天津市天津一中2012届高三第二次月考文科数学试题
天津市天津一中2012届高三第二次月考高三数学二月考试卷
天津市天津一中2012届高三第二次月考高三数学二月考试卷(理科) 一、选择题：1．已知复数1i z =+，则221z zz -=- A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-2．若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =A ．[1,0]-B ．[0,)+∞C ． [1,)+∞D ．(,1]-∞-3．为了得到函数1sin 2222y x x =-的图像，可以将函数sin 2y x =的图像 A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位4．已知数列12211,5,,()n n n a a a a a n N *++===-∈，则2011a 的值是 A ． 1B ． 4-C ． 4D ．55．在下列函数中，图象的一部分如图所示的是 A ．2sin(4)6y x π=+B ．2sin(4)3y x π=-- C ．2cos(2)3y x π=--D ．2cos(2)6y x π=-6．已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+,其中t 为实数，若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是 A ．104t << B ．103t << w_w_w.k C ．102t <<D ．203t <<7．若223log ,log log a b c π===，则,,a b c 的大小关系是 A ． b a c >> B ． b c a >>C ． a b c >>D ．a cb >> 8．已知(1)log (2),()n n a n n N *+=+∈，我们把使乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数的数n 叫做“劣第 14 题图CB 数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为A ． 1024B ． 2003C ． 2026D ．2048二、填空题：9．某校高一年级有学生280人，高二年级260人，高三年级360人，现采用分层抽样抽取容量为45的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为 。
天津市第一中学高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
天津一中 2017—2018 学年度高三年级二月考试卷数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页．答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡和答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}|{},{0452102<+-==x x x B A ，，，则)(B C A R （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{0,1}2.”“2>x 是”“211<x 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3.执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为 2，则输出的n 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64.设n m ,为空间两条不同的直线，βα，为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若βα//,//m m ，则βα//； ②若n m m //,//α，则α//n ； ③若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．②④B ．③④ C.①② D ．①③5.已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =．若).log (152-=g a ，)(),(.3280g c g b ==，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ． c b a <<B ．a b c << C.c a b << D ．a c b <<6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=131121x x x a x f a x ,log ,)()(当21x x ≠时，02121<--x x x f x f )()(，则a 的取值范围是（ ）A ．],(310 B ．],[2131 C.），（210 D ．],[31417.设函数0>+=ωϕω),sin()(x x f ，若)(x f 在区间],[26ππ上单调，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为（ ）A ．2πB ．π2 C.π4 D ．π 8.已知b a ,均为正数，且02=--b a ab ，则bb a a 12422-+-的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C.8 D ．9第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共 12 小题，共 110 分．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知a 是实数，iia +-2是纯虚数，则=a ___________. 10.曲线()x x x f ln =在点)(01，P 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________.12.圆心在直线x y 4-=，且与直线01=-+y x 相切于点)(23-，P 的圆的标准方程为__________.13.在ABC ∆中，已知6021=∠==A AC AB ，,,若点P 满足AC AB AP λ+=,且1=⋅CP BP ,则实数λ的值为 ．14.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=,,,,03042x xx x x x f 若函数b x x f x g +-=3|)(|)(有三个零点，则实数b 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且c a >，已知2=⋅BC BA ,31=B cos ，3=b . （I ）求a 和c 的值 （II ）求)cos(C B -的值16.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟.（Ⅰ）用y x ,列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少17. 如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中,,//BC AB CD AB ⊥M O DF AE AB BC CD ,==== ，121EC 的中点. （Ⅰ）证明://OM 平面ABCD （Ⅱ）求二面角E AB D --的正切值 （Ⅲ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值18. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，22-=n n a S （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式（II ）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n a n n n n a b n nn 2222)(log ，n T 为}{n b 的前n 项和，求n T 219. 已知数列}{n a 中，)(,,232421121≥=+==-+n a a a a a n n n （I ）求证：数列}{n n a a -+1是等比数列 （II ）求数列}{n a 的通项公式 （III ）设13222111++++=-=n n n n n n b b a b b a b b a S a b ,，若*∈∃N n ，使m m S n 342-≥成立，求实数m 的取值范围.20.已知函数()1--=ax e x f x ，其中e 为自然对数的底数，R a ∈ ②（I ）若e a =，函数x e x g )()(-=2 ①求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间②若函数⎩⎨⎧>≤=m x x g mx x f x F ),(),()(的值域为R ,求实数m 的取值范围（II ）若存在实数],[,2021∈x x ,使得)()(21x f x f =，且121≥-||x x ，求证：e e a e -≤≤-21参考答案一、选择题1-5: DACBCA 6-8: ADB二、填空题9.21 10.21 11.324π+12.84122=++-)()(y x 13.1或41-14.],(,0416--∞- ）（ 三、解答题15. （I ）23==c a ,； （II ）2723【解析】试题分析：（I ）利用向量的数量积，化简2=⋅BC BA 得2=B ca cos ，故6=ac ，再结合余弦定理B ac b c a cos 2222+=+，可求得23==c a ,；（II ）由于三边都已经知道，故由余弦定理可以求出C B cos ,cos ，进而求得C B sin ,sin ，再利用两角差的余弦公式，可求得2723=-)cos(C B . 试题解析：（I ）由2=⋅BC BA 得：2=B ca cos ，又31=B cos ，所以6=ac . 由余弦定理，得B ac b c a cos 2222+=+，又3=b ，所以1322922=⨯+=+c a .解⎩⎨⎧=+=13622c a ac ，得32==c a ,或23==c a ,.因为23==∴>c a c a ,,. （II ）在ABC ∆中，322311122=-=-=)(cos sin B B . 由正弦定理，得92432232=⨯==B b cC sin sin ，又因为c b a >=，所以C 为锐角， 因此979241122=-=-=)(sin cos C C . 于是27239243229731=⨯+⨯=+=-c B C B C B sin sin cos cos )cos( 16. 解：（I ）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，则x ，y满足的数学关系式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,,,,0090000200500300y x y x y x该二次元不等式组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,,,,0090025300y x y x y x做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II ）设公司的收益为z 元，则目标函数为：y x z 20003000+=考虑y x z 20003000+=，将它变形为z x y 2000123+-=. 这是斜率为23-，随z 变化的一族平行直线，当截距z 20001最大，即z 最大. 又因为y x ,满足约束条件，所以由图可知， 当直线z x y 2000123+-=经过可行域上的点A 时，截距z 20001最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+，90025300y y y x ,得)(200100，A , 代入目标函数得70000020020001003000=⨯+⨯=min z .答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.17.解（I ）M O , 分别为EC EA ,的中点AC OM //∴ ⊄OM 平面ABCD ⊂AC 平面ABCD //OM ∴平面ABCD（II ）取AB 中点H ，连接EH DH ,DB DA = AB DH ⊥∴, 又EB EA = AB EH ⊥∴ EHD ∠∴为二面角E AB D --的平面角又1=DH 2==∠∴DHEDEHD tan （III ）∠=∠==Rt BCD BC DC ，1 2=∴BD22==AB AD ，∵平面⊥ADEF 平面ABCD ，平面 ADEF 平面⊂=BD AD ABCD ,平面ABCD⊥∴BD 平面ABCD BFD ∠∴的余弦值即为所求在BDF Rt ∆中，62==∠=∠BF DF Rt BDF ,, 3662===∠∴BF DF BFD cos BF ∴与平面⊥ADEF 所成角的余弦值为3618.