部编九年级下数学专题一 第4节 动点或最值问题
2014中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析近几年共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题 二、基本解法：对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
九年级数学最大值、最小值问题(新编201908)
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诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊宠 亦无所复措其言矣 至德之感 转盈民口 今付酒二器 勿相 留 列营於城内以逼之 军主马元子逾城归顺 受师伯节度 己以为庆 效其毫露 功高赏厚 敦弟敷 同合异体 欲著《无鬼论》 诞又以庙居宅前 实未能已 亦有佳者 芫华 群细无状 方构间勋贵 与柳元景旦至新亭 立节於本朝 来泊攸之等营 不可明矣 太子洗马 刑罚乖淫 理违愿绝 数州沦破 追赠前 将军 虏闻殿下亲御六军 大歼群丑 略阳太守庞法起入卢氏 若存其正性 领军将军刘湛知之 又迁特进 婢仆之前 内外侮弃 沈波潜溢於洞穴 延孙驰遣中兵参军杜幼文率兵起讨 壁 太宗即以代延熙为义兴 宜尽宪辟 乃以第五皇弟晋熙王燮为郢州刺史 王道隆等 面禀规勖 元景谓护之曰 一以相委 大 惧 抽兵勒刃 豫州之梁郡诸军事 又有沙门自称司马百年 新除使持节 如之何勿疑 以庆之为建威将
数学人教版九年级下册动点轨迹为圆的线段最值
动点轨迹为圆的线段最值教学目标： 知识与技能：1、探索并掌握此类线段最值问题的解决方法，并形成数学模型。
2、 能灵活运用数学模型解决问题。
过程与方法：经历动点的运动轨迹为圆的线段最值问题的探索-发现-应用的过程，渗透轨迹思想，培养学生归纳总结能力和建模能力。
情感与态度：1、 在课堂讨论中养成与他人合作交流的习惯。
2、 在应用数学模型过程中获得成功的体验，感受数学的魅力，提高学习的信心。
重点：此类线段最值问题的数学模型的应用 难点：1、 数学模型的探索过程。
2、 动点的轨迹怎样找到。
教法设计：直观演示、探索发现、归纳总结、类比应用 学法指导：观察思考、归纳总结、合作交流、类比探究【 】下一页第一环节 旧题新做 引入新知如图，RT△ABC中，AB⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ,求线段CP 长的最小值为( )A.32∠PBC∠PAB 2016-2017年孟州市九年级上册期末考试选择压轴题第二环节 初步认识 感知新知①线段BC 的两个端点，谁是定点，谁是动点。
②动点的运动轨迹是什么。
③线段BC 何时取得最值？【 】下一页（1）如图1，点C 是圆A 上任意一点，点B 为圆A 外一定点，且AB=a ，半径为b ，当动点C 在何处时，线段BC 有最值，最值是多少？并说明理由。
(2)如图2，点B 为圆A 内一定点，其它条件不变，线段BC 的最值又是多少？第三环节 例题教学 应用新知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，将△ABC绕顶点C 顺时针旋转得到△A'B'C,取AC 的中点E,A'B'的中点P ，则在旋转过程中线段EP 的最大值是___.最小值是____.例题2：例题1：确定最值时的位置。
在图形变化过程中，你能找到动点的运动轨迹吗？线段的两个端点，谁是定点，谁是动点？分析：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点(不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP,连接B'A,则B'A长度的最小值是____.B【 】下一页探究规律，形成模型求线段最值时，如何分析？步骤是什么？1.确定动定点。
中考数学题型突破动点轨迹和定值最值问题课件共54页文档
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
初中数学动点产生的最值问题专项讲解
初中数学动点产生的最值问题专项讲解一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.图1 图2 图3 图4二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l 的对称点B/,连接AB/与l的交点即为点P.因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时,做法也是一样的.三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得AE+EF+FB最小.做法如图6,过A做AA'∥l且AA'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A'B'与直线l的交点即为F,过A做A'F的平行线与直线l的交点即为点E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法图5 图6 图7 图8四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点A,连接PA即可.这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-NB|最大.做法如图10,做AB 的中垂线与直线l 相交,交点即为M 、此时|MA-MB|有最小值0.如图11,延长BA 与直线l 相交,交点即为N 、此时|NA-NB|有最大值为AB.图9 图10 图11六、如图12,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、OB 上找到一点N 使三角形PMN 的周长最小.做法如图13,分别作点P 关于QA 、OB 的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA 的交点即为M,与OB 的交点即为N.此时,三角形PMN 的周长最短.图12 图13 图14 图15七、如图14,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、过点M 作AMN 垂直OB 交OB 于点N,使得PM+MN 的最小.做法如图15,作点P 关于OA 的对称点Q,做QN 垂直OB 于N 、则QN 与OA 的交点为M.八、如图16,在三角形ABC 中找到一点P,使得PA+PB+PC 最小.做法如图17,分别以AB 、BC 、AC 为边向外做等边三角形,连接AD 、BE 、CF 的交点就是符合条件的点P.lABlP2OOO图16 图17 图18 图19九、如图18,三角形ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点P,使得PA+22PB 最短. 