奥数：同余问题.学生版(精编版)
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
六年级奥数同余问题
六年级奥数同余问题
同余问题是奥数中常见的一个数论问题。
在六年级的奥数中，同余问题通常涉及到模运算和同余关系。
下面是一个简单的例子：
例题：求满足以下条件的最小正整数x：x除以7的余数为3，x除以5的余数为2。
解题思路：
根据题目的条件，我们可以设x = 7a + 3，又因为x除以5的余数为2，我们可以得到新的条件x ≡ 2 (mod 5)。
将前一个条件代入后一个条件得到7a + 3 ≡ 2 (mod 5)。
进一步化简得到2a ≡ 4 (mod 5)，然后求解a的值，最后代回原方程解出x。
以上是一个简单的同余问题的求解过程，实际的同余问题可能会更加复杂，需要运用更多的数论知识和技巧来解决。
小学五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小升初奥数同余问题
同余问题被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）同余定理 1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
并且我们说a，b之间的差能被c整除。
（a b c三个数都是自然数）例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值.同余定理 2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。
（a b c均为自然数）例2：22003除以7的余数是多少？习题2：3145368765987657的积,除以4的余数是_____.例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理）分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。
此题解法很多，在此介绍同余尝试法。
在附录中有此种题型的一般解法。
题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。
所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。
一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数：2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57,,在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然，23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4,,以上数列都能满足前面两个要求。
所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有23，58，93，128，163，198，233，268，303，338,,接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3,,综上，我们发现23，128，233，338，443,,均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
六年级奥数周周练 第38周 同余问题 (学生版)
第38周同余问题一、知识要点同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（modｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod5），19≡4（mod5），32+19≡2+4≡1（mod5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
二、精讲精练【例题1】求1992×59除以7的余数。
【思路导航】应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数竞赛专题之同余问题
小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m 同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
六年级奥数习题及答案：同余问题
六年级奥数习题及答案：同余问题同余问题是六年级奥数的难题，许多同学不知道这种类型的题目应该如何解答，下面就是小编为大家整理的同余问题的奥数习题，希望对大家有所帮助!一求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因为1993≡5(mod7)所以：437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即：437×309×1993被7除余1。
二70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，……结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版同余定理及其应用同余定理是数论的一个重要概念，它在奥数竞赛中经常被用来解决问题。
同余定理的精髓可以用下面的一句话来概括：如果两个数除以一个数得到的余数相等，那么这两个数对于这个数来说是同余的。
具体来说，对于给定的整数 a、b 和正整数 m，如果 a 除以 m 得到的余数与 b 除以 m 得到的余数相等，即 a mod m = b mod m，那么就可以说 a 和b 是关于模 m 同余的，记作 a ≡ b (mod m)。
同余定理可以表示为以下几个性质：1.自反性：对于任意整数 a 和正整数 m，有 a ≡ a (mod m)。
2.对称性：对于任意整数 a、b 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m)。
3.传递性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且b ≡c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
了解了同余定理的性质后，我们就可以开始利用同余定理解决一些有关数的性质或问题了。
应用一：同余定理的运算第1页/共4页同余定理对于数的加减乘除运算有一些有趣且有用的性质。
1.加法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a + c ≡ b + b (mod m)。
2.减法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a - c ≡ b - b (mod m)。
3.乘法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，那么 a × c ≡ b × d (mod m)。
4.除法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，且 c 和 m 互素，那么 a ÷ c ≡ b ÷ d (mod m)。
奥数精编训练-同余问题
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？【例 4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 5】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【例 6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
【小学精品奥数】同余问题.学生版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？【例 4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 5】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【例 6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
五年级奥数18讲：同余问题
有一个小于200的数， 被7除余2，被8除余3， 被9除余1，这个数是多 少？
例3:199259除以7 的余数.
两个整数之积除以另一个整数 的余数，等于两个整数分别除 以另一个整数的余数的积。
求71427和19的积除以 7的余数37…… 437除以 2008个437
23的余数是多少？
437437…… 437除以 2008个437
13的余数是多少？
求396281754487除 以3的余数。
一个数各位数字之和除以 3(9)的余数是几,那么这个 数除以3(9)的余数就是几.
