.【解】若第一次取出的数字为x ,第二次取出的数字为y ,试验结果记作(,)x y ,显然试验样本空间共有6636⨯=个样本点,事件1234,,,A A A A 样本点的个数分别为6,6,5,6.所以()()()()123411561,,,6636366P A P A P A P A =====,因为13,A A 是互斥事件,所以()()()13130P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项A 错误;因为14A A ⋂只有一个样本点,所以()()()1414136P A A P A P A ⋂==⨯,所以选项B 正确;因为23A A ⋂只有一个样本点,所以()()()2323136P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项C 错误;因为34,A A 是互斥事件,所以()()()34340P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项D 错误;【考查目标】两事件相互独立判断方法，简单事件概率计算.基础题7.【答案】D.【解析】因为(2,0),(a b ==- ,所以(3,||a b a b -=⇒-==.所以()cos ,||||a a b a a b a a b ⋅-〈-〉===⋅- .【考查目标】向量减法坐标运算，数量积坐标运算，长度、夹角运算.基础题8.在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c若3,2a b c ===,则ABC 外接圆半径等于( )【答案】D.【解析】由三角形余弦定理有2229471cos sin 22322b c a A A bc +-+-===⇒=⨯⨯,设ABC 外接圆半径为R ,则2sin a R R A ==⇒=.【考查目标】三角形余弦定理,求三角形外接圆半径长方法.中档题二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9. 【答案】AC.【解析】由复数共轭的性质可以知道选项A 正确;取121,i z z ==,显然选项B 错误;取121,i z z ==,显然选项D 错误;对选项C,2111z z z ⋅=,又11z z =,所以选项C 正确.【考查目标】考查复数模、共轭、平方性质,考查复数、实数、向量三者在运算方面的联系与区别.基础题.10. 【答案】ABD.【解析】由向量加减法几何意义,不难看出选项AB 都正确,下面用直接推理的方法求解.由||||a b a b +=-= ,平方得到2222223,0,,231|| 1.a b a b a b a b a b a b b b ⎧⎧⎧++⋅=⋅=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-⋅===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 选项A,B 正确;因为2()011b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- ,所以选项C 错误;a b + 在a b -方向上的投影向量为2()()211()()()33()a b a b a b a b a b a b +⋅---=-=--,所以选项D 正确.【考查目标】综合考查向量基本知识，基础题.11. 【答案】ABD【解】由题设条件知道:60AC AB BAC ︒==+∠=,在ABC中由余弦定理有2222cos608(84)12,BC AC AB AC AB ︒=+-⋅⋅=++-+=所以BC =,选项A 正确:设,i j分别是正东、正北方向单位向量,则,,AB j BD j =+=-所以AD AB BD j =+=+ ,又AC =,所以||CD AD AC j CD =-=+⇒==所以选项B 正确;注：也可在ABC 中，用正弦定理解得45ABC ︒∠=，得到30CBD ︒∠=，解得CD =.在BCD 中,因为2221293BC BD CD ==+=+,所以90BDC ︒∠=.设巡逻艇用了t 时在E 点处追到走私船,则3,,36013590135DE t CE CDE ︒︒︒︒==∠=--=,在CDE 中,由正弦定理得:sin sin CE DECDE DCE=∠∠则1sin 2DCE ∠==,因为DCE ∠为锐角,所以故30DCE ︒∠=,因为60BCD ︒∠=,所以603090BCE BCD DCE ︒︒︒∠=∠+∠=+=,所以选项C 错误.所以1059015α︒︒︒=-=,选项D 正确.【考查目标】解三角形在实际问题中的应用.较难题三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【答案】310【解】从所给表格数据可以看出:生活垃圾投放正确共有40024060700t ++=,所以生活垃圾投放正确的概率估计为7007100010=,所以生活垃圾投放错误的概率估计为7311010-=.【考查目标】用频率估计概率.基础题13. 【解】由三角形的余弦定理有2222cos b a c ac B =+-,也即222966488320(4)48c c c c c =+-⇒--=⇒-=,因为0c >,所以44c =+=+,所以ABC的面积11sin 8(48(322S ac B ==⨯⨯+=+.【考查目标】余弦定理，三角形面积公式应用.基础题.14. 【答案】-3.【解】过C 作//CE AB ,交AB 于E ,则四边形ADCE 是菱形.由题设有,22BC CE BE CE ⊥==,所以30,60CBE CEB DAB ︒︒∠=∠=∠=,()()AC BD AE AD AD AB ⋅=+⋅-1()3AB AD AD AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212211313 3.3332AD AB AD AB =--⋅=--⨯⨯⨯=- 【考查目标】数量积计算，中档题.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解】(1)因为//a b ,所以33102k ⎛⎫--⨯-= ⎪⎝⎭,……………………………….2分解得12k =.………………………………………………………………………….2分(2)因为a b ⊥ ,所以33102k ⎛⎫-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭,…………………………………………6分解得92k =-.…………………………………………………………………………8分(3)因为0,2a b π<<>< ,所以cos ,00a b a b <>>⇒⋅>,……………………………9分所以3931022k k ⎛⎫-⨯-+⨯=+> ⎪⎝⎭,……………………………………………………10分解得9.2k >-……………………………………………………………………………11分由(1)知道,12k =时,//a b,此时,a b 共线同向,,0a b 〈〉= ,不符合要求, ……………12分所以当且仅当92k >-且12k ≠时,a 与b的夹角为锐角.…………………………13分16. 【解】(1){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)Ω=,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}…………………………………………………………………3分Ω中样本点的个数为16;…………………………………………………………………4分(2)事件“5x y +=”包含的样本点为:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1); …………………………6分事件“3x <且1y >”包含的样本点为:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).…………………8分(3)因为事件A 包含的样本点为:(1,4),(2,2),(4,1), ……………………………………………………9分所以3()16P A =.………………………………………………………………………………10分事件B 包含的样本点为:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…………………………………………………11分所以41()164P B ==.………………………………………………………………………………12分事件A B ⋂包含的样本点为:(2,2),…………………………………………………………………………13分所以1()16P A B ⋂=.………………………………………………………………………14分所以31163()()()()16416168P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂=+-==.………………………15分17. 【解】(1)由三角形正弦定理sin sin sin a b cA B C==及题设条件可得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=,…………………………………………………2分也即2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin()B A C A A C B A A C =+⇒=+………3分因为A C B π++=,所以sin sin()B A C =+,所以2sin cos sin B A B =,……………………………………………………………………4分因为(0,)B π∈,所以sin 0B >,所以12cos 1cos 2A A =⇒=,………………………………………………………………6分因为(0,)A π∈,所以3A π=.………………………………………………………………………………7分说明:不说明(0,),(0,)B A ππ∈∈,酌情扣1分.【解2】由三角形的余弦定理有222222(2)cos cos (2)22b c a a b c b c A a C b c a bc ab+-+--=⇒-=……………………2分化简整理得2222b c a bc +-=,………………………………………………………………………4分所以2221cos 22b c a A bc +-==,………………………………………………………………………6分因为(0,)A π∈,所以3A π=.……………………………………………………………………7分说明:不说明(0,)A π∈,酌情扣1分.(2)因为1()2AD AB AC =+,所以()()2222211192444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= ,也即2219c b bc ++=.……………………………………………………9分由余弦定理有222222cos 7a c b bc A c b bc =+-⇒=+-，……………………………………11分由222219,67c b bc bc c b bc ⎧++=⇒=⎨+-=⎩,……………………………………………………13分所以ABC 的面积11sin 622S bc A ==⨯=.…………………………………………15分18. 【解】(1)第二次排序时所有可能的123,,a a a 排序及相应的X 值列表如下:123,,a a a X1,2,301,3,222,1,322,3,143,1,243,2,14…………………………………………3分(2)令A 表示事件""0,X B =表示事件"2X =",C 表示事件""4X =.由(1)知道111(),(),()632P A P B P C ===.……………………6分甲参加第一轮测试X 值记为1X ,参加第二轮测试X 值记为2X ,记事件1122123120,2,2"""",0,2,2""D X X D X X D X X =========,则123D D D D =⋃⋃,……………………………………8分因为两轮测试结果相互独立,所以()()()11211102"""",6318D P X P X ==⋅==⨯=…………………9分()()()21211120,3618""""P D P X P X ==⋅==⨯=………………10分()()()312"""1"1122,339P D P X P X ==⋅==⨯=…………………11分因为123,,D D D 互斥,所以()()()()1231231112()181899P D P D D D P D P D P D =⋃⋃=++=++=.…………12分(3)记事件i E =“甲在第i 年测试中被授予特级品酒师称号”,1,2i =,则E =12E E ⋃.……………………………………………………………………………13分因为()()()()121 "0""0"36P E P E P X P X =====⋅，…………………………14分因为12,E E 相互独立,所以()()()()121212()P E P E E P E P E P E E =⋃=+-⋂……………………15分()()()()212121171.18361296P E P E P E P E ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭……………………17分19. 【解】(1)由22()b a c +=+及1sin 2S a c B =⋅,可得222sin 2b B a c ac +=++,所以22212a c b B ac+-=+,………………………………………………………………1分由三角形余弦定理知道222cos2a c bBac+-=,cos1B B=+,………………2分1cos1sin62B B Bπ⎛⎫-=⇒-=⎪⎝⎭………………………………………………3分因为5666B Bππππ<<⇒-<-<,…………………………………………4分所以66Bππ-=,也即3Bπ=.………………5分(2)在BAD中,sin sinAD ABABD ADB=∠∠,在BCD中,sin sinCD BCCBD BDC=∠∠,且sin sin()sinADB BDC BDCπ∠=-∠=∠,可得sin sinABD CBD∠=∠因为ABCπ∠<,所以6ABD CBDπ∠=∠=.………………………………………………7分由ABD CBDS S S=+可得111sin2sin2sin232626ac a cπππ=⨯⨯+⨯⨯,………………9分可得a c=+≥解得163ac≥,当且仅当a c==时取得等号.………………10分(3)设圆O半径为R,则12sin sin60bR RB︒===⇒=………………12分设,2OP d MONα=∠=,则sinα=,所以()222212||||cos2||12sin133 PM PN PM PN PM ddαα⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (14)分2221119dd=+-≥-=-,…………………………………………15分等号成立当且仅当2229d dd=⇒=分所以PM PN⋅1-.……………………………………………………17分。

