2016高三一轮复习学案(理数)(人教)第10章概率与统计第3课时二项分布及其应用(最新整理)

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高三数学一轮复习学案概率统计

高三数学一轮复习学案概率统计【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】题型1 抽样方法【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是〔〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样 D ．以上均不对分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B ．点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．〔2〕系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体．例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕A ．24B ．18C ．16D ．12分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%，解析：C 二年级女生即20000.19380x =⨯=，如此一年级和二年级学生的总数是3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生一年级二年级三年级女生 373 x y男生377 370 z应是64500162000⨯=．答案C ．点评：此题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析咨询题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为动身点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．〔2018江苏泰州期末第2题〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并依照所得数据画了样本的频率分布直方图〔如以下图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在[)2500,3500〔元〕月收入段应抽出人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：依照图能够看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：此题把统计图表和抽样方法结合起来，要紧目的是考查识图和运算能力．题型2统计图表咨询题例4〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第2题〕从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情形进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：假设某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，那么该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：依照图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ．视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分不直方图咨询题时容易显现的错误是认为直方图中小矩形的高确实是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题〕某篮球运动员在一个赛季的40场竞赛中的得分的茎叶图如下图，那么这组数据的中位数是；众数是．分析：依照茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个〔或是最中间两个数的平均数〕，故从茎叶图能够看出中位数是23；而众数是样本数据中显现次数最多的数，故众数也是23．点评：一表〔频率分布表〕、三图〔频率分布直方图、频率折线图、茎叶图〕、三数〔众数、中位数、众数〕和标准差，是高考考查统计的一个要紧考点．例5〔2018高考广东文11〕为了调查某厂工人一辈子产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，那么这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：此题考查频率分布直方图，解题的关键是明确那个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差〔方差〕的运算咨询题例6 〔2018高考山东文9〕从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，那么这100 人成绩的标准差为〔〕A ．3 B ．2105 C ．3 D ．85分析：依照标准差的运算公式直截了当运算即可．解析：平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是()()()()()222222053104330333023101310080103040821010055s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===．答案B ．点评：此题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确明白得统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清晰，解答并不困难．例7．〔中山市高三级2018—2018学年度第一学期期末统一考试理科第9题〕假设数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，那么数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均数为，方差为．分析：依照平均数与方差的性质解决．解析：16,18例8．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第3题〕如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分不为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4解析：C题型4 用样本估量总体例8〔2018高考湖南文12〕从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情形如下表所示：那么该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯=点评：考查样本估量总体的思想．题型5．线性回来分析例9．〔2007高考广东〕下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 〔吨〕与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据362.54.5〔1〕请画出上表数据的散点图；〔2〕请依照上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回来方程y bx a =+；〔3〕该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试依照〔２〕求出的线性回来方程，推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：此题中散点图好作，此题的关键是求y 关于x 的线性回来方程y bx a =+，它既能够由给出的回来系数公式直截了当运算，也能够遵循着最小二乘法的差不多思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：〔1〕散点图如右；〔2〕方法一：设线性回来方程为y bx a =+，那么222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．因此线性回来方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，因此线性回来方程为0.70.35y x =+．〔3〕100x =时，0.70.3570.35y x =+=，因此推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：此题考查回来分析的差不多思想．求线性回来方程的方法一这实际上是重复了回来系数公式的推导过程，那个地点的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而那个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就能够解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回来系数的运算公式，一样考试中都会给出那个公式，但要注意各个量的运算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估量值，不是完全确定的值．关于此题我们能够运算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这讲明x ，y 具有专门强的线性相关性，讲明讲明变量对预报变量的奉献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感受是十分符合的．此题容易用错运算回来系数的公式，或是把回来系数和回来常数弄颠倒了．例10．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试第17题〕为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一时期的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学 88 83 117 92 108 100 112物理 94 91 108 96 104 101 106〔1〕他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；〔2〕该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，假设该生的物理成绩达到115分，请你估量他的数学成绩大约是多少？并请你依照物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳固性用样本数据的方差判定，由物理成绩估量数学成绩由回来直线方程解决．解析：〔1〕12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=；2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理，从而22S S >数学物理，因此物理成绩更稳固．〔2〕由于x 与y 之间具有线性相关关系，依照回来系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回来方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：«考试大纲»在必修部分的统计中明确指出〝①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程〞．2007年广东就以解答题的方式考查了那个咨询题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型运算咨询题例11 〔2018高考江苏2〕一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．分析：枚举差不多事件总数和随机事件所包含的差不多事件的个数后，依照古典概型的运算公式运算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，差不多事件的总数是36，故那个概率是31369=．或是数形结合处理．点评：古典概型的运确实是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性咨询题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的运算．例12．〔2018年福建省理科数学高考样卷第4题〕如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，那么该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：确实是圆的面积和正方形面积的比值．解析：依照几何概型的运算公式，那个概率值是4π，答案A ．点评：高考对几何概型的考查一样有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率运算一起进行综合考查．例13．〔2018高考山东文18〕现有8名奥运会理想者，其中理想者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的理想者各1名，组成一个小组．〔1〕求1A 被选中的概率；〔2〕求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出差不多事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的运算公式解决．解析：〔1〕从8人中选出日语、俄语和韩语理想者各1名，其一切可能的结果组成的差不多事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个差不多事件组成．由于每一个差不多事件被抽取的机会均等，因此这些差不多事件的发生是等可能的．用M 表示〝1A 恰被选中〞这一事件，那么M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个差不多事件组成，因而61()183P M ==．〔2〕用N 表示〝11B C ，不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示〝11B C ，全被选中〞这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个差不多事件组成，因此31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=．点评：此题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、〝正难那么反〞等数学思想方法，考查分析咨询题解决咨询题的能力．题型7 排列组合〔理科〕例14．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第9题〕由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,那么19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430分析：按照千位的数字查找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题〕有3张都标着字母A ，6张分不标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，假设任取其中6张卡片组成牌号，那么能够组成的不同牌号的总数等于．〔用数字作答〕分析：由于字母A 是一样的，没有区不，故能够按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．点评：解决排列、组合咨询题的一个差不多原那么确实是先对咨询题分类、再对每一类中的咨询题合理地分步，依照排列组合的有关运算公式和两个差不多原理进行运算．题型8 二项式定理〔理科〕例15．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第12题〕1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象如下图，那么实数a 的值为___________．分析：依照点列的图能够明白012,,a a a 的值，即能够通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又依照二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =．点评：此题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的咨询题，解决咨询题的差不多动身点是方程的思想．例16〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第4题〕假设23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，那么5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35- 分析：依照展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区不，不把符号弄错了．题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差〔理科的重要考点〕例17．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第19题〕在一个盒子中，放有标号分不为1，2，3的三张卡片，现从那个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分不为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．〔1〕求随机变量ξ的最大值，并求事件〝ξ取得最大值〞的概率；〔2〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：依照对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量能够取那些值，然后依照其取这些值的意义，分不运算其概率．解析：〔1〕x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情形有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．〔2〕ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情形，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情形， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情形．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ．那么随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．点评：有放回的〝取卡片、取球〞之类的咨询题，其差不多事件的总数要由分步乘法计数原明白得决，这是一类重要的概率模型．例18．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试加试第4题〕某次乒乓球竞赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，竞赛采纳五局三胜制，按以往竞赛体会，甲胜乙的概率为23．〔1〕求竞赛三局甲获胜的概率；〔2〕求甲获胜的概率；〔3〕设甲竞赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：竞赛三局甲即指甲连胜三局，能够按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式运算，也能够将咨询题归结为三次独立重复试验，将咨询题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，能够分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲竞赛的次数也确实是本次竞赛的次数，注意当三局就终止时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，〔1〕竞赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==；〔2〕竞赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==；竞赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==；甲获胜的概率是：3456481P P P ++=．〔3〕记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=．点评：这是一个以独立重复试验概型为差不多考查点的概率试题，但那个地点又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类竞赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.〔2018高考湖南理4〕设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,假设(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,那么c = ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：依照正态密度曲线的对称性解决．解析：B 依照正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =．点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20〔2018高考安徽理10〕设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如下图．那么有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：依照正态密度曲线的性质解决．解析：A 依照正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是〝利用实际咨询题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义〞，那个考点多次显现在高考试卷中．【专题训练与高考推测】文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，通过适当的时刻后，再从池中捕得100条鱼，假设其中有记号的鱼为10条，试估量鱼池中共有鱼的条数为〔〕A．1000B．1200C．130D．13002．x与y之间的一组数据：x0123y1357那么y与x的线性回来方程为y a bx=+必过点〔〕A．()2,2B．()1.5,0C．()1,2D．()1.5,43．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，假设采纳下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，那么每人入选的概率〔〕A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为200750D．都相等，且为4014．依照某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，假设在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为〔〕A．15%B．20%C．45%D．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分不由4名同学无放回地抽取．假设第一名同学没有抽到中奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是〔〕A．14B．13C．12D．16．有如下四个游戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，那么可中奖．小明期望中奖，他应选择的游戏盘是〔〕二、填空题7．归直线方程为0.50.81y x=-，那么25x=时，y的估量值为．8．假设由一个2*2列联表中的数据运算得2 4.013K=，那么有把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采纳分层抽样的方法进行抽样，甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么乙生产线生产了件产品．10．如图：M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，那么弦MN 的长度超过2R 的概率是．三、解答题11．一个质地平均的正方体玩具的六个面上分不写着数字1,2,3,4,5,6，现将那个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分不为,a b ，曲线:1x y C a b+=．〔1〕曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；〔2〕曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．年收入x 〔万元〕 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y 〔万元〕 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是〔〕 A ．16 B ．14 C ．13 D ． 122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分不为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，那么y 与x的线性回来方程可能是〔〕 A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，那么军火库发生爆炸的概率是〔〕A ． 0.006B ．0.4C ． 0.5D ． 0.66．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，那么取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是〔〕A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发觉该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据能够估量出草坪的面积约为〔〕A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，假如每一所院校至少有1人报考，那么不同的报考方法共有〔〕A ．216种B ．540种C ．729种D ．3240种二、填空题9．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高学生中，剔除人，高一、高二、高三抽取的人数依次是．10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11．假设2x =，那么50(1)x +展开式中最大的项是项．三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，他们击中的环数都稳固在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不阻碍．射击环数的频率分布条形图如下：假设将频率视为概率，回答以下咨询题．〔1〕求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；〔2〕假设甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．〔1〕依照表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 依照用样本估量总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，依照互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13． 10．解析：A 选择游戏盘的原那么是中奖的概率大，A 中中奖的概率是38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，如此的点有两个，分不记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满足MN >，现在21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：差不多事件的总数是36．〔1〕,a b1≤，即22111a b+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个差不多事件，故所求的概率是1136；〔2〕曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，差不多事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=． 16．解析：〔1〕由题意知，年收入x 为讲明变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图〔如下图〕．。