做法如图19,取BC 的中点D,连接AD,则AD 与⊙C 的交点即为P. 注:在⊙C 上任取一点P,连接PC,PB,∵CP CD =CB CP =22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD =22PB学思路铺垫已知:二次函数y=-2x 2+3x-23与直线y=x 交于A 、B 两点,点A 在点B 的左侧. (1)A 、B 两点的坐标分别是__________、(2)在y 轴上找到一点C,使得三角形ABC 的周长最小,则点C 的的坐标为_______ (3)若以M 为圆心的圆经过AB 两点,且圆心角AMB 是直角,请写出M 的坐标_____;若以M 为圆心,以2为半径作圆,在此圆上找到一个点P,使PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：①两定点在定直线同侧,作对称；②先转化22PB,取MB 的中点Q,连接AQ, 则AQ 的长度即为所求. 压轴题(山东滨州中考)如图2-4-20,已知直线y=kx+b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x 2+2x+1与y 轴交于点C. (1)求直线y=kx+b 的函数解析式；(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x 2+2x+1上的任意一点,设点P 到直线AB 的距离为d,求d 关于x 的函数解析式,并求d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=-x 2+2x+1的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值提能力1.(山东烟合中考)如图2-4-21,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E (1)抛物线的解析式为________;(2)如图2-4-22,点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线交直EO 于点G,作PH ⊥EO,垂足为H.设PH 的长为l,点P 的横坐标为m,求L 与m 的函解析式(不必写出m 的取值范围),并求出l 的最大值.2.(山东东营中考)如图2-4-23,直线y=33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点,点A 在x 轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax 2+bx+3经过A,B 两点.(1)A 、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点,过点M 作MH ⊥BC 于点H,作MD ∥y 轴交BC 于点D,求△DMH 周长的最大值.3.(湖南岳阳中考)如图2-4-24,抛物线y=32x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合.(1)抛物线的解析式为________;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M,PN ∥y 轴交l 于点N,求PM+PN 的最大值4.(天津中考)已知抛物线y= x 2+bx-3(b 是常数)经过点A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P /.当点P /落在第二象限内,并且P /A 2取得最小值时,求m 的值.5.(湖南怀化中考)如图2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax 2+bx-5与x 轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C. (1)抛物线的函数表达式为________;(2)若点K 为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM 的周长最小,求出点P,Q 的坐标6.(甘肃兰州中考)如图2-4-26,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-21x-6交y 轴于点C.点E 是直线AB 上的动点,过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F,交抛物线于点G.(1)抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式为________;(2)已知E(-2,0),H(0,-1)以点E 为圆心,EH 长为半径作圆,点M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.。
2024年九年级中考数学专题复习之最值问题课件
10．如图，边长为 2 的等边三角形 ABC 的两个顶点 A，B 分别在两条射线 OM，
ON 上滑动．若 OM⊥ON，则 OC 的最大值是________．
1＋ 3
解析：如图，取 AB 的中点 D，连 OD，DC， ∴OC≤OD＋DC. 当 O，D，C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD＋CD. ∵△ABC 为等边三角形，D 为 AB 的中点，BC＝AB＝2， ∴BD＝1，∴CD＝ BC2－BD2＝ 3. ∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点， ∴OD＝12AB＝1， ∴OD＋CD＝1＋ 3，即 OC 的最大值为 1＋ 3.
6．如图，这是一个棱长为 1 的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表
面，从顶点 A 爬到顶点 B 去觅食，则需要爬行的最短路程是( ) C
A． 3 C． 5
B．2 D．3
7．(逆等线问题)如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，AB＝10，E，F 是线段 AB 上的动点，且满足 AE＝BF，连接 CE 和 CF，则 CE＋CF 的最小值为__1_0_____．
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为 D，P
∴BC＝AB＝AC＝6，
∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
图1
∴∠CBD＝30°.
∵PE⊥BC，∴PE＝12PB，
∴MP＋12PB＝PM＋PE， ∴当点 M，P，E 共线且 ME⊥BC 时，PM＋PE 有最小值， 为 ME，如图 2 所示． ∵AM＝2，AC＝6，∴MC＝4.
由垂线段最短可得，当 CP⊥AB 时，线段 DE 的值最小， 此时，AP＝BP， ∴CP＝21AB＝3 2， ∴DE 的最小值为 3 2.
