【精品 讲义】中考数学二轮复习 专题复习 第1讲 代数综合
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
中考数学压轴专题复习讲义
专题一 代数综合压轴题专题精要解析代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等，解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的．本部分内容分为三部分，一是以方程为背景，主要掌握一元二次方程的定义，根的判别式等内容；二是以不等式为背景，主要掌握不等式的基本性质；三是以函数为背景，主要掌握初中所学各函数的定义、性质等内容．高频考点过关考点一：以方程为背景例题1．如果方程＋px ＋q =0的两个根是，那么， 请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a ，b 满足求的值；(3)已知a ，b ，c 满足a ＋b ＋c =0，abc = 16，求正数c 的最小值．2x 12x x ,12x x p +=-12x x q = 200x m x n n ()++=≠2215501550a a b b ,--=--=a bb a+考点二：以不等式为背景例题2.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例：解一元二次不等式－4>0解：∵= (x ＋2) (x －2)，∴－4>0可化为(x ＋2)(x －2)>0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②解不等式组①，得x >2，解不等式组②，得x < －2． ∴(x ＋2) (x －2)>0的解集为x >2或x <－2．即一元二次不等式－4>0的解集为x >2或x < －2． (1)一元二次不等式>0的解集为____；(2)分式不等式>0的解集为_______； (3)解一元二次不等式<0．考点三：以函数为背景例题3．已知抛物线y = (0<2a <b )的顶点为P ，点A （1，），B (0，)，C (－1，)在该抛物线上．(l )当a =l ，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求的值；(2)当≥o 恒成立时，求的最小值．2x 24x -2x 2020x x ⎧+〉⎨-〉⎩2020x x ⎧+〈⎨-〈⎩2x 216x -13x x --223x x -2ax bx c ++()00x y ,A y B y C y A B Cy y y -0y A B Cy y y -由题意，如右图所示，过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，则AA 1＝y A ，OA 1＝1．连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD ＝y B －y C ，CD ＝1．过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )，交x 轴于点F (x 2，0)，则∠FAA 1＝∠CBD ．于是Rt △AFA 1∽Rt △BCD ．有AA 1BD ＝FA 1CD ，即y A y B －y C ＝1－x 21＝1－x 2．过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD ．有AG BD ＝EG CD ，即y A －y Ey B －y C＝1－x 1．∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，得y A ＝a ＋b ＋c ，y B ＝c ，y C ＝a －b ＋c ，y E ＝ax 12＋bx 1＋c ，∴(a ＋b ＋c )−(ax 12＋bx 1＋c )c −(a −b ＋c )＝1－x 1．化简，得x 12＋x 1−2＝0，解得x 1＝－2（x 1＝1舍去）．∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1，则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3．∴y A y B －y C的最小值为3．中考真题链接真题1．（荆州中考）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x ＋2(k －1)＝0（1）求证：无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝2，求k 的值．真题2．（镇江中考）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y ＝x －1的图象可以由正比例函数y ＝x 的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y ＝k x ＋2（k ≠0）的图象是由反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数y ＝4x的图象C 与正比例函数y ＝ax （a ≠0）的图象l 相交于点A （2，2）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数y ＝4x的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C ′和l′，已知图象C′经过点M (2，4)．①求n 的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式4x －1≤ax −1的解集．真题3．（莆田中考）如图，直线l：y＝x＋1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y＝kx的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN•BM的值．真题4．（北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．真题5．（荆州中考）已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．真题6．（扬州中考）如右图所示，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．真题7．（南宁中考）如右图所示，抛物线y ＝ax 2＋c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，－1）两点，并与直线y ＝kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，－2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO ＝AM ；（3）探究：①当k ＝0时，直线y ＝kx 与x 轴重合，求出此时1AM ＋1BN的值；②试说明无论k 取何值，1AM ＋1BN的值都等于同一个常数．真题8．（天津中考）已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示：（Ⅰ）求y 1与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T （0，t ）作垂直于y 轴的直线l′，A 为直线l′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P （x ，y 2）．（1）求y 2与x 之间的函数关系式；（2）当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1＜y 2恒成立，求t 的取值范围．x …－103…y 1＝ax 2＋bx ＋c…94…创新思维训练创新1．已知，方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有实根．（1）若k 为正整数，求kk －2的值；（2）若k 取最大的正整数，写出抛物线y ＝(k －1)x 2－2x ＋1的顶点坐标；（3）是否存在这样的函数使得无论k 取任意不等于1的实数时，抛物线y ＝(k －1)x 2－2x ＋1的顶点都在这个函数的图象上，若存在，请求出这个函数的解析式；若不存在，请说明理由．创新2．已知抛物线y ＝x 2＋2mx ＋2m －3．