11.2三角形全等的判定(综合探究)SAS
三角形全等的判定SAS
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • SAS判定法的定义和条件 • SAS判定法的应用场景和实例
分析 • SAS判定法的证明方法和技巧
目录
• 三角形全等的其他判定方法及 其与SAS判定法的比较
• 总结与展望
01
引言
三角形全等的基本概念
三角形全等
两个三角形能够完全重合，即它们的 对应边和对应角都相等。
判定定理法
利用三角形全等的判定定理来证明两个三角形 全等。
反证法
通过假设两个三角形不全等，然后推导出矛盾，从而证明两个三角形全等。
证明技巧分享
寻找公共元素
在两个三角形中寻找公共的角或边，这是应用SAS判定法的关键 。
构造辅助线
通过构造辅助线来创造更多的公共元素，从而简化证明过程。
灵活运用判定定理
根据具体情况选择合适的判定定理来证明两个三角形全等。
常见错误和注意事项
混淆公共元素和对应元素
在应用SAS判定法时，必须确保所用的公共 元素与对应元素相匹配。
忽视判定定理的条件
在使用判定定理时，必须满足定理的所有条 件，否则结论可能不成立。
逻辑不严密
在证明过程中，必须保持逻辑严密，避免出 现逻辑错误。
05
三角形全等的其他判定方法及 其与SAS判定法的比较
其他判定方法介绍
01
边角边（BAB）判 定
如果两个三角形的两边及其夹角 分别相等，则这两个三角形全等 。
02
角边角（BAA）判 定
如果两个三角形的两角及其夹边 分别相等，则这两个三角形全等 。
03
角角边（ABA）判 定
如果两个三角形的两角及其夹边 分别相等，则这两个三角形全等 。
全等三角形的判定定理SAS
三角形全等的判定定理2SAS1.掌握“边角边”定理的内容.2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.让学生探索三角形全等的条件,体验操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边角边”定理的理解和应用.【难点】指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件,直尺、圆规和剪刀.【学生准备】直尺、圆规和剪刀.导入一:【提出问题】(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的内容是什么?(2)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示.[设计意图]复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.导入二:如图所示,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点间的距离.你能设计一种量出A,B两点之间距离的方案吗?说明你的设计理由.[设计意图]这样设计既交代了本节课要研究和学习的主要问题,将数学问题与实际生活相结合,又能较好地激发学生求知与探索的欲望.同时让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.导入三:某同学不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.如果只准带一块碎片,那么应该带哪一块去?能试着说明理由吗?利用今天要学的“边角边”知识可知带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.[设计意图]通过现实生活中的实际问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.一、“边角边”定理的探究思路一1.先任意画一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)点拨:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.解:如图所示,(1)画∠DA'E=∠A;(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;(3)连接B'C'.肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.【得出结论】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.用符号语言表示为:在ΔABC与ΔA'B'C'中,∵∠∠∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SAS).[易错提示]“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.3.问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例说明)思路二1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30°.(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ΔABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ΔABD.这个试验说明了什么?教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角相等时,这两个三角形不一定全等.2.画一个ΔABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°.比较小组内成员所画的三角形是否全等.(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而使学生发现“边角边”定理)【提出问题】通过刚才的操作,你能得出什么结论?学生交流后得出基本事实,即“如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等”.简记为“边角边”或“SAS”.二、例题讲解(教材例2)如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形.〔解析〕如果能证明ΔABC≌ΔDEC就可以得出AB=DE.由题意可知ΔABC和ΔDEC具备“边角边”的条件.证明:在ΔABC和ΔDEC中,∵∠∠∴ΔABC≌ΔDEC(SAS).∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).【小结】从上例可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.注意:三角形全等的条件中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.1.如图所示,已知AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 ()A.1对B.2对C.3对D.4对解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,又∵AB=CD,AE=FD,∴ΔABE≌ΔDCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,∴∠BEF=∠CFE,又∵EF=FE,∴ΔBEF≌ΔCFE(SAS),∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE,∴ΔABF≌ΔDCE(SSS),∴全等三角形共有三对.