解（1）22211-=≥--n n a S n , 1122---=-=n n n n n a a S S a12-=n n a a 又22111-==a S n , 21=a∴数列}{n a 是以2为首项，公比为2的等比数列（2）由（1）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-为偶数为奇数为偶数为奇数n n n n b n n n n n b n n nn n 1222n 212222)()(log所以n n b b b b T 23212++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=-1253122624221211215131311121n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=-12531226242212n n n n设125312262422-++++=n nA ， 则12753222624222+-++++=n nA ， 两式相减得1212753222222222143+--++++=n n nA ， 整理得122986916-⨯+-=n n A ，所以122986916122++⨯+-=-n n n T n n . 19.（I ）证明：)(23211≥=+-+n a a a n n n ，))((2211≥-=-∴-+n a a a a n n n n .0212≠=-a a ，)(201≥≠-∴-n a a n n ，)(2211≥=--∴-+n a a a a n n nn .∴数列}{n n a a -+1是首项、公比均为2的等比数列（II ）解：}{n n a a -+1 是等比数列，首项为2，通项n n n a a 21=-+， 故)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a an n 22222121=++++=- ，当1=n 时，112=a 符合上式，∴数列}{n a 的通项公式为n n a 2=（III ）解：1212-=-==n n n n n a b a , ，12112112122111---=--=∴+++n n n n n n n n b b a ))(( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+12112112112112112113221n n n S故12111--=+n n S若*∈∃N n ,使m m S n 342-≥成立，由已知，有1342<-m m ，解得141<<-m ，所以m 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-141, 20.解：（1）当e a =时，()1--=ex e x f x .①212-=--=-=x x e x h x e x g x f x h )(',)()()(.由0>)('x h 得2ln >x ，由0<)('x h 得2ln <x .所以函数)(x h 的单调增区间为),(ln +∞2，单调减区间为)ln ,(2-∞.②e e x f x -=)('当1<x 时，0<)('x f ，所以)(x f 在区间),(1-∞上单调递减；当1>x 时，0>)('x f ，所以)(x f 在区间),(+∞1上单调递增. x e x g )()(-=2在),(+∞m 上单调递减，值域为))(,(m e --∞2,因为)(x F 的值域为R ，所以m e em e m)-≤--21， 即012≤--m e m . ）（*由①可知当0<m 时，0012=>--=)()(h m e m h m ，故）（*不成立. 因为)(m h 在)ln ,(20上单调递减，在),(ln 12上单调递增，且03100<-==e h h )(,)( 所以当10≤≤m 时，0≤)(m h 恒成立，因此10≤≤m .2当1>m 时，)(x f 在),(1-∞上单调递减，在),(m 1上单调递增，所以函数1--=ex e x f x )(在),(m -∞上的值域为)),([+∞1f ，即),[+∞-1. x e x g )()(-=2在),(+∞m 上单调递减，值域为))(,(m e --∞2.因为()x F 的值域为R ，所以m e )(-≤-21，即211-≤<e m .综合1°,2°可知，实数m 的取值范围是],[210-e . （2）a e x f x -=)('. 若0≤a 时，0>)('x f ，此时()x f 在R 上单调递增. 由()()21x f x f =可得21x x =，与121≥-||x x 相矛盾， 同样不能有),[ln ,+∞∈a x x 21.不妨设2021≤<≤x x ，则有2021≤<<≤x a x ln . 因为()x f 在)ln ,(a x 1上单调递减，在),(ln 2x a 上单调递增，且()()21x f x f =， 所以当21x x x ≤≤时，()())(21x f x f x f =≤.由2021≤<≤x x ，且121≥-||x x ，可得],[211x x ∈ 故)()()(211x f x f f =≤.又()x f 在]ln ,(a -∞单调递减，且a x ln <≤10，所以()()01f x f ≤， 所以()()01f f ≤，同理()()21f f ≤. 即⎩⎨⎧--≤--≤--，221012a e a e a e ,解得112--≤≤-e e a e ， 所以e e a e -≤≤-21.。
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山东省冠县东古城镇中学九年级数学下册《8.5 物体的三视图（2）》学案（青岛版） 课题课型复习课授课时间执笔人总第 20 课时相关标准陈述会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
学习目标1.会从投影的角度理解视图的概念 2.会画简单几何体的三视图 3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系.评价活动 方案1．自主学习结果采用口答形式，由小组长负责评价。
2．合作交流结果采用纸笔形式，各组互评。
3．巩固训练用纸笔形式，老师提供赋分标准，学生结对互评，组长统计，作业由老师评价。
教 学 活 动 方 案随记【创设情境】 画出右图的三视图。
【确立目标】 学生熟悉学习目标并提出自己的意见（1min） 【自主学习】 1.直三棱柱的三视图分别是 ； ； 2.圆锥的三视图分别是 , , . 3．圆柱的三视图分别是__________,__________,_____________. 4. 三视图都一样的几何体是 , . 5.画三视图的原则是 , , .教 学 活 动 方 案随记【合作交流】 看教材P125～126例3、例4，并讨论确定答案。
【分组展示】 例3有3个小题，分别由4、5、6小组说出答案并说出理由。
例4在1、2、3小组中分别找一名同学，在黑板上画出三视图。
【释疑解惑】 画下例几何体的三视图 【巩固训练】 1.如图中的图(1)是棱长为a的小正方体，图(2)、图(3)由这样的 小正方体摆放而成的. 按照这样的方法继续摆放，自上而下分 别叫第一层、第二层、…、第n层.第n层的小正方体的个数为 ________(用含n的代数式表示). 当层数为10 时, 小正方体的个数为_____. 教 学 活 动 方 案随记2.画出图中的九块小立方块搭成几何体的主视图、左视图和俯视图． 【拓展提升】 如图，是由几个小正方体块所搭几何体的俯视图，小正方体中的数字表示在该位置小正方体的个数，请画出它的主视图与左视图。
天津市高三数学上学期第二次月考试题 文(含解析)新人
天津一中2012-2013学年高三年级二月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1.如果复数212aii++的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于 A ．2 B ．2 C ．-23 D ．23【答案】D 【解析】2(2)(12)22(4)22412(12)(12)555ai ai i a a i a a i i i i ++-++-+-===+++-，因为实部和虚部为相反数，则有224=055a a +-+，解得23a =，选D. 2. 设,m n 是两条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ⊥α，//n α，则m n ⊥；②若γβγα⊥⊥,，则βα//；③若//,//m n αα，则//m n ；④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥．其中正确命题的序号是 A ． ①和② B ． ②和③ C ．③和④ D ．①和④ 【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知①正确。
②中两个平面αβ，不一定平行，所以错误。
③平行于同一个平面的直线可能会相交或异面，所以错误。
④正确。
3. 在正三棱锥P ABC -中，,D E 分别是,AB AC 的中点，有下列三个论断：①PB AC ⊥；②AC //平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确论断的个数为 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【答案】C【解析】过P 做PO ABC ⊥于O ，则PO AC ⊥，又正三角形中BE AC ⊥，所以AC PBE ⊥，AC PB ⊥所以①正确，②错误。
因为AB 与AC 相交，所以③不正确，所以正确的论断有1个，选C.4. 数列{n a }中，12,111+==+n n a a a 且，则{n a }的通项为 （ ）A ．21n -B ．n 2C ．n 2＋１D ．12+n 【答案】A【解析】由121n n a a +=+得11222(1)n n n a a a ++=+=+，所以数列{1}n a +是以2q =为公比，首项为112a +=的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21nn a =-，选A.5.在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是 A ．等腰或直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角【答案】C 【解析】由cos 4cos 3A b B a ==和正弦定理可得cos sin cos sin A BB A=，即sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，即2C π=。
天津市天津一中2012届高三4月月考文科数学试题及答案
一、选择题：1．i 是虚数单位，复数1i z =-，则22z z+=A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -2．已知命题p ：“a =,命题q ：“直线0x y +=与圆22()1x y a +-=相切”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 A ．5 B ．6C ．7D ．84．把函数sin()y x ϕ=+图象F 上所有的点向左平行移动6π个单位长度后得到图象'F ，若'F 的一个对称中心为(,0)4π，则ϕ的一个可能取值是A ．712π B ．56π C ．6π D ．12π5．已知各项均不为零的等差数列{}n a 满足22712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则311b b ⋅=A ．16B ．8C ．4D ．26．函数()(0)f x ax b b =-≠有一个零点3，那么函数2()3g x bx ax =+的零点是A ．0B ．1-C ．01,-D ．01, 7．定义在2x ≠-上的函数)(x f 满足0)()2(<'+x f x ，又)3(log 21f a =，))31((3.0f b =，)3(ln f c =A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<8．过双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为A B ．1 C ．2D ．12二、填空题：9．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为 ． 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 3cm 。
2023-2024学年天津市一中高一数学(下)第二次月考试卷附答案解析
