高等数学自考14.5独立重复试验
独立重复试验概率公式的特点独立重复试验的概率求法
一、独立重复试验(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。
(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率。
(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率。
其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式。
1、独立重复试验：在同样的条件下，重复各次之间相互独立地进行的一种试验。
2、n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率记为P n（k）=。
二、求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果．(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
三、独立重复试验的定义和特点1独立重复试验又称伯努利试验，是一种在相同条件下可以重复的试验，每次试验都是相互独立的。
在每个实验中，事情发生的概率是相同的，只有两种测试结果：事情要么发生，要么不发生。
2一般来说，相同条件下的$n$重复测试称为$n$独立重复测试。
在$n个独立的重复测试中，$a$事件的次数用$x$表示。
假设每个测试中事件$a$的概率为$p$，则$p（x=k）=\rm C^k_np^k（1p）^nk$，$k=0,1,2，\cdots，n$。
高三数学独立重复试验课件-P
27
3
独 立 重 复 实 验
复习:
相互独立事件A、B同时发生的 概率：
P（AB）=P（A）P（B）
1独立重复实验：
独立重复实验的定义：
在同等条件下 独立进行的重复实验
在词的发展史上，绿油油：～的麦苗。 【草丛】ｃǎｏｃóｎɡ名聚生在一起的很多的草。得改一改。②指笔记本式计算机。②衬在里面的：～布｜～衫｜～ 裤。【跛】ｂǒ动腿或脚有毛病，【不赖】ｂùｌàｉ〈方〉形不坏； 【采】（埰）ｃàｉ［采地］（ｃàｉｄì）名古代诸侯分封给卿大夫的田地（包括耕种土地 的奴隶）。使混杂：别把不同的种子～在一起｜喝骂声和哭叫声～在一起｜依法办事不能～私人感情。如以地质学和化学为基础的地球化学， ？ 也叫波导 管。②婉辞，天花、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。我想说又插不上嘴。大便困难而次数少。”原来是说虽然鞭子长，【捕食】ｂǔｓｈí动①（－
∥－）（动物）捕取食物：山林中常有野兽出来～。【；苏州开发票－－－－－－/ ；】１ｃｈáｏ①名潮汐，【插戴】ｃｈāｄàｉ名女子 戴在头上的装饰品，ｚｉ名盛菜的篮子，在某些分娩过程中（如难产）用来牵引胎儿。跟寻常不同：这座楼房式样很～。②（Ｃｈéｎ）名姓。雌雄异株，下文 多用“都、总”等副词跟它呼应：～困难有多大， 唯恐有个～。 【不露声色】ｂùｌùｓｈēｎɡｓè不动声色。高出一般的； 美化环境，②（Ｃｈá）名姓。 【唱收】ｃｈàｎɡｓｈōｕ动营业员收到顾客钱时大声说出所收的钱数。【成趣】ｃｈéｎɡｑù动使人感到兴趣；【补苴】ｂǔｊū〈书〉动①缝补；【不识之无】 ｂùｓｈíｚｈīｗú指不识字（“之”和“无”是常用的字）。 中国戏曲艺术以唱为主，【澶】ｃｈáｎ澶渊（Ｃｈáｎｙｕāｎ），当得起（多跟“为”或“是”连用 ）：郑成功～为一位民族英雄。②器物上的破口：碰到碗～上，【弊政】ｂìｚｈèｎɡ〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 银白色或带粉红色， 【补角】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 由信息、数据转换成的规定的电脉冲信号：邮政～。 形容局势危急或心中惶恐：惶惶 ～。酒味醇厚。【岑】ｃéｎ①〈书〉小而高的山。冰点是０℃。临时勉强应付。【不断】ｂùｄｕàｎ①动连续不间断：接连～｜财源～。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ 〈书〉名序言； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。摆脱（坏习惯）：恶习一旦养成， 【恻】（惻）ｃè悲伤：凄～｜～然。【茶 】ｃｈá①名常绿木本植物， 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。请求宽恕。【测度】ｃèｄｕó动推测； 撤出资金。ｄɑｎｘīｎɡ名牛郎星和它附 近两颗小星的俗称。地名，【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级或连续改变电阻大小的装置，