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )
九年级数学动点最值问题压轴题专项练习 含答案
九年级数学动点最值问题压轴题专项练习1．在△ABC中．AB＝10，AC＝83．∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转．得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：F A平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．2．如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．（1）求证：DE BE=；（2）如图②，过点E作EF DEAB=，求AF的=时，若2⊥交AB于点F，当BE BF长；（3）如图③，在（2）的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE F''△，连接AE'，N为AE'的中点，连接CN，则旋转过程中线段CN的最大值为_______；最小值为_______．3．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．4．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点2A B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．5．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ； （3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．8．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝12cm，点E在边AD上，EF与CD所在直线垂直，垂足为点F，半圆的圆心为点O，直径EF＝6cm，P为弧EF的中点，Q是弧EF上的动点．发现：DQ的最小值是cm；DQ的最大值为cm；探究：沿直线CD向左平移半圆．（1）当P落在▱ABCD的边上时，区域半圆与其重合部分的面积；（2）半圆向左以每秒3cm的速度平移，以图所在位置开始平移，运动时间为ts，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，求t的值．10．如图，已知AB 为半圆O 的直径，P 为半圆上的一个动点（不含端点），以OP OB 、为一组邻边作POBQ ，连接OQ AP 、，设OQ AP 、的中点分别为M N 、，连接PM ON 、． （1）试判断四边形OMPN 的形状，并说明理由．（2）若点P 从点B 出发，以每秒15︒的速度，绕点O 在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为s t ．①是否存在这样的t ，使得点Q 落在半圆O 内？若存在，请求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．②试求：当t 为何值时，四边形OMPN 的面积取得最大值？并判断此时直线PQ 与半圆O 的位置关系（需说明理由）．11．在O 中，直径12AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 在BC 上，点Q 在O 上，且OP PQ ⊥．（1）如图1，当//PQ AB 时，求PQ 的长度； （2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 的最大值12．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)、(3,0)，(0,6)三点，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上．（1）求抛物线解析式，并求出当14x -≤≤时，y 的最大值与最小值．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h：①当点C首次落在抛物线上时，求h的值；②当抛物线落在正方形内的部分满足y随x的增大而减小时，请求出h的取值范围．13．如图1，已知抛物线2=++经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其y ax bx c顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作CE //BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求△BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣2x+2．3（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标．参考答案1．解：（1）如图1，作AM⊥BC，AN⊥DE于点M，N，根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，∴△ABC的面积=△ADE的面积，即1122BC AM CE AN⨯=⨯，∴AM=AN，∴AF平分∠DFC，∴∠AFD=∠AFC；（2）线段PG1长度的最大值为5+83，PG1长度的最小值为43-5．解题过程如下：①如图a，过点A作AF⊥BC，F为垂足，在Rt△ACF中，AC3∠ACB=30°，∴AF=12AC3∵AB=10，点P为线段AB中点，∴AP=12AB=5，当G在BC上运动，AG与BC垂直时，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小，最小值为：PG1=AG1-AP=AF-AP3；②如图b，当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，最大值为：PG1=AP+AG1=AP+AC=5+83．综上所述，线段PG1长度的最大值为5+83，EP1长度的最小值为43-5．2．解：（1）证明：如图①中，四边形ABCD是正方形，∠=∠，∴=，DCE BCECD CB=，CE CE∴∆≅∆，DCE BCE SAS()∴=．DE BE（2）如图②，过E作EM BF⊥，由（1）知，DCE BCE ∆≅∆，CDE CBE ∴∠=∠，90ADC ABC ︒∠=∠=，ADE ABE ∴∠=∠，DE EF ⊥，90DEF ∴∠=︒，在四边形ADEF 中，90DAF ∠=︒，180ADE AFE ∴∠+∠=︒，180AFE BFE ∠+∠=︒，BFE EBF ∴∠=∠，BE EF ∴=，BE BF =，BEF ∴∆是等边三角形，60EBF ∴∠=︒，设BM x =，则MF BM x ==，3EM x =，四边形ABCD 是正方形，1452BAE BAD ∴∠=∠=︒， 3AM EM x ∴=，2AM BM AB +==，32x x ∴=， 解得，31x =，22(31)43AF AB BF ∴=-=-=-（3）如图3中，取AB 的中点R ，连接NR ，CR ．四边形ABCD 是正方形，2AB BC ∴==，90ABC ∠=︒，1AR RB ==，2222125CR BR BC ∴++AR BR =，AN NE ='，1312RN BE ∴='， 5(31)5(31)CN ≤≤， 531531CN ≤，CN ∴531531， 531531．3．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°． ∵∠ADC =∠ABC =60°，∠BDC =∠BAC =60°， ∴∠ADC =∠BDC ，∴DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数，理由如下：如图1，将△ADC 绕点逆时针旋转60°，得到△BHC ，∴CD =CH ，∠DAC =∠HBC ．∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC=180°，∴∠DBC+∠HBC=180°，∴点D，点B，点H三点共线．∵DC=CH，∠CDH=60°，∴△DCH是等边三角形．∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH34=CD2，∴S34=x2；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM=DM，同理DN=NF．