高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则
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9-4多元复合函数的求导法则
续偏导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对
应点t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv ． dt u dt v dt
2019年9月7日星期六
3
注：公式记忆方法
z f (u,v) u (t) v (t)
复合关系图：
u
z
t
Q du d(xy) ydx xdy, dv d(x y) dx dy
dz (eu sin v y eu cos v)dx (eu sin v x eu cos v)dy eu (sin v y cos v)dx eu (sin v x cos v)dy exy[ y sin(x y) cos(x y)dx exy[x sin(x y) cos(x y)]dy
f11 xyf12;
u()
x
f
y
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
v()
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
2019年9月7日星期六
11
特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],
z f u f x u x x
应点t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv ． dt u dt v dt
2019年9月7日星期六
3
注：公式记忆方法
z f (u,v) u (t) v (t)
复合关系图：
u
z
t
Q du d(xy) ydx xdy, dv d(x y) dx dy
dz (eu sin v y eu cos v)dx (eu sin v x eu cos v)dy eu (sin v y cos v)dx eu (sin v x cos v)dy exy[ y sin(x y) cos(x y)dx exy[x sin(x y) cos(x y)]dy
f11 xyf12;
u()
x
f
y
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
v()
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
2019年9月7日星期六
11
特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],
z f u f x u x x
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
高等数学课件--D9_4复合求导
( 全导数公式 )
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2012-10-12
同济版高等数学课件
说明: 若定理中
u v
2
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 例如: z f (u, v)
u t, vt
u v
2
, 2
u v 0
2
2
0,
u v 0
2
2
易知: 但复合函数 z f ( t , t ) t
两边对 x 求导, 得
2012-10-12
同济版高等数学课件
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2. 设函数
f (1,1) 1,
f x
在点
2,
(1,1)
处可微 , 且
f y
(1,1)
3,
( x) f ( x, f ( x, x)) , 求
(2001考研)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
2
r
2
r
2
u r
2
2
sin 2
2
u sin cos r
u cos
r
2
r
2
2
r
2
2
u x
2 2
u 2 sin cos r
u cos r
u y
2
2
u r
2
2
2012-10-12
同济版高等数学课件
r 2 u u 1 r (r ) 2 2 r r r
2 2
第9章 第4节多元复合函数求导法则优秀课件
et (cost sint) cost
例4 设wf(xyz,xy)， zf 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和2w. x xz
解 令 u x y z ,vxy;zwf(u,v)
记 f1f(uu,v),
f122fu(uv,v),
w
u
v
同理有 f2, f11, f22.
x yzx yz
z
令 t ,则0 有 u 0, v 0,
u du , v dv
uv
t dt t dt
tt
o ( ) o( ) t
(u )2 ( v)2 0
t t
（t 0 时,根式前加“–”
dz z du z dv dt u dt v dt
号)
( 全导数公式 )
推广: 1）中间变量多于两个的情形。例如
则在它们都可微的条件下
z x
z u u x
z v
v x
f11
f 2 1
z
uv
z y
z u u y
z v
v y
f12
f2 2
x
yx
y
又如 z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时，则有
z f x x
f v v x
f1
f 2 1
z y
f v v y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin2 y
例 3. 设 z u v sint , u et , v cos t
求全导数 dz . dt
解:
dz z du z dv z dt u dt v dt t
z
uvt
tt
高等数学同济7版精品智能课件-第9章-第4节-多元复合函数的求导法则
偏导数存在，则定理结论不一定成立. 例如
z f (u, v)
第第四四节节 多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则
例例11设设 z u2v 3uv4 , u et , v sin t , 求求全全导导数数 ddddztzt..
解 第四节 多元复合函数的求导法则
例例22设设dz dt
解 令 u v2et sinux,2vcoxs2t xco1s,w则 2tz uv . 由全导数公式
得
et sin 2t 2et cost 2t cost2.
dz z du z dv dx u dx v dx
第四节 多元复合函数的求导法则
二、多元函第四数节 多与元多复合元函数函的求数导法复则合的情形
函函数数 zz == ff ((uu ,, vv)) 在在对对应应点点 ((uu ,, vv)) 具具有有连连续续偏偏导导数数，，则则
复复合合函函数数 zz == ff [[((tt)) ,, ((tt)) ]] 在在点点 tt 可可导导，，且且
dzdz dtdt
uzuzddutddut
vzvzddvtdd.vt
ddztuyeuzxyfy[ddxustin(zfxvzyyz)ddvtcos(xzt y)] .
zu
uz vx
x t
x2vey2tzu2 sin t x2coy2stz2 2
f
表示
x
以u , x , y为自变量的三元函数 f 对自变量 x 的偏导数.