（1）求证：不论m 为任何实数时，二次函数的图象与x 轴总有两个交点；（2）若二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2m －3的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，满足x 1＜－2＜x 2，关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－3(m －2)x ＋2m －5＝0①有两个不相等的整数根，求整数m 的值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一个方程x 2＋2(a ＋m )x ＋6a ＋4m －5＝0②有大于－2且小于3的实数根，求整数a 的值．专题二 几何综合压轴题考点精要解析几何综合题大致可分为几何计算综合题与几何论证型综合题，这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题，还有代数与几何的综合几何题．几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力． 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面：1．以证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系） 2．证明图形的位置关系； 3．几何计算问题； 4．动态几何问题．高频考点过关考点一：三大变换之对称例题1．如右图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于点G ；E 、F 分别是C′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D′处，点D′恰好与点A 重合．（1）求证：△ABG ≌△C′DG ；（2）求tan ∠ABG 的值；（3）求EF 的长．解：（1）∵△BDC′由△BDC 翻折而成，∴∠C ＝∠C ′＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ＝CD ，∠AGB ＝∠DGC ′，∴△ABG ≌△C ′DG ．（2）由（1）可知△ABG ≌△C ′DG ，∴GD ＝GB ，∴AG ＋GB ＝AD ，设AG ＝x ，则GB ＝8－x ，在Rt △ABG 中，∵AB 2＋AG 2＝BG 2，即62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝724．（3）∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分AD ，∴HD ＝12AD ＝4，∴tan ∠ABG ＝tan ∠ADE ＝724，∴EH ＝HD ×724＝4×724＝76．∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线，∴HF ＝12AB ＝12×6＝3．∴EF ＝EH ＋HF ＝256．例题2．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF，CF．（1）如图（a）所示，，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图（b）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图（c）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长（直接写出结果）．（a）（b）（c）解：（1）线段DF，CF之间的数量和位置关系分别是相等和垂直．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如右图所示，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．又∵AD＝DE，AC＝BC，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）线段CF的长为10 2．例题3．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 上的点．（1）如图（a ）所示，CE ＝AB ，BD ＝AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF ＝EB ，连接DF 交EB 于点G ，请你直接写出EBDC的值；（2）如图（b ）所示，，CE ＝kAB ，BD ＝kAE ，EB DC ＝12，求k 的值．（a ）（b ）解：（1）EB DC＝22．（2）如右图所示，过点C 作CF ∥BE 且CF ＝BE ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ．∴四边形BFCE 是平行四边形，∴CE ∥BF 且CE ＝BF ，∴∠ABF ＝∠A ＝90°，∵BF ＝CE ＝kAB ，BD ＝kAE ，∴BF AB ＝k ．∵BD ＝kAE ，∴BD AE ＝k ．∴BF AB ＝BD AE ．∴△DBF ∽△EAB ．∴DFBE＝k ,∠GDB =∠AEB .∴∠DGB =∠A =90°.∴∠GFC =∠BGF =90°.∵.∴.∴考点四：几何综合之动态问题例题4.已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF.如图（a）所示，线由一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一条直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图（b）s所示，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10.由题意，易知点G的运动线路平行于BC.如下图所示，过点G作BC的平行线，分别交AE，AF于点Q，R.∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM.∴四边形QEMG为平行四边形，∴QG=EM=10.∴t=10.（2）存在符合条件的点P.在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20.设∠AEB=，则sin，cos=.∵NE=t，∴QE=NE·cos=t，AQ=AE-QE=20-t.△APQ是等腰三角形，有三种肯能的情形：①AP=PQ，如下左图所示：过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP·cos=t.∵AQ=2AK,∴20-t=2×t，解得:t=.②AP=AQ.如下中土所示：t=20-t，解得:t=.③AQ=PQ，如下右图所示：过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ·cos=（20-t）×=16-t.∵AP=2AK,∴t=2（16-t），解得t=.综上所述，当t=，，秒时，使△APQ是等腰三角形.中考真题链接真题1.（龙岩中考）如图（a）所示，在矩形纸片ABCD中，AB=，AD=.（1）如图（b）所示，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为________；（2）如图（c）所示，再将四边形BCE沿向左翻折，压平后得四边形,交AE于点F，则四边形的面积为_______；（3）如图（d）所示，将图（b）中的△AE绕点E顺时针旋转α角，得△,使得E恰好经过顶点B，求弧的长.（结果保留π）真题2.（自贡中考）将两块全等的三角板按图（a）摆放，其中∠=∠ACB=90°，∠∠A=30°.（1）将图（a）中的△顺时针旋转45°得图（b），点是C与AB的交点，点Q是与BC 的交点，求证：C；（2）在图（b）中，若A=2，则CQ等于多少？（3）如图（c）所示，在C上取一点E，连接BE,,设BC=1，当BE⊥时，求△面积的最大值.真题3.（北京中考）在△ABC中，AB=AC,∠BAC=(0°<)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.（1）如图（a）所示，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）;（2）如图（b）所示，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值.真题4.（邵通中考）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF.（1）如图（a）所示，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图（b）所示，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC，CF，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图（c）所示，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC，CF，CD 之间存在的数量关系.