2016届人教A版高考数学大一轮复习课件第10章统计、统计案例及概率第2讲

B. x ＋100，s2＋1002
C. x ，s2
D. x ＋100，s2
基础诊断
考点突破课堂总结第十二页，编辑于星期五：十八点四十一分。
解析 x ＝x1＋x2＋10…＋x10，
s2＝110[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(x10－ x )2]，
月工资增加 100 元后：
x′ ＝x1＋100＋x2＋10100＋…＋x10＋100
＝x1＋x2＋10…＋x10＋100＝ x ＋100，
s′2＝110[(x1＋100－ x′ )2＋(x2＋100－ x′ )2＋…＋(x10＋100－
x′ )2]＝s2.故选 D. 答案 D
基础诊断
考点突破课堂总结第十三页，编辑于星期五：十八点四十一分。
5．(人教A必修3P82A6改编)甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲0102203124 乙2311021101 则机床性能较好的为________．
基础诊断
考点突破课堂总结第九页，编辑于星期五：十八点四十一分。
3．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进
行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区
间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图
基础诊断
考点突破课堂总结第三页，编辑于星期五：十八点四十一分。
频率在频率分布直方图中，纵轴表示_组__距__，数据落在各小组内的频
率用_各__小__长__方__形_的__面__积___表示，各小长方形的面积总和等于_1_. (3) 总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．

高考数学一轮复习(理科)：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第8节二项分布与正态分布学案

第八节二项分布与正态分布[考纲传真] (教师用书独具)1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(对应学生用书第185页)[基础知识填充]1．条件概率在已知B 发生的条件下，事件A 发生的概率叫作B 发生时A 发生的条件概率，用符号P (A |B )来表示，其公式为P (A |B )＝P (AB )P (B )(P (B )＞0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )．(2)二项分布进行n 次试验，如果满足以下条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ②每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n ) 若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．4．正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝68.3%； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝95.4%； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝99.7%.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(3)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(4)在正态分布的分布密度上，函数：f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2中，σ是正态分布的标准差．( )(5)二项分布是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A ．316 B ．1316 C ．34D ．14C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝12P (A )，所以P (A )＝34.]3．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A ．49B ．29C ．427D ．227A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.] 4．(·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A ．]5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝________.0.6 [由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称．则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.](对应学生用书第186页)(1)(·西宁检测(一))盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A ．35 B ．59 C ．25D ．110(2)(·东北三省三校二模)甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________．(1)B (2)1318 [(1)“第一次摸出新球”记为事件A ，则P (A )＝35，“第二次摸出新球”记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59，故选B ．(2)由于已知甲取到的数是5的倍数，那么所有的取数的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共18种，而满足甲数大于乙数的基本事件有13种，故所求的概率为P ＝1318.][规律方法] 条件概率的两种求法 1定义法：先求PA 和P AB ，再由P B |A ＝P (AB )P (A )求P B |A.2基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n A ，再求事件AB 所包含的基本事件数n AB ，得P B |A ＝n (AB )n (A ). 3P AB 的求法：AB 即事件的交，即同时发生，法一、A 与B 相互独立，用概率乘法公式.法二、A 与B 有公共基本事件时用古典概型.烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )【导学号：79140372】A ．110B ．15C ．25D ．12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C ．]相互独立事件同时发生的概率(·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为12，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为112，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为29，记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件．(1)分别求出事件A ，B ，C 的概率P (A )，P (B )，P (C )；(2)从甲、乙、丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解] (1)由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P (A B )＝12，P (BC )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·(1－P (B ))＝12，P (B )·P (C )＝112，P (A )·P (C )＝29.解得P (A )＝23，P (B )＝14，P (C )＝13.(2)由(1)知P (A )＝13，P (B )＝34，P (C )＝23，ξ的可能取值为0,1,2,3.∴P (ξ＝0)＝P (A B C )＝13×34×23＝16，P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×34×23＋13×14×23＋13×34×13＝1736， P (ξ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×14×23＋23×34×13＋13×14×13＝1136， P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×14×13＝118.∴ξ的分布列为[规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1首先判断几个事件的发生是否相互独立. 2求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 3理解A ＝A1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3的含义.为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215. 故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求X 的分布列为X 0 100 120 220 P215 15 415 25独立重复试验与二项分布一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12；且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 的可能取值有－200,10,20,100.根据题意，有P (X ＝－200)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， P (X ＝10)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18.所以X 的分布列为X －200 10 20 100 P18383818(2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是P ＝38＋38＋18＝78.则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 P 1＝1－C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫780⎝ ⎛⎭⎪⎫1－783＝511512.[规律方法] 1.独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.2.判断某概率模型是否服从二项分布P n X ＝k ＝C k n pk1－pn －k的三个条件1在一次试验中某事件A 发生的概率是同一个常数p .2n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的.3该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名学生中选做第23题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P116143814116正态分布(1)(·东北三省三校二模)已知随机变量X ～N (0，σ2)，若P (|X |<2)＝a ，则P (X >2)的值为( ) A ．1－a 2B ．a2 C ．1－aD ．1＋a 2(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )【导学号：79140373】(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%.A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%(1)A (2)B [(1)根据正态分布可知P (|X |<2)＋2P (X >2)＝1，故P (X >2)＝1－a2，故选A ．(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B ．][规律方法] 解决有关正态分布的求概率问题的关键是充分利用正态曲线的对称性及曲线与x 轴之间的面积为1，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用. 1应熟记P μ－σ<X ≤μ＋σ，P μ－2σ<X ≤μ＋2σ，P μ－3σ<X ≤μ＋3σ的值； 2常用的结论有：①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等. ②PX ≤a ＝1－P X ≥a ，P X ≤μ－a ＝P X ≥μ＋a .N (100,102)，已知P (90≤X ≤100)＝0.3，则该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．10 [由题意，知P (X >100)＝1－2P (90≤X ≤100)2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.]。

