小波变换在信号处理中的应用

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定义：
设n ≤ α < n + 1, 若在某点 x0 , 存在常数A与h0，及一个
n阶多项式Pn (h), 使 f ( x0 + h) − Pn (h) ≤ A | h |a
则称f ( x )在点x0具有Lipschitz指数α。 0 ≤ h < h0
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注：
（ 1）若A和α与x0无关，则称为一致Lipschitz指数。 （2）f ( x)在点x0的Lipschitz指数的上界，则称为f ( x ) 在点x0的正则度。 我们下一步需要考虑：是否能由小波系数的特 性来推测f ( x)奇异性。
d θ ( x) 定义：ψ ( x) = 2 dx Wψ 2 ( f )( x, s) = f ∗ψ 2 ( x)
2
2
d θs = f ∗ (s )( x) 2 dx d 2 ( f ∗θ s ) =s ( x) 2 dx
2
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2
从而，Wψ 1 ( f )( x, s)的局部极值点 ⇔
小波分解
滤波
重建信号
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信号与噪声被小波变换分离：
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Donoho 去噪方法：
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不同阀值选取算法的去噪结果：
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研究重点：
� 信号与噪声在小波变换域上的特征。 � 小波基的选择。 � 阈值的选取方法。
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二.小波变换应用于信号检测：
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定理：
设f ( x ) ∈ L2 , x ∈ [a, b],0 < α < 1, 则：
f ( x)在[a + ε , b − ε ]具有一致Lipschitz指数的充要条件是：
存在常数A，使： | W ( f )( x, s ) |≤ Asα
x ∈ [ a, b ]
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信号输入
M阶消失矩的 小波变换
局部极值检测
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其他应用：
� 模最大值重建问题。 � 图像边缘提取。 � 语音信号处理。 （语音清，浊音分割，基音周期检测 ） � 地震波分析。 � 医学细胞分析
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基于小波变换的复合
取大法：
SAR图 像数据 光学图 像数据 归一化 小波 变换 两组小波 变换系数 中选大， 输出一组 小波系数 解译
小波变换在信号处理中的应用
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一.小波变换应用于噪声抑制：
� 利用Mallet算法对输入信号 f(t)进行小波分解，再根据对信 号和噪声的先验知识分离信号和噪声。提过滤波形成新的 小波分量，最后重建信号。
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f (t ) = S (t ) + N (t ) Wψ ( f ) = Wψ ( S ) + Wψ ( N )
x → ±∞
lim θ ( X ) = 0
例如，可取为高斯函数或 B_样条函数。
Page � 18dθ 来自 x ) 定义：ψ ( x) = dx 1 Wψ 1 ( f )( x, s) = f ∗ψ ( x)
1
dθ s = f ∗ (s )( x) dx df ∗θ s =s ( x) dx
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归一化
小波 变换
逆小波 变换
海岸线检测方法
检测总框图：
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� 瞬时信号检测问题。 在噪声中检测短时，非平稳，波形和到达时间未知的 信号。
H0 : H1 :
x(t ) = n(t ) x(t ) = S (t ) + n(t ) t ∈ [0, T ]
其中：S (t )只在[t0 , t 0 + T0 ]非零。
n(t )为噪声。T0 << T
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方法： 对输入信号进行多尺度的小波变换，检测其变换结果 的局部极值点。 性能： 优于能量检测器，接近与匹配滤波器。
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小波变换应用于信号分析
（信号的奇异性分析） 若f(t)在某处间断或某阶导数不连续，则称 f(t)在此点 有奇异性。 Fouier变换可以分析函数的整体的奇异性，但不能 推断奇异点的空间（时间）分布情况。
| c j ,k | 在k =
可以得到 : (1) ( 2)
ti 两边呈指数衰减，且达到局部极值。 2j 由于小波变换得多尺度特性，我们可以选择不同
的j，利用不同的时域和频域分辨力，了解信号的 的全貌，从而使基于小波变换的信号检测器具有 较好的鲁棒性。
(3)
若在观测时间内，有多个信号到达，我们可以选择 适当的j，使时间尺度尽可能的小，从而使不同信号 的峰值出现在不同的k上，由此分离信号。
定理：
设f ( x) ∈ L2 , x ∈ [a, b],0 < α < 1, 则：
f ( x)在x0具有Lipschitz指数α , 则：
存在常数A，使： | W ( f )( x, s) |≤ A( sα − | x − x0 |α )
x属于x0的某个邻域.
反过来，若 1. | W ( f )( x0 , s ) |≤ Asα
设ψ是紧支集的基小波，且具有M阶消失矩和M阶 连续可微。设f ∈ L1，若存在某个s0，使得∀s > s0 , | Wψ ( f )( x, s) | 在[a, b]无局部极大值，则：
f ( x) ∈ C[M a + ε , b −ε ]
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注：
� 定理的实际应用是反过来的。即：
如果f ( x )的M阶导数在某点有奇异性（不连续） 则它的具有M阶消失矩的小波系数 | Wψ ( f )( x, s ) | 存 在局部极值点。
f ∗θ ( x)的拐点 ⇔ Wψ 2 ( f )( x, s)的零点。
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关于f(x)的高阶奇异性的检测：
� 定义：
若基小波ψ ( x)满足：对0 ≤ l ≤ M
＋∞
－∞
l x ∫ ψ ( x)dx = 0
则称小波ψ ( x)具有M阶消失矩。
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定理：
α | x − x | 0 2. | W ( f )( x0 , s) |≤ B( sα + ) | log | x − x0 ||
则f ( x)在x0具有Lipschitz指数α
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奇异性分析的方法：
� 光滑函数。
一个实函数θ ( X ), 满足：
＋∞
－∞
∫ θ ( X )dx = 1
我们可以假设：
N
S (t ) = ∑ Ai exp{−ai (t − ti )}sin(ω i (t − ti ) + ϕ i )u (t − ti )
i =1
其中：Ai
信号幅度； 衰减系数 到达时间 频率 初始相位
ai ti ωi ϕi
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由
c j ,k =< S ,ψ j ,k >