真题5.（资阳中考）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N.（1）如图（a）所示，当点M与点C重合时，求证：DF=MN；（2）如图（b）所示，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s的速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t>0）；①判定命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由.②连接FM，FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由.真题6.（苏州中考）如右图所示，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0.（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为，△CDG的面积为，试说明-是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.创新思维训练创新1.已知，在四边形ABDC中，E，F分别在AB，AC上，BE=CD，CF=BD，M是EF的中点，连接BC.（1）如图（a）所示，若∠DBA=∠DCA=90°，△BMC的形状为_________.（2）若把“∠DBA=∠DCA=90°”改成“∠DBA+∠DCA=180°”，其他条件不变，如图（b）所示，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.（3）在（2）的条件下，若BM=8，BC=10，直接写出五边形BCDEF的面积.创新2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD 中点.（1）若过点D作DE⊥AB于点E，连接CF，EF，CE，如图（a）所示，判断CF与EF的关系，直接写出结论；（2）若将图（a）中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点F扔为BD中点，如图（b）所示.确定BE，DE与CF之间的关系，并证明你的结论；（3）若AD=AB，BC=4，将△ADE绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值.专题三代数几何综合压轴题考点精要解析近几年中考题目的压轴题目莫过于代几综合题目，而解决这类题目是有一定技巧的.数学压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题.解中考压轴题的技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合的思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何图形直观得到某些代数问题的解答.关键是掌握几种常用的数学思想方法.一是运用函数与方程的思想.以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式，研究其性质.二是运用分类讨论的思想，对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究.三是运用转化的数学思想.由已知向未知，由复杂向简单转化.高频考点过关考点一：点的存在性问题例题1：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设对称轴与x轴的交点为M，以M为圆心，AB长为半径画圆，过点D作圆M的切线DN交圆M 于点N，交x轴于点Q，求直线DN的解析式.解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为.根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为.（2）存在.由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1.①如右图所示，若以CD为一腰，∵点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点与点C关于直线x=1对称，∴.②若以CD为底边，则=，∴∠=∠.由①可知，CH=DH=1，∴∠CDH=∠HCD.∴∠H=∠.∵∥,∴∠=∠.∴∠∠.∵, ∠,∴△≌△.∴.设P点坐标为（）,则,.∴.即解得<1(舍去).∴∴综上所术，点P 的坐标为（2，3）或（3）如右图所示，连接MN,∵D N 是圆M 的切线，∴∠D NM=900在Rt △D MN 中，.∵D M=4,MN=2, ∴易证△D MN ∽△MQN，∴∴设直线D N 的解析式为y=kx+b(k≠0)则有解得直线D N 的解析式为21 2x x x -=-2310.x x-+=12x x ==223x x -++=1p222DM DN MN =+DN ==4.DM DN QM MN QM =∴=1,0).QM =∴+4,1)0.k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩4k b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩4y =++考点二 函数中的动点问题例题2 如下图所示，在平面直角坐标系中，已知，线段,平移至MN 处（注：与与N 分别为对应点）(1)若M （-2，5），请直接写出N 点坐标.(2)在（1）问的条件下，点N 在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式.(3)在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ,与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点C (0,m)是y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段BO 相交于F ，且OC ：O F=，求m 的值.(4)在（3）问的条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABE 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的ABP的面积的，求此时BP 的长度.解：（1）由点到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，N （0，2）.（2）∵N （０，２）在抛物线，∴k ＝２，抛物线的解析式为（３）∵∵∴CO =-m ，∵∴整理得：或0. ∵m<0. ∴m=-1.11(3,2),(5,1)M N-11,M N 1M 11,M N 216y x x k =+2:141M 216y x x k =++21 2.6y x x =++22112(x ,B(A(0,2),E(66y x x =++=+∴-:2:CO OF =,,FO BF ==+1,2BEC EBF BFC ABC S S S S ∆∆∆∆=+=1)(1)m).2m +-+=-201m m m +=∴=-(4)在Rt △ABO 中，tan ∠ABO =∴ABO =300,AB =2AO =4.①当∠BPE>∠APE 时，连接A 1B则对折后如图2，A 1为对折后A 的所落点，△EHP 是重叠部分.∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP = S △ABP ∵S △EHP = S △ABP∴= S △EHP = S △BHP = S △ABP ∴A 1H =HP ，EH =HB=1∴四边形A 1BPE 为平行四边形 （图2）∴BP =A 1E =AE =2即BP =2②当∠BPE =∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意③当∠BPE <∠APE 时.则对折后如图3，A 1为对折后A 的所落点.△EHP 是重叠部分∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP = S △ABP ∵S △EHP = S △ABP ∴S △EBH = S △EHP == S △ABP ∴BH =HP ，EH =HA 1=1又∵BE =EA =2∴ ∴AP =2 在△APB 中，∠ABP =30°，AB =4，AP =2∴∠APB =90° ∴BP =综合①②③知：BP =2或AO BO ==21411ΔA HE S 4121411ΔA HP S 41AP EH 2111(b)(c )(a)中考真题链接真题1.