2023-2024学年天津市一中高一数学（下）第二次月考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟.一．选择题（共12小题）1．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，则复数z 1•z 2的虚部为（）A ．﹣iB ．﹣1C ．﹣3iD ．﹣32．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m 人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m ＝（）A ．50B ．60C ．64D ．754．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A ．若m ∥α，m ∥β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αC ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊥α5．为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A ．直方图中x 的值为0.035B ．估计全校学生的平均成绩不低于80分C．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为106．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（）A．B．C．D．7．如图，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量是（）A．B．C．D．9．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A．“至少有1个红球”与“都是黑球”B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D．“都是红球”与“都是黑球”10．若数据x1+m、x2+m、⋯、x n+m的平均数是5，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、⋯、3x n+1的平均数是10，标准差是s，则下列结论正确的是（）A．m＝2，s＝6B．m＝2，s＝36C．m＝4，s＝6D．m＝4，s＝3611．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中不正确的是（）A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是2B．在锐角△ABC中，一定有sin A＞cos BC．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰直角三角形D．若sin B cos A＞sin C，则△ABC一定是钝角三角形12．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值为，则它的外接球表面积为（）A．B．6πC．8πD．二．多选题（共1小题）（多选）13．在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段CC1上异于端点的动点，（）A．三角形D1BP面积的最小值为B．直线D1B与DP所成角的余弦值的取值范围为C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范围为D．过点P作平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为三．填空题（共7小题）14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则b ＝．15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a﹣b|≤1”的概率为．16．某射击运动员在一次射击测试中，射靶10次，每次命中的环数如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，记这组数的众数为M，第75百分位数为N，则M+N＝．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，若，则λ+μ＝．18．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．则二面角B1﹣AC﹣B的大小为；点A到平面BCC1B1的距离等于．20．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为．四．解答题（共4小题）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）设向量＝+2，＝﹣2，求向量与夹角的余弦值．22．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间[60，70）的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．23．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝2，DC＝1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC＝1．点F为线段BE 的中点．（I）求证：CE⊥平面ABE；（Ⅱ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．24．如图，在△ABC中，AB＝2，3a cos B﹣b cos C＝c cos B，点D在线段BC上．（Ⅰ）若∠ADC＝，求AD的长；（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．﹣3i D．﹣3【解答】解：如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1＝1+2i，Z2＝﹣2+i，∴复数z1•z2＝（1+2i）（﹣2+i）＝﹣2﹣4i+i+2i2＝﹣4﹣3i，∴复数z1•z2的虚部为﹣3．故选：D．2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据抽样原理知，每个个体被抽到的概率是相等的，所以所求的概率值为P＝．故选：D．3．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（）A．50B．60C．64D．75【解答】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同，得＝，解得m＝60．故选：B．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：对于A，若m∥α，m∥β，过m作平面与α，β分别交于直线a，b，由线面平行的性质得m∥a，m∥b，所以a∥b，又b⊂β，a⊄β，所以a∥β，又n⊂α，α∩β＝n，所以a∥n，所以m∥n．故A正确；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂a，故B错误；对于C，由面面垂直的性质定理得当m⊂a时，m⊥β，否则可能不成立，故C错误；对于D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：A．5．为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.035B．估计全校学生的平均成绩不低于80分C．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10【解答】解：对于A，因为（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，所以x＝0.03，故A错误；对于B，估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84＞80，故B正确；对于C，因为0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6，所以估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为90分，故C错误；对于D，在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为0.010×10×200＝20，故D错误．故选：B．6．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为．故选：D．7．如图，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取BD中点E，连接ED1，AE，直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，∴PD1∥BE，PD1＝BE，∴四边形BED1P是平行四边形，∴PB∥D1E，∴∠AD1E是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），令AB＝AD＝AA1＝2，则∠ADB＝45°，且AE⊥BD，∴AE＝，∵AD1＝2，D1E＝，∴cos∠AD1E＝＝，∵∠AD1E∈（0，π），∴∠AD1E＝，∴直线PB与AD1所成的角为．故选：A．8．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量是（）A．B．C．D．【解答】解：因为向量，所以向量在向量方向上的投影向量是．故选：A．9．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A．“至少有1个红球”与“都是黑球”B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D．“都是红球”与“都是黑球”【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，对于A，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；对于B，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．故选：D．10．若数据x1+m、x2+m、⋯、x n+m的平均数是5，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、⋯、3x n+1的平均数是10，标准差是s，则下列结论正确的是（）A．m＝2，s＝6B．m＝2，s＝36C．m＝4，s＝6D．m＝4，s＝36【解答】解：根据题意，设数据x1、x2、⋯、x n的平均数为，标准差为σ，数据3x1+1、3x2+1、⋯、3x n+1的平均数是10，则，可得，而数据x1+m、x2+m、⋯、x n+m的平均数是5，则有，可得m＝2，由方差公式可得＝，＝，解得s＝6．故选：A．11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中不正确的是（）A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是2B．在锐角△ABC中，一定有sin A＞cos BC．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰直角三角形D．若sin B cos A＞sin C，则△ABC一定是钝角三角形【解答】解：对于A，在△ABC中，设△ABC的外接圆半径是R，则根据正弦定理可得，故A正确；对于B，若△ABC为锐角三角形，可得且，可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以sin A＞cos B，故B正确；对于C：因为a cos A＝b cos B，由正弦定理得：sin A cos A＝sin B cos B，所以sin2A＝sin2B，因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，若sin B cos A＞sin C，则sin B cos A＞sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以sin A cos B＜0，又sin A＞0，所以cos B＜0，则△ABC一定是钝角三角形，故D正确．故选：C．12．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值为，则它的外接球表面积为（）A．B．6πC．8πD．【解答】解：设正方形ABCD中心为O，取AB中点H，连接PO、PH、OH，则PH⊥AB，OH⊥AB，PO⊥平面ABCD，所以∠PHO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，即，设正方形ABCD的边长为a（a＞0），则，又，PA＝2，所以PO2+AO2＝PA2，即，解得或a＝﹣（负值舍去），则，AO＝1，设球心为G，则球心在直线PO上，设球的半径为R，则，解得，所以外接球的表面积．故选：A．二．多选题（共1小题）（多选）13．在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段CC1上异于端点的动点，（）A．三角形D1BP面积的最小值为B．直线D1B与DP所成角的余弦值的取值范围为C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范围为D．过点P作平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为【解答】解：对于A，要使三角形D1BP面积的最小，即要使得P到直线BD1距离最小，这最小距离就是异面直线CC1和BD1的距离，也就是直线CC1到平面BDD1B1的距离，等于C到BD的距离为．由于，∴三角形D1BP面积的最小值为，故A正确；对于B，先证明一个引理：直线a在平面M中的射影直线为b，平面M中的直线c，直线a，b，c所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线a，b的角为α，直线b，c的角为β，直线a，c的角为γ，则cosγ＝cosαcosβ．