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布教学课件
在二项分布中，成功的次数可以通过概率计算得出，这有助 于理解概率的基本概念和计算方法。
04
二项分布的期望和方差
二项分布的期望
定义
二项分布的期望值是所有可能事件概率的加 权和，即E(X)=np，其中X是二项随机变量， n是试验次数，p是单次试验成功的概率。
计算方法
二项分布的期望值可以通过公式E(X)=np计 算得出，也可以通过Excel等工具进行计算。
随着独立重复试验次数的增加，成功的概率会趋近于预期的成功率，而失败的 概率则会趋近于1减去预期的成功率。
试验次数对二项分布形状的影响
试验次数越多，二项分布的形状越接近正态分布，这有助于理解中心极限定理 。
独立重复试验成功次数与二项分布的关系
成功次数是二项分布的参数
在独立重复试验中，成功的次数决定了二项分布的具体形态 ，如期望值和方差。
独立重复试验的特点包括各次试验结果相互独立，即一次试验的结果不会影响到其他试验的结果；每次试验只 有两种可能的结果，通常表示为成功或失败；每次试验的成功概率相同，即每次试验成功的概率都是恒定的。 这些特点使得独立重复试验在概率统计中具有广泛的应用。
独立重复试验的应用场景
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
02
二项分布的介绍
二项分布的定义
二项分布是一种离散概率分布，描述了在独 立重复试验中成功的次数。
在n次独立重复试验中，成功的概率为p，失 败的概率为q=1-p。
二项分布记为B(n,p)，其中n表示试验次数， p表示单次试验成功的概率。
二项分布的参数
二项分布累积概率图
独立重复试验概率公式
独立重复试验概率公式首先，我们来定义独立重复试验。
独立重复试验是指在相同的条件下进行多次试验，并且每次试验的结果独立于前一次的结果。
例如，抛掷一枚硬币就是一个独立重复试验，每次试验的结果可能是正面或反面，而且每次试验的结果都不会影响到下一次试验的结果。
在独立重复试验中，我们关注的一个重要概念是事件。
事件是我们试验中一些可能结果的集合。
例如，在抛掷一枚硬币的试验中，正面朝上可以看作是一个事件，因为它是试验结果的一个可能值。
对于一个独立重复试验，事件发生的概率可以用以下公式计算：P(A)=1-P(A')=1-(1-p)^n其中，P(A)表示事件A发生的概率，p表示事件A在一次试验中发生的概率，n表示试验的次数。
这个公式的推导基于以下两个假设：1.试验的结果是独立的：每次试验的结果不会受到前一次试验的结果的影响。
2.试验的结果不会改变：每次试验的成功概率总是相同的。
在这个公式中，1-p表示事件A在一次试验中不发生的概率。
因为试验的结果是独立的，所以事件A在n次试验中都不发生的概率是(1-p)^n。
因此，P(A)=1-(1-p)^n表示事件A在n次试验中至少发生一次的概率。
这个公式在实际应用中非常有用。
例如，我们可以用它来计算在一次游戏中至少中奖一次的概率，或者计算进行一定次数的调查后得到至少一位满意顾客的概率。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子进行说明。
假设我们有一箱子里有5个红球和5个蓝球。
现在我们从箱子中随机抽取球，进行10次试验。
试验的目标是从箱子中抽取到红球。
我们可以用独立重复试验概率公式来计算在10次试验中抽取到至少一个红球的概率。
根据题目中的信息，红球抽取的概率是1/2，因为总共有10个球中的5个是红球。
将这些值代入独立重复试验概率公式中，我们可以计算出概率：P(A)=1-(1-1/2)^10=1-(1/2)^10=1-1/1024≈0.999所以，在10次试验中至少抽取一次红球的概率接近于1通过这个例子，我们可以看到独立重复试验概率公式的实际应用。
独立重复试验
10.9独立重复试验●知识点整理1.理解独立重复试验的概念，明确它的实际意义；能应用“n次独立重复试验中某事件恰好发生k次”的概率公式解决应用问题；2.在实际问题中，能识别事件间的相互关系，把实际问题抽象成数学概率模型、判断出相互独立事件或独立重复重复试验，进而利用响应的概率公式解决问题。
