2020年高考物理专题6 万有引力定律

重点1 万有引力定律及其应用 【要点解读】1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2。

（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR 2＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。

2．重力加速度的计算（1）在行星表面重力加速度：G Mm R 2＝mg ，所以g ＝GMR2。

（2）在离地面高为h 的轨道处重力加速度：G Mm (R ＋h )2＝mg h ，所以g h ＝GM(R ＋h )2。

3．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR。

（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

【考向1】天体质量和密度【例题】为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 。

则太阳的质量为（ ）A ．4π2r 3T 2R 2gB ．T 2R 2g 4π2mr 3C ．4π2mgr 2r 3T 2D ．4π2mr 3T 2R 2g【审题指导】（1）知道地球绕太阳公转的周期T 和太阳与地球中心间距r ，能求太阳质量吗？ 提示：能。

利用GMm r 2＝m 4π2T2r 。

（2）太阳质量的四个选项中没有引力常量G ，可以考虑用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g ＝GmR 2。

【答案】D 。

故选项D 正确。

【名师点睛】估算天体质量和密度时应注意的问题（1）利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

（2）区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径。

【考向2】天体表面重力加速度与抛体运动的综合【例题】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。

已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。

由此可知，该行星的半径约为（ ）A ．12RB ．72RC ．2RD ．72R 【答案】 C【名师点睛】重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg ＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

【考向3】填补法求解万有引力【例题】如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R ，如果从球中挖去一个直径为R 的小球，放在相距为d ＝2．5R 的地方，分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小。

（答案必须用分式表示，已知G 、M 、R ）（1）从球的正中心挖去。

（2）从球心右侧挖去。

【答案】（1）7GM 2400R 2 （2）103GM 26 400R 2【名师点睛】（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。

（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。

（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。

（4） 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。

重点2 人造卫星 宇宙速度 【要点解读】 1．一种模型无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看做质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动。

2．两条思路（1）万有引力提供向心力即G Mmr2＝ma 。

（2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg 或gR 2＝GM （R 、g 分别是天体的半径、表面重力加速度），公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。

3．三个比较求解卫星运行问题时，要认清赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关系。

“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。

GMmr 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3越高越慢5．地球同步卫星的特点（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。

（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同。

（4）高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.23×104 km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R （为恒量）。

（5）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

6．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7．9 km/s 。

（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

7．宇宙速度的理解与计算 （1）第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 12R得v 1=GMR= 6.67×10－11×5.98×10246 370×103m/s=7．9×103 m/s 。

方法二：由mg ＝m v 12R得v 1＝gR ＝9.8×6 370×103 m/s ＝7.9×103 m/s 。

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝5 075 s≈85 min 。

（2）宇宙速度与运动轨迹的关系①v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。

②7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

③11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动。

④v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

【考向1】人造卫星的运动规律【例题】太阳系中的行星受到太阳的引力绕太阳公转，但它们公转的周期却各不相同。

若把地球和水星绕太阳的运动轨迹都近似看作圆周，根据观测得知，地球绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，则由此可以判定（ ）A ．地球的线速度大于水星的线速度B ．地球的质量小于水星的质量C ．地球的向心加速度小于水星的向心加速度D ．地球到太阳的距离小于水星到太阳的距离 【审题指导】（1）地球围绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，揭示出了地球公转半径与水星公转半径哪个大？提示：据T ＝4π2r 3GM知地球公转半径大。

（2）有没有办法比较地球质量和水星质量。

提示：没有，因为它们不是中心天体。

【答案】C向心加速度，故C 正确。

【名师点睛】人造卫星问题的解题技巧（1）利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。

①G Mm r 2＝ma n ；②a n ＝v 2r ＝rω2＝4π2T2r 。

（2）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。

①卫星的a n 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。

②a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定。

【考向2】第一宇宙速度【例题】随着世界航空事业的发展，深太空探测已逐渐成为各国关注的热点．假设深太空中有一颗外星球，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，则下列判断正确的是 A ．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期B ．某物体在该外星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的4倍C ．该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍D ．绕该外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度相同 【答案】C【名师点睛】了解第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度；要比较一个物理量大小，我们可以把这个物理量先表示出来，在进行比较。

难点1 航天器的变轨问题 【要点解读】1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时小。

（2）当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时大。

卫星的发射和回收就是利用这一原理。

2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。

如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：（1）先将卫星发射到近地轨道Ⅰ；（2）使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，变轨时在P 点点火加速，短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；（3）卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

【考向】航天器的变轨问题【例题】（多选）如下图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。

假设“嫦娥三号”运行经过P 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q 、高度为15 km ，远地点为P 、高度为100 km 的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是（ ）A ．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B ．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C ．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的加速度一定大于经过P 点时的加速度D ．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的速率可能小于经过P 点时的速率 【审题指导】（1）如何比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周期？ 提示：据开普勒第三定律，比较半径与半长轴。