2016版高考数学大一轮复习课件：第10章-第8节二项分布及应用

检测
P(A1A2A3…An)＝_P_(_A_1_)_P_(A__2)_P_(_A_3_)…__P__(A_n_)____
菜单
第四页，编辑于星期五：二十三点五十四分。
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基础知识点
2．二项分布
方法
技
在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在巧
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基础知识点
考向二 [189] 相互独立事件的概率 (2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练
习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负
方法技巧
的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各
局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判．
一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概
率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质
量为优良的概率是( )
核
A．0.8
B．0.75
课时
心
限
考向
C．0.6
D．0.45
时检
测
菜单
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6．如图 10－8－1，用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成
核那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )
课时
心
限
考向
4 A.9
2 B.9
4 C.27
2 D.27
时检测
【答案】 A
菜单
第七页，编辑于星期五：二十三点五十四分。
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北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布二项分布及其应用教学案理

１．“二项分布”与“超几何分布”的区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．２．两个概率公式（１）在事件B发生的条件下A发生的概率为P（A|B）＝错误!.注意其与P（B|A）的不同．（２）若事件A１，A２，…，A n相互独立，则P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：（１）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；（２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p；（３）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P（X＝k）＝C错误!p k（１—p）n—k（k＝0，１，２，…，n）．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）．常用结论二、教材衍化１．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0．２，乙地降雨概率是0．３．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A错误!＋错误!B，所以P（A错误!＋错误!B）＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝0．２×0．7＋0．8×0．３＝0．３8．答案：0．３8２．已知盒中装有３个红球、２个白球、５个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，则P（AB）＝错误!×错误!，P（A）＝错误!，所以P（B|A）＝错误!＝错误!.答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（）（２）相互独立事件就是互斥事件．（）（３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（）（４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝１—p.（）（５）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）条件概率公式套用错误；（２）相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；（３）独立重复试验公式应用错误．１．由0，１组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P（A|B）＝________．解析：因为第一位数字可为0或１，所以第一位数字为0的概率P（B）＝错误!，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P（AB）＝错误!×错误!＝错误!，所以P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为错误!，错误!，在操作考试中“合格”的概率依次为错误!，错误!，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为错误!×错误!＝错误!，乙获得“合格证书”的概率是错误!×错误!＝错误!，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：错误!３．设随机变量X～B错误!，则P（X＝３）＝________．解析：因为X～B错误!，所以P（X＝３）＝C错误!错误!错误!×错误!错误!＝错误!.答案：错误!条件概率（典例迁移）（１）（一题多解）现有３道理科题和２道文科题共５道题，若不放回地依次抽取２道题，则在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科题的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）从１，２，３，４，５中任取２个不同的数，事件A＝“取到的２个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的２个数均为偶数”，则P（B|A）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：设第１次抽到理科题为事件A，第２次抽到理科题为事件B，P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｃ．法二：在第１次抽到理科题的条件下，还有２道理科题和２道文科题，故在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科题的概率为错误!.故选Ｃ．（２）P（A）＝错误!＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!，由条件概率公式，得P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】（１）C （２）B【迁移探究】（变条件）将本例（２）中的“和”改为“积”，求P（B|A）．解：事件A：“取到的２个数之积为偶数”所包含的基本事件有：（１，２），（３，２），（４，２），（５，２），（４，１），（４，３），（４，５），所以P（A）＝错误!.事件B：“取到的２个数均为偶数”所包含的基本事件有（２，４），所以P（AB）＝错误!，所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.错误!条件概率的两种求解方法１．（２0２0·珠海模拟）夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到１５厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0．１５，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0．0５，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________．解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P（A）＝0．１５，P（AB）＝0．0５，所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B）＝________，P（B|A）＝________．解析：P（A|B）的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6—５×５×５＝9１种情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C错误!×５×４＝60种情况，所以P（A|B）＝错误!.P （B|A）的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×５×４＝１２0种情况，所以P（B|A）＝错误!.答案：错误!错误!相互独立事件的概率（师生共研）（２0２0·福州四校联考）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期１00位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车１辆所获得的利润分别是１万元、２万元、３万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这１00位客户所采用的分期付款方式的频率估计１位客户采用相应分期付款方式的概率．（１）求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；（２）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与数学期望．【解】（１）设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P（A）＝错误!＝0．３５，P（B）＝错误!＝0．４５，P（C）＝错误!＝0．２，所以甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P＝１—[P（A）·P（A）＋P（B）·P（B）＋P（C）·P （C）]＝0．6３５．（２）由题意知，X的所有可能取值为２，３，４，５，6，P（X＝２）＝P（A）P（A）＝0．３５×0．３５＝0．１２２５，P（X＝３）＝P（A）P（B）＋P（B）P（A）＝0．３５×0．４５＋0．４５×0．３５＝0．３１５，P（X＝４）＝P（A）P（C）＋P（B）P（B）＋P（C）P（A）＝0．３５×0．２＋0．４５×0．４５＋0．２×0．３５＝0．３４２５，P（X＝５）＝P（B）P（C）＋P（C）P（B）＝0．４５×0．２＋0．２×0．４５＝0．１8，P（X＝6）＝P（C）P（C）＝0．２×0．２＝0．0４．所以X的分布列为X２３４５6P0．１２２５0．３１５0．３４２５0．１80．0４EX＝0．１２２．0４×6＝３．7．错误!利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路（１）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．（２）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件．（３）代入概率的积、和公式求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）１１分制乒乓球比赛，每赢一球得１分，当某局打成１0∶１0平后，每球交换发球权，先多得２分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．５，乙发球时甲得分的概率为0．４，各球的结果相互独立．在某局双方１0∶１0平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（１）求P（X＝２）；（２）求事件“X＝４且甲获胜”的概率．解：（１）X＝２就是１0∶１0平后，两人又打了２个球该局比赛结束，则这２个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X＝２）＝0．５×0．４＋（１—0．５）×（１—0．４）＝0．５．（２）X＝４且甲获胜，就是１0∶１0平后，两人又打了４个球该局比赛结束，且这４个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得１分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0．５×（１—0．４）＋（１—0．５）×0．４]×0．５×0．４＝0．１．２．为迎接２0２２年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过１小时免费，超过１小时的部分每小时收费标准为４0元（不足１小时的部分按１小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过１小时离开的概率分别为错误!，错误!；１小时以上且不超过２小时离开的概率分别为错误!，错误!；两人滑雪时间都不会超过３小时．（１）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（２）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：（１）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，４0，80元，两人都付0元的概率为P１＝错误!×错误!＝错误!，两人都付４0元的概率为P２＝错误!×错误!＝错误!，两人都付80元的概率为P３＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!，则两人所付费用相同的概率为P＝P１＋P２＋P３＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（２）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，４0，80，１２0，１60，则：P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝４0）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝80）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１２0）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１60）＝错误!×错误!＝错误!.ξ的分布列为ξ0４080１２0１60P错误!错误!错误!错误!错误!独立重复试验与二项分布（师生共研）某工厂的某种产品成箱包装，每箱２00件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取２0件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜１），且各件产品是否为不合格品相互独立．（１）记２0件产品中恰有２件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；（２）现对一箱产品检验了２0件，结果恰有２件不合格品，以（１）中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为２元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付２５元的赔偿费用．１若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；２以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】（１）２0件产品中恰有２件不合格品的概率为f（p）＝C错误!p２（１—p）１8.因此f′（p）＝C错误![２p（１—p）１8—１8p２（１—p）１7]＝２C错误!p（１—p）１7（１—１0p）．令f′（p）＝0，得p＝0．１．当p∈（0，0．１）时，f′（p）>0；当p∈（0．１，１）时，f′（p）<0．所以f（p）的最大值点为p0＝0．１．（２）由（１）知，p＝0．１．１令Y表示余下的１80件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（１80，0．１），X＝２0×２＋２５Y，即X＝４0＋２５Y.所以EX＝E（４0＋２５Y）＝４0＋２５EY＝４90．２如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为４00元．由于EX>４00，故应该对余下的产品作检验．错误!（１）独立重复试验的特点１每次试验中，事件发生的概率是相同的；２每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．（２）判断随机变量X服从二项分布的条件（X～B（n，p））１X的取值为0，１，２，…，n；２P（X＝k）＝C错误!p k（１—p）n—k（k＝0，１，２，…，n，p为试验成功的概率）．[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．１．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐．设每次击鼓出现音乐的概率为错误!，且各次击鼓出现音乐相互独立．设每盘游戏出现音乐的次数为X，则P（X≥１）＝________．玩三盘游戏，则恰有两盘出现音乐的概率是________．解析：由题意X～B错误!，所以P（X≥１）＝１—P（X＝0）＝１—C错误!