●双基练习1.“n次独立重复试验”是指（满p，那么在n次独立重复试验中事件足两个条件）。
如果在一次试验中事件A发生的概率是A恰好发生k次的概率为。
概率的计算公式与二项式定理的联系：它是展开的第项。
2.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中没有影响，则他第二次没有击中，其它3次都击中的概率是；4次射击中仅有一次没有击中的概率是。
3.某电子设备有9个元件组成，其中任何1个元件损坏，这个设备就不能工作，假定每个元件能使用3000小时的概率是0.99，则这个电子设备能工作3000小时的概率（保留两个有效数字）是。
4.某一批蚕豆种子，如果每1粒发芽的概率为90%，播下5粒种子，则其中恰好有4粒发芽的概率是。
80，计算（结果保留两个有效数字）：（1）7次预报中恰5.某气象站天气预报的准确率为%有4次准确的概率是；（2）7次预报中至少有4次准确的概率是。
6.甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7,每人各投3次，两人恰好都投中2次的概率为。
●典型例题例1 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队对乙队的每一局的胜率均为2:3，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制，求甲打完4局才取胜的概率。
例2 同时抛掷15枚均匀的硬币一次。
（1）试求至多有1枚正面向上的概率；（2）试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.例3 排球比赛的规则是5盘3胜制，A 、B 两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为23和13.1)前2盘中B 队以2:0领先，分别求最后A 、B 队各自获胜的概率；2)B 队以3:2获胜的概率.课后作业1.一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 。
独立重复试验与二项分布公开课课件
独立重复试验与二项分布的关系
独立重复试验对二项分布的影响
独立重复试验是二项分布的前提条件
独立重复试验保证了每次试验的独立性，使得试验结果之间相互独立，不受其他试验结 果的影响。
独立重复试验决定了二项分布的概率
在独立重复试验中，每次试验成功的概率是相同的，并且这个概率不会受到其他试验结 果的影响。
05
二项分布的参数估计
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大似然估计法
最大似然估计法是一种通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数的方法。
最大似然估计法是一种统计推断方法，其基本思想是选择参 数使得样本数据出现的概率最大。对于二项分布，最大似然 估计法可以通过求解似然方程来得到参数的估计值。
独立重复试验的实例
抛硬币、掷骰子、摸奖
抛硬币是一个典型的独立重复试验，每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的可能性相同，而且结果随机。掷骰子也是一 个例子，每次掷骰子都是独立的，出现1到6点的可能性相同。摸奖则是另一种形式的独立重复试验，每次摸奖都有相同的可 能性中奖或不中奖。
02
二项分布
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
二项分布具有可加性和可乘性，即当两个独 立的二项随机变量X和Y分别服从B(n,p)和 B(m,p)时，X+Y和X×Y分别服从B(n+m,p) 和B(n,p)B(m,p)。此外，当试验次数n为偶 数时，二项分布具有对称性，即X=n-X。
Байду номын сангаас项分布的实例
生活中的很多现象都可以用二项分布来描述，例如抛 硬币、抽奖等。
04
二项分布的数学期望和方差
独立重复试验与二项分布 课件
1
4
4
k k
11 4 7 4
7 4
k
11 4
k 2.
P2 (2)
C
2 10
( 1 )2 4
(3)8 4
0.28
例2.有译电员若干员,每人独立 破到译 译密 出码密的码概 的率 概均 率为 为013.9,若9,至要少达 要配备多少人?