第第四四节节 多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则
例例44 设设
z
eu sin v , u
xy , v
x
y , 求求
zz xx
,,
z f (u, v)
第第四四节节 多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则
例例11设设 z u2v 3uv4 , u et , v sin t , 求求全全导导数数 ddddztzt..
解 第四节 多元复合函数的求导法则
例例22设设dz dt
解 令 u v2et sinux,2vcoxs2t xco1s,w则 2tz uv . 由全导数公式
得
et sin 2t 2et cost 2t cost2.
dz z du z dv dx u dx v dx
第四节 多元复合函数的求导法则
二、多元函第四数节 多与元多复合元函数函的求数导法复则合的情形
函函数数 zz == ff ((uu ,, vv)) 在在对对应应点点 ((uu ,, vv)) 具具有有连连续续偏偏导导数数，，则则
复复合合函函数数 zz == ff [[((tt)) ,, ((tt)) ]] 在在点点 tt 可可导导，，且且
dzdz dtdt
uzuzddutddut
vzvzddvtdd.vt
ddztuyeuzxyfy[ddxustin(zfxvzyyz)ddvtcos(xzt y)] .
zu
uz vx
x t
x2vey2tzu2 sin t x2coy2stz2 2
f
表示
x
以u , x , y为自变量的三元函数 f 对自变量 x 的偏导数.
第第四四节节 多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法则则
例例44 设设
z
eu sin v , u
xy , v
x
y , 求求
zz xx
,,
9-4-多元复合函数求导法则
第四讲 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多 元 复 合 函 数
一、多元复合函数概念
类型一
s
➢复合关系图
u
x
t
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多
x x(t) u f (x, y) y y(t)
一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x, y, z) z (x, y)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
类型三
➢复合关系图 ➢求导法则
xs u
yt
定理 如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多 元 复 合 函 数
一、多元复合函数概念
类型一
s
➢复合关系图
u
x
t
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多
x x(t) u f (x, y) y y(t)
一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x, y, z) z (x, y)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
类型三
➢复合关系图 ➢求导法则
xs u
yt
定理 如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
精选幻灯片多元复合函数的求导法则
?
?f 2x
?r
?
t x2
?f ?s
rx 变量树图 u
st
? 2u ?x?t
?
?2 f 2x( ?r 2
?2t ?
?2 ?r
?fs?1x
)
?
1 ?f x2 ?s
?
t x2
(
?2 f ?s?r
?2t
?
?2 f ?s2
?1 ) x
?
4
xt
?2 ?r
f
2
?
?2 f 2
?r?s
?
1 x2
?f ?s
?
2t 2 x2
?s?r
?
2 ?f ?r
?
4
x
2
?2 ?r
f
2
?
4t ? 2 f ? x ?r?s
t2 ?2 f x4 ?s2
?
2t ?f x3 ?s .
15
多元复合函数的求导法则
设 u ? f ( x2 ? t 2 , t ), f具有二阶连续偏导数 ,
r 求
? 2u ?x2
,
? 2u ?x?t
.
x
s
?u ?x
dz
?
ye? xy
(ez
?
dx 2)
?
xe ? xy
(e z
?
dy 2)
?z ?x
?
ye? xy ez ? 2
,
?z ?y
?
xe? ez ?
xy2ຫໍສະໝຸດ .20多元复合函数的求导法则
1994年研究生考题 ,计算,3分
设u ? f ( x, xy), v ? g( x ? xy), f , g均连续可微 ,
高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则
u y v y
z (udxudy) z ( vdx v dy)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
15
例 6. zeusiv,n ux,v yxy,求 z, z.
