求解TSP算法
tsp问题的memetic求解算法
tsp问题的memetic求解算法TSP问题是一种经典的组合优化问题，它的目标是在给定的一组城市之间找到最短的路径，使得每个城市仅被访问一次，并且最后回到起始城市。
由于其NP困难性质，寻找精确的解通常是不切实际的。
因此，研究者们开发了各种启发式算法来解决TSP问题，其中之一就是memetic算法。
Memetic算法是一种集成了进化算法和局部的元启发式优化算法。
它的基本思想是通过遗传算法来生成初始解，然后再通过局部来优化这些解。
这种集成的方式使得memetic算法能够在全局和局部之间进行，从而更好地探索解空间。
下面将介绍memetic算法在TSP问题上的求解过程：1.初始解生成：使用遗传算法生成初始解种群。
初始解可以采用随机生成或者启发式算法生成。
初始解种群的大小可以根据问题规模和算法性能进行调整。
2.适应度评估：计算每个个体的适应度。
对于TSP问题，适应度可以定义为路径长度的倒数，即适应度越大越好。
3.选择操作：使用适应度来选择下一代的个体。
这里可以使用标准的选择算法，如轮盘赌选择或者锦标赛选择。
4.交叉操作：通过交叉操作来生成新的个体。
在TSP问题中，可以采用顺序交叉或者部分匹配交叉等方式来进行。
5.变异操作：对新生成的个体进行变异操作，以增加的多样性。
变异操作可以随机选择两个基因进行交换，或者采用更复杂的方式进行。
6. 局部：对生成的个体进行局部，以进一步优化解的质量。
常用的局部算法包括2-opt和3-opt等。
7.更新解种群：将生成的个体与原有种群进行合并，并根据适应度重新选择下一代的个体。
8.终止条件判断：根据设定的终止条件，判断是否终止算法。
终止条件可以是达到最大迭代次数，或者找到一个满意的解等。
在memetic算法中，遗传算法和局部相互协作，通过迭代的方式不断改进解的质量。
遗传算法通过交叉和变异操作来生成新的解，而局部则通过优化操作来局部改善解的质量。
这种集成的方式使得memetic算法能够在全局和局部之间进行，从而更好地探索解空间。
实验六：遗传算法求解TSP问题实验2篇
实验六：遗传算法求解TSP问题实验2篇第一篇：遗传算法的原理与实现1. 引言旅行商问题（TSP问题）是一个典型的组合优化问题，它要求在给定一组城市和每对城市之间的距离后，找到一条路径，使得旅行商能够在所有城市中恰好访问一次并回到起点，并且总旅行距离最短。
遗传算法作为一种生物启发式算法，在解决TSP问题中具有一定的优势。
本实验将运用遗传算法求解TSP问题，以此来探讨和研究遗传算法在优化问题上的应用。
2. 遗传算法的基本原理遗传算法是模拟自然界生物进化过程的一种优化算法。
其基本原理可以概括为：选择、交叉和变异。
（1）选择：根据问题的目标函数，以适应度函数来评估个体的优劣程度，并按照适应度值进行选择，优秀的个体被保留下来用于下一代。
（2）交叉：从选出的个体中随机选择两个个体，进行基因的交换，以产生新的个体。
交叉算子的选择及实现方式会对算法效果产生很大的影响。
（3）变异：对新生成的个体进行基因的变异操作，以保证算法的搜索能够足够广泛、全面。
通过选择、交叉和变异操作，不断迭代生成新一代的个体，遗传算法能够逐步优化解，并最终找到问题的全局最优解。
3. 实验设计与实施（1）问题定义：给定一组城市和每对城市之间的距离数据，要求找到一条路径，访问所有城市一次并回到起点，使得旅行距离最短。
（2）数据集准备：选择适当规模的城市数据集，包括城市坐标和每对城市之间的距离，用于验证遗传算法的性能。
（3）遗传算法的实现：根据遗传算法的基本原理，设计相应的选择、交叉和变异操作，确定适应度函数的定义，以及选择和优化参数的设置。
（4）实验流程：a. 初始化种群：随机生成初始种群，每个个体表示一种解（路径）。
b. 计算适应度：根据适应度函数，计算每个个体的适应度值。
c. 选择操作：根据适应度值选择一定数量的个体，作为下一代的父代。
d. 交叉操作：对父代进行交叉操作，生成新的个体。
e. 变异操作：对新生成的个体进行变异操作，以增加搜索的多样性。
tsp问题的memetic求解算法
tsp问题的memetic求解算法TSP问题是指旅行商问题（Traveling Salesman Problem），是一个已知的NP-hard问题。
在TSP问题中，一个旅行商要在一系列城市之间旅行，每个城市之间的距离已知，旅行商需要找到最短的路线，使得每个城市都恰好被访问一次，最后回到起点城市。
Memetic算法是一种将遗传算法（Genetic Algorithm）与局部（Local Search）相结合的元型算法，用于求解最优化问题。
在TSP问题的求解中，Memetic算法可以优化基于遗传算法的随机过程，并通过加入局部操作来进一步提高算法的效率和准确性。
Memetic算法的基本流程如下：1.初始化种群：创建一个初始的候选解集合，每个候选解表示为一个路径序列，通过随机生成一定数量的路径来构建初始种群。
2.遗传算法的操作：通过选择、交叉和变异等操作，生成新的候选解集合。
选择使用适应度函数来评估每个候选解的适应度，并根据适应度进行选择操作。
交叉和变异操作用于生成新的候选解。
3. 局部操作：对每个候选解应用局部操作，以进一步优化候选解。
局部算法可以是简单的2-opt、3-opt等操作，也可以是更复杂的局部算法，如Lin-Kernighan算法等。
4.评估和选择：对新生成的候选解进行评估，并根据适应度函数进行选择操作，保留适应度较高的候选解。