故选C.2.如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,补充下列哪一个条件后,能应用“SAS”判定ΔABC≌ΔDEF()A.BE=CFB.∠ACB=∠DFEC.AC=DFD.∠A=∠D解析:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).∠B的两边是AB,BC,∠DEF的两边是DE,EF,而BC=BE+CE,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BE=CF.故选A.3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ΔABD≌ΔACE,需补充的条件是()A.∠B=∠CB.∠D=∠EC.∠1=∠2D.∠CAD=∠DAC解析:已知AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的夹角,∴A不可以;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可以;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以为补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,D不可以.故选C.4.看图填空.如图所示,已知BC∥EF,AD=BE,BC=EF.试说明ΔABC≌ΔDEF.解:∵AD=BE,∴=BE+DB,即=.∵BC∥EF,∴∠=∠(两直线平行,同位角相等).在ΔABC和ΔDEF中,,∴ΔABC≌ΔDEF(SAS).解析:由AD=BE,利用等式性质可得AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质可得∠ABC=∠DEF,再加上BC=EF,利用“SAS”说明ΔABC≌ΔDEF.答案:AD+DB AB DE ABC DEF AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF第2课时一、“边角边”定理的探究二、例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第39页练习第1,2题.【选做题】教材第43页习题12.2第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,根据“SAS”,如果AB=AC,,即可判定ΔABD≌ΔACE.2.如图所示,已知∠1=∠2,要使ΔABC≌ΔADE,还需条件()A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD3.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明ΔAOB≌ΔDOC,还需()A.AB=DCB.OB=OCC.∠BAD=∠ADCD.∠AOB=∠DOC4.完成下面的证明过程.如图所示,已知:AD∥BC,AD=CB,AE=CF.求证:∠D=∠B.证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠(两直线平行,相等).∵AE=CF,∴AF=.在ΔAFD和ΔCEB中,∠∠∴ΔAFD≌ΔCEB(SAS),∴=.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC和ΔABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证AC=BD.【拓展探究】6.(1)如图所示,方格纸中的ΔABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.在图(1)中画出与ΔABC全等且有一个公共顶点的格点三角形A'B'C';在图(2)中画出与ΔABC全等且有一条公共边的格点三角形A″B″C″.(2)先阅读,然后回答问题.如图所示,D是ΔABC中BC边上一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,∠BAE=∠CAE,试说明ΔAEB≌ΔAEC.解:在ΔABE和ΔACE中,因为AB=AC,∠BAE=∠CAE,EB=EC, (1)所以根据“SAS”可知ΔABE≌ΔACE (2)请问上面解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.【答案与解析】1.AD=AE(解析:AB=AC,∠A为两三角形公共角,又AD=AE,∴ΔABD≌ΔACE(SAS).答案不唯一.)2.D(解析:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE,A,B不是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故错误;C.三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故本选项错误;D是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故本选项正确.故选D.)3.B(解析:还需OB=OC.∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴ΔAOB≌ΔDOC(SAS).故选B.)4.C 内错角CE ∠D ∠B5.证明:在ΔADB和ΔBCA中,∵∠∠∴ΔADB≌ΔBCA(SAS),∴AC=BD.6.解:(1)答案不唯一,如下图所示. (2)上面解题过程错误,错在第1步.在ΔAEB和ΔAEC中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,EA=EA,∴ΔAEB≌ΔAEC(SAS).这节课是三角形全等判定的第二节课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边一角时”三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯.比较成功的地方有以下几处: (1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好.1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不够认真,导致在观察比较的时候发生偏差.2.学生在探讨两边一对角的两个三角形不一定全等的时候,理解得不够好,教师指导点拨不到位.在探究“边边角”时,明确要求学生要用圆规和直尺来画,用圆规来确定第三个顶点时,很容易就能使学生发现有两种不同的情况,从而可以判定满足“边边角”的两个三角形不一定全等.在此可以适当少用些时间,这样可以给学生多留出一些练习的时间,让学生加深对定理的印象.练习(教材第39页)1.解:相等.因为在ΔDAB和ΔCAB中,公共边∠∠所以ΔDAB≌ΔCAB(SAS),所以DB=CB,所以C,D到B的距离相等.2.证明:因为BE=CF,所以BE+EF=EF+CF,即BF=CE.在ΔABF和ΔDCE中,∠∠所以ΔABF≌ΔDCE(SAS),所以∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).