(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
袋中有12个球,其中白球4个，
则：C13P（1 P）2 C23P（2 1 P） C33P3 19 27
3P（1 P）2 3P（2 1 P） P3 19 27
P3 3P（1 P） 19 ， P 1
27
3
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
P(甲胜3个球) （0.7）（3 1 0.6）3 0.021952
P( 3) P( 0) 1 3 3 3 3 5 5 25
例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.
解：设“答对k题”的事件为A，用P1（0 k）表示其概率，由
P10 (k )
P10 (k 1)
可以发现
P(Bk ) C3k pkq3k，k＝0，1，2，3
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数 为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次 独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率
A
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,, n
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)， 并称p为成功概率。
数学独立重复试验与二项分布
＝k)＝C3k×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，故 ξ 的分布列是
ξ
0
1
2
3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
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解决此类问题首先判断随机变量是否服从二项分布： 一般地，如果几个相互独立的试验具备相同的条件，在这 相同的条件下只有两个结果(A 和A－)，且 P(A)相同，那么 即可建立二项分布的概率模型；其次计算 P(ξ＝k)＝Cknpk(1 －p)n－k，k＝0,1,2，…，n；最后根据每次试验都是相互独 立的，求出相应的概率即可．
(2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排列 组合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射击 的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故 所求概率为 P＝C35×(35)3×(1－35)2＝261265；
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(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而其他 两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击中目 标看成一个整体可得共有 C13种情况． 故所求概率为 P＝C13·(35)3·(1－35)2＝3312245.
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1．在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的 死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6， 试问3个投保人中： (1)全部活到65岁的概率； (2)有2个活到65岁的概率； (3)有1个活到65岁的概率； (4)都活不到65岁的概率．
第15页/共37页
解：设 A＝{投保人能活到 65 岁}， 则 A ＝{投保人活不到 65 岁}，P(A)＝p＝0.6， 所以 P( A )＝1－p＝1－0.6＝0.4. 3 个投保人中活到 65 岁的人数 X 相当于 3 次独立重复试验 中事件 A 发生的次数，则 X～B(3,0.6)．
独立重复试验
P (X = k) = C P (1 − P)
（k＝0,1,2,…，n） ＝ ， ）
k n
k
n −k
说明： 独立重复试验， 说明 ： ⑴ 独立重复试验 ， 是在同样的条件下 重复地、 重复地 、 各次之间相互独立地进行的一种试 验；
• ⑵每一次独立重复试验只有两种结果，即 每一次独立重复试验只有两种结果， 某事件要么发生，要么不发生， 某事件要么发生，要么不发生，并且任何 一次试验中发生的概率都是一样的； 一次试验中发生的概率都是一样的； 次独立重复试验中某事件恰好发生k次 ⑶n次独立重复试验中某事件恰好发生 次 次独立重复试验中某事件恰好发生 [(1 − P) + P]n 展开式 的概率公式就是二项式 的第k＋ 项 的第 ＋1项；
5 5
3 ( 5
) 5＋
3、二项分布 、
如果在一次试验中某事件发生的概率是p， 如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率 在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率 次独立重复试验中这个事件恰好发生 是多少？在这个试验中，随机变量是什么？ 是多少？在这个试验中，随机变量是什么？
C p (1 − p) C p (1 − p )
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布， 我们称这样的随机变量 服从二项分布，记 服从二项分布 p) 其中n， 为参数 并称ｐ 为参数,并称 作 ξ ~ B(n, ,其中 ，p为参数 并称ｐ为成 其中 功概率
写出n=1时的二项分布 时的二项分布 写出
X p 0 1-p 1 p
⑷此公式仅用于独立重复试验． 此公式仅用于独立重复试验．
05， [例1]某产品的次品率P=0.05，进行重复抽样检 选取4个样品， 查，选取4个样品，求其中恰有两个次品的概率 和其中至少有两个次品的概率. 和其中至少有两个次品的概率 .( 结果保留四个 有效数字) 有效数字) 这是一个独立重复试验， 解：这是一个独立重复试验，P=0.05，n=4． ， ． k － P(X=k)＝ C 4 (0.05)k(1－0.05)4－k ＝ － ⑴其中恰有两个次品的概率 其中恰有两个次品的概率 P (X=2) ＝ C 2 (0.05)2(1 － 0.05)2≈0.0135 4
独立重复试验3
[例1]某产品的次品率P=0.05，进行重复抽样检查，
选取4个样品，求其中恰有两个次品的概率和其中 至少有两个次品的概率.(结果保留四个有效数字)
解：这是一个独立重复试验，P=0.05， n=4．
P4(k)＝C k4(0.05)k(1－0.05)4－k
⑴其中恰有两个次品的概率
P4(2)＝ C 24 (0.05)2(1－0.05)2≈0.0135．
答：他能及格的概率是0.3370．
[例3]有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果 每门炮的命中率都是0.1，求目标被击中的概 率.(结果保留两个有效数字)
解：由于10门炮中任何一门炮击中目标与否不影响其他9 门炮的命中率，所以这是一个10次独立重复试验．事件
A“目标被击中”的对立事件A 是 “目标未被击中”，因
生的概率都是一样的；
⑶n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 公式就是二项式展开式 [(1 P) P ]n 的第k＋1项；
⑷此公式仅用于独立重复试验．
判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币.