重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

安徽省安庆市2022-2023学年下学期高一期中联考语文试题(含解析)

2022-2023学年下学期高一期中联考语文一、现代文阅读（35分）(一）现代文阅读I(本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一美学或艺术学，都离不开对于“美是什么”这一问题的探讨。

对于“美是什么”的探讨在以往的美学研究中一般更侧重于理性的、抽象的思考和归纳，而忽视感性的、直觉的体验和想象。

美和道一样，是无形的，是抽象的，它不是具体的实相，而是感觉对于外物的体验，心灵对于世界的映现，是心物相合的结果。

由于心物不是恒定的，无论是心或是物都是变化着的，这就决定了美的映现并不是恒定的，而需要恰当的时机和必要的条件。

美既不在心，也不在物，而是心物感应的结果。

如王阳明论“岩中花树”：先生游南镇。

一友指岩中花树问曰：“天下无心外之物。

如此花树在深山中自开自落，于我心亦何相关”先生曰：“你未看此花时，此花与汝心同归于寂；你来看此花时，则此花颜色一时明白起来，便知此花不在你的心外。

”同样的事物对于不同人的意味是不一样的，就是同一事物在不同的时候对同一个人也是不一样的。

诚如“闲云潭影日悠悠，物换星移几度秋”（王勃《滕王阁诗》这句诗体现的正是年年岁岁乃至每时每刻的变化，宇宙间没有恒常不变的事物；“江畔何人初见月江月何年初照人”（张若虚《春江花月夜》这句诗中体现的是生命的倏忽易逝以及那不可挽回的时光，作为承载心灵的生命也不可能恒常不变。

而恰恰在无常和多变中，心灵和外物在某一时刻的遭遇和互鉴，显现出了永恒的美。

无论是“天下第一行书”《兰亭序》还是“孤篇盖全唐”的《春江花月夜》都是美在艺术中的在场和呈现。

因此，我们可以说伟大的艺术可以照见美、确证美、表现美，让本来没有实相的美在可感的艺术中得以存现。

也因此，我们可以说：艺术是美得以存现的精神化之客观物。

美是艺术价值的永恒证词。

没有任何一个事物可以完全等同于美，或者说没有一样事物是全美。

美只是它自己，它既不是物也不是心，但是它可以在物也可以在心，它可以存现于物也可以存现于心，美通过心物相合向我们敞开其全部意义的同时，赋予人最充分人性化的生命体验。

山西省2023-2024学年高一下学期期中调研测试语文试题(含答案)