错误!错误!＝错误!，或P（X≥１）＝P（X＝１）＋P（X＝２）＋P（X＝３）＝C错误!错误!错误!错误!＋C错误!错误!错误!错误!＋C错误!错误!错误!＝错误!，故每盘游戏出现音乐的概率为错误!，所以玩三盘游戏，恰有两盘出现音乐的概率P＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!.答案：错误!错误!２．（２0２0·合肥模拟）师大附中学生会组织部分同学，用“１0分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取１6名，如图所示的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）记录了他们的幸福度分数．（１）若幸福度不低于9．５分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这１6人中随机选取３人，至多有１人的幸福度是“极幸福”的概率；（２）以这１6人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选３人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：（１）设事件A i（i＝0，１，２，３）表示所取３人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有１人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P（A）＝P（A0）＋P（A１）＝错误!＋错误!＝错误!.（２）ξ的可能取值为0，１，２，３，由样本估计总体得任选１人，其幸福度为“极幸福”的概率为错误!＝错误!，则P（ξ＝0）＝错误!错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝C错误!×错误!×错误!错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝C错误!×错误!错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝３）＝错误!错误!＝错误!.所以ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!所以E（ξ）＝0×二项分布与超几何分布的辨别方法写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（１）X１表示n次重复抛掷１枚骰子出现点数是３的倍数的次数；（２）X２表示连续抛掷２枚骰子，所得的２枚骰子的点数之和；（３）有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X３；（４）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X ４（N＞M>n>0）．【解】（１）X１的分布列为X１0１２…nPC错误!错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!…C错误!错误!错误!１１（２）X２的分布列为X２２３４５6789１0１１１２P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!２（３）X３的分布列为X ３0１２…nP错误!错误!C错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!…错误!错误!３３（４）X４的分布列为X４0１…k…nP错误!错误!…错误!…错误!４错误!综上，（１）（３）服从二项分布，（４）服从超几何分布，（２）既不服从二项分布也不服从超几何分布．超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立．当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布．某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．公园甲乙丙丁获得签名人数４５60３0１５0个关于长征的问题中随机抽取４个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（１）求此活动中各公园幸运之星的人数；（２）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为错误!，求乙公园中恰好２位幸运之星获得纪念品的概率；（３）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外２个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列．解：（１）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为错误!×１0＝３，错误!×１0＝４，错误!×１0＝２，错误!×１0＝１．（２）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C错误!错误!错误!＝错误!，所以乙公园中恰好２位幸运之星获得纪念品的概率为C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!.（３）由题意，知X的所有可能取值２，３，４，服从超几何分布，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X２３４P错误!错误!错误![基础题组练]１．（２0２0·马鞍山一模）已知一种元件的使用寿命超过１年的概率为0．8，超过２年的概率为0．6，若一个这种元件使用到１年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过２年的概率为（）Ａ．0．7５Ｂ．0．6C．0．５２Ｄ．0．４8解析：选Ａ．设一个这种元件使用到１年时还未损坏为事件A，使用到２年时还未损坏为事件B，则由题意知P（AB）＝0．6，P（A）＝0．8，则这个元件使用寿命超过２年的概率为P（B|A）＝错误!＝错误!＝0．7５，故选Ａ．２．设每个工作日甲、乙、丙、丁４人需使用某种设备的概率分别为0．6，0．５，0．５，0．４，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少３人需使用设备的概率为（）Ａ．0．２５Ｂ．0．３0Ｃ．0．３１Ｄ．0．３５解析：选Ｃ．设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P（A）＝0．6，P（B）＝P（C）＝0．５，P（D）＝0．４，恰好３人使用设备的概率P１＝P（错误!BCD＋A错误!CD＋AB错误!D＋ABC错误!）＝（１—0．6）×0．５×0．５×0．４＋0．6×（１—0．５）×0．５×0．４＋0．6×0．５×（１—0．５）×0．４＋0．6×0．５×0．５×（１—0．４）＝0．２５，４人使用设备的概率P２＝0．6×0．５×0．５×0．４＝0．06，故所求概率P＝0．２５＋0．06＝0．３１．３．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的２00个机械元件情况如下：0天以上的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由表可知元件使用寿命在３0天以上的概率为错误!＝错误!，则所求概率为C错误!错误!错误!×错误!＋错误!错误!＝错误!.４．（２0２0·河南中原名校联盟一模）市场调查发现，大约错误!的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为错误!，而实体店里的家用小电器的合格率约为错误!.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为大约错误!的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为错误!，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为错误!×错误!＝错误!，又实体店里的家用小电器的合格率约为错误!，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为错误!×错误!＝错误!，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝错误!＝错误!.５．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的１0位成员中使用移动支付的人数，DX＝２．４，P（X＝４）＜P（X＝6），则p＝（）Ａ．0．7 Ｂ．0．6Ｃ．0．４Ｄ．0．３解析：选Ｂ．由题意知，该群体的１0位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝１0p·（１—p）＝２．４，所以p＝0．6或p＝0．４．由P（X＝４）＜P（X＝6），得C错误!p４（１—p）6＜C错误!p6（１—p）４，即（１—p）２＜p２，所以p＞0．５，所以p＝0．6．6．投篮测试中，每人投３次，至少投中２次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．解析：该同学通过测试的概率P＝C错误!×0．6２×0．４＋0．6３＝0．４３２＋0．２１6＝0．6４8．答案：0．6４87．小赵、小钱、小孙、小李到４个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“４个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝________．解析：小赵独自去一个景点共有４×３×３×３＝１08种情况，即n（B）＝１08，４个人去的景点不同的情况有A错误!＝４×３×２×１＝２４种，即n（AB）＝２４，所以P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了５个问题结束的概率为________．解析：依题意，该选手第２个问题回答错误，第３，４个问题均回答正确，第１个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0．8×0．２×0．8２＋0．２×0．２×0．8２＝１×0．２×0．8２＝0．１２8．依题意，设答对的事件为A，可分第３个正确与错误两类，若第３个正确则有A错误!A错误!或错误!错误!A错误!两类情况，其概率为：0．8×0．２×0．8×0．２＋0．２×0．２×0．8×0．２＝0．0２５6＋0．006 ４＝0．0３２0．该选手第３个问题的回答是错误的，第１，２两个问题回答均错误或有且只有１个错误，则所求概率P＝0．２３＋２×0．２×0．8×0．２＝0．008＋0．06４＝0．07２．所以，所求概率为0．0３２0＋0．07２＝0．１0４．答案：0．１２8 0．１0４9．（２0２0·湖南两市联考）某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记１分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为错误!，错误!，错误!，他们出线与未出线是相互独立的．（１）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（２）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．解：（１）记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P（D）＝１—P（错误!错误!错误!）＝１—错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３．P（ξ＝0）＝P（错误!错误!错误!）＝错误!；P（ξ＝１）＝P（A错误!错误!）＋P（错误!B错误!）＋P（错误!错误!C）＝错误!；P（ξ＝２）＝P（AB错误!）＋P（A错误!C）＋P（错误!BC）＝错误!；P（ξ＝３）＝P（ABC）＝错误!.所以ξ的分布列为故Eξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.１0．（２0２0·河北“五个一名校联盟”模拟）空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～５0为优；５１～１00为良；１0１～１５0为轻度污染；１５１～２00为中度污染；２0１～３00为重度污染；３00以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月１0天的AQI的茎叶图如图．（１）利用该样本估计该地六月空气质量为优良（AQI≤１00）的天数；（２）将频率视为概率，从六月中随机抽取３天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：（１）从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为２，空气质量为良的天数为４，所以该样本中空气质量为优良的频率为错误!＝错误!，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为３0×错误!＝１8．（２）由（１）估计某天空气质量为优良的概率为错误!，ξ的所有可能取值为0，１，２，３，且ξ～B错误!.所以P（ξ＝0）＝错误!错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!错误!＝错误!.ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!１．（２0２0·南昌模拟）为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是３0项基础设施类工程、２0项民生类工程和１0项产业建设类工程．现有３名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这３名民工选择的项目所属类别互异的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i，B i，C i，i＝１，２，３．由题意，事件A i，B i，C i（i＝１，２，３）相互独立，则P（A i）＝错误!＝错误!，P（B i）＝错误!＝错误!，P（C i）＝错误!＝错误!，i＝１，２，３，故这３名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝A错误!P（A i B i C i）＝6×错误!×错误!×错误!＝错误!.２．箱子里有５个黑球，４个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第４次取球之后停止的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!错误!×错误!Ｃ．错误!×错误!Ｄ．C错误!×错误!错误!×错误!解析：选Ｂ．由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为错误!错误!×错误!.３．甲罐中有５个红球，２个白球和３个黑球，乙罐中有４个红球，３个白球和３个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A１，A２和A３表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）１P（B）＝错误!；２P（B|A１）＝错误!；３事件B与事件A１相互独立；４A１，A２，A３是两两互斥的事件；５P（B）的值不能确定，它与A１，A２，A３中哪一个发生都有关．解析：由题意知A１，A２，A３是两两互斥的事件，P（A１）＝错误!＝错误!，P（A２）＝错误!＝错误!，P（A３）＝错误!，P（B|A１）＝错误!＝错误!，P（B|A２）＝错误!，P（B|A３）＝错误!，而P（B）＝P（A１B）＋P（A２B）＋P（A３B）＝P（A１）P（B|A１）＋P（A２）P（B|A２）＋P（A３）P（B|A３）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.故正确的为２４．答案：２４４．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳２米高度成功的概率分别是0．7，0．6，且每次试跳成功与否之间没有影响．（１）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________；（２）若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析：（１）记“甲在第i次试跳成功”为事件A i，“乙在第i次试跳成功”为事件B i，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件Ｃ．法一：P（C）＝P（A１错误!１）＋P（错误!１B１）＋P（A１B１）＝P（A１）P（错误!１）＋P（错误!１）P（B１）＋P（A１）P（B１）＝0．7×0．４＋0．３×0．6＋0．7×0．6＝0．88．法二：由对立事件的概率计算公式得P（C）＝１—P（错误!１错误!１）＝１—P（错误!１）P（错误!）＝１—0．３×0．４＝0．88．１（２）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M i，“乙在两次试跳中成功i次”为事件N i，所以所求概率P＝P（M１N0）＋P（M２N１）＝P（M１）P（N0）＋P（M２）P（N１）＝C错误!×0．7×0．３×0．４２＋0．7２×C错误!×0．6×0．４＝0．３0２４．答案：（１）0．88 （２）0．３0２４５．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是错误!和错误!.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．（１）求甲射击４次，至少有１次未击中目标的概率；（２）求两人各射击４次，甲恰好击中目标２次且乙恰好击中目标３次的概率；（３）假设每人连续２次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击５次后，被终止射击的概率是多少？。