证明：如上图，在平面M内任意取一点O为原点，取两条射线分别为x，y轴，得到坐标平面xOy，然后从O作与平面M垂直的射线作为z轴，建立空间直角坐标系，设直线a的方向向量为（x1，y1，z1），则（x1，y1，0）为射影直线b的方向向量，设直线c的方向向量坐标为（x2，y2，0），则，，∴，＝，引理得证．如上图所示，根据正方体的性质可知BD1在平面DC1中的射影为CD1，设BD1与CD1所成的角为，设直线DP与直线CD1所成的角为．设直线D1B与DP所成角为γ，根据上面的引理，可得，故B正确；对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接A1M，PM，由正方体性质易知BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1∴BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥A1M，BD⊥MP，∠A1MP为二面角A1﹣BD﹣P的平面角，当P与C1重合时，∠A1MC1＝π﹣2∠A1MA，，∴，∴，P在C1C上从下往上移动时，∠A1MC1逐渐变大，∠A1MC1是可以是直角，其正弦值为1，故C错误；对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角都相等的直线是体对角线所在的直线，∴过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线BD1垂直的截面中，当P为CC1中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，如图所示，面积为，不在区间内，故D不正确．故选：AB．三．填空题（共7小题）14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则b＝．【解答】解：由正弦定理，即，解得．故答案为：．15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a﹣b|≤1”的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，基本事件总数n＝6×6＝36，事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15个，分别为：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），则事件“|a﹣b|≤1”的概率为P＝＝．故答案为：．16．某射击运动员在一次射击测试中，射靶10次，每次命中的环数如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，记这组数的众数为M，第75百分位数为N，则M+N＝16．【解答】解：由已知数据可得众数为7，即M＝7，将10个数据按从小到大排列可得4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数为从小到大排列的第8个数，所以N＝9，所以M+N＝7+9＝16，故答案为：16．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，若，则λ+μ＝．【解答】解：因为AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，所以＝＝（+）＝﹣＝若，则λ＝﹣，μ＝﹣2，所以λ+μ＝﹣．故答案为：．18．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为．【解答】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，如图所示：即，S△BOC＝1，故AO，BO，CO两两垂直；所以BO＝CO，故，整理得CO＝BO＝，所以，解得AO＝，所以三棱锥的外接球的半径满足，解得，即R＝，故．②首先利用OC＝OB＝，OA＝，利用勾股定理，BC＝2，所以，利用等体积转换法，设内切球的半径为r，所以，解得，故．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．则二面角B1﹣AC﹣B的大小为45°；点A到平面BCC1B1的距离等于．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠BAC＝90°，∴CA⊥平面ABB1A1，∴∠B1AB就是二面角B1﹣AC﹣B的平面角．Rt△B1AB中，tan∠B1AB＝＝＝1，∴∠B1AB＝45°．取等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点D，则AD⊥平面BCC1B1，故AD即为所求．故AD＝＝＝，故答案为45°，．20．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为．【解答】解：分别表示与方向的单位向量，故所在直线为∠BAC的平分线所在直线，又，故∠BAC的平分线与BC垂直，由三线合一得到AB＝AC，取BC的中点E，因为，故，以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，取得最小值，最小值为．故答案为：．四．解答题（共4小题）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）设向量＝+2，＝﹣2，求向量与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．∴，∴（Ⅱ）设向量与的夹角为θ，∵，，∴，，∴cosθ＝＝22．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间[60，70）的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．【解答】解：（1）由题意，5×（0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020）＝1，解得a＝0.040，由0.010×5+0.020×5+0.040×5＝0.35，0.35+0.060×5＝0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在[75，80）上，设中位数为x，则0.35+0.06（x﹣75）＝0.5，解得x＝77.5，所以此次问卷调查分数的中位数为77.5；（2）[60，65）的市民人数为0.010×5×40＝2人，[65，70）的市民人数为0.020×5×40＝4人，则抽出的两位市民来自不同打分区间的概率为P＝＝．23．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝2，DC＝1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC＝1．点F为线段BE 的中点．（I）求证：CE⊥平面ABE；（Ⅱ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，又由BE⊥EC，而AB∩BE＝B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，故CE⊥平面ABE；（Ⅱ）证明：连结BD交AC于M，连结FM，由点F为线段BE的中点，可得FM∥DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，故DE∥平面ACF；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．由已知，AC＝，CE＝1，在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE＝．即AC和平面ABE所成角的正弦值为．24．如图，在△ABC中，AB＝2，3a cos B﹣b cos C＝c cos B，点D在线段BC上．（Ⅰ）若∠ADC＝，求AD的长；（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵3a cos B﹣b cos C＝c cos B，∴3sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C，3sin A cos B＝sin（B+C），∵B+C＝π﹣A，∴3sin A cos B＝sin A，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，．…（2分）∵B∈（0，π），∴．…（3分）∵，∴，在△ABD中，由正弦定理得，，∴，．…（6分）（Ⅱ）设DC＝a，则BD＝2a，∵BD＝2DC，△ACD的面积为，∴，∴，∴a＝2．…（8分）∴，由正弦定理可得，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB，，∴，∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴．…（12分）。
天津一中高三数学下学期第二次月考试题 理(含解析)新人教A版
2012-2013学年天津一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2012•蓝山县模拟）计算复数（1﹣i）2﹣等于（）A．0B．2C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为﹣2i﹣，进一步化简求得结果．解答：解：复数（1﹣i）2 ﹣=﹣2i﹣=﹣2i﹣=﹣4i，故选：D．点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2009•山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．3．（5分）极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：极坐标方程ρ=cosθ 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．解答：解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于基础题．4．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列则2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴（a﹣c）2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2011•汕头一模）在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan（A+B）=﹣1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．解答：解：由题意可得，tanA==2，tanB==3，故tan（A+B）==﹣1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴∠C=；又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，∴0＜A＜，0＜B＜，故△ABC为锐角三角形．故选A．点评：本题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．6．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）函数f（x）=sin2x﹣2sin2x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（）A．1B．﹣2 C．D．﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解：∵f（x）=sin2x﹣2sin2x，==2sin（2x+）﹣1∵0≤x≤∴∴∴﹣2≤f（x）≤1则函数f（x）的最小值为﹣2故选B点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于基础试题8．（5分）函数，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a的取值范围．解答：解：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选C．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．二.填空题：（共30分，每小题5分）9．（5分）（2010•青浦区二模）[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为9 ．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A （0，3）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最小值是9，故答案为9．点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．10．