5.终止条件：当满足终止条件时，停止算法，并返回最优解。
Memetic算法的关键之处在于局部操作的设计，局部操作可以根据特定问题的特点进行优化。
对于TSP问题，局部操作可以通过交换两个城市的位置来改进解的质量，以逼近最优解。
通过将遗传算法和局部相结合，Memetic算法能够综合利用全局和局部的优势，减少遗传算法收敛速度慢的问题，并提高算法的求解效率和准确性。
它能够通过遗传算法的全局发现更好的解空间，并通过局部来优化这些候选解，以获得更接近最优解的解。
总结起来，Memetic算法是一种使用遗传算法和局部相结合的元启发式算法，用于求解TSP问题。
tsp问题的memetic求解算法
tsp问题的memetic求解算法旅行商问题（TSP）是组合优化中一个经典的问题，目标是找到一条最短路径，使得旅行商能够访问所有给定的城市并最终返回起始城市。
然而，由于TSP属于NP-hard问题，其求解过程需要考虑到空间的复杂性。
为了解决TSP问题，研究者提出了许多不同的方法，包括启发式算法、元启发式算法、进化算法等。
其中，Memetic算法是一种结合了进化算法和局部的元启发式算法，已被广泛应用于TSP问题的求解上。
Memetic算法的核心思想是通过结合全局和局部来提高求解效果。
一般来说，Memetic算法由以下几个步骤组成：1.初始化种群：根据问题的特点和规模，初始化一个包含多个个体（路径）的种群。
一般常用的初始化方法是随机生成初始路径。
2.进化运算：通过遗传操作（选择、交叉和变异）来改进种群的适应度。
在选择过程中，个体的适应度越高，被选中的概率越大。
在交叉过程中，通过交换两个个体的部分基因片段来产生新的个体。
在变异过程中，通过随机地改变个体的一些基因来增加种群的多样性。
3. 局部：对每个个体进行局部来进一步提高路径的质量。
局部可以采用一些经典的优化算法，如2-opt、3-opt等。
4.终止条件：通过设定迭代次数或者种群适应度的阈值来确定终止条件。
一般来说，当算法达到指定的迭代次数或者种群适应度不再显著改变时，算法停止运行。
Memetic算法的优势在于它能够综合利用进化算法的全局和局部的剪枝能力。
全局可以探索整个解空间，寻找更好的路径；而局部可以在个体的局部邻域内寻找更优解，从而改善路径质量。
通过这种协同作用，Memetic算法能够在较短的时间内找到较优的解。
然而，Memetic算法也存在一些问题。
首先，如何选择适当的局部算法是一个挑战。
不同的问题可能需要不同的局部算法才能发挥最佳效果。
其次，算法性能对参数设置敏感，包括种群大小、交叉概率、变异概率等。
因此，需要通过试验和优化来找到最佳参数组合。
一些解决TSP问题的算法及源代码
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当
前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法
决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
(3)产生新解S′
(4)计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5)若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
代价函数差设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un),则代价函数差为：
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。
事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则:若Δt′<0则接受S′作
为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
% coordinates given by LOC, which is an M by 2 matrix and M is
TSP问题的求解
（1）优点：算法稳定，易得标准值 （2）缺点：针对 TSP 问题，需要先计算出第 i 个城市到其余城市的距离， 当城市数目较多时计算复杂。
关键词：TSP 问题 模拟退火算法 线性规划 遗传算法
一、问题重述
1.1 引言 TSP 是典型的组合优化问题, 并且是一个 NP-hard 问题，TSP 简单描述为:
一名商人欲到 n 个不同的城市去推销商品, 每 2 个城市 i 和 j 之间的距离为 d ij , 如何选择一条路径使得商人每个城市走一遍后回到起点, 所走的路径最短。用数 学符号表示为:设 n 维向量 s =(c1 , c2 , …, cn )表示一条路经, 目标函数为:min
小可以不断变化。在该题中，取温度的衰减系数α=0.9，其中固定温度下最大迭 代次数为：100 次，固定温度下目标函数值允许的最大连续未改进次数为 5 次， 即当算法搜索到的最优值连续若干步保持不变时停止迭代。
④最短路径的确定
借助 Matlab 通过模拟退火算法得出最短路径为：27—26—25—24—15— 14—8—7—11—10—21—20—19—18—9—3—2—1—6—5—4—13—12—30—23 —22—17—16—29—28—27，最短路径图如下图 1
图1 最短距离为：423.7406
（2）法二：遗传算法 优化过程如下图 2 所示：
