2.4.1抛物线及其标准方程(1)

14
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
9 4
．
A
y
O
x
得p=
4 9 2= 2 = x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2
2 3
1 y ax (a 0) x y a
2 2
1 2 p a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
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例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线、方程；
3、注重数形结合的思想。
26
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
2 2
5 (x 1) (y 2) | 3x 4y 12 | 0
则点P的轨迹为______。
29
所以，所求抛物线的标准方程是 y 11.52x ， 焦点的坐标是 (2.88, 0)
2
28
补充例题:已知点M与点F（4，0）的 距离比它到直线L：x+5=0的距离小1， 求点M的轨迹方程。 练习:1.已知点M与点F（1，0）的距 离比它到y轴的距离大1，求点M的 轨迹方程。 2.若点P(x,y)的坐标满足方程
（2)
（3) （4)
（0，-2）
y=2
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3 2 • 1.已知抛物线 y x ， 则它的焦点坐标是（ 4
D）
•
• •
3 A. （0, ） 16 C. （1 ,0 ） 3
轴上，其坐标为（0, ），选D. 3 • 易错点：研究抛物线的几何性质时，方 程必须是标准方程.
3 ） B. （ ,0 16 1 D. （0, ） 3 4 2 ， 抛物线的标准方程为x y焦点在y 3 1
2 2
• 解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A到 准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到 焦点的距离相等，所以距离为5,选D.
22
• 4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线的
1 x y或y 2 4 x. 标准方程为 2
2
•
当焦点在y轴上时，方程可设为x2=
1 my，因为过点P（-1,2），所以m= ，方程 2 1 为x2= y；当焦点在x轴上时，方程可设为 2
y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方
程为y2=-4x.填x2=
•
1 y或y2=-4x. 2
易错点：求抛物线的标准方程，应分析
焦点所在的位置.
23
• 5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线C ：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的 中点,则弦长 AB = 4 2 . • 显然直线l的斜率必存在，设l：y2=k（x-2）， • y-2=k（x-2） k 2 则由 y2=4x， ，消去x得 y -y+2-2k=0 • 4
1 （2）准线方程 是x = ; 4
（3）焦点到准线的距离是2.
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2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）x2=
1 y 2
（3）2y2 +5x =0
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（1)
（5，0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
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• 2.若抛物线 y 2 px的准线过双曲线
2
y2 2 • x 1 的左焦点，则p的值为（ A ） 3
• •
A.4 C.2
B.-4 D.-2
y2 • 双曲线x 2 1的左焦点为（-2,0）， 3 p 2=2px的准线方程为 x ， 抛物线y 2 p • 所以有 2，所以p=4，选A. 2
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• 设A（x1,y1）,B（x2,y2），M是线段AB的 中点，
4 • 所以 y1 y2 4， 得k=1， k 1 2 • 则 y -y=0，得y=0或y=4. 4
• 所以A（0,0）,B（4,4），
• 所以 AB 42 42 4 2， 4 2. 填
25
小 结 ：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法；
。
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例3、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X0 +
————————————
— 2
p
y
O F
． ．
M
x
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练习：课本P59
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）;
y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
8
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
y
M
由定义可知，
K o
· · F
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p 2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
9
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程. 其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离！
10
上面方程表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上 p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式，
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﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
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P58思考：
二次函数 y ax 2 (a 0) 的图像为什么 是抛物线？
2
喷泉
3
4
抛 物 线
6
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 N l
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN
7
二、标准方程
想 一 想 ？ ？
l N
M
· · F
如何建立直角坐标系？
A
o
.F
B
x
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解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y 2 px( p 0) ，由已知条件 可得，点A的坐标是(0.5, 2.4)，代入方程，得 即 p 5.76
2
2.4
2
2 p 0.5
20
• 3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则 点A与抛物线焦点F的距离为（ D ） • A.2 B.3 • C.4 D.5
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• 解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4， • 所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1）， • 由两点间距离公式知距离为
（ 4 4 1 25 5. ）（ ）