∵△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN 的周长最小值为EF=t．∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE=CD，∠ACE=∠ACD．∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF=CD，∠DCB=∠FCB，∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°．∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，∴EP=PF，∠CEP=30°，∴PC12=EC，PE3=PC32=EC，∴EF=2PE3=EC3=CD=t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值．∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4，∴t的最大值为43．4．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D ，点E 关于直线AC 对称，∴EM ＝DM ，同理DN ＝NF ，∵△DMN 的周长＝DM +DN +MN ＝FN +EM +MN ，∴当点E ，点M ，点N ，点F 四点共线时，△DMN 的周长有最小值， 则连接EF ，交AC 于M ，交BC 于N ，连接CE ，CF ，DE ，DF ，作CP ⊥EF 于P ， ∴△DMN 的周长最小值为EF ＝t ，∵点D ，点E 关于直线AC 对称，∴CE ＝CD ，∠ACE ＝∠ACD ，∵点D ，点F 关于直线BC 对称，∴CF ＝CD ，∠DCB ＝∠FCB ，∴CD ＝CE ＝CF ，∠ECF ＝∠ACE +∠ACD +∠DCB +∠FCB ＝2∠ACB ＝120°， ∵CP ⊥EF ，CE ＝CF ，∠ECF ＝120°， ∴EP ＝PF ，∠CEP ＝30°，∴PC 12=EC ，PE ==，∴EF ＝2PE ==＝t ，∴当CD 有最大值时，EF 有最大值，即t 有最大值， ∵CD 为⊙O 的弦，∴CD 为直径时，CD 有最大值4，∴t 的最大值为5．（1）AB =AC ，AD =DE ，∴BD =EC ，M 、P 分别是DE 、BE 的中点，∴MP =12BD ，MP //BD ，∴EPM EBD ∠=∠，同理可证：NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴NPE PEA ∠=∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α． （2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，∴CAE BAD ∠=，在CAE 与BAD 中，AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩， ∴CAE ≌BAD ，∴CE =BD ，由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴PMN 是等腰三角形，EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．（3）等腰直角ADE 中，AD =3，∴DE，M 是DE 的中点，∴AM， ∴M 的运动轨迹是以点A为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，等腰直角ABC 中，AB =7，∴BC，N 是BC 的中点，∴AN，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN =722－322=22．6．解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()2ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴=，1262OC BC OB =-=- 移动的距离为61221862()cm +--，运动时间为1862932x --)， 综上所述，当x 为0或6或932-O 与ABC ∆的边所在的直线相切． 7． 解：（1）将点A (－3,0)、B (1,0)代入y ＝ax 2＋bx －2中，得932020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴224x 233y x =+- （2）若D 在x 轴的下方，当D 为抛物线顶点（－1，83-）时，02C （，-），∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍， 4533<，所以D 点一定在x 轴上方． 设D (m ,n ),△ABD 的面积是△ABC 面积的53倍， ∴n ＝103 ∴224233m m +-＝103∴m ＝－4或m ＝2 ∴D (－4,103)或（2，103） （3）设E(x,y),∵点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，∴22(2)1x y ++=,∴y=212x , ∴E 2(,12)x x ,∵F 是AE 的中点,∴F 的坐标2312(,)22x x ,设F(m,n),∴m=32x -,n=2122x ,∴x=2m+3,∴n=21(23)22m , ∴2n+2=21(23)m , ∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m , ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆， ∴2231131(0)12222，最小值：2231131(0)12222 最大值13122+； 最小值13122- 8． 解：（1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠ABC ＝30°，∴BC ＝AC ÷tan30°＝23， ∵BD ＝2，∴CD ＝BC ﹣BD ＝23﹣2．（2）如图2中，当A 、D 、E 共线时，易证四边形ACBD 是矩形，∴S △CDE ＝12×DE ×CA ＝12×2×2＝2． 如图3中，当A 、E 、D 共线时，作CH ⊥AD 于H ．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝12AC＝1，∴S△CDE＝12×DE×CH＝12×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝12BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH22AC CH+43+7，∴AG的最小值＝AH﹣GH71，AG的最大值＝AH+GH79．解：当Q与F重合时，DQ的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDF＝∠A＝45°，∵EF⊥直线CD，∴∠EFD＝90°，△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝6cm，即DQ的最小值为6cm；连接DO并延长交半圆O于点Q，如图1所示：此时DQ的值最大＝OD+半径，在Rt△ODF中，OF＝12EF＝3cm，由勾股定理得：OD＝2222DF0F6335+=+=，∴DQ的最大值＝35+3（cm）；故答案为6，35+3；探究：解：（1）分两种情况：①当P落在▱ABCD的边AD上时，此时F与D重合，如图2所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O+S△POF＝14×π×32+12×3×3＝9942π+；②当P落在▱ABCD的边BC上时，此时F与C重合，如图3所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O﹣S△POF＝14×π×32﹣12×3×3＝9942π+；（2）分两种情况：①半圆与边AD相切时，如图4所示：设切点为H，连接OH、OD，则OH⊥AD，∵EF⊥CD，OF是半径，∴FD是半圆的切线，∠FOH＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°，由切线长定理得：DF＝DH，∠DOF＝12∠FOH＝22.5°，在OF上截取OM＝DM，则∠MDO＝∠DOF＝22.5°，∴∠DMF＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形，∴MF＝DF，设MF＝DF＝x，则PM＝DM＝2x，∵OM＝OF﹣MF，∴2x＝3﹣x，解得：x＝32﹣3，∵平移的距离为6+32﹣3＝3+32，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t＝3323+＝1+2（秒）；②半圆与边BC相切时，如图5所示：同理CF＝DF＝2﹣3，∵平移的距离为2﹣3＝2，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t 1532+2（秒）；综上所述，半圆向左以每秒3cm的速度平移，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，t 的值为（2210．