山西省2023-2024学年高一下学期期中调研测试语文试题（测试时间：150分钟卷面总分：150分）★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）的阅读下面文字，完成下面小题。

材料一：教育是立国之本、强国之基，民族要振兴，教育必先行。

我们要坚持优先发展教育事业，大力培养人才、造就人才，从整体上提高中华民族的整体素质，化人口大国为人才强国，以人口高质量发展支撑中国式现代化。

坚持“立德树人”，培养堪当民族复兴重任的时代新人。

“长树先长根，立人先立德”，没有德，再有才华也无济于事。

学校作为教书育人重地，要始终把立德放在第一位，把立德树人作为教育的根本任务，用科学理论铸魂育人，以时代思想陶冶情操，培养学生爱国情怀、社会责任感、创新精神、实践能力。

教师是学生的启蒙者、引路人，教书先教人，育人先育己，以高尚的品格、文明健康的举止，潜移默化地引导学生，以正能量的热度给学生心灵埋下真善美的种子，以报国之心引导学生扣好人生第一粒扣子，为学生成长打好精神底色。

以改革创新为动力，全面提高教育水平。

2023年，我国教育强国指数居全球第23位，比2012年上升26位，是进步最快的国家。

持续发挥教育的先导作用，加快教育大国向教育强国转变，必须用好改革创新这一招，深化教育机制改革，坚决破除一切制约教育高质量发展的思想观念束缚和体制机制弊端，科学设置专业课程体系，创新教学方法，引导学生独立思考，注重启发式教育，增加吸引力、趣味性，不断在特色上实现新的突破，加快培养创新型、复合型和应用型等各类高素质人才，加快教育大国向教育强国转变。