（5分）已知A（，0），B（0，1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则= ．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中A（，0），B（0，1）可求出直线AB的方程，结合坐标原点O在直线AB 上的射影为点C，即OC⊥AB可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C∴直线OC⊥AB由A（，0），B（0，1）可得，直线AB的斜率k AB=，AB的方程为y﹣1=（x﹣）…①∴k AC=∴OC直线方程为：y=x…②由①②和∴x=，y=∴=（，）∴=故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据已知，求出点C即向量的坐标，是解答的关键．11．（5分）（2012•佛山二模）（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．解答：解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=．∴AF=2，BF=1，BE=，AE=；由切割定理得CE2=BE•EA=×=．∴CE=．故答案为：．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，是常考题型．12．（5分）（2009•长宁区一模）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m 不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键．13．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a7=4，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3，则满足b n a26＜1的最小正整数n是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a1=1，a7=4求出a3和a26，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3求出b n，代入b n a26＜1可求最小正整数n．解答：解：在等差数列{a n}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得，所以，，．又在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=，所以，，由，得：35﹣n＜1，则n＞5．所以，满足b n a26＜1的最小正整数n是6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是基础题．14．（5分）设，则m与n的大小关系为m＞n ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据 e x，lnx的导数等于e x，，得到原函数是 e x，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果．解答：解：∵e x，lnx的导数等于e x，，∴m=e x|=e1﹣e0=e﹣1；n=lnx|=lne﹣ln1=1．而e﹣1＞1∴m＞n．故答案为：m＞n．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．三.解答题：15．（13分）（2011•孝感模拟）在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．考点：向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）．变形出的表达式，求值即可．（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．解答：解：（1）．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8（2）由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强．16．（13分）某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，计划考察三个项目：体能，嗅觉和反应．这三个项目中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，已知它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反应测试的概率都是．求：（1）每只优质犬能够入围的概率；（2）若每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）利用（1）求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分ξ的数学期望．解答：解：（1）每只优质犬入围概率相等：若一只优质犬能够入围，则包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=++=．（2）设随机变量η表示优质犬入围的只数，则η的取值为0，1，2，3，4．则服从η～B（4，），ξ=10η．∴Eη=，Eξ=10Eη=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C﹣AN﹣E的平面角为60°．存在求出λ值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用⇔即可证明；（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，，1），N（1，0，1），P（0，0，2），∵=（2，0，﹣2），=（1，﹣，1），∴=0，∴PB⊥DM．（2）由（1）可得：=（﹣2，1，0），=（0，2，0），=（1，0，1）．设平面ADMN法向量=（x，y，z），则得到，令x=1，则z=﹣1，y=0，∴=（1，0，﹣1）．设CD与平面ADMN所成角α，则．（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2﹣m），满足条件．设平面ACN法向量=（x，y，z），由，，，可得，令x=1，则y=﹣2，z=﹣1，∴=（1，﹣2，﹣1）．设平面AEN的法向量=（x0，y0，z0），由，，，可得，令x0=1，则z0=﹣1，，∴．∴cos60°=，得，化为，化为23m 2﹣52m+20=0，又m ∈[0，2]． 解得，满足m ∈[0，2]．∴λ=PE：ED=：=m ：（2﹣m ）=．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用⇔、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．18．（13分）数列{a n }满足4a 1=1，a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2）， （1）试判断数列{+（﹣1）n}是否为等比数列，并证明；（2）设a n 2∙b n =1，求数列{b n }的前n 项和S n ．考点：数列的求和；等比关系的确定． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2），两边取倒数，整理即可证明（2）由（1）及已知a n 2∙b n =1可求b n ，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解答：解：（1）数列{+（﹣1）n }是等比数列，证明如下由=即∵a 1= ∴=3另：∴是首项为3公比为﹣2的等比数列则（2）由∴∴+6（20+2+22+…+2n ﹣1）+（1+1+ (1)∴=3•4n +6•2n +n ﹣9（n ∈N *）点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．（13分）设n ∈N *，不等式组所表示的平面区域为D n ，把D n 内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（1）求（x n ，y n ）；（2）设数列{a n}满足，求证：n≥2时，；（3）在（2）的条件下，比较与4的大小．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=﹣nx+2n 的交点为（1，n），即所以D n内的整点（x n，y n）为（1，n）（2）先化简为，两式相减即可证得（3）先猜想：n∈N*时，，再利用（2）的结论可以证明．解答：解：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1又x=1与y=﹣nx+2n的交点为（1，n），所以D n内的整点，按由近到远排列为：（1，1），（1，2），…，（1，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：n≥2时，所以，两式相减得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）n=1时，，n=2时，可猜想：n∈N*时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）事实上n≥3时，由（2）知所以====﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化20．（15分）设函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f （x）的单调区间．（Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣1，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↓极小值↑由上表知，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣1，）内单调递减；当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增．∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），对∅（x）求导，得∅′（x）==．当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）﹣＞0，∴．同理可证ln（x+1）＜x，∴．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．。
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列
天津市各地市2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编（4）数列一、选择题：4．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)在等差数列a n中，4 a3a4 a53a6a8a1 4 a 1 36，6那么该数列的前14 项和为（ B）．A． 20B． 21C． 42D． 846 ． ( 天津市天津一中2012届高三第三次月考理科) 已知正项等比数列a n满足：a7 a6 2 a5，若存在两项 a m , a n，使得a m a n14A) 4a1，则的最小值为 (A．3．5． 25m nB C D．不存在2368．( 天津市天津一中2012 届高三第三次月考理科 ) 已知函数f ( x)是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数a, b 满足 f (2) 2 ，3．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科 ) 已知等差数列{ a n} 中，a11,a2 2 ，则 a4 a5=（ D）A． 3B． 8C． 14D． 195． ( 天津市五区县2012 届高三上学期期末考试理科) 公差不为零的等差数列{ a n}的前 n 项和为 S n , a4是 a3与 a7的等比中项， S8 32 ，则S10等于（ C）A． 18B． 24C． 60D． 904．(天津市天津一中2012 届高三第二次月考理科)已知数列a1 1,a2 5, a n 2an 1a n ,( n N) ，则 a2011的值是A．1B．4C．4D．5【答案】 A8．( 天津市天津一中2012 届高三第二次月考理科)已知a n log( n 1) (n 2),( n N)，我们把使乘积 a a2a an为整数的数n 叫做“劣数” ，则在区间(1,2004)内的所有劣数的13和为A．1024B．2003C．2026D．2048【答案】 C前 5项的和S510 ，其公差d1。