高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理

【变式训练 2】某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章计数原理、概率、随机变量及分布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一知识梳理·自主学习

新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件

( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.

高三数学(理)一轮复习(学案)第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第七节二项分布与正态分布

第七节二项分布与正态分布2019考纲考题考情1．条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

(2)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1。

②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)。

2．相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

②性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A 与B也都相互独立。

(2)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)。

(3)二项分布的定义在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率。

3．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作N (μ，σ2)。

(3)正态曲线的特点①曲线位于x 轴的上方，与x 轴不相交。

②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称。

③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π。

④曲线与x 轴之间的面积为1。

高三一轮复习教案(统计,概率,计数原理,二项式定理,概率分布)

统计一．抽样方法：1．简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

2．简单随机抽样实施的方法：抽签法；随机数表法。

3．系统抽样的定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

4．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．5二．总体分布的估计：1.频率分布表含义:当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。

把反映总体频率分布的表格称为频率分布表。

2.列频率分布表的步骤：（1）求全距，决定组数和组距，组距=全距÷组数；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。

3.频率分布直方图的含义：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图。

4. 频率分布直方图的特点：①纵轴表示频率÷组距；②矩形的面积表示频率，各矩形的面积和为1.5.获得样本的频率分布的一般步骤：（1）计算最大值与最大值（极差）；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列出频率分布表；（5）画出频率分布直方图。

6.频率分布折线图的含义：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，称这条折线为频率折线图。

7.制作茎叶图的方法：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共有一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，相同的数重复写出来。

2016届人教A版高考数学大一轮复习课件第10章统计、统计案例及概率第3讲

( x ，y )．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作
出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性
相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．
基础诊断
考点突破第二十一页，编辑于星课期五堂：总十八结点四十一分。
【训练2】 (2014·云南检测)春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y(单位：万元)与当天的平均气温x(单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表：
基础诊断
考点突破第一页，编辑于星期五课：十堂八总点四结十一分。
第3讲变量间的相关关系、统计案例
最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3.了解独立性检验 ( 只要求 2×2 列联表 ) 的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
基础诊断
考点突破第二页，编辑于星期五课：十堂八总点四结十一分。
知识梳理
1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是_相__关__关__系__；与函数关系不同，___相__关_关__系__是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为__正_相__关__，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为_负__相__关__．
5．(人教A选修1－2P13例1改编)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________ 的(填“有关”或“无关”)．答案有关

(新课标)高三数学一轮复习第10篇离散型随机变量及其分布列学案理-人教版高三全册数学学案

第六十五课时离散型随机变量及其分布列课前预习案1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握二点分布与超几何分布的特点，并会应用．1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能出来，则称X为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝，则称离散型随机变量p的二点分布．(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M 中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n 的超几何分布．1．设随机变量X 的分布列如下：则p ＝________.2．设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．3．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_____________．4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5165．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于 ( )A.16 B.13C.12D.23课堂探究案考点1 离散型随机变量的分布列的性质【典例1】设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝________.【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.考点2 离散型随机变量的分布列的求法及应用【典例2】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布列和数学期望．考点3 超几何分步【典例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．【变式3】2013年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立64周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋222．某射手射击所得环数X 的分布列为)A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.513．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B.12 C.13 D.234．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)5．设随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______.课后拓展案组全员必做题1．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1) (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.562．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤53．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X 01 2P a 1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 ( )A.13B.16C.12D.564．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________. 5．设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.6.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．7.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为X 01 2P8.从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．B组提高选做题1．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.2.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； (3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．参考答案1．【答案】 13【解析】由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p ＝13.2．【答案】30,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为4．【答案】 A【解析】 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.5．【答案】 D【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【典例1】【答案】115 45【解析】随机变量ξ的分布列为由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝15.P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1)＝3a ＋4a ＋5a ＝12a ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P (ξ≤25)＝1－3a ＝45.【变式1】【答案】 13 13【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.【典例2】【解析】 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E 4.34(万元)．【变式2】【解析】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布列为故X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.【典例3】【解析】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为【变式3】【解析】(1)A ，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x <6，那么P (A )＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P (B )＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是 P (ξ＝k )＝C k 2C 2－k4C 26，k ＝0,1,2，∴P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为1．【答案】 C【解析】由分布列的性质得： 2211212112010q q q q ⎧+-+=⎪⎪>-≥⎨⎪-≥⎪⎩，∴q ＝1－22.故选C.2．【答案】C【解析】P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】 C 4．【答案】 C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4.5．【答案】 10【解析】由于随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.组全员必做题1．【答案】 D 【解析】 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．【答案】C【解析】“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到红球，故ξ＝6. 3．【答案】D【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12，∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．【答案】716【解析】P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5) ＝14＋18＋116＝716. 5．【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8.【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为组提高选做题1．【答案】 45【解析】方法一由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝310＋25＋110＝45.方法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.2.【解析】(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10＋a )人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P (A )＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a )＝40－38＝2. 答 a 的值为6，b 的值为2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法一记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P (B )＝1－P (B )＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.答从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.方法二记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P (B )＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. 答从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.(3)由于从40位学生中任意抽取3人的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3－k16，所以从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P (ξ＝k )＝C k24C 3－k16C 340(k ＝0,1,2,3)，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235，所以ξ的分布列为。

