竞赛试题

（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每题3分，共45分）1．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个口袋中装有 4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率是（ ） A21B31 C41 D513．抛物线42-=x y 的顶点坐标是（ ）A （2，0）B （－2，0）C （1，－3）D （0，－4）4．若x 1，x 2是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．5- D ．65．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是（ ）A ．8米B ．4.5米C ．8厘米D ．4.5厘米6．顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形必定是( )。

A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形. 7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10°8. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3， 则sinB 的值是（ ）A. 2 3B. 3 2C. 3 4D. 4 39．已知线段AB=1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ） Ａ．215- B ．253- C ．215-或253- D ．以上都不对 10．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°．AC ＝4． 则BD 的长为（ ）（A ）38 （B ）34 （C ）32 （D ）8 11. 如图，AB ∥CD ，BO ：OC= 1：4，点E 、F 分别是OC ， OD 的中点，则EF ：AB 的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4CABD （第8题图）第7题图A 'B DAC FOABCDE12.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（ ）A ．128)% 1(1682=+a B ．128)% 1(1682=-aC ．128)% 21(168=-aD ．128)% 1(1682=-a 13.已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数xky =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有（ ）A ．210y y <<B ．120y y <<C ．021<<y yD ．012<<y y14.把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）.A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++15.定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）A. ①②③④B. ①②④ C . ①③④ D . ②④ 二、填空题（每空3分，共18分） 16. 已知点A （2，m ）在函数xy 2=的图象上，那么m=_________。

17．在比例尺为1:50000的某城市旅游地图上，某条公路的长度是15厘米，则这条公路的实际长度是_________千米.18.下图是某天内，电线杆在不同时刻的影长，按先后顺序应当排列为:________.19．如图，已知△ADE ∽△ABC ，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.20．定义新运算“*”，规则：()()a ab a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，如122*=，(=210x x +-=的两根为12,x x ，则12x x *＝ ． 21. 如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．三、解答题（共7个大题，共57分）22．（7分）（1）解方程：2310x x --=． （2）104cos30sin60(2)2008)-︒︒+--23.（7分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (2.449===)24. （8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。

为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

每件商品降价多少元时，商2y x=xyOP 1P 2P 3 P 4 1234第19题图 A D CEB第26题图场日盈利可达到2100元？为获得最大利润，商场该商品应降价多少元？25(8分)将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是 ；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．26. （本小题满分9分）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图象与x 轴交于A (-21，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C . (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；(3) 在拋物线上存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P 点的坐标.27．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．28．（9分）．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，已知点A(4，0)，点B(0，3)，点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒(0＜t＜2)．(1)求直线AB的解析式；(2)设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP O'，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP O'为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．提示：亲爱的同学，请认真检查，不要漏题哟！一：选择题答案：二：填空题答案：解答题：22:（1）略（不好打根号所以略）（3分）（2）1.5 （4分）23：Rt △ACB中，AC=AB×sin45〫=255（m）（1分）∴AD-AB≈ 2.07（m）．改善后的滑梯会加长2.07 m ．（4分）（2）这样改造能行．因为CD-BC≈ 2.59（m），而6-3 > 2.59．24：解：设每件商品应降价x元，由题意得：（50-x）(30+2x)=2100解得x1=20,x2=15 因为尽快减少库存,所以舍去15元。

设每件应降价x元，获得利润为Y元，由题意得y=(50-x)(30+2x)根据二次函数顶点坐标得x=17.5元时获利最大。

27：(1)BM+DN=MN AEM全等与三角形ANM(2)DN-BM=MN AMN全等于三角形AQN28：设直线AB的解析式为y=kx+b，∴解得，∴直线AB的解析式是y=-x+3．（2）在Rt△AOB中，AB==5，依题意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，过点P作PM⊥AO于M，∵△APM∽△ABO，∴，∴，∴PM=3-t，∴y=AQ•PM=•2t•（3-t）=-t2+3t．解得t=1．若PQ把△AOB面积平分，则S△APQ=S△AOB，∴-t2+3t=3，∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分．（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，过点P作PN⊥BO于N，若四边形PQP′O是菱形，则有PQ=PO，∵PM⊥AO于M，∴QM=OM，∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，∴，∴，∴PN=t，∴QM=OM=t，∴t+t+2t=4，∴t=，∴当t=时，四边形PQP′O是菱形，∴OQ=4-2t=，∴点Q的坐标是（，0）．∵PM=3-t=，OM=t=，在Rt△PMO中，PO===，∴菱形PQP′O的边长为．。