2三、解答题：20、 ( 天津市六校2012 届高三第三次联考文科) （本题 14 分）数列 a n的前 n 项和为 S n，a1 1 ，且对任意正整数n ,点 a n 1 , S n在直线 2x y 2 0上.( Ⅰ ) 求数列a n的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列 S n n2n为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由 .（Ⅲ）已知数列 { b n} ，b n2 n， b n的前 n项和为T n，(a n1（)a n 11）求证：1T n1. 62S n n2 1 n2n2n2 1 .2n2n 12 n欲使 S nn2n成等差数列 , 只须2 0 即 2便可.故存在实数2 ，使得数列S n n2n成 等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2x1 ) 上为增函数，又函数 y11 在 x [1,2 x12x21 2 k1 ，21 1 2k12 1 2 k11 ， 1n2k1． ⋯⋯⋯ 14 分1 k 1(a k32 2k 1 22 61)(a k 11) 219． ( 天津市六校 2012 届高三第三次联考理科) （本小题满分 14 分）已知数列 {a n} 、{ b } 满足a 1 2, a n 1 a n (a n 1 1) ，b n a n 1，数列 { b } 的前 n 项nn从而得1 1,bn 11b n---------------------------------------------------------------------3分∵ b 1 a 11 1 ∴数列 { 1} 是首项为 1，公差为 1 的等差数 列 ------------------4分b n（Ⅱ）∵1 n ，则 b n 1 ． S n1 11 1b nn2 3 n∴ T nS 2 n S n ＝ 1 111 11 (1111)2 3n n 12n23n＝1 1 16分n 1n 22n ---------------------------------------------------证法 1：∵ T n 1 T n1 1 1 ( 11 1 )n 2 n 32n 2 n 1 n 22n＝112 n 1＝11102n12n12n1 2n 2(2 n 1)(2n2)∴ T n1T n．-----------------------------------------------------------------8 分证法 2：∵2n12n2∴11 2n12n2∴ T n1T n1110 2n 22n2n1∴ T n1T n． ---------------------------------------------------------------8分S2k 11111 22k2k11k1111k11＝1( k 1)22k2k 122k2k22k个∴当 n k1时，不等式成立由①②知对任意的n N ,不等式成立． ---------------------------------------------------14分20． ( 天津市天津一中2012 届高三第三次月考理科) 已知数列a n的相邻两项a n, a n 1是关于 x 的方程 x22n x b n0,( n N ) 的两根，且 a11（1）求证：数列a n12n是等比数列；3（2）求数列a n的前 n 项和 S n；（3）若b n mS n0 对任意的 n N 都成立，求 m 的取值范围。
天津一中2012届高三年级三次月考数学(文)--含答案
天津一中2012届高三年级三次月考数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共40分） 1． i 是虚数单位，复数ii215-的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．93．下列命题中，假命题是（ ） A ．0,>∈∀xe R xB ．1sin ,≤∈∀x R xC ．0lg ,=∈∃x R xD ． 11,=+∈∃xx R x 4．如图所示，运行相应的程序框图，则输出k 的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．175．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 （ ）A ．214B ．214-C ．414D ．414-6．已知函数,l o g )31()(2x x f x-=实数c b a ,,成公差为正数的等差数列，且满足：0)()()(<c f b f a f ；实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①;a d <②;b d >③;cd <④c d >中有可能成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．6C ．2D ．38． 已知二次函数x ax x f +=2)(，对任意R x ∈，总有1|)1(|2≤+x xf ，则实数a 的最大整数值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）9．设集合},2|2||{R x x x A ∈≤-=， }21,|{2≤≤--==x x y y B则=)(B A C R ．10．一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．11．如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上的中点，BC AE //，ED 交AB 于点G ，交BC 延长线于点F ，若1:3:=GA BG ，10=BC ，则AE 的长为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,为所对的边分别是c b a ,,，若ABC ∆的面积)(41222c b a S -+=，则C ∠的度数为 ．13．若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 ．14．已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=++，则⋅的值为 ． 三、解答题： 15．（本小题满分13分）已知函数),,0(cos 2)2sin(sin 3sin)(22R x x x x x x f ∈>+++=ωωπωωω在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 的最大值及单调递减区间．16．（本小题满分13分）在两个袋内，分别装有编号为4,3,2,1四个数字的4张卡片，现从每个袋内任取一张卡片． （Ⅰ）利用卡片上的编号写出所有可能抽取的结果；（Ⅱ）求取出的卡片上的编号之和不大于4的概率；（Ⅲ）若第一个袋内取出的卡片上的编号记为m ，第二个袋内取出的卡片上的编号记为n ，求2+<m n 的概率． 17．（本小题满分13分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，,2==PA AD ,22=CD F E ,分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）求证：平面⊥PCE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角D EC F --的大小． 18．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，且02212121=-+++++n n n n n n a a a a a a ．（Ⅰ）求32,a a 的值； （Ⅱ）求证：}1{na 是等差数列； （Ⅲ）若12++=n n nnn a a a b ，求数列}{n b 的前n 项和．19．（本小题满分14分）设函数)0()(223>+-+=a m x a ax x x f ．（Ⅰ）若1=a 时函数)(x f 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求m 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为21，点B 在x 轴上，AF AB ⊥，F B A ,,三点确定的圆C 恰好与直线033=++y x 相切． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F 作斜率为k )0(≠k 的直线l 交椭圆于N M ,两点，P 为线段MN 的中点，设O 为椭圆中心，射线OP 交椭圆于点Q ，若OM ON OQ +=，若存在求k 的值,若不存在则说明理由．参考答案一．选择题 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．C7．B8．C二．填空题 9．{x|x ≠0}10．18+π2911．512．45013．1814．51-三．解答题2215.(1)()sin cos 2cos 1'1cos 2()1sin 2223()sin(2)4'623()162sin()13636212'f x x x x x x f x x f x x f ϖϖϖϖϖϖπϖπππϖπππϖϖ=⋅++=++=++∴=+∴+=∴+=∴='123)621sin()(23)621sin()('123)62sin()(23]6)6(2sin[)(23)62sin()()2(211+-=∴+-=→+-=++-=→++=ππππππx x g x x f x x f x x f x x f'2)(]3104,344[:'225231)(max Z k k k x g ∈++=+=ππππ 单减区间16．（1）第一个袋内卡片分别为A 1、A 2、A 3、A 4第二个袋内卡片分别为B 1、B 2、B 3、B 4 （A 1B 1） （A 1B 2） （A 1B 3） （A 1B 4） （A 2B 1） （A 2B 2） （A 2B 3） （A 2B 4） （A 3B 1） （A 3B 2） （A 3B 3） （A 3B 4） （A 4B 1） （A 4B 2） （A 4B 3） （A 4B 4） 共16种 4‘（2）卡片之和不大于4（小于或等于4）共6种634'168(3)213135'16P n m P ==<+=共种17．（1）取PC 中点G ∴AFGE 是□ ∴AF ∥EG ∴AF ∥平面PCE 4‘（2）AF ⊥平面PCD ∴EG ⊥平面PCD ∴平面PCE ⊥平面PCD 4‘63331Q tan )3(πθθ=∴===H FH H AD 中点取 5‘11111111111223318.(2)()()()0()()0011101111{}11(1)22113'3111(3)22((1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a AP a a a a a a b n n n n n n +++++++++++⋅++-⋅+=∴+⋅⋅+-=∴-+⋅=∴-+=∴-=∴=∴==∴==∴=⋅+=⋅+-+是 ５' ２111)12n (1)2211n 11{}n :Sn+Tn=(1)221n n n n n n n n S n nT n n n nb n n +++⋅=-⨯+-=++∴-⨯+++｛｝的前项和：｛｝的前项和：前项和 ６'19．（1）当a=1时，f （x ）=x 3+x 2-x+m f ’（x ）=3x 2+2x-1 令f ’（x ）=0则x 1=-1或x 2=31 x （-∞, -1） -1 （-1,31） 31 （31, +∞） f ’（x ） + 0 - 0 +f （x ） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴y 极大值=f （-1）=-1+1+1+m=m+1 y 极小值=f （312753191271)-=+-+=m m 105027515'm m m +>⎧⎪∴⎨-<⎪⎩∴-<< （2） f ’（x ）=3x 2+2ax-a 2依题意：3x 2+2ax-a 2=0 在[-1, 1]上无实根'(1)0(0)'(1)035'f a f a -<⎧>⎨<⎩∴> （3）f ’（x ） =（x+a ）·（3x-a ） （a>0） x （-∞, -a ） -a （-a,3a ） 3a （3a,+∞） f ’（x ） + 0 - 0 +f （x ） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ a ∈[3, 6]3a∈[1, 2], -a ∈[-6, -3] x （-2, 3a ） （3a, 2]f ’（x ） - +f （x ） ↓ ↑∴f （x ）max =max{f （-2）, f （2）} f （-2）=-8+4a+2a 2+m f （2）=8+4a-2a 2+mf （2）-f （-2）=16-4a 2<0∴f （x ）max =f （-2）=2a 2+4a-8+m 依题意: f （x ）max ≤1 ∴m ≤-2a 2-4a+9 当a=6时m ≤-87 4‘11120.(1),(,0)(0,)2220210()2:32330(,0)22AF AB AB e c a b F a A k k a l y x ay x a B a =∴==∴--∴==∴=--∴=-+=∴=∴令221(,0),23013222143a r ax d a d a a x y ∴=∴++=+==∴=∴+=圆心半径圆心到直线的距离椭圆方程为 6'⎩⎨⎧=++=)2(1243)1()1(:)2(22y x x k y l将（1）代入（2）可得：（3+4k 2）x 2+8k 2x+（4k 2-12）=0 2’'24362438222433)1('2434243820220222212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+-==∴=∴=+=++=+=+-=+=∴+-=+k k y y k k x x O O O OP ON OM k kx k y k k x x x k k x x p p p p p 且又12)436(4)438(3134222222020=+++-∴=+kk k k yx 又3×64k 4+4×36k 2=12（4k 2+3）2 64k 4+48k 2=4（16k 4+24k 2+9） 48k 2=96k 2+36 2’-48k 2=36 ∴k 无解 ∴不存在。