图2 初始种群中的一个随机值（初始路径）:
22—6—3—16—11—30—7—28—17—14—8—5—29—21—25—27—26—19 —15—1—23—2—4—18—24—13—9—20—10—12—22
改进的遗传算法求解TSP问题_4_1遗传算法求解TSP问题的基本方法_34_38
4 遗传算法求解TSP 问题4.1 遗传算法求解TSP 问题的基本方法4.1.1 编码用遗传算法求解TSP 问题时，TSP 的编码策略主要包括： ① 二进制表示二进制编码将TSP 问题的解空间映射到{0,1}l l B =上，然后在位串空间上进行遗传操作。
由于二进制表示不自然且需要额外的修正算子以保证个体的合法性，在实际中很少应用。
② 近邻表示近邻表示将路径表示为n 个城市的一个排列，且在第i 位城市为j 当且仅当路径中从i 所到达的下一个城市为j 。
例如，排列 （2 4 8 3 9 7 1 5 6） 表示路径: 1-2-4-3-8-5-9-6-7.显然，每一条路径都唯一对应一个近邻表示，然而，任一近邻排列却不一定都对应于合法路径，如近邻排列：（2 4 8 1 9 3 5 7 6）却导致不完全回路1-2-4-1。
③ 次序表示次序表示仍将路径表示成n 个城市的一个排列。
其表示方法为：先取城市集合C 的排列顺序C=(1 2 3 4 5 6 7 8 9)作为次序排列的一个参照点，然后按路径中城市处在C 的位置确定表示串中的点，且每确定一个则从C 中删除相应的城市。
例如，路径 1-2-4-3-8-5-9-6-7其次序表示为(1 1 2 1 4 1 3 1 1).次序表示的主要优点是可以使用传统的交叉算子。
即以次序表示的任两条路径，从某点截断后交换相应的子串所得到的两个后代仍是合法路径。
④ 路径表示路径表示是TSP 的自然、直观的表示方式。
它直接采用城市在路径中的相当位置来进行表示。
例如，路径：5-1-7-8-6-2-9-3-4直接表示成（5 1 7 8 6 2 9 3 4）人们对路径表示的编码策略的TSP 问题的交叉算子进行了大量研究，本文的研究也主要建立在路径表示的基础上。
⑤ 矩阵表示Fox 和 McMahon 等提出了旅程的矩阵表示方法，将一个旅程定义为一个优先权布尔矩阵M,当且仅当城市i 排在城市j 之前时矩阵元素1ij m =。
TSP的几种求解方法及其优缺点
v1.0 可编辑可修改TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。
由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。
本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。
由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。
枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。
2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。
直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。
最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。
3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。
插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。
插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。
缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。
4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。
在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。
遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。
缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。
5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。
在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。
动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。
缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。
以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V 为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，i，j=1，2，3，，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，，t i，，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种典型的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的研究意义和应用价值。