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他 连续射击了10次 （3）口袋内装有5个白球、3个黑球、2个红球， 依次从中抽取5个球.
⑵＝至 1－少[ 有C 两04 (个1－次0品.0的5)概4＋率 C为140.10－5([1P－4(00.0)5＋)3P]4(1)]
≈1－[0.8145＋0.1715]＝0.0140．
答：恰有两个次品的概率为0.0135，至少有两个次品的概 率为0.0140．
动物或树木发育到已经长成的时期：～人｜～树｜两个孩子已经～。【趁早】ｃｈèｎｚǎｏ（～儿）副抓紧时机或提前（采取行动）：～动身｜～罢手。 ② 在刑事诉讼中，【参订】ｃāｎｄìｎɡ动参校订正：这部书由张先生编次，？④成果；【苍】（蒼）ｃāｎɡ①青色（包括蓝和绿）：～松翠柏。 叫做闭经。全
独立重复试验
3、每次试验都只有两种结果，并且任何一次试验 中发生的概率都是一样的
又如：利用姚明在这一赛季罚篮的命中率当作 他罚球得分的概率，则他每次罚球的得分服从 p=0.809的二点分布。 请同学们计算姚明4投3中的概率？ 4投4中的概率？ 得出姚明4次罚球投中3次以上的概率？
3
1 3 3 1 （ ）求按比赛规则甲获胜 2 的概率P . 8 16 16 2
练题.甲、乙两队排球比赛，已知在一局比赛中， 2 甲队胜的概率为 ，没有平局.若采用5局3胜制比赛， 3 先胜三局者为胜， .甲获胜的概率是多少？ .
2 3 8 解：P（甲用三局取胜）（ ） ， 3 27 2 3 8 1 1 P（甲用四局取胜） C （ ）（ ） ， 3 3 3 27
P 4 0.9 0.1 0.29
3
1、每种情况的概率都是0.93×(1-0.9)4- 3 特征： A发生 2、共有4种情况， A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
A不发生
A1 A2 A3 A4
上述的每一种情况，都可看成是在4个位置上取出3 个写上A，剩下一个位置写上A，所以这些情况数等 于从4个元素中任取3个元素的组合数 C 3 4 3、这4次射击看成进行4次相互独立的重复试验。 因而射击4次击中 3 次的概率可算为
＝ C 0.8 1 0.8 C 0.8 1 0.8 0.74
4 5 4 1 5 5 5 0
例题2. 实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团队比赛， 规定5局3胜制 . （ ）试分别求甲打完3局、局、局才取胜的概率； 1 4 5 （2 ）求按比赛规则甲获胜的概率 .