天津市天津一中高三数学上学期第二次月考 文 新人教A
天津一中2013—2014学年高三二月考考试试卷数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足:()(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+22. 下列结论错误的是（ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真;C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．3． 如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ）A. 7B. 8C.10D.114．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值 范围是（ ）A.{}a |0a 6≤≤B.{}|2,a a ≤≥或a 4C.{}|0,6a a ≤≥或aD.{}|24a a ≤≤6．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1=⋅BE AC , 则AB 的长为( ) A. 41 B. 31 C. 21D. 17．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2+)=-()f x f x ，且当[0,1]x ∈时在2()1f x x =-+，若2[()]()30a f x bf x -+=在[1,5]-上有5个根(1,2,3,4,5)i x i =，则12345x x x x x ++++的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【解析】天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题
天津一中2012-2013学年高三年级第二月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1.如果复数212aii++的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于A B ．2 C ．-23 D ．23【答案】D 【解析】2(2)(12)22(4)22412(12)(12)555ai ai i a a i a a i i i i ++-++-+-===+++-，因为实部和虚部为相反数，则有224=055a a +-+，解得23a =，选D. 2. 设,m n 是两条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ⊥α，//n α，则m n ⊥；②若γβγα⊥⊥,，则βα//；③若//,//m n αα，则//m n ；④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥．其中正确命题的序号是 A ． ①和② B ． ②和③ C ．③和④ D ．①和④ 【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知①正确。
②中两个平面αβ，不一定平行，所以错误。
③平行于同一个平面的直线可能会相交或异面，所以错误。
④正确。
3. 在正三棱锥P ABC -中，,D E 分别是,AB AC 的中点，有下列三个论断：①PB AC ⊥；②AC //平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确论断的个数为 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【答案】C【解析】过P 做PO ABC ⊥于O ，则PO AC ⊥，又正三角形中BE AC ⊥，所以AC PBE ⊥，AC PB ⊥所以①正确，②错误。
因为AB 与AC 相交，所以③不正确，所以正确的论断有1个，选C. 4. 数列{n a }中，12,111+==+n n a a a 且，则{n a }的通项为 （ ）【答案】A【解析】由121n n a a +=+得11222(1)n n n a a a ++=+=+，所以数列{1}n a +是以2q =为公比，首项为112a +=的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，选A.5.在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是 A ．等腰或直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角【答案】C 【解析】由cos 4cos 3A b B a ==和正弦定理可得cos sin cos sin A BB A=，即sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，即2C π=。
天津市天津一中2014-2015学年高三零月考考试数学(文)试题
天津市天津一中2014-2015学年高三零月考考试数学（文）试题一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D2+3i2.设变量x,y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.23 3.函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4.阅读右面的程序框图，则输出的S=（ ） A.14 B.30 C.20 D.555.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log 7,log 3,0.2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c 6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A.5B.C.D. 547.函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.48.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)()[)21.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. [)()2,00,1-B. [)[)2,01,-+∞C. []2,1-D. (](],20,1-∞-二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为 .10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= .12.已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: .13.如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E. 已知恒谦圆O 的半径为3，PA=2，则CD= .14.函数()10,1xy aa a -=>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则11m n+的最小值为 .二、解答题：（本大题共6小题，共80分。
天津市滨海新区大港一中2012届高三第二次月考 数学试题(文科)-推荐下载
A. 2
B. 3
解答：渐近线的方程为 y b x ，分别与 y x a联立，求出 B,C 的坐标，由
a
b
ybx a
y ax
换成
b
得
B
，可得 C
a2 a
b
,
a2 ab
ab ab
,
ab ab
，在解方程组
C. 5
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
天津市第一中学高三数学上学期第二次月考试卷 文(含解
2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣B．C．2 D．12．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤13．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．118．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= ．12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则•的值为．14．设a+b=2，b＞0，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gAB（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣B．C．2 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x ﹣1=0，且x+2≠0，由此求得实数x的值．【解答】解：∵ ==是纯虚数，∴2x﹣1=0，且x+2≠0，∴x=，故选B．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【考点】命题的否定；全称命题．【专题】简易逻辑．【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．3．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先由正弦定理得求出sinA•cosA=sinB•cosB，利用倍角公式化简得sin2A=sin2B，因a≠b，进而求出，A+B=．【解答】解：由正弦定理得，∴sinA•cosA=sinB•cosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，但a≠b，∴2A≠2B，A+B=，即△ABC是直角三角形．故选A【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，再利用“累加求和”：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，即可得出．【解答】解：设等差数列{b n}的公差为d，∵b2=﹣4，b5=2，∴，解得b1=﹣6，d=2，∴b n=﹣6+2（n﹣1）=2n﹣8．∴b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=[2（n﹣1）﹣8]+[2（n﹣2）﹣8]+…+（2﹣8）+3=+3=n2﹣9n+11．∴a8=82﹣9×8+11=3．故选：B．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】将函数=0，转化为xf（x）=﹣，然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）=xf（x）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由=0，得xf（x）=﹣，设 g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，∴x≠0时，，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=﹣的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是30【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=12+22+32+42=30．故答案为：30．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为108+3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，代入圆柱和棱柱的体积公式，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，两个四棱柱的体积均为：（2+2+2）×（2+2+2）×1.5=54，圆柱的体积为：π××3=3π，故组合体的体积V=54×2+3π=108+3π，故答案为：108+3π【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= 2n﹣1 ．【考点】等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），从而判断出数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，代入等比数列的通项公式求出a n．