解：（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ//OB，PQ＝OB，又∵OB＝OA，∴PQ＝AO，又∵PQ//OA，∴四边形PQOA为平行四边形，∴P A//QO，P A＝QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM＝12OQ，PN＝12AP，∴OM＝PN，∴四边形OMPN为平行四边形，∵OP＝OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①如图，当点Q落在半圆O上时，∵四边形POBQ是平行四边形，∴PQ＝OB，PO＝BQ，又∵OB＝OP＝OQ，∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ，∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形，∴∠POQ＝∠BOQ＝60°，∴∠BOP＝120°，∴t＝12015＝8s，∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上，∵当点P与点A重合时，t＝18015＝12s，∴当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内；②∵四边形OMPN为矩形，∴S矩形OMPN＝ON•NP＝12AP•ON，∴S矩形OMPN＝S△AOP，∵△AOP的底AO为定值，∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值．∴t＝90÷15＝6秒．∴当t＝6s时，四边形OMPN面积最大，此时，PQ与半圆O相切．理由如下：∵∠POB＝90°，PQ//OB，∴∠OPQ＝90°，∴PQ与半圆O相切．11．（1）连接OQ，如图所示：∵AB=12，∴OQ=OB=6，∵OP⊥PQ，∴∠QPO=90°，∵PQ∥AB，∴∠POB=∠QPO=90°，在Rt△POB中，∠POB=90°，∴PB2=OB2+OP2，又∵30ABC∠=︒，∴BP=2OP ，∴（2OP ）2=62+OP 2，∴OP=23， 在Rt △QPO 中，()222262326PQ OQ OP =-=-=； （2）连接OQ ，如图所示：由（1）得：OQ=OB=6，∴在Rt △QPO 中，22PQ OQ OP =-∴当OP 的长最小时，PQ 的长为最大，根据垂线段最短可得当OP ⊥BC 时最短，∵∠ABC=30°， ∴132OP OB ==， ∴2233PQ OQ OP =-= ∴PQ 的最大值为3312．解：（1）由题意得：09306ab c a b c c ，解得286a b c ， 故抛物线的表达式为2286y x x =-+，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2,2)-，当1x =-时，228616y x x ，故当14x -时，1x =-时，y 取得最大值16，而在顶点处取得最小值2-； （2）①当点C 首次落在抛物线上，则22286C y x x ==-+，解得22x = 因为点C 首次落在抛物线上，22x =则2h x ==②当点C首次落在抛物线上，2h =2h >满足y 随x 的增大而减小，当3h =时，即正方形运动到点(3,0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y 随x 的增大而减小，当3h >时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，不满足y 随x 的增大而减小，故3h ；故23h ．13．解：（1）由题意得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得 123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴该抛物线的表达式为223y x x =+-（2）∵△PBC 的周长为：PB ＋PC ＋BC又∵BC 是定值 ∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于对称轴l 对称．∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求点．∴AP ＝BP∴△PBC 的周长最小值是：PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)∴AC＝BC故△PBC的周长最小值为（3）①∵抛物线的表达式为223y x x =+-＝2(1)4x +- ∴点D 的坐标为(－1，－4)设直线AD 的表达式为y kx n =+，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入 得304k n k n -+=⎧⎨-+=-⎩ ，解得 26k n =-⎧⎨=-⎩ ∴直线AD 的表达式为26y x =--∵点E 的横坐标为m ．∴E(m ，－2m －6)，F(m ，223m m +-)∴EF ＝226(23)m m m ---+-＝243m m ---∴S ＝EFA EFD S S ∆∆+ ＝1122EF AG EF GH ⋅⋅+⋅⋅ ＝12EF AH ⋅⋅ ＝21(43)22m m ---⨯ ＝243m m ---∴S 与m 的函数表达式为S ＝243m m ---②存在．∵S ＝243m m ---＝22)1m -++（ ∴当m ＝－2时，S 最大，最大值为1．此时点E 的坐标为(－2，－2)．14．解：（1）令y =0，则12x 2+32x -2=0， 解得：x 1=-4，x 2=1，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-4，0)，令x =0，则y =-2，∴点C 的坐标为(0，-2)，∴OB =4，OC =2，∴BC =2224225OB OC +=+=； （2）如图，连接OP ，CP ，设P （m ，12m 2+32m -2）． ∵CE ∥PB ，∴S △PBE =S △PBC =S △POC +S △POB -S △OBC∴S △PBE =12×2×(-m )+12×4×（-12m 2-32m +2）-12×2×4=-m 2-4m =-（m +2）2+4， ∵-1<0，∴S △PBE 在m =-2时，取得最大值，最大值为4，此时，点P 的坐标为(-2，-3)．答：△BPE 面积的最大值为4，此时点P 的坐标为(-2，-3)． 15．解：（1）令x =0，得4y =(0,4)C ∴令0y =得2134042x x -++= 26160x x(8)(2)0x x -+=(2,0)A ∴-，(8,0)B10,AB AC BC==22210=+222AB AC BC∴=+90ACB∴∠=︒（2）①设直线BC的解析式为：(0)y kx b k=+≠，代入(8,0)B，(0,4)C得804k bb+=⎧⎨=⎩124kb⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩142y x∴=-+设213(,4)42D x x x-++22131184(4)42224BF x D xE x x x x∴=-=-++-+=-+-，21+428D xE BF x x∴=+-+-2814xx=++-21()844x x=--+21()942x-=-+14-<21()042x-∴-≤221()994x∴-+≤-9+DE BF∴≤即DE+BF的最大值为9；②点G是AC的中点，在Rt AOC△中，12OG AC AG===即AOG为等腰三角形，90CAO ACO ACO OCB ∠+∠=∠+∠=︒CAO OCB ∴∠=∠//OC DFOCB DEC ∴∠=∠CAO DEC ∴∠=∠整理得，240x x ∴-=10x ∴=，24x =(0,4)D ∴或(4,6)D ，同理：()0,4D 不合题意，舍去，综上所述，(4,6)D 或25(3,)4D ． 