(2014·吉林中考)如图所示,ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ΔABD≌ΔAEC.〔解析〕根据∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE,再根据全等三角形的条件可得出结论.证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE.在ΔABD和ΔAEC中,∠∠∴ΔABD≌ΔAEC(SAS).(2014·漳州中考)如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使ΔABC≌ΔDEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)〔解析〕先得出BC=EF,添加条件答案不唯一.AC=DF,根据“SAS”推出两三角形全等即可.答案不唯一.解:添加AC=DF.证明如下:∵BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,∴BC=EF.在ΔABC和ΔDEF中,∠∠∴ΔABC≌ΔDEF.。
三角形全等的判定SAS
03
三角形全等的其他判定方 法
SSS判定定理
总结词
三边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
SSS判定定理，即边边边全等定理，是 三角形全等判定的一种方法。如果两 个三角形的三组对应边分别相等，则 这两个三角形全等。
ASA判定定理
总结词
两角及夹角对应相等的两个定理， 也是三角形全等判定的一种方法。如 果两个三角形的两组对应角分别相等， 并且这两组对应角的夹边相等，则这 两个三角形全等。
每种判定定理都有其特定的适用范围和条件，使用时需要根据实际情况选择合适 的判定方法。
02
SAS判定定理
什么是SAS判定定理
总结词
SAS判定定理是三角形全等判定的一种重要方法，它基于三角形的两边和夹角 来判断两个三角形是否全等。
详细描述
SAS判定定理，即Side-Angle-Side判定定理，是指在两个三角形中，如果一个 三角形的两边与另一个三角形的两边相等，并且这两个相等的边所夹的角也相 等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 根据一组复杂的边角条件，构 造一个全等的三角形，并解决相 关的几何问题。
感谢您的观看
THANKS
三角形全等的重要性
01
三角形全等是几何学中的基本概 念之一，是研究几何图形性质的 基础。
02
在解决实际问题中，如测量、绘 图、建筑等领域，三角形全等定 理的应用十分广泛。
三角形全等的分类
根据不同的判定条件，三角形全等可以分为SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全 等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）和HL（直角边斜边全 等）等五种类型。
2. 利用SAS判定定理证明 两个三角形全等，并找出 对应边和对应角。
全等三角形的判定(SAS)
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
(已知），
(已证），
(已证），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
针对训练
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
三角形全等的判定SAS教案
三角形全等的判定SAS教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握三角形全等的判定定理SAS （Side-Angle-Side，即两边及夹角相等）。
2. 培养学生运用SAS定理证明三角形全等的能力。
3. 引导学生通过观察、思考、交流、总结，提高分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形全等的判定定理SAS。
2. SAS定理的应用和证明。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形全等的判定定理SAS，SAS定理的应用。
2. 教学难点：SAS定理的证明，三角形全等的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究三角形全等的判定方法。
2. 运用案例分析法，让学生通过观察、思考、交流、总结，掌握SAS 定理。
3. 采用实践操作法，让学生动手画图，提高运用SAS定理证明三角形全等的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角形全等的定义和已学过的全等判定方法（SSS、AAA），引出本节课的内容——三角形全等的判定定理SAS。
2. 新课讲解：（1）介绍SAS定理的定义：如果两个三角形的一边和夹角分别相等，这两个三角形全等。
（2）讲解SAS定理的证明过程。
（3）通过PPT展示典型案例，让学生观察、思考、交流，总结SAS 定理的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成练习题，运用SAS定理判断三角形全等。
（2）教师选取部分学生的作业进行点评，讲解错误原因，指出需要注意的问题。
4. 拓展与应用：（1）引导学生思考：除了SAS定理，还有哪些方法可以判断三角形全等？（2）让学生尝试运用其他全等判定方法（如SSS、AAA）解决三角形全等问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调SAS定理在三角形全等判断中的应用。
6. 作业布置：布置一些有关三角形全等的练习题，巩固所学知识。
六、教学案例分析1. 案例一：已知三角形ABC和三角形DEF，AB = DE，AC = DF，∠BAC = ∠EDF，判断三角形ABC是否全等于三角形DEF。
《三角形全等判定(综合探究)》教案 2022年 (省一等奖)
三角形全等的判定总课题全等三角形总课时数第 13 课时课题三角形全等的判定〔综合探究〕主备人课型新授时间教学目标1．理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．2．经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理． 3．培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．教学重点运用四个判定三角形全等的方法．教学难点正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法〞进行表达．教学过程教学内容一、回忆反思【课堂演练】1．△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C•′的度数与AB的长．【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．【学生活动】先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=180°-〔∠A+∠B〕=99°∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，∴∠C′=99°，∴AB=A′B′=5cm．