2023-2024学年河北省石家庄市河北高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市河北高一下册期中数学试题一、单选题1．复数z 满足()3i 12i z +=-(i 为虚数单位)，则z 的虚部为（）A ．34B ．3i4C ．7i 10-D ．710-【正确答案】D【分析】利用复数的除法运算求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 17i 3i 3i 3i 101010z ----====-++-，则复数z 的虚部为710-.故选：D2．如图，在矩形ABCD 中，M 是CD 的中点，若AC AM AB λμ=+，则λμ+=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】C【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出12AC AM AB =+，进而得出λμ+.【详解】12AC AD AB AM MD AB AM AB =+=++=+ ，∴1λ=，12μ=，∴32λμ+=，故选：C ．3．在△ABC 中，π3A =，6BC =，AB =，则C =（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π4或3π4【正确答案】B【分析】利用正弦定理求得sin C ，进而求得C .【详解】由正弦定理得sin sin a cA C=，2,sinsin62CC==，由于c a<，所以C为锐角，所以π4C=.故选：B4．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（）A．7B．7．2C．7．5D．8【正确答案】D【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为980%7.2⨯=，所以第80％分位数为第8个数，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8.故选：D．5．已知向量()2,4a=r，()1,b x=，若向量a b⊥，则实数x的值是（）.A．2-B．12-C．12D．2【正确答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】,240a b x⊥∴+=，解得12x=-.故选：B6．在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若ABC的面积是)2224b c a+-，则A=（）A．π3B．2π3C．π6D．5π6【正确答案】A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：()2222cos,0,πb c a bc A A+-=∈由条件及正弦定理可得：)2221sin cos242b c aS bc A A+-===，所以tan A =，则π3A =．故选：A7．已知某企业有职工8000人，其职工年龄情况和绿色出行情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（）A ．该企业老年职工绿色出行的人数最多B ．该企业青年职工绿色出行的人数最多C ．该企业老年职工绿色出行的人数和青年职工绿色出行的人数之和与中年职工绿色出行的人数相等D ．该企业绿色出行的人数占总人数的80%【正确答案】D由图中所给数据可求出该企业老年职工绿色出行的人数、中年职工绿色出行的人数和青年职工绿色出行的人数，从而进行比较即可得答案【详解】由图可知该企业老年职工绿色出行的人数是800030%90%2160⨯⨯=，中年职工绿色出行的人数是800040%80%2560⨯⨯=，青年职工绿色出行的人数是800030%70%1680⨯⨯=，则该企业职工绿色出行的人数占总人数的比例为21602560168080%8000++=，故A ，B ，C 错误，D 正确故选：D8．ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，BC =AO BC ⋅=（）A ．52B ．72C ．53D ．73【正确答案】A【分析】设D 是BC 边中点，由OD BC ⊥，1()2AD AB AC =+ ，BC AC AB=-，再利用数量积的运算律计算可得．【详解】如图，设D 是BC 边中点，连接,OD AO ，则OD BC ⊥，1()2AD AB AC =+ ，2211()()()()22AO BC AD DO BC AD BC DO BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=+⋅-=- 2215(32)22=⨯-=．故选：A．二、多选题9．若11i z =+，22i z =，则（）A ．212z z =B ．121z z z -=C ．21z z 在复平面内对应的点在第二象限D ．122z z -+是实数【正确答案】ABD【分析】利用复数的四则运算法则及复数的摸公式，结合复数的复数的几何意义及复数的概念即可求解.【详解】因为()22211i 12i i 2i z =+=++=，所以A 正确；因为121i z z -=-=，11i z =+=B 正确；因为()()()2212i 1i 2i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2z z --====+++-，它在复平面内对应的点为()1,1，所以21z z 在复平面内对应的点在第一象限，所以C 错误；因为()12221i 2i 2z z -+=-++=-，所以122z z -+是实数，所以D 正确．故选：ABD.10．下列四式可以化简为PQ的是（）A ．()AB PA BQ ++ B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC CQ QP +-D ．PA AB BQ+- 【正确答案】ABC【分析】根据向量的运算法则依次计算即可.【详解】对选项A ：()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=，正确；对选项B ：()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++=，正确；对选项C ：QC CQ QP QP PQ +-=-=，正确；对选项D ：PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠，错误．故选：ABC11．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（）备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．当月增速100%-=⨯当月产量去年同期产量去年同期产量．A ．2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点B ．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%C ．2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米D ．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米【正确答案】ABD【分析】对于A 选项，对比11月份与12月份的增速即可判断；对于B 选项，利用极差的定于即可判断；对于C 选项，计算可知7月我国规模以上工业天然气产量为5.131158.1⨯=亿立方米，从而判断C 选项错误；对于D 选项，根据40%分位数的含义求解即可【详解】2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点，11月份增速为4.4个百分点，比上月放缓2.1个百分点.故A 正确；2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为13.1%0.5%12.6%-=.故B 正确；2021年7月我国规模以上工业天然气产量为5.131158.1⨯=亿立方米.故C 错误2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，因为90.4 3.6⨯=，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米．故D 正确故选：ABD12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,4B b =︒=，则下列判断中正确的是（）A ．若π4A =，则a =B ．若92a =，则该三角形有两解C ．ABC 周长有最大值12D ．ABC面积有最小值【正确答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得164sin sin sin 23ABC S ac B A C == ，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A ，60,4B b ︒==，π4A =，由正弦定理得sin sin b a B A =，所以4sin 2sin 3b Aa B⨯==，故A 正确；对于B ，由正弦定理得sin sin b a B A=得，所以9sin 22sin 1416a B Ab ⨯====<，因为a b A B >⇒>，则A 有两个解，所以该三角形有两解，故B 正确；对于C ，由2222cos b a c ac B =+-，得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，所以8a c +≤，当且仅当4a c ==时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 正确；对于Dsin sin sin b a cB AC ===得,a A c C =,故164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==sin(120)A A ︒=-1sin (cos sin )322A A A =+12(1cos 2)4A A ⎤=+-⎥⎣⎦11cos(260)22A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1cos(2120)2A ︒⎤=-+⎥⎣⎦由于1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦，无最小值，所以ABC面积无最小值，有最大值为D 错误.故选：C.三、填空题13．已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为_____________．【正确答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；【详解】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+=故3.514．已知向量()1,2a =r，()4,b k = .若()()22a b a b -⊥+ ，则实数k 的值为______.【正确答案】2±【分析】根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.【详解】因为()1,2a =r，()4,b k = ,所以()()22,4,26,4a b k a b k -=--+=+ ，又因为()()22a b a b -⊥+ ,所以()()()()222264440a b a b k k k -⋅+=-⨯+-+=-= ，所以2k =±.故答案为:2±.15．如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶1200m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m【正确答案】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由题，作出空间图形如下，则有1200m,30,105AB CAB CBA =∠=∠= ,因为到达B 处仰角为45°，所以CB CD =，在ABC 中，1803010545ACB ∠=--= ，由正弦定理可得sin sin CB AB CAB ACB=∠∠解得CB =，所以CB CD ==，故答案为:.