TSP常用来描述一个旅行商在给定的一系列城市之间寻找最短路径的问题，即如何选择最短路径经过所有城市并回到起始城市。
针对TSP问题，有多种求解方法可供选择，下面将介绍一些常用的方法及其优缺点。
1.穷举法穷举法是一种非常简单和直观的方法，它会列举出所有可能路径并计算它们的总长度，然后从中选择最短的路径作为最优解。
穷举法的优点是能够保证找到最优解，但当城市数量较多时，计算量呈指数级增长，很难在合理的时间内得到结果。
2.贪婪算法贪婪算法是一种基于局部最优策略的求解方法。
它从一些城市出发，在每一步选择离当前城市最近的未访问过的城市作为下一步访问的城市，直到所有城市都访问过并回到起始城市。
贪婪算法的优点是简单、易于实现，计算速度较快。
然而，贪婪算法并不能保证得到最优解，可能会陷入局部最优解。
3.动态规划动态规划是一种通过将原问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题的方法。
对于TSP问题，可以使用动态规划求解。
动态规划的优点是能够在较短的时间内找到最优解，但由于需要存储大量的中间结果，空间复杂度较高。
4.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法。
它通过对候选解进行遗传操作（交叉、变异等），然后根据适应度函数来评估和选择较好的解进行下一轮进化，直到满足停止条件为止。
遗传算法的优点是适用于大规模问题，能够得到较优解，但其需要调整一些参数，并且收敛速度较慢。
5. Lin-Kernighan启发式算法Lin-Kernighan启发式算法是一种基于局部优化的TSP求解方法。
它采用迭代的方式，在每一步通过反转局部路径来优化当前解，直到达到停止条件。
Lin-Kernighan算法的优点是计算速度较快，对于大规模问题也有较好的效果。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点⼀、什么是TSP问题旅⾏商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定⼀条经过各城市当且仅当⼀次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定⼀条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当⼀次的最短距离。
旅⾏商问题可分为如下两类：1）对称旅⾏商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）⾮对称旅⾏商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
⾮对称旅⾏商问题较难求解，我们⼀般是探讨对称旅⾏商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的⼀个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅⾏商问题的数学模型为：minL=。
TSP是⼀个典型的组合优化问题，并且是⼀个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接⽐较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极⾼的实际应⽤价值。
⼆、主要求解⽅法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插⼊、最远插⼊、最近添加、贪婪插⼊等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为⽌已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退⽕算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经⽹络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1 模拟退⽕算法⽅法1）编码选择：采⽤描述TSP解的最常⽤的⼀种策略——路径编码。
2）SA状态产⽣函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产⽣函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插⼊操作（INS）。
求解TSP问题算法综述
求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。
该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。
本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。
接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。
然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。