【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．2．：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．求证：∠B=∠C．【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的方法有：〔1〕两直线平行，同位角或内错角相等；〔2〕全等三角形对应角相等；〔3〕等腰三角形两底角相等〔待学〕．根据此题的图形，应考虑去证明三角形全等，由条件，可知AD=AE，∠1=•∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，那么可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD〔对顶角〕，∠BEO=∠CDO〔等角的补角相等〕，那么可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD•之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．【教师活动】操作投影仪，巡视、启发引导，关注“学困生〞，请学生上台演示，然后评点．图1【学生活动】小组合作交流，共同探讨，然后解答．【媒体使用】投影显示演练题2．【教学形式】分组合作，互相交流．【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．证明 在△AEO 与△ADO 中，AE=AD ，∠2=∠1，AO=AO ，∴△AEO ≌△ADO 〔SAS 〕，∴∠AEO=∠ADO ．又∵∠AEO=∠EOB+∠B ，∠AOD=∠DOC+∠C ．又∵∠EOB=∠DOC 〔对应角〕，∴∠B=∠C ．3．如图2，∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ．求证：AD=AE ．【思路点拨】欲证相等的两条线段AD 、AE 分别在△ABD 和△ACE 中，由于BD=CE ，•∠ABD=∠ACE ，因此要证明△ABD ≌△ACE ，•那么需证明∠BAD=•∠CAE ，•这由条件∠BAC=∠DAE 容易得到．【教师活动】操作投影仪：引导学生思考问题．【学生活动】分析、寻找证题思路，独立完成演练题3．证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在△ABD 和△ACE 中，∵BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE 〔AAS 〕，∴AD=AE ．【媒体使用】投影显示演练题3．【教学形式】讲练结合． 图2二、随堂练习1．如图3，点E 在AB 上，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，△ACE 与△ADE 全等吗？△ACB•与△ADB 呢？请说明理由．[答案：△ACE ≌△ADE ，△ACB ≌△ADB ，根据“SAS 〞．]图32．如图4，仪器ABCD 可以用来平分一个角，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们落在角的两边上，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线，你能说明其中道理吗？ 小明的思考过程如下：AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩→△ABC ≌△ADC →∠QRE=∠PRE你能说出每一步的理由吗？ 图43．如图5，斜拉桥的拉杆AB ，BC 的两端分别是A ，C ，它们到O 的距离相等，•将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？答案：相等，因为△ABO ≌△CBO 〔SAS 〕，从而AB=CB ．三、布置作业图5课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
三角形全等的判定SAS
02
SAS全等三角形的判定方法
边边角定理
总结词
两边及夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
边边角定理是指，如果两个三角形有两条边分别相等，并且这两条边的夹角也相 等，那么这两个三角形全等。这个定理可以用来证明两个三角形全等，尤其是在 有些情况下，无法直接使用其他定理时，边边角定理可以发挥重要作用。
SAS全等三角形的定义
SAS全等是指通过边角边（Side-Angle-Side）条件确定两个 三角形全等。
SAS全等需要满足两个条件：两边及其夹角对应相等。
SAS全等三角形的性质
1
SAS全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2
SAS全等三角形具有与一般全等三角形相同的 性质，如对称性、旋转性等。
3
用于证明两个直角三角形全等
在直角三角形中，如果两条直角边相等，那么两个三角 形全等，这一结论可以用于证明其他三角形全等。
用于证明等腰三角形和等边三 角形全等
如果有两个等腰三角形，其中一个的顶角和另一个的底 角相等，那么这两个等腰三角形全等；如果一个三角形 的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形，这两 个结论也可以用于证明其他三角形全等。
SAS全等与ASA全等的关系
SAS全等与ASA全等的判定方法
SAS全等可以通过两边及其夹角对应相等来判定，而ASA 全等只需要两角及其夹边对应相等即可，因此SAS全等 比ASA全等更易于验证和判定。
SAS全等与ASA全等的适用情况
SAS全等适用于已知两边及其夹角对应相等的情况，而 ASA全等适用于已知两角及其夹边对应相等的情况，因 此SAS全等比ASA全更具有一般性。
SAS全等与SSA全等的应用条件
三角形全等的判定(SAS)2
E
在△ABC和△FDE中 AB=FD（ ） ∠B=∠D（ ） BC=DE（ ） ∴ △ABC≌△FDE （SAS）
练一练：相信自己，我能行！
已知：如图，O是线段AC的中点， 且BO=DO. 求证：AB=CD. A B
1 O 2
D C
练习二
1.已知：如图，点E，F在BC上，
BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
A
F
E
B
C
D
解决问题
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离， 可在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连 结AC并延长至D使CD=CA，连结BC并延长至E使 CE=CB，连结ED，那么量出DE的长，就是A、B 的距离，为什么？ B A 证明：在△ABC和△DEC中， AC=DC(已知)
∠ACB=∠DCE(对顶角相等)
F
40° A
40°
B
D
E
结论：两边及其一边所对的角相等， 两个三角形不一定全等
思考
由“两边及其中一边的对角对应相等(SSA)” 能否判定两个三角形全等？
如图，在△ABC和△ABD中， AB=AB(公共边) AC=AD(已知)
B C D A
∠Ｂ=∠B(公共角)
但△ABC和△ABD不全等.