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B A =，()()sin sin sin sin sin 0b B a B A a c C a B +-+--=，则ca=__________.【分析】利用正弦定理，将已知条件中的角化边，再由齐次式进行求解即可.【详解】∵sin 2sin B A =，∴由正弦定理，得2b a =；又∵()()sin sin sin sin sin 0b B a B A a c C a B +-+--=，∴由正弦定理，得()()20b a b a a c c ab +-+--=，将2b a =代入上式，化简整理得2230c ac a --=，两边同除以2a ，得230c ca a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得c a =0c a =<（舍）.故答案为.12+四、解答题17．已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz ---为纯虚数（i 为虚数单位）．(1)求复数z ；(2)求i1z-的模．【正确答案】(1)13i z =+【分析】（1）设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意3i z -为实数，5i2iz ---为纯虚数，利用复数的运算即可求解；（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.【详解】（1）设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为()3i 3i z a b -=+-为实数，所以3b =，则复数3i(R)z a a =+∈，又因为()()()()2i 2i 2i 22(4)i 224i 2i 2i 255i i 52i 5a a a a a z a --+--++-+===+--=------+为纯虚数，则22040a a -=⎧⎨+≠⎩，得1a =，所以复数13i z =+.（2）由（1）可知复数13i z =+，则()()()()1+3i 1i 1+3i 24i 12i 1i 1i 1i 1i 2z +-+====-+---+，所以i1z-=18．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且12,3,cos 4a b C ===-.(1)求ABC 的周长；(2)求AB 边上的高.【正确答案】(1)9(2)8【分析】（1）运用余弦定理求得c 的值即可.（2）运用同角三角函数平方关系求得sin C 的值，再运用等面积法求得AB 边上的高即可.【详解】（1）在△ABC 中，12,3,cos 4a b C ===-，由余弦定理得2222491cos 22234a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，解得4c =，∴△ABC 的周长为2349a b c ++=++=.（2）∵1cos 4C =-，∴sin 4C ==.设AB 边上的高为h ，则11sin 22ab C ch =，即11234242h ⨯⨯⨯=⨯，解得h =.所以AB .19．在ABC 中,角A B C ､､的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos 0c b A a C ++=.(1)求角A 的值;(2)若14,6a c ==,求ABC 的面积.【正确答案】(1)2π3A =；(2)【分析】(1)先用正弦定理边化角,再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解;(2)利用余弦定理求出b 边,然后代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）解:由题意知()2cos cos 0b c A a C ++=,在ABC 中,将正弦定理代入有()2sin sin cos sin cos 0B C A A C ++=,所以2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=,即()2sin cos sin 0B A C A ++=,即()2sin cos sin π0B A B +-=,即2sin cos sin 0B A B +=,因为0πB <<,所以sin 0B ≠,所以1cos 2A =-,因为0πA <<,所以2π3A =；（2）由(1)知2π3A =,在ABC 中,由余弦定理可知222cos 2b c a A bc+-=,即2221614226b b +--=⨯⨯,解得10b =或16-（舍）,所以11sin 106222ABC S bc A ==⨯⨯⨯= .20．已知向量()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，求：(1)若c ma nb =+ ﹐求m n +；(2)若()ka b c +∥ ，求k 的值．【正确答案】(1)1(2)2-【分析】（1）利用求出ma nb + ，再利用向量相等的坐标表示即可求出结果；（2）先求出ka b + ，再利用向量平行的坐标表示即可求出结果.【详解】（1）因为()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，所以(2,)ma m m =- ，(,2)nb n n = ，所以(2,2)ma nb m n m n +=+-+ ，又因为c ma nb =+ ，所以2324m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得2,1m n ==-，所以1m n +=.（2）因为()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，所以(21,2)ka b k k +=+-+ ，又()ka b c +∥ ，所以(21)(4)3(2)0k k +⨯--⨯-+=，即5100k --=，所以2k =-.21．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题-含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题一、单选题1．在空间中，下列命题不正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．梯形可确定一个平面D ．任意三点能确定一个平面【答案】D【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.【详解】对于选项A ，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A 正确；对于选项B ，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B 正确；对于选项C ，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C 正确；对于选项D ，共线的三点不能确定一个平面，故选项D 错误；故选：D.2．已知复数满足，则的虚部为（）z (2i)24i z +=-z A ．B ．C ．D ．22i -2i 2-【答案】C【分析】计算，确定虚部得到答案.2i z =-【详解】，故虚部为.()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-2-故选：C3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a，b，则角A 为ABC π3B =（）A ．B ．C ．D ．或3π4π3π4π43π4【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，得sin sin a b A B =sin sin a B A b ===又，所以，所以为锐角，所以．a b <A B <A π4A =故选：C ．4．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，a b c ec 则（）()a b e+⋅ A ．1.5B ．2C ．-4.5D ．-3【答案】D【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，()1,1a =-()2,1b =--()1,0e =则，所以.()3,0a b +=- ()3a b e +⋅=- 故选：D5．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（）ABC ,,A B C ,,a b c ::3:3:4a b c =A ．B ．sin :sin :sin 4:3:3A B C =0CA CB ⋅< C ．若，则的面积是D．若，则8c =ABC 7b c +=ABC 【答案】C【分析】根据题意，由正弦定理可判定A 错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定cos 0C >义，可判定B 错误；由三角形的面积公式，可判定C 正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D 错误.【详解】由题意，在中，满足，ABC ::3:3:4a b c =对于A 中，由正弦定理，所以，sin sin sin a b cA B C ==sin :sin :sin 3:3:4A B C =所以A 不正确；对于B 中，设三边的长分别为，ABC 3,3,4a m b m c m ===由余弦定理得，222(3)(3)(4)1cos 02339m m m C m m +-==>⨯⨯所以，所以B 错误；cos 0CA CB ab C ⋅=> 对于C 中，若，可得，可得，则8c =6a b ==1cos 9C =sinC =所以的面积为C 正确；ABC 11sin 6622S ab C ==⨯⨯=对于D 中，设三边的长分别为，ABC 3,3,4a m b m c m ===由，即，可得，所以，7b c +=347m m +=1m =4c=设外接圆的半径为，则，ABC R 2sinc R C ===所以D 错误.R 故选：C.6．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量a b ()()a b a b +⊥- b a 12a -与的夹角是（）a bA ．B ．C ．D ．6π3π23π56π【答案】C【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.【详解】由题意，，则，即，()()a b a b +⋅-=22a b = a b=设与的夹角为，则在方向的投影，a b θb a 1cos 2a b aa θ⋅=-，则；[]1cos ,0,π2θθ∴=-∈2π3θ=故选：C.7．=（）23sin 502cos 20--A ．BCD ．212【答案】D【分析】根据降幂公式及变名的诱导公式进行化简.【详解】.()()223sin 5023sin 503sin 503sin 5021cos 402cos 203cos 403sin 5022----====+----故选：D.8．已知函数，若存在实数，满足，且()cos f x x=12,,,n x x x ⋅⋅⋅1204πn x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤，，，，则n 的最小值为()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=2n ≥*N n ∈（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】由的性质，根据的特()cos f x x=()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= 点以及题意求解.