本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。
我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。
我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。
本节将对一些代表性的经典算法进行综述。
暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。
其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。
虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。
动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。
对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。
然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（TSP）是一个组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够访问一系列城市并返回起始点。
TSP由于其复杂性而被广泛研究，已经发展出了许多求解方法。
本文将讨论几种主要的TSP求解方法，包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法，并分析它们的优缺点。
1.贪婪算法贪婪算法是一种基于贪心策略的求解方法。
它从一个起始城市开始，每次选择距离当前城市最近的未被访问过的城市作为下一步的目标城市，直到所有的城市都被访问过。
贪婪算法的优点是简单易于理解和实现，并且在处理小规模问题时效果显著。
然而，贪婪算法没有考虑全局最优解，很容易陷入局部最优解，不能保证找到最优解。
2.局部算法局部算法是一类启发式算法，它通过不断优化当前解来逐步接近最优解。
其中最典型的是2-opt算法，它通过交换路径中的两个顶点位置来改进解的质量。
局部算法的优点是可以找到局部最优解，且计算时间较短。
然而，局部算法容易陷入局部最优解，而且计算开销随问题规模增加而增加，且不能保证找到全局最优解。
3.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的随机算法。
它通过模拟遗传、交叉和变异等基因操作来生成和改进解。
遗传算法的优点是可以处理大规模问题，且不容易陷入局部最优解。
同时，遗传算法能够在空间中探索多个解，提高解的多样性。
然而，遗传算法的计算开销相对较高，需要大量的迭代和种群更新。
此外，遗传算法的性能与参数设置相关，需要进行调整。
4.蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法。
它通过模拟蚂蚁在路径上释放信息素的过程，来引导蚂蚁选择路径。
蚁群算法的优点是能够找到较好的解并具有一定的自适应性。
它适用于处理大规模问题，且能够处理问题中的不确定性。
然而，蚁群算法的计算开销较高，并且参数设置对结果影响较大。
综上所述，TSP的求解方法包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法等。
每种方法都有自己的优点和缺点。
选择适合问题规模、问题特征和求解时间的方法是关键。
贪心算法求解TSP(旅行商问题)
•特殊说明： •程序在访问最后一个节点钱 ，所访问的行中至少有1个允许访问的节 点 ，依次访问这些节点找到最小即可： 在访问最后一个节点后 ，再 次访问 ，会返回k=0， 即实现了访问源节点。所以，各个节点都被访 问 ，且访问路径为一简单回路。
•实例演示：
•例题：
•以4个节点为例 ，演示算法运行过程（以100表示无大）： •输入连接矩阵：
•主函数代码：
•程序实现：
•程序实现：
•求最短距离函数代码：
Thank you !
•核心算法说明：
•1） 输入节点数n和连接矩阵a •2） 定义行 、列允许矩阵row[n]= {1, …, 1} 、row[n]= {1, …, 1} •3） 赋初值： s=0, i=0 •4）While row[i]= 1
•5） j=0,m=a[i][0],k=0 •6） 找到第一个允许访问的节点a[i][j] •7） 寻找a[i][j~n- 1]中的最小元素
贪心算法求解(TSP) 旅行商问题
-
•问题描述
1 •旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP） ：
有一个推销员 ，要到n个城市推销商品 ，他要找出一个 包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
•例如给定一个城市和城市间的距离集合 ，求经过所有 城市恰好一次的最短回路， •即；给定图G= (V，E，W)，其中V为顶点集合， |V|=n， E为边集合 ，W为边权函数 ，求集合{1,2 ， …n}的一个排 列使得下式最小。
•最优子结构性质(n>=2)：
•设sn是此问题的最优解 ，那么可以把它分解为
sn=s2+sn- 1 ;
•假设存在s ’n-1为n- 1规模是的最优解 ，则
tsp问题总结归纳
tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。
本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。
一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。
该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。
在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。
二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。
然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。
2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。
动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。
3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。
遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。
三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。
通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。
结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。
穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。
TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。
通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。
求解tsp问题的离散型差分进化算法
离散型差分进化算法（不等式限制的离散型差分进化，简称DE），是一种以模拟生物进化过程（演化过程）的方法来解决最优化问题，由马克萨特提出，在1997年9月，卡马克集体提出，是一种高效进化算法，经过近20年的发展，已经成为一个重要的智能优化算法。
这种算法不用设置固定的可行性条件，搜索有效的解决方案，在优化问题中有着非常重要的应用价值。
DE算法是一种具有自适应的动态搜索优化算法，可以有效地解决离散约束问题，用于求解TSP问题，使用其专业术语可以分解为距离进化算法。
该算法将搜索域分解成有限的许多个团（组），为每个团构建由多个染色体组成的种群，并以此生成新的染色体组成种群，从而实现最优值的搜索。
首先，根据题目求出所有节点间的距离存储在二维矩阵中，然后在已知距离的基础上构建由多个染色体组成的团，每个染色体（组）表示一个解决方案，这里每条染色体由起点和终点构成，每一次运行DE算法都会生成一组新的染色体，新的染色体将根据最优游走路径替换原先旧的染色体，从而实现优化。
对生成的新组进行检验，计算其适应度，然后从各种新生成的组中挑选出优势最大的，将其作为最优路径输出，循环此过程若干次，可以使得求出更优的路径。
总体来说，DE算法能够更有效、简单地求解TSP问题，并且在大规模离散约束时保证搜索性能稳定可靠。
在该算法的应用中，给定初始的最优解，其最终的最优解可以不断变得更优，这使得DE算法在解决复杂TSP问题上拥有更大的优势。
因此，DE算法可以成为一种有效的求解TSP问题的智能优化算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ＴＳＰ 的 传 统 优 化 算 法 主 要 有 ６ 种 ， 归 纳 为 两 类 ： 最 优 解 算 法、近似方法， 其中分支定界法属于最优解算法， 其他算法属于 启发性算法。
２．１ 分支定界法
分支定界法的算法步骤为： 步骤 １ 首先将边权由小至大排序， 初始界 ｄ０←∞； 步骤 ２ 在边权序列中依次选边进行深探， 直至选取 ｎ 条 边 ， 判 断 是 否 构 成 Ｈ 回 路（ 每 个 结 点 标 号 只 出 现 ２ 次 ， 且 这 些 边只构成一个回路） ， 若是， ｄ０←ｄ（ ｓ１） ， 结束； 步 骤 ３ （ 继 续 深 探） 依 次 删 除 当 前 ｓｉ 中 的 最 长 边 ， 加 入 后 面 第 一 条 待 选 边 ， 进 行 探 探 ， 如 果 它 是 Ｈ 回 路 且 ｄ（ ｓｉ） ＜ｄ０， 则 ｄ０←ｄ（ ｓｉ） 作为界； 步骤 ４ （ 退栈过程） 不能再深探时需要退栈。如果栈空， 结 束 ， 其 最 佳 值 为 ｄ０。否 则 如 果 新 分 支 ｄ（ ｓｉ） ≥ｄ０， 继 续 退 栈 ； 若 ｄ（ ｓｉ） ＜ｄ０， 转步骤 ３。 由于对边权进行了排序， 因此每删去一条短边， 增加一条 长边， 其总和是非减的。即该结点以下分支的各种状态的值都 不 会 小 于 该 点 的 值 。同 时 由 于 一 切 合 理 的 与 不 合 理 的 解 都 大 于 等于 ｄ０， 因此 ｄ０ 必为最优解。从以上分析看， 这 种 搜 索 过 程 是 在不断地构造分支与确定界值。一旦确定了界值， 则对大于等 于界值的分支不再搜索， 而最后的界值就是问题的最佳解。分 支定界法比枚举法优越得多， 但是在最坏情况下， 其计算复杂 度为 Ｏ（ ｎ２２ｎ） 。