（贵港中考）如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线交y 轴于点C （0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D ，顶点为M ，且D M=OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P 的直线PE 与y 轴交于点E ，是否存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出直线PE 的解析式；若不存在，请说明理由．真题2.（黔西南州中考）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C （1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作P M ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2y ax bx c =++真题3.（潍坊中考）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB =4，点D （2，1.5）在抛物线上，直线l 是一次函数的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线P M 与P N 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．真题4.（十堰中考）已知抛物线与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（-1，0）．（1）求D 点的坐标；（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P （﹣4，0），点Q 在x轴下方的抛物线上，直线P Q 交线段AC 于点M ，当∠P M A =∠E 时，求点Q 的坐标．2y ax bx c =++1x =20y kx k =-≠（）22y x x c =-+真题5.（荆州中考）如图，已知：如图①，直线两点，两动点D、E 分别从A 、B 两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止）；对称轴过点A 且顶点为M 的抛物线H （a ＜0）始终经过点E ，过E 作EG ∥OA 交抛物线于点G ，交AB 长度/秒，运动时间为t 秒．（1）用含t 代数式分别表示B F 、E F 、A F 的长；（2）当t 为何值时，四边形ADE F 是菱形？判断此时△A FG 与△A G B 是否相似，并说明理由；（3）当△AD F 是直角三角形，且抛物线的顶点M 恰好在B G 上时，求抛物线的解析式．（菏泽中考）如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求B ，C 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有P Q ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDC Q 的面积最小？此时四边形PDC Q 的面积是多少？y =2y x bx c =++真题7.（天门中考）如图，已知抛物线经过A (－8，0)，B (2，0)两点，直线x ＝－4交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点E 在直线x ＝－4上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；(3)若B ，D ，C 三点到同一条直线的距离分别是d 1，d 2，d 3，问是否存在直线l ，使？若存在，请直接写出d 3的值；若不存在，请说明理由．4y ax bx -2＝＋3122d d d ==创新思维训练创新1. 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线(a>0,b>0)的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于G,抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为，且（1）求抛物线的解析式及顶点坐标.（2）抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接CD ，CB ，求∠OCB +∠OCD 的度数.（3）点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求出点F 的坐标.（4）点M 的坐标为（2，0），点N 的坐标为（2，4），以点G 为圆心，2为半径的圆上有一动点H ，直接写出H M+2H N 的最小值.创新2. 在平面直角坐标系x O y 中，已知二次函数的顶点为A ，图像交y 轴于点N ，交x 轴于 B ,D 两点（点B 在点D 左侧），BD =2，对称轴方程为x=2.（1）请求出B ，D 两点坐标及二次函数的解析式.（2）若点A 关于x 轴的对称点为C ，则四边形ABCD 的形状为（3）连接N B ，AB ，N A ，探究在抛物线上是否存在一点K ，使得从A ，B ，N 中取两点与点K 所构成的三角形的面积与△AB N 的面积相等，若存在，求出K 点坐标；若不存在，说明理由.（4）在（2）的条件下若P 为BC 边上任意一动点（可与点B ，C 重合），分别过D ，C ，B 作射线AP 的垂线，垂足分别为M ，E ,F ,请求出D M+CE +B F 的最值，并说明理由.222y x ax b =++12,x x 122 5.x x -=23y ax bx =++专题四新题型考点精要解析新题型是近几年中考试题的一个考试热点，这类试题取材广泛，题目灵活性较大．1．试题呈现形式主要有：纯文型(全部用文字展示条件和问题)，图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)，表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)，改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．2．常见的类型有：规律探索、图形变换与动手操作和阅读理解等．高频考点过关考点一：规律探索例题1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，……，现用等式A M＝(i，j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2013＝( )．A．(45，77) B．(45，39) C．(32，46) D．(32，23)答案：C考点二：图形变换例题2．对正方形ABCD进行分割，如图(a)所示，其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，G分别是OB，O D，E F的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图(b)所示就是用其中6块拼出的“飞机”，若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为________________．答案：14考点三：阅读理解(新定义运算)例题3．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得 ∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点.已知点 D (，)，E (0，－2)，F (，0)．(1) 当⊙O 的半径为1时，①在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是________．②过点F 作直线l交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围解：(1)①如右图所示，过点E作⊙O 的切线，设切点为R ，∵⊙O 的半径为l ，∴RO ＝l ，∵EO ＝2，∴∠OER ＝30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°∴E 点是⊙O 的关联点．∵D (，)，E (0，－2)，F (，0)，∴OF ＞EO ，DO ＜EO ．∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，故在点D ，E ，F 中，⊙的关联点是D ，E ．②由题意可知，若P 要刚好是⊙C 的关联点，需要点P 到⊙C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角为60°，由右图可知∠APB ＝60°，则∠CPB ＝30°．连接BC ，则PC ＝2BC ＝2r ，∴若P 点为⊙OC 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d ≤2r ；由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，如下左图所示，点P 到原点的距离OP ＝2×l ＝2，过点O 作x 轴的垂线OH ，垂足为H ，t an ∠OGF ＝．∴ ∠OGF ＝60°，∴OH ＝OG sin60°sin ∠OPH ＝∴∠OPH ＝60°，可得点P 1与点G 重合．过点P 2作 P 2M 丄x 轴于点 M ，可得∠P 2OM ＝30°，∴OM ＝OP 2cos30°从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴0≤m (2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF 的中点；考虑临界情况，如下右图所示，12121212FO OG ==OH OP =即恰好E ，F 点为⊙K 的关联时，则KF ＝2KN ＝EF＝2，此时r ＝l ．故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r 的取值范围为r ≥l ．中考真题链接真题1．(日照中考)如下图所示，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m ，n 的关系是( )A ．M ＝mnB ．M ＝n (m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m (n ＋1)真题2．(重庆中考)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )A ．51B ．70C ．76D ．81真题3．(永州中考)我们知道，一元二次方程x 2＝－l 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2 ＝－l (即方程x 2＝－1有一个根为i )；并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ； i 2＝－1，i 3 ＝ i 2•i ＝(－l ) •i ，i 4＝(i 2)2 ＝ (－1)2＝1.从而对任意正整数n ，我们可得到i 4n ＋1 ＝ (i ) 4n •i ＝(i 4)n •i ＝i ，同理可得i 4n ＋2＝－l ，i 4n ＋3 ＝—i ，i 4n ＝ l ，那么，i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2012＋i 2013的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．i12。
中考数学专题复习(代数综合题)
中考数学专题复习：代数综合题【知识梳理】代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． 【课前预习】1、已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．2、已对方程 2x 2 +3x －l ＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．3、已知反比例函数(0)k yk x=≠和一次函数6y x =--。
⑴ 若一次函数和反比例函数的图象交于点（－3，m ）求m 和k 的值． ⑵ 当k 满足什么条件时．这两个函数的图象有两个不同的交点？⑶ 当k=－2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为 A 、B ，试判断A 、B 两点分别在第几象限，∠AOB 是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）．【例题精讲】【例1】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立y 与x 的恰当函数模型。
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【例2】一次函数y=kx+b 和反比例函数y=2k x的图象相交于点P(n －l ，n ＋l ），点Q(0,a ）在函数y=k 1x+b 的图象上，且m 、n 是关于x 的方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=的两个不相等的整数根．其中a 为整数，求一次函数和反比例函数的解析式．【巩固练习】1、某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12． 9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总 值将达到多少？2、二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图2－3－1所示。
中考冲刺数学经典讲义：代数综合问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．世界历史统编版初中九年级下册复习提纲【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数． 【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,1 1.a a k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 解得2,1.a k =⎧⎨=⎩ (2)将2y x=代入y ＝kx+1，消去y ，得220kx x +-=． ∵k ≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1+8k ． ∴1+8k ≥0，解得k ≥18-． ∴k ≥18-且k ≠0时这两个函数的图象总有公共点． 【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点． 举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1.∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）. 将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a ∴抛物线解析式为23212-+=x x y . (2)由2)1(21232122-+=-+=x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.1,3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小? 【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质． 【答案与解析】解：(1)对于关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+，由于△＝(-m)2－4×1×221202m m ⎛⎫+=--< ⎪⎝⎭， 所以此函数的图象与x 轴没有交点．对于关于x 的二次函数2222m y x mx +=--，由于△＝2222()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为22202m y x mx +=--=．(2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=． 整理，得220m m -=． 解之，得m ＝0，或m ＝2．①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．解这个方程，得11x =-，21x =． 此时，B 点的坐标是B(1，0)．②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3． 此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小． 