解: dzd(eu sinv )
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 yf(u),u(x)
求导法则 d y d y du
dx du dx
微分法则 d y f(u )d u f(u )(x )dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u(t),v(t)都在点 t可导,函数
x2z2 y2z2 (x2y2)(fuufvv)
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 都可微,
则复合函数 zf((x,y),(x,y))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dx (zuzv)dy
u x v x
f
uv
x yxy
z x
2xf x2 [uf uxfvxv]
2x f x2f1(xy2)x2f2y
12
x
2x f yf1x2yf2
f1( f2)
uy
vx
2z xy
y
2x y(f) y(yf1)x2 y(yf2 )
2x[f uf v] u y v y
f1y[ fu1 u yfv1 yv]
9-4多元复合函数的求导法则
,
y z
f1dxyf2dzy
f1ydy2xxdyf2zdzy2ydz
fy1dxfz2xy21fdyyz22fd.z
□
返回
Ex 设z siu ncov、 suxy、 v y , 求 z 及 z x x y
46rV3 er
返回
dh 6 (2Ver)
dt r2 r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 (260e6)
dttt0
62
6
1 (15e6) [立方米/秒] □
3
返回
情形3
u
链锁规则公式
三元函数
全导数
zv x
w
情形4
ux
zv
wy
dzd(f xy,xy)f1dx yf2d(xy)
f121xyd(x)yf2(dxd)y
返回
f121xy(ydxd)yf2(d xd)y
2yx1fyf2dx2xx1全fy微f分2d形.y
式不变性
（2）
du
df
x y
解 dzcoucsovsd u siu s nivn dv
cu o cv o (s ydxsxd)ysiu s niv(n xy2
dx
1 x
dy
)
(ycoucsovsxy2sinusinv)dx
(xcoucsovs1sinusinv)dy x
z x
ycu o csv o xs y2 sinusinv
多元函数全微分也具有形式不变性。
返回
全微分形式不变性：设可微函数 zf(u,v)，则不
论u，v是否为自变量，微分形式
总是正确的。 d zfudufvdv 【证】当u,v为自变量时，d zfud ufvd;v
《高等数学》课件 4第四节 多元复合函数的求导法则 ppt
u
x
x u x v x z
eu sinv y eu cos v 1
v
y
exy[ ysin( x y) cos( x y)].
z z u z v y u y v y
eu sinv x eu cos v 1
exy[x sin( x y) cos( x y)].
例4. z＝f ( xy, x ), f 具有一阶连续偏导数. y
u
z
t
全导数
v
“分叉相加, 连线相乘, 单路全导, 叉路偏导”
证: 若 t t t, 则
u (t t) (t), v (t t) (t),
z f [(t t), (t t)] f [(t), (t)],
z f (u, v) 在 点(u, v) 具 有 连 续 偏 导 数,
z z u z v o( ),
u
v
其中 (u)2 (v)2 . 上式两边同除t, 得
z z u z v o( ) ,
t u t v t t
z z u z v o( ) 0
t u t v t t
当t 0时,
du
dv
dt
dt
o( )
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz
z z du z dv
lim .
