鲁教版-数学-九年级上册- 直角三角形的边角关系 复习课件2

的高为_2_0___3_米．
4.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明 在D•点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米． 如果 小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确 到0.1米）．
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
（1）仰角和俯角
视线
（2）坡度 tan α ＝
α为坡角
h α
l
h
铅
仰角
l
垂
线
俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
解直角三角形：(如图)
只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
B
c
a
┌
A
bC
（2）已知一条边和一个锐角
1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)
2. 已知∠A，a.解直角三角形
A．S△ABC >S△DEF C．S△ABC =S△DEF
B．S△ABC <S△DEF D．不能确定
小敏画的三角形
小颖画的三角形
4.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E•为
边AC•的中点，BC= 14，AD=12，sinB= 4
求：（1）线段DC的长；
5
（2）tan∠EDC的值．
4．解：（1）在Rt△ABD中，AB=
3.如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测 得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD•的长 度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点 A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°．请你 帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结 果都不取近似值）．
3．解：如图设BC=x，
8．解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC 于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米，
∴DF=CD·sin30°= 1 ×400=200（米）．
2
CF=CD·cos30°=
3 2
×400=200
（3 米）．
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米，
∴AE=tan60°·x= 3 x（米）．
在矩形DEBF中，BE=DF=200米，Leabharlann Baidu在Rt△ACB中，∠ACB=45°，
∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
∴x=200， ∴AB=AE+BE=（200 3+200）米．
9．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线 交于点D，则AD⊥CD．
∵∠BCD=15°， ∴∠ACD=50°， 在Rt△CDB中， CD=7×cos15°， BD=7×sin15°． 在Rt△CDA中， AD=CD×tan50°=7×cos15°×tan50°． ∴AB=AD-BD =（7×cos15°×tan50°-7×sin15°） =7（cos15°×tan50°-sin15°）≈6.2（m）． 答：树高约为6.2m．
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 则1s.in在AR的t△值A为B_C_中__，_53_∠_．C=90°，AB=5，AC=4，
2. 在Rt△ABC中3，∠C =90°，BC=4，AC=3， 则cosA的值为____5__．
3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
6．解：在Rt△BCD中， ∠∴BBDCC==D4B0·°∵tan，ta∠nD∠BBDB=C5DmC，= DBCB ， =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
7.如图，在电线杆上的C处引位线CE、CF固定 电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰 角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
复习回顾：
1、什么叫函数？函数有哪三种表示法？ 2、三角函数为什么是函数?自变量是 什么？应变量呢？
3、三角函数中自变量的取值范围是 什么？应变量呢？
4、三角函数间有那些关系？如何证明？
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
2.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里 处有暗礁， 一艘客轮以9海里/时的速度由 西向东航行，行至A点处测得P在它的北 偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到 达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方 向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁 的危险？
交于E，则 CD
AB
等于（ D ．
）
A．tan∠AED C．sin∠AED
B．cot∠AED D．cos∠AED
6．计算：
|-
2 |+（cos60°-tan30°）+
8
3
2 1
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥AC于E， 设
5
AB=4，则AD的长为（ B ）
边角之间的关系（锐角三角函数）
sinA ＝ a
c
cosA＝
b c
Ａ
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
2、30°，45°，60°的三角函数值
sina cosa tana
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
30° 45°
45° ┌ 60° ┌
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
CD CE
∴CE=
CD 2 sin 60
3 1.5 3
=（4+
3 ）（米）．
2
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
9.如图，在一个坡角为15°的斜 坡上有一棵树，高为AB．当太 阳光与水平线成50°时，测得该 树在斜坡的树影BC的长为7m， 求树高．（精确到0.1m）
AD sin B
12 4
=15．
∴BD= AB2 AD2 =9．
5
∴CD=BC-BD=14-9=5． （2）∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，
．
∴DE=EC，∴∠EDC=∠C．
∴tan∠EDC=tan∠C=
AD 12 CD 5
5.某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地， 如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°， 为了防止山体滑坡，保障安全， 学校决定对该土坡进行
体会一下:
这节课你有哪些收获?
你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗?
题型5 综合与创新
1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟 后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南
方向，则这座仓库到公路的距离为__1_.8__千
7．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H． 由题意可知四边形ABDH为矩形，
∠CAH=30°，
∴ 在ARtB△=ADCHH=1中.5，，tBanD∠=ACHA=H6=．CAHH ，
∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=6× 3 =2 3
∵DH=1.5，∴CD=2 3 +1.5．
3
在Rt△CDE中 ， ∵∠CED=60°，sin∠CED=
1、解：过C作CD⊥AB于D，
设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°，=
AD
∴AD= 3 x．
CD
3
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
∴ 3 x+x=8． 3 解得x=4（3- 3）．
∴S△ABC=
1
1
2 AB·CD= 2
×8×4（3-
3）
=16（3- 3）=48-16 3 ．
2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
AB=9×
2 6
=3，∠PAB=90°-60°=30°， ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°．
∴PC=BC．
在Rt△APC中，
tan30°=
PC PC PC AC AB BC 3 PC
，
即 3 = PC , PC 3 3 3 ，
3 3 PC
2
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
∴BD=BC+CD=BC+EF
=10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62.3m．
题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图），她测得CB=10米，∠ACB=50°，
请你帮助她算出树高AB约为___1_2____米．（注：
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°，
∴DF=90，AF=90 3 ．
∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴AC=BC=x．
∴BE=BC-EC=x-90．
在Rt△BDE中，∠BDE=60°，
∴DE=
3 3
BE=
3（3 x-90）．
FC=AC-AF=x-90 3．
∵DE=FC，
∴ 3（3 x-90）=x-90 3 ．
CD AB
DE BE
,即1．x.7
3
3
y
①
由△FGH∽△ABH得
FG AB
GH BE
,即1.7 x
5 10
y．
②
由①，②得y=7.5，x=5.95≈6.0米．
所以路灯杆AB的高度约为6.0米．
5.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯 子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点； 当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=65°，∠DAE=45°，点D到 地面的垂直距离DE=3 2 m，求点B到地面的 垂直距离BC（精确到0.1m）．
解得x=90 3 +90．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x．
在Rt△ACE中，AC= 3 x， ∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）；
图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（ 4 3 3 , 3 3 4）．
2
2
3.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC
和△DEF， 数据如图，如果把小敏画的三角形
面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，
那么你认为（ C ）
米．（参考数据： 3 ≈1.732，结果
保留两位有效数字）
2.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A•与坐标 系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如 左图）， 再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原
点旋转30°（如右图），若AB=4，BC=3 3 ，则左图 和右图中点B的坐标为___，点C的坐标为____．
①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
2.如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请 来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和 楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身 高为1.6米，那么分所住楼房的
高度为___4_8____米．
3．如图，两建筑物AB和CD的 水平距离为30米，从A点测得 D•点的俯角为30°，测得C点 的俯角为60°，则建筑物CD
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ，
∠DAE=45°，
∴sin∠DAE=
DE AD
，
∴AD=6．
又∵AD=AB， 在Rt△ABC中，sin∠BAC=
BC AB
，
∴BC=AB·sin∠BAC=6·sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD•与地面成40°夹角，且DB=5m，现要 在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB 的高为多少米？（结果保留三个有效数字）