函数极值的几种求法

函数极值的几种求法

──针对高中生所学知识

摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。

关键词：函数；单调性；导数；图像；极值

Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.

Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value

“函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是公式中含有变量

x ，则该式子叫做x 的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数”。虽然函数的定义在不断变化但它的本质属性都是一样的。变量y 称为x 的函数，只须有一个法则存在，那就是这个函数取值范围中的每一个值，有一个唯一确定的y 值和它对应，不管这个法则是公式、图象、表格或其他形式。

对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值方法和函数类型如何匹配。

1 预备知识

定义1.1[]2 函数的极值

设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

定义1.2 一次函数

在某一变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果可以写成b kx y +=(k 为一次项系数0≠k ，b 为常数)的形式，那么我们就说y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

定义1.3[]

3 二次函数

把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

定义1.4[]4 指数函数

把形如)10(y ≠>=a a x a 且的函数叫做指数函数，其中x 是自变量。

定义1.5[]4 对数函数

把形如)10(log ≠>=a a y x a 且的函数叫做对数函数，其中自变量是x 。

2 求极值方法在各种函数类型中的应用

函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题 的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法[]5。除了求导法另一种常见的方法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。函数图像画出后我们可以根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。求导法是先求出所求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过具体实例阐述方法和函数类型如何匹配。

2.1 一次函数b kx y +=（b k ,0≠为常数） 一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如b kx y +=的一次函数的导数为k y ='，由此可知一次函数的单调性主要和k 值有关，0>k 则函数单调递增，0

例2.1 求函数52y +=x 的极值

法一 求导法

52y +=x 这个函数的k 值为2，

显然02>也就是说该函数单调递增，现在函数的