高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3 二项式定理学案理-人教版高

10.3 二项式定理[知识梳理]1．二项式定理2．二项式系数的性质3．常用结论(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(3)C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n 2n －1.(4)C r m C 0n ＋C r －1m C 1n ＋…＋C 0m C rn ＝C rm ＋n . (5)(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n2n . [诊断自测] 1．概念思辨(1)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a ＋b )2n中系数最大的项是第n 项．( )(3)(a ＋b )n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(选修A2－3P 30例1)⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的常数项为( )A ．－192x 2B ．240xC ．－160 D.60x答案 C解析 ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r (r ＝1,2，…，6)，所以当r ＝3时为常数项，此时T 4＝－23×C 36＝－160，故选C.(2)(选修A2－3P 31例2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中系数最大的项为( )A ．第六项B ．第五项和第六项C ．第五项和第七项D ．第六项和第七项答案 C解析二项展开式的通项为T r ＋1＝C r10x10－r(－x －12)r ＝(－1)r C r10·x 10－32r ，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C 510，但第六项系数为－C 510，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C 410＝C 610，再由二项式系数的增减性规律可知选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C解析因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.(2)(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________. 答案 4解析 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.题型1 二项展开式角度1 求二项展开式中的特定项或系数典例 (2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)答案 10 解析 T r ＋1＝C r5(2x )5－r·(x )r＝25－r C r5·x 5－r 2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.角度2 已知二项展开式某项的系数求参数典例 (2015·湖南高考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r5·x 5－2r 2.依题意，令5－2r ＝3，得r ＝1， ∴(－a )1·C 15＝30，a ＝－6，故选D. 角度3 多项展开式典例(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.方法技巧1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．见角度1典例．2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．冲关针对训练1．(2014·湖北高考)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24答案 C解析 T r ＋1＝C r7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝27－r C r 7a r·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.2．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)答案－20解析由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.题型2 二项式系数的性质或各项系数的和典例1(2015·湖北高考)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 ∵(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C 3n ，C 7n ，∴C 3n ＝C 7n ，得n ＝10.对(1＋x )10，令x ＝1，得(1＋1)10＝C 010＋C 110＋C 210＋C 310＋…＋C 1010＝210，① 令x ＝－1，得(1－1)10＝C 010－C 110＋C 210－…＋C 1010＝0，② 利用①＋②可得2×(C 010＋C 210＋…＋C 1010)＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.故选D.典例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中前三项x 的系数为等差数列，则二项式系数最大项为________．答案358x 解析 ∵C 0n ＝1，C 1n 12＝n 2，C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18n (n －1)，由题设可知2·n 2＝1＋18n (n －1)，n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．所以二项式系数的最大项为C 48⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ×124x 4＝358x . [结论探究] 典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项．解设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，显然T r ＋1>0，故有T r ＋1T r ≥1且T r ＋2T r ＋1≤1， ∵T r ＋1T r ＝C r 8·2－r C r －18·2－r ＋1＝9－r 2r，由9－r2r≥1，得r ≤3. 又∵T r ＋2T r ＋1＝C r ＋18·2－(r ＋1)C r 8·2－r＝8－r 2(r ＋1)，由8－r2(r ＋1)≤1，得r ≥2.∴r ＝2或r ＝3，所求项为T 3＝7x 52和T 4＝7x 74.方法技巧 1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．见典例1.2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.冲关针对训练1．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，故选B.2．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析解法一：(通法)将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解．f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.解法二：(赋值法)对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10.题型3 二项式定理的应用典例 (1)求证：n ∈N 且n ≥3时，2n －1≥n ＋1； (2)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除；(3)计算1.056.(精确到0.01) 解 (1)证明：n ≥3时，2n ＝(1＋1)n＝1＋n ＋C 2n ＋…＋n ＋1≥2＋2n ，∴2n －1≥n ＋1.(2)证明：原式＝(1＋8)n ＋1－8n －9＝1＋C 1n ＋181＋C 2n ＋182＋…＋C n ＋1n ＋18n ＋1－8n －9＝C 2n ＋182＋C 3n ＋183＋…＋C n ＋1n ＋18n ＋1＝64(C 2n ＋1＋C 3n ＋18＋…＋C n ＋1n ＋18n －1)．∵C 2n ＋1，C 3n ＋1，…，C n ＋1n ＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍， ∴32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．(3)1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34. 方法技巧二项式定理应用的常见题型及求解策略1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见本典例(2)．2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．(a ＋b )n的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的．见本典例(1)．4．利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x )n≈1＋nx ＋n (n －1)2x 2.见本典例(3)．冲关针对训练1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k ·90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.2．(2018·山西四校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 T r ＋1＝C r n(x 6)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C rn x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，又n ∈N *，故当r ＝4时，n 的最小值为5，故选C.3．(2018·福建漳州模拟)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20 答案 D解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.故选D.4．(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案 16 4解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·广东测试)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(2018·福建厦门联考)在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．120 答案 C解析因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析由二项式定理得(1＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r，所以当r ＝2时，(1＋ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 15·a ＝5，a ＝－1，故选D.4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A ．600B ．360C ．－600D ．－360 答案 C解析由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.故选C.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r.令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 答案 B解析由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r 28－r ·1xr 3＝(－1)r ·C r 8·x 8－r －r328－r，由8－r －r3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.7．(2018·石家庄模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2答案 A解析由题意得T r ＋1＝C r9·(x 2)9－r·(－1)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r·1a r ，令18－3r＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x)20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.故选A .8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 D 解析 512018＋a ＝(52－1)2018＋a ＝522018＋C 12018·522017·(－1)＋…＋C 20172018×52×(－1)2017＋1＋a ，∵522018能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.9．(2018·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 答案 A解析令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.10．(2017·淮北模拟)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项答案 C解析 T r ＋1＝C rn xn －r 3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝C rn ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r 3，由第6项为常数项，得当r ＝5时，n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x an的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎨⎧C 1n ·1a ＝3，C 2n ·1a2＝4，即⎩⎨⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.12．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫b x k －1＝C k －16a 7－k b k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3＝20，得ab ＝1.故a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.答案 120解析 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h4y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h.∴f (m ，n )＝C m 6C n4.∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120. 14．(2017·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．答案5627解析易得A ＝1，B ＝n3，C ＝C 2n 9＝n (n －1)18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r83r x 8－2r ，令8－2r＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.三、解答题15．(2018·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n. (1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值；(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数．解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n，所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，①f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2017－a 2019＝0，②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019，所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018.(2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8.g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 68＝99.16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14. 当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0， ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴{ C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，解得475≤k ≤525.∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16896x 10.。