ＺＨＯＵ Ｋａｎｇ， ＱＩＡＮＧ Ｘｉａｏ－ ｌｉ， ＴＯＮＧ Ｘｉａｏ－ ｊｕｎ， ｅｔ ａｌ．Ａｌｇｏｒ ｉｔｈｍ ｏｆ ＴＳＰ ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ ｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００７， ４３ （ ２９） ： ４３－ ４７．
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： ＴＳＰ ｉｓ ｂｒｏｕｇｈｔ ｆｏｒｗａｒｄ ａｎｄ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ ｓｈｏｒｔｅｓｔ ｃｌｏｓｅｄ Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｌｏｏｐ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｎ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ＴＳＰ ｉｓ ｉｎｄｒｏｄｕｃｅｄ．Ｏｎｅ ｉｓ ｔｒａｄｉｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｂｒａｎｃｈ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ ｍｅｔｈｏｄ， ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｌｏｏｐ ｍｅｔｈｏｄ， ｃｕｐｉｄｉｔｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ＭＳＴ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ＭＭ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｎｏｔｈｅｒ ｉｓ ｍｏｄｅｒｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｉｍｍｕｎｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ａｎｔ ｃｏｌｏｎｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， Ｔａｂｕ Ｓｅａｒｃｈ， Ｈｏｐｆｉｅｌｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ＤＮＡ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｂｙ ａｕｔｈｏｒｓ．Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ＤＮＡ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ａｎｄ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｓａｌｅｓｍａｎ ｐｒｏｂｌｅｍ； ｔｒａｄｉｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； ｍｏｄｅｒｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； ＤＮＡ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
摘 要： 首先提出旅行商问题（ ＴＳＰ） ， 并将其转化为最短有向图哈密尔顿回路问题， 然后介绍了三种类型的求解 ＴＳＰ 的算法。第一 种为传统算法， 包括分支定界法、改良回路法、贪婪算法、ＭＳＴ 算法、ＭＭ 算法、插入法等； 第二种为现代优化算法， 包括模拟退火算 法、人工免疫算法、遗传算法、蚁群算法、粒子群优化算法、禁忌搜索算法、Ｈｏｐｆｉｅｌｄ 神经网络算法等； 第三种为论文提出的 ＤＮＡ 计 算 算 法 。 并 对 这 些 算 法 的 复 杂 度 、误 差 范 围 以 及 优 劣 点 进 行 了 分 析 。 关键词： ＴＳＰ； 传统算法； 现代优化算法； ＤＮＡ 计算 文章编号： １００２－ ８３３１（ ２００７） ２９－ ００４３－ ０５ 文献标识码： Ａ 中图分类号： ＴＰ３０１．６
作者简介： 周康（ １９６５－ ） ， 男， 副教授， 博士生， 从事 ＤＮＡ 计算、运筹学、系统稳定性。
４４ ２００７， ４３（ ２９）
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机工程与应用
权无向图满足三角不等式， 即两边长度之和大于等于第三边 时， 最佳哈密尔顿回路就是图 Ｇ 旅行推销员问题的最佳解。由 于对任何一个正权无向图 ， 用 点 ｖｉ 到 点 ｖｊ 的 最 短 路 径 的 权 替 换权 ｗｉｊ， 则图就满足三角不等式了。因此， ＴＳＰ 转化为满足三角 不 等 式 的 ｎ 阶 完 全 正 权 无 向 图 Ｇ＝（ Ｖ， Ｅ， Ｗ） 的 最 佳 哈 密 尔 顿 回路问题。ＴＳＰ 难度大的原因：（ １） 判断 Ｇ 是否是哈密尔顿图， 目前既无有效算法， 也不知道这样的有效算法是否存在。在不 知道 Ｇ 是否为哈密尔顿图的情况下去寻找 Ｇ 的哈密尔顿回路 自然是非常盲目的。（ ２） 即使 己 知 Ｇ 是 一 个 哈 密 尔 顿 图 ， 要 求 出它的一个哈密尔顿回路， 至今没有有效算法， 也不知道这种 有效算法是否存在。