dt t0 t u dt v dt
推广: z f (u, v, w), u (t), v (t), w (t)
z f [(t),(t),(t)]
变量关系图:
u
z
v
t
w
全导数:
dz dt
z du u dt
z v
dv dt
z dw w dt
同济版大一高数第九章第四节多元复合函数求导法
u
v yx y
∂ z ∂v + ⋅ ∂v ∂ y + e u cos v ⋅1
x
8
y2 例4 设 z = f ( x + )已知 f ′′(u ) 连续,求 x
解
2y y2 y2 2y y2 = − 2 f ′( x + ) + ⋅ (1 − 2 ) f ′′( x + ) x x x x x
9
例2
t
t
t
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v ′ ′ = ⋅ + ⋅ = f1′ϕ1 + f 2′ψ 1 ∂ x ∂u ∂ x ∂v ∂ x ∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v ′ ′ = f1′ϕ 2 + f 2′ψ 2 = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y
z
u v
x
y x
4
y
高等数学
设
u=e
x2 + y2 + z 2
, z = x sin y,
2
解: ∂u = ∂ f ∂x ∂x
∂u ∂u , . ∂x ∂ y
=e x
2
+ y +z
2
2
(2 x + 2z ⋅ 2 x sin y )
2 2 x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
在计算时注意合并同类项! 下列两个例题有助于 掌握这方面问题的求导技巧。
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u , v, w) , u = ϕ (t ) , v = ψ (t ) , w = ω (t ) z ∂ z dv ∂ z dw d z ∂ z du + ⋅ + ⋅ = ⋅ u v w ∂v d t ∂w d t d t ∂u d t = f1′ϕ ′ + f 2′ ψ ′ + f 3′ ω ′ 2、 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u , v) , u = ϕ ( x, y ) , v = ψ ( x, y )
v yx y
∂ z ∂v + ⋅ ∂v ∂ y + e u cos v ⋅1
x
8
y2 例4 设 z = f ( x + )已知 f ′′(u ) 连续,求 x
解
2y y2 y2 2y y2 = − 2 f ′( x + ) + ⋅ (1 − 2 ) f ′′( x + ) x x x x x
9
例2
t
t
t
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v ′ ′ = ⋅ + ⋅ = f1′ϕ1 + f 2′ψ 1 ∂ x ∂u ∂ x ∂v ∂ x ∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v ′ ′ = f1′ϕ 2 + f 2′ψ 2 = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y
z
u v
x
y x
4
y
高等数学
设
u=e
x2 + y2 + z 2
, z = x sin y,
2
解: ∂u = ∂ f ∂x ∂x
∂u ∂u , . ∂x ∂ y
=e x
2
+ y +z
2
2
(2 x + 2z ⋅ 2 x sin y )
2 2 x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
在计算时注意合并同类项! 下列两个例题有助于 掌握这方面问题的求导技巧。
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u , v, w) , u = ϕ (t ) , v = ψ (t ) , w = ω (t ) z ∂ z dv ∂ z dw d z ∂ z du + ⋅ + ⋅ = ⋅ u v w ∂v d t ∂w d t d t ∂u d t = f1′ϕ ′ + f 2′ ψ ′ + f 3′ ω ′ 2、 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u , v) , u = ϕ ( x, y ) , v = ψ ( x, y )
第四节 多元复合函数和隐函数的求导法则_高等数学_[共4页]
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高等数学– 180 – 所以 ()2d d d e 1d d xy xy z z z x y xy x x e y x y∂∂=+=++∂∂。
【例3】 求函数2sin arctan 2y z u x y=++的全微分。
解 因为 2u x x ∂=∂，221cos 22u y z y y z ∂=−∂+，22u y z y z ∂=∂+， 所以 22221d 2d cos d d 22y z y u x x y z y z y z =+−+++。
习 题 8-31．设y z x=，当210.10.2x y x y ==Δ=Δ=−，，，时，求z Δ及d z 。
2．求下列函数的全微分： （1）()2ln z x y =+； （2）e y x z =；（3）()()2sin cos z xy xy =+；（4）yz u x =。
第四节 多元复合函数和隐函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则在第二章中，我们介绍了一元复合函数的求导法则，这一法则在求导中起着重要作用。
对于多元函数，情况也是如此。
下面我们以二元函数为例，介绍多元复合函数的求导法则。
设函数()z f u v =，，而u v 、都是x y 、的函数，()()u x y v x y ϕψ==，，，，于是z =()(),f x y x y ϕψ⎡⎤⎣⎦，，是x y ，的函数，称函数()()z f x y x y ϕψ=⎡⎤⎣⎦，，，是()z f u v =，与()()u x y v x y ϕψ==，，，的复合函数。
二元复合函数有如下求导法则：定理6 设()()u x y v x y ϕψ==，，，在点()x y ，处有一阶偏导数，()z f u v =，在相应点()u v ，有连续一阶偏导数，则复合函数()()z f x y x y ϕψ=⎡⎤⎣⎦，，，（见图8-8）在点()x y ，处的一阶偏导数存在，且z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂， z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂。
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7
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z2, z x 2 siy,n
求 u , u
u
x y
解: u f f z
x x z x
xyz xy
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
2x(1 2 x 2 s2 iy n )e x 2 y 2 x 4si2y n
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
f 1 1 y ( x z ) f 1 2 x 2 z f 2 y 2 y f 2 .