高考数学一轮复习第十章概率第三节几何概型学案文-人教版高三全册数学学案

第三节几何概型1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．知识点一几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性______．答案1．长度面积体积几何概型2．(1)无限多(2)相等1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 知识点二几何概型的概率公式P (A )＝______________________________________________.答案构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积2．(2016·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 解析：由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.答案：B3．(必修③P140练习第1题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13. 答案：A4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．解析：正方形面积为36，则阴影部分面积约为200800×36＝9.答案：9热点一与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310(2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．【解析】 (1)记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝2540＝58.(2)当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34.【答案】 (1)B (2)34【总结反思】(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解析：(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝MmC︵圆的周长＝12.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.1题图 2题图答案：(1)B (2)12热点二与面积有关的几何概型问题考向1 与一般几何图形面积有关的问题【例2】在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】记事件A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫△PBC 的面积大于S 4，基本事件是△ABC 的面积(如图)，事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE ∥BC 且AD AB ＝34)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，所以P (A )＝阴影部分的面积三角形的面积＝916.【答案】 D 【总结反思】求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解.考向2 “会面型”几何概型【例3】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【解】以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S 阴影S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716.考向3 随机模拟方法的应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n【解析】设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.【答案】 C 【总结反思】求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.(1)已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B.π4C.π4－1 D.π8(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132(3)如右图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32解析：(1)集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }表示的区域为图中阴影部分，其面积为4－12×12×π.所以向区域A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为4－12π4＝1－π8.(2)∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×1＋3×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式可得，S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：(1)A (2)B (3)C热点三与体积有关的几何概型问题【例5】一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38【解析】由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.【答案】 C 【总结反思】对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π.∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．专题六高考解答题鉴赏——概率与统计在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值12分，难度中等．解答题综合性较强，将概率、统计的有关知识(特别是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时仅考利用统计知识解决实际问题．【典例】(2016·新课标全国卷Ⅰ，12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【标准解答】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800， x ≤19，500x －5 700， x >19(x ∈N )．(4分)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(7分)(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．(12分)【阅卷点评】本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．(2017·昆明两区七校调研)某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频率分布表.组号分组频数频率第一组[70,80)60.06第二组[80,90)40.04第三组[90,100)220.22第四组[100,110)200.20第五组[110,120)18b第六组[120,130) a 0.15第七组[130,140)100.10第八组[140,150)50.05合计 c 1(1)(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估计该校本次考试的数学平均分．解：(1)因为频率和为1，所以b＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以c＝100，a＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用A，B，C，D表示，第七组抽出的样本用E，F表示．从这6名学生中随机抽取2个的方法有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF 、DE 、DF 、EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.。

高考数学一轮复习第10章概率 10.2 古典概型学案文-人教版高三全册数学学案

10．2 古典概型[知识梳理] 1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[诊断自测] 1．概念思辨(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )(2)事件A ，B 至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大．( ) (3)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，那么事件A 的概率为card (A )card (I ).( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A3P 134A 组T 5)在平面直角坐标系中点(x ，y )，其中x ，y ∈{0,1,2,3,4,5}，且x ≠y ，则点(x ，y )在直线y ＝x 的左上方的概率是( )A.13B.12C.14D.23 答案 B解析在平面直角坐标系中满足x ，y ∈{0,1,2,3,4,5}，且x ≠y 的点(x ，y )共有6×6－6＝30个，而满足在直线y ＝x 的左上方，即y >x 的点(x ，y )的基本事件共有15个，故所求概率为P ＝1530＝12.故选B.(2)(必修A3P 134A 组T 4)已知A ，B ，C ，D 是球面上的四个点，其中A ，B ，C 在同一圆周上，若D 不在A ，B ，C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于________．答案 15解析 A ，B ，C ，D 四点可构成一个以D 为顶点的三棱锥，共6条棱，则所有基本事件有：(AB ，BC )，(AB ，AC )，(AB ，AD )，(AB ，BD )，(AB ，CD )，(BC ，CA )，(BC ，BD )，(BC ，AD )，(BC ，CD )，(AC ，AD )，(AC ，BD )，(AC ，CD )，(AD ，BD )，(AD ，CD )，(BD ，CD )，共15个，其中满足条件的基本事件有：(AB ，CD )，(BC ，AD )，(AC ，BD )，共3个，所以所求概率P ＝315＝15.3．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56 答案 C解析解法一：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23，故选C.解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件A ，则事件A 包含2个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫．由解法一知共有6个基本事件，因此P (A )＝26＝13，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是P (A －)＝1－P (A )＝23.故选C.(2)(2018·山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个，这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部的概率是( )A.35B.25C.15D.45 答案 B解析从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个的基本事件总数为5，这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共2个， ∴这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部的概率P ＝25，故选B.题型1 简单古典概型的求解典例1 (2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.925考虑用树状图表示各种结果或用组合表示各种结果．答案 B解析设其他3名学生为丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为410＝25.典例2 (2017·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A.13B.23C.12D.34 答案 C解析记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA, AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.方法技巧1．基本事件个数的确定方法第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式P (A )＝m n，求出事件A 的概率．见典例1,2. 冲关针对训练(2018·安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取100人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为35，良好的频率为25；乙种汽车被评价为优秀的频率为710，良好的频率是合格的频率的5倍．(1)求这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；(2)如果从这100人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人，求选取的2人评价都是优秀的概率．解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为710，故评价良好或合格的频率为1－710＝310.设评价合格的频率为x ，则评价良好的频率为5x ，由题意可得x ＋5x ＝310，解得x ＝120.所以这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为100×⎝ ⎛⎭⎪⎫710＋5×120＝95.(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为35，良好的频率为25，则用分层抽样的方法抽取5人，其中有3人评价优秀，分别记为A ，B ，C,2人评价良好，分别记为a ，b .记抽取到对乙种汽车评价优秀、良好的2人分别为D ，d ，则从这7人中随机抽取2人，不同的结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，D }，{A ，d }，{B ，C }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，D }，{B ，d }，{C ，a }，{C ，b }，{C ，D }，{C ，d }，{a ，b }，{a ，D }，{a ，d }，{b ，D }，{b ，d }，{D ，d }，共21种．记“选取的2人评价都是优秀”为事件M ，则事件M 的结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }，共6种．所以选取的2人评价都是优秀的概率P (M )＝621＝27.题型2 复杂古典概型的求解典例(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．本题采用列表法计算事件数．解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P (C )＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．[结论探究] 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率．解由题意知当xy ＞3时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共11个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件总数共16个，所以此事件概率为P ＝1116.或根据对立事件求解：xy ≤3时包含事件个数为5个，故其获得玩具的概率为516，则不能获得玩具的概率为1－516＝1116.方法技巧复杂古典概型的求解策略求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．冲关针对训练(2017·江西新余一中模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．解 (1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)，第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为50＋402＝45(元)．(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A 1，A 2，A 3，A 4，消费3次的有2人，分别设为B 1，B 2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C ，D ，从中抽出2人，抽到A 1的有A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 1D ，共7种；去掉A 1后，抽到A 2的有A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 2D ，共6种；……去掉A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2后，抽到C 的有：CD ，共1种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16种，所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为1628＝47.题型3 古典概型与统计的综合问题典例 (2018·安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(100,102), (100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，设事件A ＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于10”，则A ＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，∴P (A )＝1021.方法技巧求解古典概型与统计交汇问题的思路1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．2．选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数．3．进行统计与古典概型概率的正确计算．冲关针对训练(2018·广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，f1＝1－(0.010＋0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C,3名女性群众分别为x，y，z，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A ，B )，(A ，C )，(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，C )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率为1215＝45.1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25答案 D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.故选D.2．(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518 B.49 C.59 D.79答案 C解析 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴抽取两次共有9×8＝72种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有4×5＋5×4＝40种基本事件，故抽取到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是4072＝59.故选C.3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝410＝25.故选C.4．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．答案7 12解析a＝1时，b＝1,2，…6，共6种情况；a＝2时，b＝2,3，…6，共5种情况；a ＝3时，b＝3,4,5,6，共4种情况；a＝4时，b＝4,5,6，共3种情况；a＝5时，b＝5,6，共2种情况；a＝6时，b＝6，共1种情况．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1答案 B解析先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P1＝136，P2＝118，P3＝112.故选B.2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34答案 B解析因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.故选B.3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 答案 B解析从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13.故选B.4．(2018·山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随机地摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为( )A.310 B.25 C.12 D.35答案 C解析小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总数n ＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m ＝5，故其面值之和不少于四元的概率为m n ＝510＝12.故选C.5．(2018·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.79 答案 D解析甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |＞1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件，∴P (B )＝29.∴P (A )＝1－29＝79.故选D.6．(2018·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712 答案 A解析设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 24种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A.7．(2017·银川模拟)连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切的概率为( )A.16B.118C.19D.13 答案 B解析连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝118.故选B. 8．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－12的概率为( )A.12B.13C.34D.14 答案 D解析记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知(a ，b )的所有可能取值有36种．由直线x a ＋y b ＝1的斜率k ＝－b a ≥－12，知b a ≤12，那么满足题意的(a ，b )可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14.故选D.9．(2018·太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518 B.512 C.12 D.712答案 B解析解法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的(m ，n )可根据n 的具体取值：第一类，当n＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.故选B.解法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.故选B.10．(2018·淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，718C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，518D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，718 答案 D解析对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种．两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2，b ＝4或a ＝3，b ＝6，故概率为P 1＝236＝118.两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1，b ＝2)即可， ∴P 2＝3336＝1112.∵点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，∴⎝⎛⎭⎪⎫118－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11122<137144，解得－518<m <718，故选D.二、填空题11．(2017·海淀模拟)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．答案 56解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56.12．(2018·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．答案 16解析由e ＝1＋b 2a2>5，得b >2a .当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种结果．∴所求事件的概率P ＝636＝16.13．(2018·湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，则使得直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423的概率为________．答案 19解析根据题意，得到的点数所形成的数组(a ，b )共有6×6＝36种，其中满足直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423，则圆心到直线的距离不小于13，即1＞1a 2＋b 2≥13，即1＜a 2＋b 2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423的概率为436＝19.14．(2017·宿迁模拟)已知k ∈Z ， AB →＝(k,1)， AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．答案 37解析因为|AB →|＝k 2＋1≤4，所以－15≤k ≤15，因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0，得2k ＋4＝0，所以k ＝－2，因为BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率P ＝37.三、解答题15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 [5,15)[15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 频数 2618104(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：重量/克 [5,25) [25,45) [45,55] 等级三级二级一级若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由．(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．解 (1)(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为16＋10＋440＝0.75，“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为18＋10＋440＝0.8，所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．(3)用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只，记重量在[5,15)内的1只为x ，在[15,25)内的3只分别为y 1，y 2，y 3，在[45,55]内的2只分别为z 1，z 2，从中任取2只，可能的情况有(x ，y 1)，(x ，y 2)，(x ，y 3)，(x ，z 1)，(x ，z 2)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 1，z 1)，(y 1，z 2)，(y 2，y 3)，(y 2，z 1)，(y 2，z 2)，(y 3，z 1)，(y 3，z 2)，(z 1，z 2)，共15种；记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A ，则事件A 包含的情况有(x ，y 1)，(x ，y 2)，(x ，y 3)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 1，z 1)，(y 1，z 2)，(y 2，y 3)，(y 2，z 1)，(y 2，z 2)，(y 3，z 1)，(y 3，z 2)，共12种．所以P (A )＝1215＝45.16．(2017·石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：已知这n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．解(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，再由频率分布直方图得：落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，∴n＝60.06＝100，由频率分布直方图的性质得：(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，解得x＝0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台，又∵在(5,6]之间共4台，∴落在(5,8]之间共28台，∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有560台．(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，分别设为a1，a2，b1，b2，b3，b4，则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种．事件B 包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种．∴恰好有1台等级为P 2的概率P (B )＝m n ＝815.。