【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题 例3】【变式】已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b ＜0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围. 【答案】（1）证明∵016)4(4)2(22>=---=∆m m ．∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知y 轴是抛物线的对称轴， ∴02=-m ，解得0=m ． ∴此抛物线的解析式为42-=x y ． （3）-3＜b ＜0．类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解． 【答案与解析】 解：(1)B(13．(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，3，得3a =所以2323y x x =+．(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为(0)y kx b k=+≠，则3,20.k bk b⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得3,23.3kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此直线AB的解析式为323y x=+．当1x=-时，3y=．因此点C的坐标为31,3⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭．(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．设点P的横坐标为x．则PAB PAD PBDS S S=+△△△1122PD AE PD BF=⨯+⨯1()2PD AE BF=⨯⨯+1()()2D P B Ay y x x=--2132332332x x⎡⎤⎫=-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233319332x x⎫==+⎪⎝⎭当12x =-时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,24⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．如图所示，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)．(1)求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；(2)设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M ，N 同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； (3)当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 【思路点拨】此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力． 【答案与解析】解：(1)点A(-4，0)，点B(-2，0)，点E(0，8)．关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8)． 设抛物线C 2的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则1640420,8.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 解得1,6,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求抛物线的解析式是268y x x =-+-. (2)由(1)可计算得点M(-3，-1)，N(3，1)． 过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．当运动到时刻t 时，AD ＝2OD ＝8-2t ，NH ＝1+2t ． 根据中心对称的性质OA ＝OD ，OM ＝ON ， ∴四边形MDNA 是平行四边形． ∴2ADN S S =△∴四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． ∵运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t ＜4， ∴所求关系式是24148S t t =-++（0≤t ＜4）．(3)2781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0≤t ＜4)∴74t =时，S 有最大值814. (4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由(1)知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD 、MN ， ∴当AD ＝MN 时四边形MDNA 是矩形． ∴OD ＝ON ．∴OD 2＝ON 2＝OH 2+NH 2． ∴2420t t +-=．解得12t =，22t =(不合题意，舍去)． ∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．【总结升华】直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程．以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问题的有效信息．举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标． 【答案】解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．又∵1tan 3OCA ∠=，∴A(1，0)． 又∵6ABC S =△， ∴1362AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。
中考数学二轮复习讲义
中考数学二轮复习讲义一、引言在中考数学的复习过程中，二轮复习是一个关键的阶段。
它旨在巩固和深化学生对基础知识的理解，提高解题能力，以便更好地应对中考。
本文将为同学们提供一份详细的中考数学二轮复习讲义，帮助大家系统地进行复习。
二、复习目标1、巩固基础知识，确保对知识点掌握扎实。
2、深化理解，提升解题能力。
3、查漏补缺，针对薄弱环节进行强化。
4、适应中考题型，熟悉解题技巧。
三、复习内容1、代数部分：复习整式、分式、方程、不等式、函数等知识，掌握基本概念、性质和解题方法。
2、几何部分：复习三角形、四边形、圆等基本图形，掌握基本性质和定理，提高空间思维能力。
3、概率与统计：掌握统计图表、概率初步知识，能够解决实际问题。
四、复习方法1、制定合理的复习计划，根据自己的实际情况安排时间。
2、重视基础知识，打牢基础后再进行深化拓展。
3、学会总结归纳，将知识点串联起来形成知识网络。
4、多做真题，熟悉中考题型和解题技巧。
5、及时查漏补缺，针对薄弱环节加强练习。
6、保持积极心态，相信自己能够取得进步。
五、结语中考数学二轮复习讲义是帮助同学们在复习过程中更好地掌握知识、提高解题能力的重要工具。
希望同学们能够按照讲义的要求，积极进行复习，不断深化对数学知识的理解，提高自己的数学能力。
相信在中考中，大家一定能够取得优异的成绩！中考数学一轮总复习讲义一、引言在中考复习阶段，数学作为核心学科，一直是考生们的重点。
为了帮助同学们更好地进行数学复习，本文将详细介绍中考数学一轮总复习的策略和要点，希望对大家有所帮助。
二、复习策略1、知识梳理：要全面梳理初中数学的知识点，形成系统化的知识网络。
这包括对基础概念的理解，公式、定理的掌握以及解题方法的熟练应用。
2、查漏补缺：在知识梳理的过程中，要着重找出自己的薄弱环节，进行针对性的强化训练。
对于容易混淆的概念、定理，要重点辨析，明确其内涵和外延。
3、解题训练：数学是一门应用性很强的学科，解题训练是复习过程中不可或缺的部分。
中考数学第二轮复习课件第1讲代数综合题
∵ x1, x2 是该方程的两个实数根 ∴ x1x2(b1) ， x1x2 c
而 x10 ,x2x1 10∴ c0
【考题解析】
（2）(x 2 x 1 )2 (x 2 x 1 )2 4 x 1 x 2
(b 1 )2 4 c b 2 2 b 4 c 1
∵ x2 x1 1∴ (x2x1)2 于1是 b22b4c0 ，
∴原方程有两个不相等的实数根。
⑵解：由根与系数的关系
x 1 x 2 k ,x 1•x 2 1 ,
x 1x2x 1x2
∴-k=-1
解得：k=1.