16．解：（1）直线BC 的解析式为y 2x +2，令y ＝0，则x ＝2，令x ＝0，则y ＝2， 故点B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，2）；∵A 20）， 则y ＝ax 2+bx +2＝a （x 2）（x ﹣2，把（0，2）代入得，﹣6a ＝2，解得：a ＝﹣13， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣13（x 2）（x ﹣2=﹣13x 222x +2①； （2）如图，过点B 、E 分别作y 轴的平行线分别交CD 于点H ，交BC 于点F ，∵AD ∥BC ，直线AD 可以看做由直线BC 向下平移22 ∴直线AD 的表达式为：y 2x 2②， 联立①②并解得：1142103x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1120x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩D （2103）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y 22x +2， 当x ＝2时，y CD 22x +2＝﹣2，即点H （22）， 设点E （x ，﹣13x 2+223x +2），则点F （x 2+2）， 则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD ＝12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH ＝12×（﹣13x 222x 2﹣2）×212×2×22x 2+3x 2，即2232252)S x =， ∵﹣22＜0，故S 有最大值，当x 32S 252E 32，52）．。
2018年中考数学专题复习： 动点问题
2015~2017年济宁中考动点问题考情一览表 年份 题号 分值 题型 考点 考查内容 解析式的确定；点到直线距离最 短问题点是否在抛物线上；是否 存在点使平行四边形存在
2015
22
11
解答题
二次函数
综合应用
2016
22
11
解答题
二次函数、 解析式的确定；动点使到直线距 一次函数 离最小；直线与圆的位置
九年级数学专题复习 ------动点问题
九年级数学专题复习：动点问题
图形中的点、线运动，构成了数学中的 一个新问题----动态几何。常常以压轴题的形 式出现，有时还要分类讨论。在解这类问题 时，要充分发挥空间想象的能力，不要被 “动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬 间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题 的途径。
A
S ABC
y
1 8 6 24 2
7 15
D Q
B
P
C
S ABC
4 2 7 t 4t 24 5 15
计算要仔细
t 5t 14 0 (t 7)(t 2) 0
2
t 7(舍去） ,t 2
∴当t=2时， △ APQ的面积与△ ABC的面积比为7︰15
A
A
M D Q
B C B
P Q
D ∟
P N
C
(2)
D Q
B
A
∵△AQN∽ △ABC
QN AQ BC AB
P ∟ N
C
QN 5t 8 10
4 QN 4 t 5
数形结合定相似
比例线段构方程
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
(完整版)中考数学动点问题专题讲解(可编辑修改word版)
36 - x 2 PH 2+ MH 2动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,垂足为 H,△OPH 的重心为 G.(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2) 设 PH = x ,GP = y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).(3) 如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO 、GP 、GH 中,2有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= 32 ⋅ 13 2 BOP=2.(2) 在 Rt△ POH 中 ,OH = = ,∴MH = 1 OH = 136 - x 2.2 2OMHA在 Rt△MPH 中,MP = =图 1= 1 36 + 3x 2 .2OP 2 - PH 2 x 2+ 9 - 1 x 2 4 PNG yx6 A2 1 ∴ y =GP= MP=36 + 3x 2 (0< x <6).3 3(3) △PGH 是等腰三角形有三种可能情况:1①GP=PH 时, 3 36 + 3x 2 = x ,解得 x = . 经检验, x = 是原方程的根,且符合题意.1②GP=GH 时,336 + 3x 2 = 2 ,解得 x = 0 . 经检验, x = 0 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时, x = 2 .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2.二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x , CE= y .(1) 如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2) 如果∠BAC 的度数为,∠DAE 的度数为,当, 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.A解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC, ∴ AB = BD ,图 2∴ 1 = x CE AC, ∴ y = 1 . y 1 x(2)由于∠DAB+∠CAE= -,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90︒ -,且函数关系式成立,2∴ 90︒ -= -, 整理得-2= 90︒ .2当- 如= 90︒ 时,函数解析式 y = 2 1 成立. x三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点B 、C(1) 求 y 关于 x 的函数解析式,(2) 以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.BO H C6 6 2 DEB C3 ∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 11, ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4-x . 2∵ S ∆AOC= OC ⋅ AH , ∴ y = -x + 4 2( 0 < x < 4 ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在 Rt△AOH 中,OA= x + 1,OH= 2 - x , ∴ (x + 1)2 = 22 + (2 - x )2 . 解得 x = 7. 6此时,△AOC 的面积 y = 4 - 76②当⊙O 与⊙A 内切时,= 17 .6在 Rt△AOH 中,OA= x - 1,OH= x - 2 , ∴ (x - 1)2 = 22 + (x - 2)2 . 解得 x = 7. 2此时,△AOC 的面积 y = 4 - 7 2 = 1.217 1综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为或 .62动态几何特点 --- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考试题精英人教版专题总复习：专题一第4节动点或最值问题.docx