高考数学一轮复习第10章《总体分布及特征数的估计》名师首选学案新人教A版

学案55 总体分布及特征数的估计导学目标： 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．自主梳理1．在频率分布直方图中，纵轴表示____________________，数据落在各小组内的频率用________________表示，所有长方形面积之和________．2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．3．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的________顺次连结起来，就得频率分布折线图，简称频率折线图．(2)总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．4．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，二是方便记录与表示，但当样本数据很多时，茎叶图的效果就不是很好了．5．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n个数a1，a2，……，a n，那么a＝____________________叫做这n个数的平均数．6．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种__________．(2)标准差：s＝______________________________________________________________________________________________________________________________________.(3)方差：s2＝_________________________________________________________________ ____________________________________________________________________(x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．自我检测1．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图的高为h，则|a－b|＝________.2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________和________．897931640 23.其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为______________．5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20 mm.探究点一频率分布直方图例1 如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．变式迁移1 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 值分别为________和________．探究点二用样本数字特征估计总体数字特征例2 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：甲的成绩环数78910频数555 5乙的成绩环数78910频数644 6丙的成绩环数78910频数466 4s1、s2、s3s1，s2，s3的大小关系为______________，三名运动员中________成绩最稳定．变式迁移2 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799．探究点三用茎叶图分析数据例3 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．变式迁移3 (2010·天津汉沽模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515 558 521 543 532 559536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则x A________x B，s A________s B(填大小关系)．2.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a＝________，b＝________，c＝________.3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6～4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．4．下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________和________．|7899 4 4 6 4 735．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是________．6．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为______和__________________________________________．7．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.8．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．10．(14分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；分组频率[)1.00，1.05[)1.05，1.10[)1.10，1.15[)1.15，1.20[)1.20，1.25[]1.25，1.30(2)估计数据落在[1.15，中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．11．(14分)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表．(2)作出频率分布直方图．(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．学案55 总体分布及特征数的估计答案自主梳理1．频率与组距的比值小长方形的面积等于 1 3.(1)中点 5.(1)最多 (2)中间(3)a 1＋a 2＋…＋a nn6.(1)平均距离(2)1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2] (3)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]自我检测 1.m h解析在频率分布直方图中横轴是组距，高为频率组距，所以|a －b |＝m h.2．91.5 91.5解析将这组数据从小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5，中位数为91＋922＝91.5.3．32解析 ∵中间一个占总面积的15，即15＝x160，∴x ＝32. 4．2解析由样本平均值为1，知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，故a ＝－1.∴样本方差s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.5．30解析在频率分布直方图中小于20 mm 的频率是0.01×5＋0.01×5＋0.04×5＝0.3，故小于20 mm 的棉花纤维的根数是0.3×100＝30(根)．课堂活动区例1 解题导引 (1)解关于图形信息题的关键是正确理解各种统计图表中各个量的含义，灵活运用这些信息和数据去发现结论．(2)在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直方图面积相等；平均数是直方图的“重心”．解 (1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15；月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05. ∴月收入在[2 500,3 500)的频率为 1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为 0.2×10 000＝2 000.(2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为 0.2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)．(3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6>0.5， ∴样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)．变式迁移1 0.27 78解析由频率分布直方图知组距为0.1. 4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1. 4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3. 又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27. ∴a ＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87(人)．设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87.∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78.例2 s 2>s 1>s 3 丙解析由已知可得甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.方法一 ∵s 21＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，∴s 1＝120[5×7－8.52＋5×8－8.52＋5×9－8.52＋5×10－8.52]＝2520. 同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3. 丙成绩最稳定．方法二 ∵s 21＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2， ∴s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，∴s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120， ∴s 2>s 1>s 3.丙成绩最稳定．变式迁移2 甲解析 x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定．例3 解题导引茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差为 110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P (A )＝410＝25.变式迁移3 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示．(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536＋5382＝537. 乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.课后练习区 1．< >解析 A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .2．14.7 15 17 3．54解析前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16. ∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，∴a ＝22＋32＝54. 4．85 1.6解析去掉最高分93，最低分79，平均数为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.5.13解析由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13. 6．24 23解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x 乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.7．60解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为2＋3＋420·n ＝27，故n ＝60. 8．3.2解析 x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2.9．解 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲 10分 13分 12分 14分 16分乙 13分 14分 12分 12分 14分甲、乙两人的平均成绩x 甲＝x 乙，都是13分，(6分)s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(12分)(2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(14分)10．解 (1)/组距)，故可得下表：分组频率 [)1.00，1.05 0.05[)1.05，1.100.20 [)1.10，1.15 0.28 [)1.15，1.200.3011[)1.20，1.25 0.15 []1.25，1.300.02(6分)(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(10分)(3)因为120×1006＝2 000，所以水库中鱼的总条数约为2 000.(14分) 11．解 (1)分组频数频率 [41,51) 2 230 [51,61) 1 130 [61,71) 4 430 [71,81) 6 630 [81,91) 10 1030 [91,101) 5 530 [101,111]2230(6分)(2)频率分布直方图如图所示．(10分)(3)答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好．②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善．(14分)。

全国近年高考数学一轮复习第10章概率第3讲几何概型学案(2021年整理)

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第3讲几何概型板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点考点2 几何概型的概率公式P（A）＝错误!。

[必会结论］几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．［考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”,错误的打“×”）(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( ）(2）几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（)（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ）（4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ）(6）从区间[1,10］内任取一个数,取到1的概率是P＝错误!.（)答案(1)√（2）√（3）√(4）√（5）×(6）×2．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（)A。

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次的概率为.
命中率分别为与
某学生对后两天学过的单词每个能默写对的概率为,对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为;若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测
音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

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