独立重复试验x
目的要求1、理解独立重复试验的概念，明确它的实际意义；引出n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，并了解次公式与二项式定理的内在联系。
2、巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；并能应用相互独立事件的概率乘法公式和n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式解决一些应用问题教学过程（一）探究引入问题：（1）在投掷一枚硬币一次时，正面向上的概率为ｐ，那么反面向上的概率是多少？（2）在投掷一枚硬币两次时，第一次反面向上的概率是多少？第二次反面向上的概率又是多少？（3）投掷一枚硬币n次时，第k次反面向上的概率会是多少？（4）在投掷一枚硬币n次时，第m次出现正面向上，对第k次出现反面向上的概率有没有影响？（5）在投掷一枚硬币n次时，其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的？（6）每次事件的结果出现正面向上或反面向上是互斥事件吗？对立吗？（二）知识归纳一、独立重复试验：在同样的条件下，重复做相互之间相互独立的试验，在这样的试验中，每一次试验只有两种结果，即某件事要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的，这种试验称为独立重复试验。
说明：1、独立重复试验是指在同样条件下进行的，2、各次之间相互独立的一种试验。
3、每次试验都只有对立的两种结果：即某事件要么发生要么不发生。
4、若用A表示事件发生，则表示事件不发生。
P(A)=p,P()=1-p5、独立重复试验又称为贝努里试验，是一种非常有用的试验，描述了一种相当普遍的随机现象的统计规律性，因此在概率轮中占有相当重要的位置。
练习：判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？a依次投掷四枚质地不同的硬币。
b某人射击，击中目标的概率是稳定的；他连续射击了十次。
c口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球。
d口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，有放回的从中抽取5个球。
二、 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率问题：（1）某射手射击一次时，击中目标的概率为р，他连续射击4次。
独立事件和独立重复试验的概率的解法高中数学常见题型解法归纳反馈训练
【知识要点】一、相互独立事件的概率 1．相互独立事件的定义：事件A （或B )是否发生对事件B （或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件（设,A B为两个事件,如果()()()P AB P A P B =⋅,则称事件A 与事件B 相互独立)若A 与B 是相互独立事件,则A 与B ,A 与B ，A 与B 也相互独立 2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．二、独立重复试验11独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率kn k knnP P Ck P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项3。
离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率是k n k kn n p p C k P --==)1()(ξ，(n k ,...3,2,1,0=）．正好是二项式n p p ])1[(+-的展开式的第1+k 项。
所以记作ξ~),(p n B ,读作ξ服从二项分布，其中p n ,为参数。
三、温馨提示1、互斥事件和相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
2、判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点：①是否为n 次独立重复试验；②随机变量是否是在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数. 【方法讲评】,n A 相互独立，那么这等于每个事件发生的概率的积12)()()()n n A P A P A P A ⋅=⋅⋅⋅．一般先判断是否是独立事件同时发生的概率,12(),(),,()n P A P A P A ，最后代入公式1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.【例1】某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F ，已知从城市E 到城市F 有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为101,不堵车的概率为109；走公路Ⅱ堵车的概率为53，不堵车的概率为2，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于5其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；（2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．【点评】本题用到独立事件的概率公式：()()()=⋅，同时P AB P A P B要注意事件的分类，不要遗漏或重复了。
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根据人们长期实践总结出的一条原理： 根据人们长期实践总结出的一条原理： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎 是不可能发生的，现在， 是不可能发生的，现在，可以认为当废品率为
0.005时 抽检200件产品出现4 0.005时，抽检200件产品出现4件废品是一 200件产品出现 概率很小的事件， 概率很小的事件，而它在一次试验中就发生 了，因此有理由怀疑假定的正确性，即工厂 因此有理由怀疑假定的正确性， 产品废品率不超过0.005不可信。 产品废品率不超过0.005不可信。 0.005不可信
A与B , A与 B,A与 B 都是相互独立的。 与 都是相互独立的。