例4:一个数除以3余1， 除以5余3，除以6余4， 这个数最小是多少？
今有物不知其数，三三 数之剩二，五五数这剩 三，七七数之剩二，问 物几何？
例5:有一个数除以3 余2，除以5余3，除 以7余2。
高中数学奥数培训资料之同余(可编辑修改word版)
兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§27 同余1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作 a ≡b(mod m) ，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作a ≡b(mod m)，显然，a ≡b(mod m) ⇔a =km +b,(k ∈Z ) ⇔m | (a -b) ；每一个整数a 恰与1，2，……，m，这m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：a ≡a(mod m) ；2).对称性：a ≡b(mod m) ⇔b ≡a(mod m) ；3).若a ≡b(mod m) ，b ≡c(mod m) 则a ≡c(mod m) ;4).若a1 ≡b1 (mod m) ，a2 ≡b2 (mod m) ，则 a1 ±a2 ≡b1 ±b2 (mod m)特别是a ≡b(mod m) ⇔a ±k ≡b ±k (mod m) ；5).若a1 ≡b1 (mod m) ，a2 ≡b2 (mod m) ，则 a1a2 ≡b1b2 (mod m) ；特别是 a ≡b(mod m), k ∈Z ⇔则ak ≡bk (mod m)a ≡b(mod m), n ∈N ⇔则a n≡b n(mod m) ；6).a(b +c) ≡ab +ac(mod m) ；7).若ac ≡bc(mod m),则当(c, m) = 1时，a ≡b(mod m)当(c, m) =d时，a ≡8).若a ≡b(mod m1 ) ，a ≡b(mod m2 )a ≡b(mod m3) b(modm)..特别地，ac ≡bc(mod mc) ⇔a ≡b(mod m) ；d………………a ≡b(mod mn ) ，且M = [m1, m2,⋯⋯mn]，则a ≡b(mod M )1 例题讲解1. 证明：完全平方数模 4 同余于 0 或 1；2．证明对于任何整数 k ≥ 0 , 26k +1 + 36k +1 + 56k + 1 能被 7 整除；3．试判断197126 + 197227 + 197328 能被 3 整除吗？4．能否把 1，2，……，1980 这 1980 个数分成四组，令每组数之和为 S 1，S 2，S 3，S 4 ， 且满足 S 2 - S 1，＝10，S 3 - S 2＝10，S 4 - S 3＝105．在已知数列 1，4，8，10，16，19，21，25，30，43 中，相邻若干数之和，能被 11 整除的数组共有多少组。
六年级奥数同余问题附答案.docx
六年级奥数同余问题附答案1、求 437×309×1993 被 7 除的余数。
思路分析：如果将 437×309×1993 算出以后，再除以 7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7 除的余数1。
但是能否找更的法呢 ?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因 1993≡5(mod7)所以： 437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即： 437×309×1993 被 7 除余 1。
2、70 个数排成一行，除了两的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两两个数的和，个行最左的几个数是的：0，1，3，8，21，⋯⋯，个行数最右的一个数被 6 除的余数是几 ?思路分析：如果将 70 个数一一列出，得到第 70 个数后，再用它去除以 6 得余数，是能的，但算量太大。
即然 70 个数中：中的一个数的 3 倍是它两的数的和，那么它被 6除以后的余数是否有似的律呢 ?0，1，3，8，21，55，144，⋯⋯被 6 除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，⋯⋯果余数有似的律，察，能得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，⋯⋯能看出余数前12 个数一段，将重复出。
70÷2=5⋯⋯ 10，第六段的第十个数 4，便是原来数中第 70 个数被 6 除的余数。
思路分析：我被直接用除法算式，果如何。
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1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）
能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．
⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；
知识点拨
教学目标
5-5-3.同余问题
⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
模块一、两个数的同余问题
【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位
数是______.
【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后
所得的余数，则这个自然数是多少？
【例 5】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．
例题精讲
【例 6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：
3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
模块二、三个数的同余问题
【例 7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。
问这个整数是几?
【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【巩固】140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是.
【巩固】三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。
【例 8】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【例 9】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
【例 10】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，则这个自然
a+，5
数是多少？
【巩固】有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【例 11】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5
a+、2a、a，求这个自然数和a的值.
【例 12】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【例 13】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1
a-，求该自然数的
a-，2a，31
值．
【例 14】有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(＞1)与余数(＞0)之和都相等，这样的数最小可能是多少．
【例 15】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
模块三、运用同余进行论证
【例 16】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？
为什么？
【例 17】一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【例 18】从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
【例 19】设21
n+除所得的余数各不相同．n+是质数，证明：21，22，…，2n被21。