【考题解析】
例2.(2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程 （x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数 根．（1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长， 问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面
x2
c
2
∵ x12x22c22c
∴ x1x222x1x2c22c，∴ 222cc22c ，
∴ c 2 4 ,∴ c1 2, c2 2 (舍去)． 当c=-2时，x22x20 ,解得．x1 1 3, x2 1 3
综上：c=-2， x1 1 3, x2 1 3 为所求．
【考题解析】
学以致用
积最大？并求出其最大值． 解：（1） 原方程变为：
x 2 ( m 2 ) x 2 m p 2 ( m 2 )p 2 m
x2 p2 (m2)x(m2)p0,
(x p)(x p)(m2)(x p) 0, 即,(x p)(x pm2) 0,
x1 p,x2 m2 p.
【考题解析】
（2）∵ 直角三角形的面积为 :
初中数学代数综合讲解教案
初中数学代数综合讲解教案教学内容：本节课主要讲解初中数学代数综合知识，包括一元二次方程的定义、一般形式、方程的根以及二次函数的概念、解析式和性质。
通过讲解典型例题，使学生掌握一元二次方程的解法和二次函数的图像及性质，提高学生在实际问题中运用代数知识解决问题的能力。
教学目标：1. 理解一元二次方程的定义、一般形式和方程的根的概念。
2. 掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用求解一元二次方程。
3. 了解二次函数的概念、解析式和性质，能够判断二次函数的图像特点。
4. 能够运用二次函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 一元二次方程的解法。
2. 二次函数的图像及性质。
教学难点：1. 一元二次方程的求解过程。
2. 二次函数的性质及应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 典型例题及练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的定义和一般形式。
2. 讲解方程的根的概念，解释一元二次方程的解法。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式等。
2. 通过例题演示一元二次方程的解法，让学生跟随步骤进行解题。
3. 讲解二次函数的概念，包括一般式和顶点式。
4. 讲解二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
5. 通过例题演示如何判断二次函数的图像特点，让学生理解二次函数的性质。
三、练习与讲解（15分钟）1. 让学生独立完成典型例题，教师巡回指导。
2. 选取学生解答错误的题目进行讲解，纠正错误思路。
3. 针对学生的疑惑进行解答，巩固知识点。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结一元二次方程的解法和二次函数的图像及性质。
2. 强调学生在实际问题中运用代数知识解决问题的能力。
五、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习题，巩固所学知识。
2. 选取一道实际问题，运用一元二次方程和二次函数的知识进行解答。
教学反思：本节课通过讲解一元二次方程的解法和二次函数的图像及性质，使学生掌握了代数综合知识。
北师大版九年级数学中考二轮复习：代数综合复习 14张PPT
实际问题
方程（组） 不等式（组）
一元一次方程 一元一次不等式
二元一次方程组
(组)
一元二次方程 分式方程
函数 一次函数
反比例函数 二次函数
甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5 小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图， 线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米） 与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请 结合图象中的信息解决如下问题：
（1）甲车的速度为—— 千 米/小时，乙车的速度为 ____ 千米/小时。 （2）M=____小时
（1）求甲、乙两种葡萄苗每株的价格。
（2）小红家购买甲、乙两种葡萄苗共1000 株．一共用了5600元，那么小红家甲、乙两种 葡萄苗各买了多少株？
“西有吐鲁番，东有大泽山”，大泽山是我国著 名的葡萄产地，被命名为“中国葡萄之乡”，大泽山 葡萄以其皮薄、肉嫩、味香饮誉海内外。在“全国农 业标准化示范区”建设中，新推广甲、乙两种葡萄苗， 已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元 钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄 苗的株数刚好相同。 （3）小明家准备从甲、乙两种葡萄苗中选购买一种 葡萄苗，已知购买数量相同且数量不少于500株，因 为购买数量较多，商家可给予以下优惠：购买甲种 葡萄苗每株按原售价9折优惠；购买乙种葡萄苗， 500株按原售价付款不优惠，超过500株每株按原售 价5折优惠。请帮助小明家判断购买那种葡萄苗更省 钱.