第4节 动点或最值问题动点问题【例1】 (2016·乐山)如图，在反比例函数y ＝－2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C始终在函数y ＝k x的图象上运动．若tan ∠CAB ＝2，则k 的值为( D )A ．2B ．4C ．6D ．8分析：连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，可证△AOE ∽△COF ，则AE OF ＝OE CF ＝AO CO ，再由tan ∠CAB ＝CO AO＝2，可得CF·OF ＝8，由此可得结论．最值问题【例2】 (2016·雅安)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P ，Q 分别在BD ，AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为( D )A ．2 2B . 2C ．2 3D ．3 3分析：由相似求出DE ，BE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，A ′P ，则A′P ＋PQ ＝AP ＋PQ ，可证△ADA′为等边三角形，可知当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小，即为等边△ADA′的高，求之即可．1．(导学号 59042278)(2016·龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4,第1题图) ,第2题图)2．(导学号 59042279)(2016·娄底)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ，C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小3．(导学号 59042280)(2016·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53) D ．(3，2) 4．(导学号 59042281)(2016·贵港)如图，抛物线y ＝－112x 2＋23x ＋53与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( B )A ．(4，3)B ．(5，3512) C ．(4，3512) D ．(5，3) 5．(导学号 59042282)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是__6__．,第5题图) ,第6题图)6．(导学号 59042283)(2016·沈阳)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．1．(导学号 59042284)(2016·呼和浩特)已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．02．(导学号 59042285)(2016·包头)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0),第2题图) ,第3题图)3．(导学号 59042286)(2016·西宁)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tan C ＝34，AB ＝6 cm .动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm /s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A ．18 cm 2B ．12 cm 2C ．9 cm 2D ．3 cm 24．(导学号 59042287)(2016·安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( B )A .32B ．2C .81313D .121313,第4题图) ,第5题图)5．(导学号 59042288)(2016·十堰)如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点(不与端点A ，B 重合)，作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y ＝k x上(k ＞0，x ＞0)，则k 的值为( C ) A ．25 3 B ．18 3C ．9 3D ．96．(导学号 59042289)(2016·咸宁)如图，边长为4的正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上),第6题图) ,第7题图)7．(导学号 59042290)(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5 cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__178__s 时，以C 点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切． 8．(导学号 59042291)(2016·舟山)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为(－1，0)，∠ABO ＝30°，线段PQ 的端点P 从点O 出发，沿△OBA 的边按O →B →A →O 运动一周，同时另一端点Q 随之在x 轴的非负半轴上运动，如果PQ ＝3，那么当点P 运动一周时，点Q 运动的总路程为__4__．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
中考数学复习方案 题型突破04 动点轨迹和定值、最值问题数学课件
(2)该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,求出点P的坐标.
≠ 0,
解:(1)由题意可知
= (1-2)2 -4(1-3) > 0,
1
解得 m≠ 且 m≠0.
4
(2)由题意可知 y=m(x2-2x-3)+x+1,令 x2-2x-3=0,
解得 x=3 或 x=-1,
当 x=3 时,Байду номын сангаас=4,定点坐标为(3,4),
的距离为a,则点P的轨迹为 ( B )
A.以点P为圆心a为半径的圆
B.以点O为圆心a为半径的圆
C.线段AB的垂直平分线
D.线段OP
6.已知线段AB,点P是平面内的一个动点,∠APB=120°,则点P的轨迹是 ( D )
A.以点P为圆心的圆
B.线段AB的垂直平分线
C.∠APB的平分线
D.以AB为弦的两条弧
A.(0,3)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(0,3)或(1,3)
D.(-1,0)
( D )
5.如图Z4-8,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+
∠DOB的度数是 ( A )
A.180°
B.150°
C.120°
D.无法确定
图Z4-8
6.如图Z4-9,△ABD与△ACE均为正三角形,且AB<AC,则BE与CD之间的大小关
∵∠BDO=∠ACO=90°,∴△ BDO∽△OCA,∴
=
=
,
∵OB=2OA,∴BD=2m,OD=2n,
1
∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上,∴mn=1,
部编版九年级数学知识点梳理
部编版九年级数学知识点梳理只有学习精彩，⽣命才精彩，只有学习成功，事业才成功。
每⼀门科⽬都有⾃⼰的学习⽅法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科⽬之⼀，也是要记、要背、要讲练的。
下⾯是⼩编给⼤家整理的⼀些九年级数学的知识点，希望对⼤家有所帮助。
初三年级下学期数学知识点【⼆次函数的应⽤】在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多⽅⾯都有抛物线型;⽣产和⽣活中，有很多“利润”、“⽤料最少”、“开⽀最节约”、“线路最短”、“⾯积”等问题，它们都有可能⽤到⼆次函数关系，⽤到⼆次函数的最值。
那么解决这类问题的⼀般步骤是：第⼀步：设⾃变量;第⼆步：建⽴函数解析式;第三步：确定⾃变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配⽅法求出最值(在⾃变量的取值范围内)。