２．２ 改良回路法
改良回路法也称为逐次修正法。其基本思想为： 首先找到 一个哈密尔顿回路， 然后通过适当修改得到具有较小权的另一 个哈密尔顿回路， 使它的权减小。算法步骤如下：
步骤 １ 任意找一个哈密尔顿回路 Ｃ＝ｖ１ｖ２…ｖｎｖ１ 步骤 ２ 检查 Ｃ 上是否有 ｉ≠ｊ， 使得边 ｖｉ－１ｖｊ， ｖｉｖｊ＋１ 满足 ｗ（ ｖｉ－ １ｖｊ） ＋ｗ（ ｖｉｖｊ＋１） ＜ｗ（ ｖｉ－ １ｖｉ） ＋ｗ（ ｖｊｖｊ＋１） 如果有， 则得到一个新的哈密尔顿回路 Ｃ１＝ｖ１ｖ２…ｖｉ－ １ｖｊｖｊ－ １…ｖｉｖｊ＋１ｖｊ＋２…ｖｎｖ１ 步骤 ３ 用 Ｃ１ 代替 Ｃ 转步骤 ２， 若不能再用此法改进时， 算 法停止。 Ｃ１ 称为 Ｃ 的改良回 路 ， 它 是 由 Ｃ 中 删 去 边 ｖｉ－１ｖｉ， ｖｊｖｊ＋１， 并 添 加边 ｖｉ－１ｖｊ， ｖｉｖｊ＋１ 而得到的。此算法的复杂度为 Ｏ（ ｎ２） 。此算法得 到的哈密尔顿回路未必是理想哈密尔顿回路。
旅 行 商 问 题（ ＴＳＰ） 是 组 合 优 化 问 题 中 典 型 的 ＮＰ－ 完 全 问 题， 是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。研究 ＴＳＰ 的 求 解 方 法 对 解 决 复 杂 工 程 优 化 问 题 具 有 重 要 的 参 考 价 值 。关 于 ＴＳＰ 的完全有效的算法目前尚未找到， 这促使人们长期以来不 断地探索并积累了大量的算法。归纳起来， 目前主要算法可分 成传统优化算法和现代优化算法。在传统优化算法中又可分 为： 最优解算法和近似方法。最优解算法虽然可以得到精确解， 但计算时间无法忍受， 因此就产生了各种近似方法， 这些近似 算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解， 但其接近最优 解的程度不能令人满意。因此， 随着上世纪 ８０ 年代各种现代优 化算法的兴 起 ， 用 各 种 启 发 式 算 法 求 解 ＴＳＰ 不 断 涌 现 ， 目 前 趋 向于将各种启发式算法的长处集中起来求解 ＴＳＰ。这主要是因 为虽然用这些现代优化算法得到的解在大多数情况下距离最 优解的偏离程度可以大大提高， 但无法估计偏离程度， 也不能 保证解的可行性。但自从 １９９４ 年 Ａｄｌｅｍａｎ［１］博士首次开创性地 在 试 管 中 用 ＤＮＡ 分 子 解 决 了 一 个 有 向 图 哈 密 尔 顿 问 题（ ＨＰＰ
问题） 以来， ＤＮＡ 计算成为了当今研究一 大 热 点 。 论 文 提 出 的 一种 ＤＮＡ 计算算法可以在线性的操作次数内获得 ＴＳＰ 的全部 精确解。
１ 问题的提出
设有 ｎ 个城市， 一个旅行推销员从某城市出发， 要经过其 余 ｎ－ １ 个城市， 最后回到出发的城市， 他怎样选择路程最短的 路线？这就是著名的旅行商问题（ ＴＳＰ） 或货郎担问题。用图论的 语 言 来 描 述 ， 正 权 图 Ｇ＝（ Ｖ， Ｅ， Ｗ） 中 ， 包 含 图 Ｇ 中 每 个 点 至 少 一次的一条环路称为推销员环路， 一条具有最小权和的推销员 环路称为最佳推销员环路， 求最佳推销员环路的问题称为旅行 推销员问题（ ＴＳＰ） 。而具有最小权和的哈密尔顿回路称为最佳 哈密尔顿回路， 求最佳哈密尔顿回路的问题， 称为最佳哈密尔 顿回路问题［２－４］。最佳哈密尔顿回路不一定是最佳 推 销 员 环 路 ， 同 样 最 佳 推 销 员 环 路 也 不 一 定 是 最 佳 哈 密 尔 顿 回 路 。但 是 当 正
１．华中科技大学 控制科学与工程系， 武汉 ４３００７４ ２．武汉工业学院 数理科学系， 武汉 ４３００２３ １．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７４， Ｃｈｉｎａ ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｗｕｈａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００２３， Ｃｈｉｎａ Ｅ－ ｍａｉｌ： ｚｈｏｕｋａｎｇ６５＠ｔｏｍ．ｃｏｍ
基 金 项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金（ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．６０３７３０８９） ； 湖 北 省 自 然 科 学 基 金（ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｕｂｅｉ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．２００５ＡＢＡ２３３） ； 浙 江 省 自 然 科 学 基 金（ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．ＺＪＮＳＦ－ Ｙ１０５６５４） ； 湖北省优秀中青年科技创新团队计划。