探究2.动手实践：
BC=EC(已知)
C
∴△ABC≌△DEC（SAS）
E
D
∴AB=DE (全等三角形的对应边相等)
小结：
1.学习了三角形全等的又一个判定公理——边 角边公理，并学习了边角边公理的运用.到目前 为止，我们已经学习了三种判定三角形全等的 方法（一个定义，两个公理）. 2.证明两个三角形全等时若缺条件： ①找图形的隐含条件； ②根据其它已知条件推出所缺条件.
全等三角形判定经典概要
11.2三角形全等的判定基础知识一. 教学内容：三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。
二. 知识要点：1. 三角形全等的判定AB CDE F（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DE AC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，B E BC EFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA）。
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（AAS）。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DEB EBC EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SAS）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴R t △ABC ≌R t △DEF （HL ）。
AB C DEF注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
2. 全等三角形的基本图形 在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
11.2_三角形全等的判定SAS
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边
不能! SSS ?
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A A
SSS, SAS
例.
如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你 C 能判断BC=AD吗？说明理由。 A (已知)
(已知)
D
证明:在△ABC与△BAD中
B
AC=BD
∠CAB=∠DBA
(公共边) AB=BA ∴△ABC≌△BAD（SAS） ∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
因为全等三角形的对应角相等，对应边 相等，所以，证明分别属于两个三角形的线 段相等或角相等的问题，常常通过证明两个 三角形全等来解决。
A B A ′ B′
思考： ① △A′ B′ C两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
§11.2 三角形全等的判定(二)
知识回顾:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
_三角形全等的判定SAS(正式)
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF AC=DF
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
定全等吗？
不一定．
①两边和它们的夹角分别相等－－－全等 （SAS)； ②两边及其中一边的对角分别相等------不一定全等． （SSA)；
课 本 P39 ---1, 2
A
１.如图，AB=AC，AE=AD， ∠BAD=∠CAE.
D
E
求证：∠B=∠C. B C 证明:∵ ∠BAD=∠CAE, ∴ ∠BAD +∠DAE =∠CAE+ ∠EAD. 即 ∠BAE=∠CAD. 隐含条件： 在△ABE和△ACD中, 部分共角 AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴ △ABE≌△ACD (SAS). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
∠DA′
E= ∠A；
′ 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截 E 取A ′C ′=AC; C ′ C 3. 连接B ′C′.