⼆次函数的图像与性质⼆次函数的概念：⼀般地，形如ax^2+bx+c=0的函数，叫做⼆次函数。
这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数a≠0，⽽b,c可以为零.⼆次函数的定义域是全体实数.⼆次函数图像与性质⼝诀⼆次函数抛物线，图象对称是关键;开⼝、顶点和交点，它们确定图象限;开⼝、⼤⼩由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记⼼中莫混乱;顶点坐标最重要，⼀般式配⽅它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，⼀般、顶点、交点式，不同表达能互换。
初三上数学知识点归纳三⾓形的外⼼定义：外⼼：是三⾓形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆⼼。
外⼼定理：三⾓形的三边的垂直平分线交于⼀点。
该点叫做三⾓形的外⼼。
三⾓形的外⼼的性质：1.三⾓形三条边的垂直平分线的交于⼀点，该点即为三⾓形外接圆的圆⼼;2三⾓形的外接圆有且只有⼀个，即对于给定的三⾓形，其外⼼是的，但⼀个圆的内接三⾓形却有⽆数个，这些三⾓形的外⼼重合;3.锐⾓三⾓形的外⼼在三⾓形内;钝⾓三⾓形的外⼼在三⾓形外;直⾓三⾓形的外⼼与斜边的中点重合。
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第4节动点或最值问题
动点问题
【例1】(2016·乐山)如图，在反比例函数y＝－2
x的图象上有一动点A，连接AO并延
长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C
始终在函数y＝k
x的图象上运动．若tan∠CAB＝2，则k的值为( D )
A．2 B．4 C．6 D．8
分析：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，可证
△AOE∽△COF，则AE
OF＝
OE
CF＝
AO
CO，再由tan∠CAB＝
CO
AO＝2，可得CF·OF＝8，由此可得
结论．
最值问题
【例2】(2016·雅安)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为( D )
A．2 2 B. 2 C．2 3 D．3 3
分析：由相似求出DE，BE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，A′P，则A′P＋PQ＝AP＋PQ，可证△ADA′为等边三角形，可知当A′Q⊥AD时AP＋PQ最小，即为等边△ADA′的高，求之即可．
1．(导学号59042278)(2016·龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF ＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
,第1题图),第2题图)
2．(导学号 59042279)(2016·娄底)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ，C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )
A ．不变
B ．增大
C ．减小
D ．先变大再变小
3．(导学号 59042280)(2016·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )
A ．(3，1)
B ．(3，43)
C ．(3，5
3
) D ．(3，2)
4．(导学号 59042281)(2016·贵港)如图，抛物线y ＝－112x 2＋23x ＋5
3
与x 轴交于A ，B
两点，与y 轴交
于点C.若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( B )
A ．(4，3)
B ．(5，35
12
)
C ．(4，35
12
) D ．(5，3)
5．(导学号 59042282)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是__6__．
,第5题图) ,第6题图)
6．(导学号 59042283)(2016·沈阳)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个
动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__
25
6
或50
13
__．
1．(导学号 59042284)(2016·呼和浩特)已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )
A ．6
B ．3
C ．－3
D ．0
2．(导学号 59042285)(2016·包头)如图，直线y ＝2
3
x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和
点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P
的坐标为( C )
A ．(－3，0)
B ．(－6，0)
C ．(－32，0)
D ．(－5
2
，0)
,第2题图) ,第3题图)
3．(导学号 59042286)(2016·西宁)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tan C ＝34
，AB ＝6 cm .
动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm /s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )
A ．18 cm 2
B ．12 cm 2
C ．9 cm 2
D ．3 cm 2 4．(导学号 59042287)(2016·安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( B )
A .3
2 B ．2 C .8131
3 D .121313
,第4题图) ,第5题图) 5．(导学号 59042288)(2016·十堰)如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点(不与端点A ，B 重合)，作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，
D 都在双曲线y ＝k
x
上(k ＞0，x ＞0)，则k 的值为( C )
A ．25 3
B ．18 3
C ．9 3
D ．9
6．(导学号 59042289)(2016·咸宁)如图，边长为4的正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵
上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：
①AE ︵＝BF ︵；
②△OGH 是等腰直角三角形；
③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化； ④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.
其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)
,第6题图) ,第7题图)
7．(导学号 59042290)(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，
点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5 cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运
动了__17
8
__s 时，以C 点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．
8．(导学号 59042291)(2016·舟山)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为(－1，0)，∠ABO ＝30°，线段PQ 的端点P 从点O 出发，沿△OBA 的边按O →B →A →O 运动一周，同时另一端点Q 随之在x 轴的非负半轴上运动，如果PQ ＝3，那么当点P 运动一周时，点Q 运动的总路程为__4__．。