两组材料的温度相同．
（3）在0＜x＜40的什 么时刻，两组材料温 差最大？
改革开放以来，国家经济实力和国民生活水平不断提高，但 经济发展的同时对环境产生了较大的污染，环境治理已刻不 容缓．某市为加快环境治理，引进新的垃圾处理设备，计划 对该市2017年第一季度沿河收集的6000吨垃圾进行集中处 理． （1）写出处理完这批垃圾所用时间y (天)关于日均垃圾处理 量x (吨)的函数关系式； （2）该市垃圾实际处理过程中由于提高效能，日均垃圾处理 量比原计划多20%，结果比原计划少用5天处理完全部垃圾， 求原计划日均垃圾处理量为多少吨．
【复习专题】中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合
代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
九年级数学中考第二轮(一)—代数建模鲁教版知识精讲
九年级数学中考第二轮（一）—代数建模鲁教版【本讲教育信息】一、教学内容：中考第二轮（一）——代数建模二、教学过程：新课程理念强调从同学们已有的生活经验出发， 让同学们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使同学们在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．近两年来，中考试题中的现实情景题越来越多，有许多考题是以情景对话的形式来考查同学们的观察能力、分析能力、应用数学知识解决实际问题能力的，同时又培养同学们从中抽象数学模型的能力，这类试题设计新颖、独特、有趣，具有鲜明的时代气息。
（一）建立函数模型【例1】电视台某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播7集．（1）设一周内甲连续剧播放x 集，甲、乙两部连续剧收视观众的人次总和为y 万人次，求y 关于x 的函数表达式．（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值．分析：本题主要考查根据所构成的一次函数关系，展开丰富的想象与创造，设计出符合题意的方案．解：（1）设甲连续剧一周内播x 集，则乙连续剧播（7x -）集．所以2015(7)5105y x x x =+-=+．（2）5035(7)300x x +-≤．解得233x ≤． 又5105y x =+的函数值随着x 的增大而增大．又因为x 为自然数，当3x =时，y 有最大值3×5＋105＝120（万人次），74x -=． 所以，电视台每周应播放甲连续剧3集，播放乙连续剧4集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是120万人次．【例2】随着绿城某某近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
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代数综合
教学目标
1.能熟练进行数与式的化简与运算
2.熟练掌握解方程（组）与不等式（组）的步骤、解法
3.熟悉函数的图像，掌握函数的性质；并能应用函数的图像性质解答与函数有关的题目
导学一：数与式的运算
数是式的基础，数的运算要先掌握熟练！运算除了掌握法则，更重要的是运算顺序与运算符号！每一步运算都要先看得+，还是得- 。
1.如图6，实数、在数轴上的位置，化简
2.先化简，再求值：，其中
3.因式分解：8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy
4.已知（a≠b），求的值．
牛刀小试
1.分解因式：= ________________.
2.已知满足方程组，则的值为（）
3.下列计算正确的是（）
4.代数式有意义时，应满足的条件为．
知识点：方程与不等式
1.方程的解是______________。
2.已知多项式
（1）化简多项式A；
（2）若，求A的值.
3.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。
4.从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍.
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度.
5.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。
由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。
生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0<n<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
知识点：函数
1.直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b＝0的解是x＝______
2..则的解中（）
3..将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）
4.如图，正比例函数y
1=k
1
x和反比例函数y
2
=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y
1
＜y
2
，则x的取值范围是（）
5.已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中恒成立的是
6.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为.
(1)求k的值和点A的坐标；
(2)判断点B所在的象限，并说明理由.
7.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交
于点P，记△PCD的面积为S
1，△PAB的面积为S
2
，当0<a<1时，求证：S
1
- S
2
为常数，并求出该常
数。
8.已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点顶点为，点
为抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）当为钝角时，求的取值范围；
（3）若当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点、平移后对应的点分别记为，是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.
自主学习
1.把a3－ab2分解因式__________________
2.在函数中，自变量的取值范围是____________
3.已知:反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（k,5）.
（1)试求反比例函数的解析式；
（2)若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。
4.已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是_______________．
5.如图，抛物线:与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线上任意一点，且四边形ACBD为直角梯形，求点的坐标；
（3）若将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到抛物线，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线.若点P是抛物线对称轴上的一个动点，直线：平行于轴，且分别与抛物线和直线交于点D、E两点．是否存在直线，使得△DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形，若存在求出的值；若不存在说明理由。