【详解】由题意，n 要尽可能地小，则等式中，每一项要尽可能地大，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，显然时，n 最小，()()()1cos ,2n n f x x f x f x -=∴-≤ ()()12n n f x f x --= ，即，()()()()()()122312n n f x f x f x f x f x f x --=-==-= 814,52n n -==∴=此时不妨取，满足题意；123450,π,2π,3π,4πx x x x x =====故选：B.二、多选题9．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 是线段AB 的靠近点B 的一个三等分点，若边DC 上存在点F ，使得成立，则下列选项中符合题意的的值有（）EA EF λ⋅=λA ．B ．1C ．5D ．02-【答案】ABD【分析】以为基底，设，用基底表示出，根据x 的范围可求得,BA BC (01)CF xCD x =≤≤ EA EF ⋅ 的范围即可.λ【详解】记，设，,BA a BC b ==(01)CF xCD x =≤≤ 由题知，，3,0a b a b ==⋅=又因为，211,333EA a EF EB BC CF a b xa x a b⎛⎫==++=-++=-+ ⎪⎝⎭ 所以，22121623333EA EF a x a b x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为，所以，即.01x ≤≤24EA EF -≤⋅≤24λ-≤≤故选：ABD.10．已知是函数的一个周期，则的取值可能为（）π()2sin cos 066y x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωA ．﹣2B ．1C ．D ．312【答案】ABD【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解．ω【详解】依题意得，2sin cos sin 2663y x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由周期函数定义得：，即： ()()f x f x π+=()sin 2sin 233x x ππωπω⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭即：sin 22sin 233x x ππωωπω⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222233x x k k Zππωωπωπ∴++=++∈，解得：k k Zω=∈，又0ω≠ 或1ω∴=32ω=-，故选：ABD ．11．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，内角A 的平分线交BC 于点ABC cos b c A =D ，AD =1，，以下结论正确的是（）1cos 8A =A ．B ．C ．D ．32AC =6AB =18CD BD =ABD △【答案】BCD【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算π2C =3cos 4CAD ∠=的值，根据面积公式，分析判断选项C 和D.,AC AB 【详解】在中，ABC ∵，则，整理得，所以，cos b c A =2222b c a b c bc +-=⨯222b ac +=π2C =由二倍角公式得，解得，21cos 2cos 18BAC CAD ∠∠=-=3cos 4CAD ∠=在中，则，故选项A 错误；Rt ACD △3cos 4AC AD CAD ∠==在中，则，故选项B 正确；Rt ABC △3461cos 8ACAB BAC ===∠由题意可知：，即，CAD BAD ∠=∠sin sin CAD BAD ∠=∠由，解得，故选项C 正确；11sin 2211sin 22ACDADB CD AC AC AD CADS S BD AC ABAD BAD∠∠⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ 18CD AC BD AB ==在中，ABD △∵，则3cos 4BAD ∠=sin BAD ∠==∴D 正确.11sin 1622ABD S AD AB BAD ∠=⋅⋅=⨯⨯= 故选：BCD.12．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）ABCDEFGH 2OA =A B ．0OE OG ++= OA OD ⋅=-C ．D ．4AH EH +=4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以所在的直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向,HD BF x y AM HD ⊥量的坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，,HD BF x y 因为正八边形，所以ABCDEFGH AOH HOG AOB EOF FOG∠∠∠∠∠====，DOE COB COD =∠=∠=∠360458==作，则，AM HD ⊥OM AM =因为，所以，2OA =OM AM ==(A同理可得其余各点坐标，，，，，，()0,2B -E (G ()2,0D ()2,0H -对于A ，故A 正确；(0(0OE OG ++=-=对于B 中，，故B 正确；(2(0OA OD ⋅=⨯+⨯=-对于C 中，，，，(2AH =- (2EH =-(4,0)AH EH +=-所以，故C 正确；4AH +=对于D 中，，，，(2AH =- (2GH =-(4AH GH +=-+，故D 不正确.4AH +=- 故选：ABC.三、填空题13．若复数为纯虚数，则=___________.i1i a +-2ia +【分析】由复数除法法则化简后求得，再由复数模的定义求解．a 【详解】为纯虚数，则且，i (i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a a +++-++-+===+--+102a -=102a +≠∴，1a =，2+14．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为______．【答案】216π【分析】运用扇形的弧长公式以及圆锥的侧面积公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面周长为，母线长为，则，c l 2π612πc =⨯=因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，60︒所以，解得，π12π3c l l ==36l =则圆锥的侧面积为，113612π216π22lc =⨯⨯=故答案为：.216π四、双空题15．已知，是单位向量，且，设向量，当时，______；1e 2e 120e e ⋅=12a e e λμ=+ 1λμ==1,a e = 当时，的最小值为______．4λμ+=1a e -【答案】/4π45︒【分析】求出，根据夹角公式可得，将表示为关于的二次函数，求出最小值即可.a1,a e 1a e - λ【详解】当时，，1λμ==12a e e =+222112222a ee e e =+⋅+= ，()1211111cos ,e e e a e a e a e a e +⋅⋅====⨯⨯因为，所以；[]1,0,πa e ∈1π,4a e =当时，，4λμ+=()()()11212114a e e e e e λμλλ-=-+=-+-则，()()222215914222a eλλλ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭ 当时，的最小值为，52λ=1a e - 故答案为：π4五、填空题16．在中，若AC=2，，，点D 为AB 边上的动点，有如下结论：ABC =60B ∠︒45A ∠=︒①不存在点D 使得为等边三角形 ②存在点D 使得BCD △1cos 3CDA ∠=③存在点D使得④存在点D 使得CD =1:BD DC =上述结论中正确的有______【答案】②③【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．【详解】若△BCD 为边长为x 的等边三角形，可得＝解得x 2，sin 45x ︒2sin 60︒满足AC ＞CD ，所以存在点D 使得为等边三角形，则①不正确；BCD △因为cos ∠CDA ＝＜＝cos60°，且0°＜∠CDA ＜180°，1312可得∠CDA ＞B ，所以AB 上存在点D ，则②正确；由＝，BD DC =：：sin sin 60BCD ︒∠BDDC可得，即有∠BCD ＝45°＜∠BCA ＝75°，则③正确；sin BCD ∠=若CD ＝1，在中可得＝，ACD sin 45CD ︒sin ACADC ∠可得sin ∠ADC1，∠ADC 不存在，则④不正确．故答案为：②③．六、解答题17．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm ．(1)求石凳的体积；(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？【答案】(1)3180000cm (2)元(54+【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.【详解】（1）正方体的体积为，3360216000cm =石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，30cm 故一个小正三棱锥的体积为，321130304c 52m 003⨯⨯⨯=故石凳的体积为；321600045008c 180m 000-⨯=（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，则石凳的表面积为，(()22166081080cm 02⨯+⨯︒⨯=元.(5054=+18．角A ，B ，C 对边分别为,向量，，且ABC ,,a b c ()cos cos ,m a B b A abc =+()222,1n a b c =+--．m n ⊥ (1)求角C ；(2)若的周长为外接圆半径为2，求的面积．ABC ABC ABC 【答案】(1)3C π=(2)【分析】（1）运用数量积以及三角函数和差公式，正弦定理，余弦定理求解；（2）运用正弦定理余弦定理求出，再利用面积公式计算.ab 【详解】（1）由得：，由余弦定理知：m n ⊥ ()()222cos cos 0a B b A a b c abc ++--= ，2222cos a b c ab C +-= ，，()2cos cos cos 0ab C a B b A abc ∴+-=()0,0,2cos cos cos 0a b C a B b A c ≠≠∴+-= 由正弦定理得：，即()2cos sin cos sin cos sin 0C A B B A C +-= ，()2cos sin sin 0,2cos sin sin 0C A B C C C C +-=-= ，，；()0,πC ∈ sin 0C ∴≠∴π3C =（2）由正弦定理得，即，2,22sin c R c C =∴=⨯=a b +=由余弦定理得，()2222222cos 312c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-=，12ab ∴=1sin 2ABC S ab C ==即.ABC S = 19．已知点，，，()3,0A ()0,3B ()cos ,sin C x x Rx ∈(1)若，且，求x 的值AC BC = []0,2πx ∈(2)设函数，求的单调递增区间．