信号与系统教案第二章

i (0 − ) + Ri (0 − ) + uc (0 − ) = 0
'
X
所以 i (0− ) = −uc (0− ) − Ri (0− ) = −10 A
'
s
izi (0+ ) = i (0− ) = 0 ,i (0+ ) = i (0− ) = −10
' zi '
同上由 izi (0+ ), izi (0+ ) 求得系数
当初始状态为0，作用于系统的阶跃信号 ε (t ) 当初始状态为 ， 所对应的零状态响应为
,
s (t )
,称为阶跃响应。 称为阶跃响应。
d ε (t ) δ (t ) = dt
t −∞
ds (t ) h (t ) = dt
X
s(t ) = ∫ h(τ )dτ
二、冲激响应的求法 1. 直接法 原则：冲激函数的平衡准则： 原则：冲激函数的平衡准则： (k ) 任意方程两边关于 δ (t ) 相平衡
−t −t −t
X
§2.4
信号的时域分解与卷积积分
f(t)
有始信号分解为矩形窄脉冲 一.有始信号分解为矩形窄脉冲信号 有始信号分解为矩形窄脉冲信号
f (t ) ≈ f 0 + f1 + f 2 + L f k + L 其中
f 0 = f (0)[ε(t) −ε(t −∆τ)]
λi t
m−n
( j)
(t )
注意：冲激响应是一种特殊的零状态响应， 注意：冲激响应是一种特殊的零状态响应， 其解的形式为齐次解形式。 其解的形式为齐次解形式。 此外还可能包含冲激函数及其导数项。 此外还可能包含冲激函数及其导数项。
X
b．间接求解
对于线性时不变系统, 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
izi (0+ ) = i (0− ) = 0 ,i (0+ ) = i (0− ) = 1
' zi '
izi (t ) = −c1e − c2te + c2 e
'
−t
−t
−t
c1 = 0 c2 − c1 = 1 ⇒ c2 = 1
所以
＝(c2 − c1 )e − c2te
−t
−t
izi (t ) = te ε (t )
dn y(t) dn−1 y(t) d y(t) an + an−1 +L+ a1 + a0 y(t) = n n−1 dt dt dt dm f (t) dm−1 f (t) d f (t) bm + bm−1 +L+ b1 + b0 f (t) m m−1 dt dt dt
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
y ( 0− ) , y ( 0− ) ,Ly (0− )
' (n)
求出待定系数。 求出待定系数。
y zi (0 + ) = y (0 − ),
y (0+ ) = y (0− ),L
' zi '
y (0+ ) = y (0− )
(n) zi (n)
X
例2：图示电路， 图示电路， 设初始条件为： 设初始条件为：
λ1 = −2
所以齐次解为： 所以齐次解为：
y (t ) = c1e
+c2 e
−3t
X
（2） ）
y p (t ) （特解） f (t ) B
y p (t )
at e at e
sin ω t / cos ω t
Ae (a ≠ λi )
Aeat t k (a＝λi是k重特征根)
A at
Psinω t + Qcosω t (jω ≠ λi )
anh( ) (t) + an−1h(
n m n−1)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
1
激励及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为m次 高阶为 次)
(t) +L+ a1h( ) (t) + a0h(t)
m−1)
= bmδ ( ) (t) + bm−1δ (
(t) +L+ b1δ ( ) (t) + b0δ (t)
0− 0− 0−
因为实际系统是因果的， 因为实际系统是因果的，即系统在冲激信号未作用 之前不会有响应故
ˆ( n−1) ( 0 ) = h( n−2) ( 0 ) = L= h ( 0 ) = 0 ˆ ˆ h − − −
X
后面的各项积分所得结果在t=0处连续 后面的各项积分所得结果在 处连续
ˆ ∴h(
n−2)
ˆ n−3 ˆ 0+ ) = h( ) ( 0+ ) = L= h ( 0+ ) = 0 (
ˆ n−1 ˆ n−1 an[h( ) ( 0+ ) − h( ) ( 0− )] = 1
ˆ( n − 1) (0 ) = 1 h + a n
ˆ 根据上面的初始条件可以求出 ∴h
(t )
X
由系统的线性时不变特性， 由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应 h(t ) 为
1 R= Ω 2
i (t )
及
uc (t )
C = 2F
解法一：列微分方程： 解法一：列微分方程：
duc (t ) δ (t ) = uc (t ) + RC dt
整理得到： 整理得到：
u (t ) + uc (t ) = δ (t )
' c
X
特征根
−t
λ = −1
−t
uc (t ) = Ae ε (t )
−t
−t
把它代入原方程， 把它代入原方程，
− Ae ε (t ) + Ae δ (t ) + Ae ε (t ) = δ (t )
所以 A = 1 所以
uc (t ) = e ε (t )
−t
duc (t ) i (t ) = C = dt
2 ⋅ [−e ε (t ) + e δ (t )] = −2e ε (t ) + 2δ (t )
X
去积分 求导，
特征根
i (t ) + 2i (t ) + i (t ) = u (t ) = 0 λ1,2 = −1 则
'' ' ' s
izi (t ) = c1e + c2te
−t
−t
= (c1 + c2t )e
−t
t ≥0
X
i(0 − ) = 0 （1）当初始条件 ' ） A 时 i (0 − ) = 1 s
X
总结： 总结： 当
n > m h(t )
λi为单根 n
=
∑
i =1
ci e ε (t )
λi t
λi t
当n=m ,
h(t ) =
λi为单根 n
∑
i =1
ci e ε (t ) + Bδ (t )
ci e ε (t ) + ∑ b jδ
j =0
当n<m， ，
h(t ) =
λi为单根 n
∑
i =1
X
所以
c1 = b0 ,
h(t ) = b0 e
'
− a0 t
ε (t )
'
y (t ) + a0 y (t ) = b1 f (t ) + b0 f (t ) ' ' h (t ) + a0 h(t ) = b1δ (t ) + b0δ (t ) − a0t h(t ) = c1e ε (t ) + Bδ (t )
∑d t
i =1 i
k
k −i
)]
+
i = k +1
∑ ce
i
n
λi t
X
d y (t ) dy (t ) +5 + 6 y (t ) = f (t ) 例1：求微分方程 ： 2 dt dt
的齐次解的形式 解：特征方程为：λ 特征方程为：
2
2
+5λ +6 = 0
λ2 = −3
−2 t
特征根为： 特征根为：
1
X
ˆ 令方程右端只有一项 时 令方程右端只有一项δ(t)时，冲激响应为 h ( t ) 右端
n ˆ n−1 ˆ d( ) h(t) d( ) h(t) ˆ an + an−1 +L+ a0h(t) = δ (t) dtn d t n−1
方程两端在 积分 ∫
0−
0+
an ∫
0+
0−
ˆ( n) ( t ) d t + a 0+ h( n−1) ( t ) d t +L+ a 0+ h(t)d t = 0+ δ (t)d t ˆ ˆ h n−1 ∫ 0∫ ∫
i (0− ) = 0 i (0− ) = 0 (1) ' A (2) u (0 ) = 10v i (0− ) = 1 s c −
R = 2Ω, C = 1F , L = 1H
求电路的零输入响应电流。 求电路的零输入响应电流。
1 t 解： u (t ) = L di (t ) + Ri (t ) + ∫ i (τ )dτ s c −∞ dt
全