11
例5设z x2 f( y, xy),其中f具有二阶连续, 偏导 x
求 2z . xy
解 : 令u y,vxy,
x
zx2f(u,v)
u y v y
z (udxudy) z ( vdx v dy)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
求 z , z . x y
z
解： z z u z v x u x v x
eu sinv y eucosv1
uv x yx y
exy[ysix n y ()co x sy)(]
z z u z v y u y v y
eusinv x eucosv 1
exy[xsix n y ()cox sy()]
2）中间变量是多元函数的情形。例如
ttt
z f ( u , v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y )
则在它们都可微的条件下
z
x
z u u x
z v v x
f1 1f2
1
Байду номын сангаас
z
uv
z
y
z u u y
z v
v y
f1
2 f2
2
x yx y 5
又如 z f(x ,v ), v(x ,y )
f13x2f2xyf11x3yf22
13
课堂练习
设zfxy,1(x2 2
y2),其中 f(u,v)具有二阶连, 续 求 x偏 2z2 导 y2z2 数
解
z x
fu
yfv
x
z y
fu
x
fv
y
x 2 z 2 (fuu yfuv x )y (fvy ufvx v )xfv
y 2z 2(fuu xfuv y)x(fvx ufvy v)yfv
f
uv
x yxy
z x
2xf x2 [uf uxfvxv]
2x f x2f1(xy2)x2f2y
12
x
2x f yf1x2yf2
f1( f2)
uy
vx
2z xy
y
2x y(f) y(yf1)x2 y(yf2 )
2x[f uf v] u y v y
f1y[ fu1 u yfv1 yv]
x2f2 x2y[ fu 2 u y fv2 y v]
( 全导数公式 )
4
推广:1）中间变量多于两个的情形。例如 z f ( u , v , w ) ,u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
则在它们都可微的条件下
d z z du z dv z dw
z
d t u d t v dt w dt
f1 f2 f3
uvw
z
uv t
tt
vet usint cots
et(ctositn )cot s
9
例4 设wf(xyz,xy)， zf 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和2w. x xz
解 令 u x y z , vxy;zwf(u,v)
记
f1
f(u,v), u
f122fu(uv,v),
w
u
v
同理有 f2, f11, f22.
xyzxyz
w x
f uf v u x v x
f1yfz2 ;
10
2w xz f 1 z
fu1z(fuz1yfvz1f2)vz fzf11 1yfx 2f1 y y;2zfz2u;f1,
f2
v
f 2 z
f2uf2v u z v z
x
f2 1xf2 y ;2
y
z
x
y
z
于是
2w xz
u f f z y y z y
2yex2y2z2 2zex2y2z2 x2 cosy
2 (y x 4 siyc no y )e x s 2 y 2 x 4 si2y n 8
例 3. 设 zuvsitn, u et , vcots
求全导数 d z .
dt
解:
d z z du z dv z d t u dt v dt t
当它们 都具有可微条件时，则有
z x
f x
f v v x
f1f21
z y
f v v y
f22
注意:
这里
z x
与 f
x
不同
z x
表示固定 y 对 x 求导
f 表示固定 v 对 x 求导
x
z f
xv
xy
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导6
例1. 设 z e usv i,n u x y, v x y
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 yf(u),u(x)
求导法则 d y d y du
dx du dx
微分法则 d y f(u )d u f(u )(x )dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u(t),v(t)都在点 t可导,函数
x2z2 y2z2 (x2y2)(fuufvv)
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 都可微,
则复合函数 zf((x,y),(x,y))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dx (zuzv)dy
u x v x
3
z zuzv o ( ) ( (u)2(v)2 )
t u t v t t
z
令t ,则0有 u 0,v 0,
udu, vdv
uv
t dt t dt
tt
o ( ) o( )
t
(u)2 ( v)2 0
t t
（t 0 时,根式前加“–”号)
dz z duz dv dt u dt v dt
zf(u,v)在点 (u, v) 处可微, 则复合函数
z
zf((t) , (t))在点 t可导, 且有链式法则
dz z duz dv dt u dt v dt
uv
tt
证: 设 t 取增量 t , 则相应中间变量有增量 u, v
zzuzvo() ( (u)2(v)2 )
u v
z zuzv o ( ) t u t v t t