()f x AC BC=⋅()f x(3)对于（2）中的函数，，求()f x ()1f α=π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin α【答案】(1)或π4x =5π4(2)增区间为()π5π2π,2πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)sin α=【分析】（1）求得，，根据模长坐标公式并化简得到(cos 3,sin )AC x x =- (cos ,sin 3)BC x x =-，结合即可求解；tan 1x =[]0,2πx ∈（2）化简得到，令，即可得到增区间；()π14f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π,Z242k x k k +≤+≤+∈（3）代入可得，由得到，从而得到π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，利用差角正弦公式即可求解.πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 44αα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【详解】（1），，(cos 3,sin )AC x x =- (cos ,sin 3)BC x x =-因为，所以，AC BC=2222(cos 3)sin cos (sin 3)x x x x -+=+-即，即，2222cos 6cos 9sin cos sin 6sin 9x x x x x x -++=+-+cos sin x x =所以，又，所以或.tan 1x =[]0,2πx ∈π4x =5π4（2）22()(cos 3)cos sin (sin 3)cos 3cos sin 3sin fx AC BC x x x x x x x x=⋅=-+-=-+- ，π3(sin cos )114x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭令，ππ3π2π2π,Z 242k x k k +≤+≤+∈解得，π5π2π2π,Z 44k x k k +≤≤+∈所以的单调递增区间为.()f x ()π5π2π,2πZ44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3），π()114f αα⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，所以，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==20．已知函数的部分图像如图所示．，()()πsin 20,0,2f x A x A ϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)将的图像先向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标()y f x =7π2412不变），所得到的图像对应的函数为，若对于恒成立，求实数m 取()y g x =()2g x m -≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值范围．【答案】(1)．()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)0,2m ⎡∈⎣【分析】（1）根据图像求出函数的周期，进而求出ω，再由特殊点以及求出φ，然后由π||2ϕ<A ，从而得出答案；π()4f =（2）利用图像的平移伸缩变换求出，再根据三角函数的性质即可求解.()y g x =【详解】（1）由图像可得：，故，且，解得，3πππ2442T =-=2ππT ω==0ω>2ω=可得，()()sin 2f x A x ϕ=+∵的图像过点，则，()f x 3π,08⎛⎫⎪⎝⎭3π3πsin 2sin 084A A ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，且，则，3πsin 04ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭3ππ5π,444ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴，解得，3ππ4ϕ+=π4ϕ=可得，()sin π24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又∵的图像过点，则，()f x π4⎛ ⎝ππ3πsin 2sin 444A A A ⎛⎫⨯+=== ⎪⎝⎭解得，2A =故.()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图像先向右平移个单位，得到；()y f x =7π247π24ππ2sin 22sin 243y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，12π2sin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故，()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，则，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴，可得，πsin 44x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦()2g x ⎡⎤∈⎣⎦故在上的最大值为2，最小值为()y g x =π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为对于恒成立，所以,可得恒成()2g x m -≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22m g x m ≤≤+-()()22m g xg x -≤≤+立,,可得.()()max min 22m g x g x -≤≤+02m ≤≤0,2m ⎡∈⎣21．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站AB ，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得50m AB = 1.5m 基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶场A 的仰角为45°.(1)求出山高BE （结果保留一位小数）；(2)如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为，观测基m MD x =α站顶端A 的仰角为.试问当x 多大时，观测基站的视角最大？βAMB ∠参考数据：，，，.sin 80.14︒≈sin 370.6︒≈sin 450.7︒≈sin1270.8︒≈【答案】(1)151.5m(2)x =【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；ABC BC Rt BCD BD （2）易得，分别在在和在中，求出，再根据π02AMB βα∠=<-<Rt BMD △Rt AMD △tan ,tan αβ两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调tan AMB ∠x 性即可得解.【详解】（1）由题意可知，，37,45,8,45BCD ACD ACB A ∠=︒∠=︒∠=︒=︒在中，，ABC sin sin AB BCACB A =∠所以，250BC =≈在中，，Rt BCD sin 2500.6150BD BC BCD =⋅∠≈⨯=所以出山高；150 1.5151.5m BE =+=（2）由题意知，且，,AMD BMD βα∠=∠=π02αβ<<<则，π02βα<-<在中，，Rt BMD △150tan BD MD x α==在中，，Rt AMD △200tan AD MD x β==则()200150tan tan tan tan 2001501tan tan 1x x AMB x x βαβαβα--∠=-==++⋅，250503000030000x x x x ==≤=++当且仅当，即30000x x =x =所以取得最大值时，tan AMB ∠x =又因为，所以此时最大，π02AMB <∠<AMB ∠所以当时，最大.x =AMB ∠22．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，请在；②ABC cos sin C c B =；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．()()()c a c a b b a +-=-sin cos 2sin sin cos C CB A A =-(1)求角C 的大小；(2)若b =2，当取最大值时，求外接圆半径和内切圆半径的乘积的值；πsin cos 6B A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ABC (3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．ABCa =ABC 【答案】(1)条件选择见解析，π3C=(2))21-(3)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得的大小.C （2）先求得，然后求得外接圆半径和内切圆半径，进而求得正确答案.,a c ABC（3）先求得的取值范围，然后根据三角形的面积公式求得面积的取值范围．b ABC 【详解】（1）若选，cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =由于，0π,sin 0B B <<>sin C C =所以，则为锐角，且.tan 0C =>C π3C =若选②，()()()c a c a b b a +-=-整理得，则，222a b c ab +-=2221cos 022a b c C ab +-==>则为锐角，且.C π3C =若选③，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-则，sin cos 2sin cos sin cos C A B C A C =-，()sin cos sin cos sin sin 2sin cos A C C A A C B B C+=+==由于，所以，0π,sin 0B B <<>1cos 02C =>则为锐角，且.C π3C =（2）由（1）得，π3C =()ππsin cos sin cos 66B A A C A ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos 36A A ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22A A A A A =+=由于，所以当时取得最大值为，2π03A <<π2A =πsin cos 6B A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1此时，，则π6B =2b =4,a c ==所以外接圆半径为，ABC 122a=设内切圆半径为，ABCr 则，解得，(1122422r⨯⨯=⨯++⨯1r =所以外接圆半径和内切圆半径的乘积为.ABC )21（3）由（1）得，π3C =由正弦定理得，sin 3sin tan a B b A A ===+由于三角形是锐角三角形，所以，所以，ABC π02ππ32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩ππ62A<<所以，所以tan >A 130tan tan A A <<<<3tan A <<所以.113sin 222ABC S ab C b b ==⨯=∈。