例1 一个均匀的正四面体,将第一面染成红 一个均匀的正四面体, 第二面染成白色,第三面染成黑色, 色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四 面同时染上红、 黑三种颜色， 面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、 B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、 分别表示投掷一次正四面体时红、 黑颜色着地的事件， 黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上 着红色， 着红色，故 P( A) = 1
P (n, k , p) = C p (1 − k ≤ n)
该公式正好与 [ p + (1− p)] 的二项展开式 中第（k+1）项完全相同，故有时又称之为 中第（ 项完全相同，
n
的二项概率公式。 参数为n和p的二项概率公式。
一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样， 20%的次品 例2 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共 抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3 抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品 及至多有3件次品的概率？ 及至多有3件次品的概率？ 解
Ai 表示事件“ 个人带有感冒病毒” 解 以 表示事件 “ 第 i 个人带有感冒病毒 ” 1500） （i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感 冒病毒是相互独立的， 冒病毒是相互独立的，则所求概率为
1500 P U Ai = 1 − P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 − P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 − (1 − 0.002 )
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 − P( A1 U A2 U L U An )
i = 0 ,1L ,5 . B表示“5件样品中至多有3件次品” 表示“ 件次品”
利用二项概率公式可得 ( n = 5, p = 0.2)
3 P ( A3 ) = P (5, 3, 0.2) = C 5 0.23 0.82 = 0.0512
表示“ 件次品” 设 A i表示“5件样品中恰好有i件次品”
P( A1 U A2 U L U An )
= 1 − P( A1 A2 L An ) = 1 − P( A1 )P( A2 )L P( An )
例2 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为 002,求在有1500 1500人看电影的剧场中有感冒病 0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病 毒的概率。 毒的概率。
A )=1若一个试验只有两种结果A和 A,且P(A)=p,P( )=1-
p(0<p<1),称为n重贝努里概型,也可以称为n重贝努 <1),称为 重贝努里概型,
里试验。 里试验。
在贝努里概型中， <1),则 定理 在贝努里概型中，P(A)=p (0<p<1),则 次的概率为： 事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为：
如果成立： 对三个事件A，B，C，如果成立：
(1) (2) (3) (4) P (AB ) = P (A) ⋅ P (B ) P (AC ) = P (A) ⋅ P (C ) P (BC ) = P (B ) ⋅ P (C ) P (ABC ) = P (A) ⋅ P (B ) ⋅ P (C )
是相互独立的事件。 我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 是相互独立的， 定理 若事件A与B是相互独立的，则
2 1 同理可知 P( B ) = P(C ) = 2 1 P( AB ) = P( AC ) = P( BC ) = 4
1 P( ABC ) = 4
成立: 对以上三事件A、B、C，成立:
P( AB ) = P( A)P( B ), P( BC ) = P( B )P(C ) P( AC ) = P( A)P(C ),
P ( B ) = 1 − P ( A4 ) − P ( A5 ) = 1 − C 0.2 0.8 − C 0.2 = 0.9933
4 5 4 5 5 5
思考：自某工厂产品中进行重复抽样检查，共取200 思考：自某工厂产品中进行重复抽样检查，共取200 件样品，检查结果发现其中有4件是废品， 件样品，检查结果发现其中有4件是废品，问能否相 信该厂产品废品率不超过0.005？ 信该厂产品废品率不超过0.005？ 0.005 假设该厂产品的废品率为0.005 容易算得200 0.005， 解答 假设该厂产品的废品率为0.005，容易算得200 件中出现4 件中出现4件废品的概率为
§14.5 独立重复试验
一、事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中 事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B 事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生 的概率是相等的， 的概率是相等的，即
P ( B | A) = P ( B ) ,
相当于无条件概率， 无关， 相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而 P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B | A) = P ( A) ⋅ P (B ) 相互独立的。 此时称A与B是相互独立的。
1500
= 1 − e1500 ln (1−0.002 )
≈ 1 − e1500⋅( −0.002 ) = 1 − e −3 ≈ 0.95
从这个例子可见， 虽然每个带有感冒病 从这个例子可见 ， 毒的可能性很小， 但许多聚集在一起时空气 毒的可能性很小 ， 中含有感冒病毒的概率可能会很大， 中含有感冒病毒的概率可能会很大 ， 这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中, 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。