A B A ′ B′
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？
D
思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等
1
B
C
２
E D 归纳：证明分别属于两个三角形的线段线段相等或角相 等的问题，可以通过证明这两个三角形全等来解决。
三角形全等的判定SAS
《三角形全等的判定sas》xx年xx月xx日contents •三角形全等的定义与性质•sas全等的判定定理与证明•sas全等的几何应用•sas全等的扩展知识目录01三角形全等的定义与性质两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角对应相等，三条边对应相等。
全等三角形是相似三角形的特例，相似三角形不一定全等，但全等三角形一定相似。
全等三角形的对应边、对应角相等，对应中线、对应角平分线、对应外角平分线相等。
全等三角形的周长、面积、角平分线长度相等。
SAS（Side-…如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形的两个角和其中一边对应相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形的两个角和其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的判定方法AAS （Angle…ASA（Angle…ASA（Angle…SSS（Side-…02sas全等的判定定理与证明定义SAS（Side-Angle-Side）全等是指两个三角形有相同的边和角时，这两个三角形全等。
定理在两个三角形中，如果有一条边和其对应角的度数相等，那么这两个三角形全等。
sas全等的判定定理方法一根据SAS判定定理，只需证明三角形两边及其夹角相等即可证明两个三角形全等。
方法二利用反证法，假设两个三角形不全等，然后通过推理得出矛盾，从而证明假设不成立，两个三角形全等。
sas全等的证明方法假设有两个三角形△ABC和△DEF，其中AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D。
我们需要证明这两个三角形全等。
实例一假设有两个三角形△ABC和△DEF，其中AB=DE, ∠B=∠E, ∠A=∠D。
我们需要证明这两个三角形全等。
实例二sas全等的证明实例03sas全等的几何应用证明两个三角形全等在几何问题中，经常需要证明两个三角形全等。
三角形全等的判定SAS
如果两个三角形的三条边和三个角分别 对应相等，那么这两个三角形就会全等。
那么能不能用尽量少的条件来说明两个 三角形全等呢？这就是我们本节所要研究 的内容。
活动一
按下列条件画三角形，并通过比较判断它们之间 是否全等，由此你有什么发现?
1、只给一个条件： 第一组：一条边为4cm; （一边） 第二组：一个角是45°; （一角） 2、只给两个条件：
活动三
下列图形中，若用SAS证两个三角形全等，至少 还需要添加什么条件?
D
A
B
C
如果AB之间不能直接测量,你能测出AB之间的 距离吗?
范例学习
例1、已知:如图，AD∥BC ，AD＝BC
D
C
求证: △ADC≌△CBA
证明:∵AD∥BC ∴∠DAC＝∠BCA 在△ADC和△CBA中, AD＝BC
∵ ∠DAC＝∠BCA AC＝CA
∴△ADC≌△CBA
A
B
准备条件 指出范围 列举条件 得出结论
范例学习
例2、如图,在湖泊的岸边有A，B两点,难以直接量 出A，B两点间的距离。学习了边角边后，聪明的小 杰说他会测量了。你知道他是怎么做的吗？为什么 可以这样做? A
B’
C B
A’
解：在岸上取可以直接到达A、B的一点C，连接AC，延长 AC到点A’，使A’C=AC；连接BC，并延BC到点B’，使 B’C=BC。连接A’B’，量出A’B’的长度，就是A、B 两点 间的距离。
思考
学习本节课后，我们知道已知两边及其夹角这
三谢对谢元各素对位应同相学等的，就合可作以！判断两三角形全等，那 么两再个见三角！形具备其他三组元素对应相等，他们是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示
小组合作交流，共同探讨，然后解答．
25′
课时计划
教学
环节
教学内容及设计意图
教师活动
学生活动
时间
附案
教
学
过
程
四、活学活用：
1已知：△ACB和△DCE是等腰三角形AC=BC,EC=DC,
∠ACB=90°,∠ECD=90°
求证：△ACE≌△BCD
2
三、布置作业，专题突破
3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等“ASA”）．
4两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（AAS）．
5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
三、典型练习
操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．
巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示。
1．课本P16习题11．2第11，12题．
2．精选习题．
变型
2、小明的思考过程如下：
→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE
你能说出每一步的理由吗？
19′
1′
板
书
设
计
11.2三角形全等的判定（综合探究）
概念例题练习
课
后
反
思
审阅意见
教学方法
讲练结合
教学难点
正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．
教学准备
投影仪幻灯片直尺圆规
教学
环节
教学内容及设计意图
教师活动
学生活动
时间
附案
教
学
过
程
一、分层练习，回顾反思
二、基础知识
判定方法：1三边分别相等的两个三角形全等（“SSS”）．
2两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等“SAS”）．
课时计划
授课人
备课时间
2014、10、10
授课时间
题目
12.2三角形全等的判定（综合探究）
课型
复习课
教
学
目标知识和Fra bibliotek能理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．
过程与方法
历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．
情感、态度、
价值观
培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．
教学重点
运用四个判定三角形全等的方法．