山东省临沂市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

山东省临沂市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知1sin cos 5αα-=，则sin2α=（）A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-2．()cos 435-︒=（）A B C D 3．若复数z 满足()1i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A ．1i 2B ．1i 2-C ．12D ．12-4．向量()()1,2,1,3a b =-=-r r，则()()3a b a b -⋅+=r r r r （） A ．19 B ．18 C ．17 D ．165．ABC V 的三个内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量()(),,,p a c c b q c a b =++=-r ．若p q ⊥r r，则角A 的大小为（）A ．2π3 B ．π2C ．π3D ．π66．已知ABC V 中，3,4,5AB AC BC ===，点O 为ABC V 的内心，则CO =u u u r（）A ．2134AB AC -u u u r u u u r B ．1334AB AC -u u ur u u u r C ．2134AB AC +u u ur u u u r D ．1334AB AC +u u ur u u u r7．某远洋运输船在海面上航行至海上A 处，测得小岛上灯塔顶端P 位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至B 处，测得灯塔顶端P 的仰角为30°，则该灯塔顶端P 高于海面（）A ．50米B ．100米C ．D ．100 3米8．已知函数()π3cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象关于直线π3x =对称，且关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ω的值可能是（） A ．7B ．9C ．11D ．13二、多选题9．已知复数12z =-（其中i 为虚数单位），则（） A ．31z =- B ．2z z = C ．1z z=D ．210z z +-=10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列命题中为真命题的是（）A ．若cos cos sin b C cB a A +=，则ABC V 为直角三角形 B ．若cos cos A B >，则sin sin A B < C ．若222a b c +>，则ABC V 为锐角三角形D ．若2sin 22A c b c-=，则ABC V 为直角三角形 11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则关于函数()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 的解析式为π()sin(2)3f x x =+B ．()f x 的图象关于直线π6x =对称 C ．()f x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．将sin2y x =的图象向左平移2π3个单位长度可以得到函数()f x 的图象12．已知函数()sin cos f x x x =+，则（）A ．()f x 的周期是π2B ．()f x 的值域是⎡⎣C ．若()f x 在区间π,8t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则t 的取值范围是ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦D ．若方程()f x a =在区间ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则()()123323x x x f x ++的取值范围是π4⎛⎝⎭三、填空题13．已知平面向量,a b rr 满足(),2,1,4a b a a b ⊥=+=r r r r r ，则b =r ．14．若复数()()22643i z m m m m =+-+-+（其中i 为虚数单位），当z 对应的点在第三象限时，则实数m 的取值范围为．15．如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域AOB ，两个凉亭分别座落在点A 及点C 处，花园里有一条平行于BO 的小路CD ；已知某人从凉亭A 沿小路AD 走到点D 用了3分钟，从点D 沿DC 走到凉亭C 用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径OA 的长为米（精确到1米）．16．在ABC V 中，已知3,2,AB AC BAC ==∠的角平分线2AD =，则BAC ∠的正弦值为．四、解答题17．已知向量()()()2,3,1,2,a b c ka b k ===+∈R r rr r r ． (1)若向量c r 与3a b -r r 共线，求实数k 的值；(2)若向量c r与a r的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．18．已知复数()()()2121,2sin 4sin cos i 0,2z a a i a z πθλθθθ⎛⎫⎡⎤=+-∈=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭R ，其中i 为虚数单位，并且12z z =，求实数λ的取值范围．19．已知向量,a b rr 满足()()3,6,54281a b a b a b ==-⋅+=-r r r r r r ．(1)求向量a r与b r的夹角；(2)若向量a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．20．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 2sin A B =，2a b c +=． (1)求()sin 2A B -的值；(2)若4a =，求ABC V 的面积．21．已知在锐角ABC V 中，三边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且s i n s i n s i n s i n a A c C b B a C +=+(1)求角B 的值；(2)若2b =，求ABC V 的周长l 的取值范围．22．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭的定义域为R ，若函数()f x 在区间[]π,8π上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当32x π=时函数()f x 取得最大值为2；当13π2x =时函数()f x 取得最小值为2-． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的12得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到函数ℎ x ，已知函数()()e lg h x y g x =-的最小值为e −1，求满足条件的θ的最小值；(3)是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ≤？若存在，求出实数m 的范围（或值），若不存在，请说明理由．。

江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知向量()3,4a =-r ，则与a r方向相反的单位向量的坐标为（）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．若角α的终边经过点(2,1)P -，则cos()2πα+的值为（）A ．BC ．D 3．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c o s 3s i n b A a B =，则t a n A =（）A ．3B ．13C D4．在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD AB ⊥，AD =，则BC AD ⋅=u u u r u u u r （） A ．1-B ．1C ．12D ．12-5．将函数πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()πsin 22y x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象，则ϕ=（）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-6．在ABC V 中，点D 为边BC 的中点，点E 在边AC 上，且3EC AE =u u u r u u u r ，则ED =u u u r（）A ．3124AB AC +u u u r u u u r B ．3122AB AC +uuu r uuu r C ．1126AB AC +u u u r u u u r D ．1124AB AC +u u ur u u u r7．在ABC V 中，点D 为边AB 的中点，CD =π3C =，则AB 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D 8．函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围为（） A ．713,46⎛⎤⎥⎝⎦B ．132,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．132,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．在ABC V 中，若AB >，则sin2sin2A B >B ．在ABC V 中，若2b =，30A =o ，且该三角形有两解，则a 的取值范围为()1,2 C ．若向量()3,4a =r ，()2,1b =r ，则a r 在b r方向上的投影向量的坐标为()4,2D ．若扇形的周长是10cm ，面积是26cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为3三、单选题10．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，π3A =，则ABC V 的面积可能为（）A ．1BC D ．2四、多选题11．函数()()cos sin sin f x x x =-，下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 B ．()f x 的一个周期为2πC ．函数()y f x =的图象与直线y t =（t 为常数）在区间3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不可能存在3个交点D ．()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增五、单选题12．如图，A ，B 两地之间隔了一个湖，在与A ，B 同一平面内取一点C ，测得5km CA =，3km CB =，60C =o ，则A ，B 两地之间的距离为km .六、填空题13．已知函数()()π2cos 03,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-<<<< ⎪⎝⎭与y 轴交点的纵坐标为1，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是（填“奇”或“偶”）函数；当()0f x =时，tan x =.14．点G 是ABC V 的重心，点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且满足AG xAM yAN =+u u u r u u u u r u u u r，其中1x y +=.若AM AB λ=u u u u ru u u r，AMN V 与ABC V 的面积之比是920，则λ=.七、解答题15．在①2sin cos 5αα=-，②sin α=答.已知角3π7π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且________.(1)求tan α的值；(2)求()()()()()3πsin cos πtan π2cos 2πsin πtan αααααα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭---的值. 16．已知a v ，b v ，c v是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =v . （1）若c =v //c a v v ，求c v 的坐标；（2）若()1,1b =v ，a v 与a b λ+v v 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.17．如图，在ABC V 中，8AB =，5AC =， π3A =.(1)求sin ACB ∠的值；(2)设D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，记AD x =，DE y =，z xy =，若ADE V 的面积总保持是ABC V 面积的一半，求z 的最小值.18．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A （视为质点）的初始位置0P 到水面的距离为7米.(1)盛水筒A 经过t 秒后到水面的距离为h 米，求筒车转动一周的过程中，h 关于t 的函数解析式；(2)为了把水引到高处，在筒车中心O 正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A 转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：2πsin5≈） 19．定义域为R 的函数()h x 满足：对任意R x ∈，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称()h x 具有性质P .(1)分别判断以下两个函数是否具有性质P ：()21m x x =-和()1cos n x x =-；(2)函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在实数ω，ϕ，使()f x 具有性质P 若存在，求出ω，ϕ的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）结论下，若方程π24f x a ωϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间π7π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有三个实数根1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求()321sin 2x x x --的值.。