【解答】解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n﹣1=2n，则a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，以及构造法求数列的通项公式，是常考的题．12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的坐标加法与减法运算，考查了数量积判断两个向量垂直的条件，是基础的计算题．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=， =，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．设a+b=2，b＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a 的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gAB（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gA 12 8 16B 12 16 8（Ⅱ）设每天食用xg食物A，yg食物B，那么，即；（Ⅲ）作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．考虑总成本为z=，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=取得最小值．当直线z=经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组，得M的坐标为x=500，y=125，所以z min=20．答：每天食用食物A为500g，食物B为125g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为20元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．【解答】解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=CD．又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．∵O，E，分别是中点，∴OE=AP=1，OD===1，∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b n=＞0，当n≥1时， ===2d，∴数列{b n}为首项是，公比为2d的等比数列；（Ⅱ）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，能求出a=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故．所以．由此能求出a n．（Ⅲ）当n≥2时，．由b1=2，知T n==，由此能够求出对一切n∈N*都成立时，实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，∴2a=4a，所以a=0．…..（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．∴．∴（n﹣1）a n+1=na n．∴当n≥2时，．∴，…，，∴．∴a n=2（n﹣1），n≥2．∵a1=a=0满足上式，∴a n=2（n﹣1），n∈N*．…..（Ⅲ）当n≥2时，．…..又b1=2，∴T n=b1+b2+…+b n=…..==所以．…..因为对一切n∈N*都成立，即对一切n∈N*都成立．∴．…..∵，当且仅当，即n=1时等号成立．∴．∴∴．…..【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。
天津市滨海新区大港一中2012届高三数学第二次月考试题 文
数学试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
）1. 复数21i-等于 A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --12．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A = A.{}1,3B. {}3,7,9C. {}3,5,9D. {}3,93．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 （ ）A.1B. 2C. 3D. 8 4. 设()1.014.3,14.3lg ,1ln===c b a π，则c b a ,,的大小关系是A. c a b >>B.a b c >>C. b a c >>D. a c b >>5．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是A.0,()()x R f x f x ∃∈≤B. 0,()()x R f x f x ∃∈≥C. 0,()()x R f x f x ∀∈≤D. 0,()()x R f x f x ∀∈≥6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为A.-1B. 0C. 1D. 3 7．设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 42sin ππx x x f ，则（ ） A.()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B. ()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C. ()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D. ()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称8．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为C B ,，若BC AB 21=，则双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. 310解答：渐近线的方程为x a b y ±=，分别与()a x y --=联立，求出C B ,的坐标，由⎪⎩⎪⎨⎧-==x a y xab y 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，在解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=xa y xa b y 时，只需将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2中的b 换成b -，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---b a ab b a a C ,2，只考虑横坐标满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+b a a b a a a b a a 22221二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3,3,1π===C c a ，则=A 030；10．若直线03=++a y x 经过圆04222=-++y x y x 的圆心，则a 的值为1； 11．已知向量()()().3,,1,0,1,3k c b a =-==若b a 2-与c 共线，则=k 1；12．已知函数()xx g 2=，且有()()2=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值为41； 13. 定义在R 上的函数()()()()⎩⎨⎧>---≤+=02102log 2x x f x f x x x f ，则()2012f 的值为0；14. 已知抛物线x 8y :C 2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为2 ；三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3=q ，前3项和3133=S 。
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2011-2012-1天津一中高三年级第二次月考考试数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分）1． i 是虚数单位，复数=-+i i 221（ ） A ．i B ．i 5 C ．554i + D ．i 54+2．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-,01,02,01x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．27D ．43． 如图，程序框图中的算法输出的结果为（ ）A ．21B ．32C ．43D ．544．若条件4|1:|≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列}{n a 满足02212272=+-a a a ，且数列}{n b 是等比数列，若77a b =，则=⋅95b b （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 6．实数n m ,满足10<<<m n ，则对于①n m 32=；②n m 32log log =；③22n m =中可能成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．将函数)3cos(π-=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ） A ．9π=x B ．8π=x C ．2π=x D ．π=x8．已知⎩⎨⎧≥-<+--=),0)(1(),0(2)(2x x f x a x x x f 且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．)0,1[-C ．),2[+∞-D ．),1[+∞-二、填空题（每小题5分，共30分）9． 一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ． 10．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．11．向量→→b a ,的夹角为 60，且,2||,1||==→→b a 则=-→→|2|b a ． 12．若正实数b a ,满足2=ab ，则)1)(21(b a ++的最小值为 ．13．设直线过点),0(b ，其斜率为1，且与单位圆122=+y x 相切，则实数b 的值是 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且→→→→==BF BC DE DC 3,3，其中R n m ∈,，若→→→+=AF n AE m AC ，则=+n m ．三、解答题：15．（本小题满分13分）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，满足6,2,1π===C b c ． （Ⅰ）求a 及ABC ∆的面积；（Ⅱ）设函数]2,2[,)(ππ-∈⋅=→→x n m x f ，其中),1(),cos ,(sin a n x x m ==→→，求)(x f 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5==AC AB ，E D ,分别为1,BB BC的中点，四边形11BCC B 是边长为6的正方形．（Ⅰ）求证：//1B A 平面D AC 1；（Ⅱ）求证：⊥CE 平面D AC 1；（Ⅲ）求二面角D AC C --1的余弦值．17．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和n n a S -=2，数列}{n b 满足18,1731=+=b b b ，且n n n b b b 211=++-（),2*N n n ∈≥．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若nn n a b c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，N M PA ,,2=分别为BC AD ,的中点．（Ⅰ）求证：平面⊥PMN 平面PAD ；（Ⅱ）求PM 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求C 到平面PMN 的距离．19．（本小题满分14分）已知函数ax x x f +=3)(，b x x g +=22)(，它们 的图象在1=x 处有相同的切线．（Ⅰ）求)(x f 与)(x g 的解析式；（Ⅱ）讨论函数1)1(2)()(22+-++=x t tx x f x G 的单调区间； （Ⅲ）如果)()()(x mg x f x F -=在区间]3,21[上是单调函数，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分14分）数列}{n a 满足)(2)21(2,2*111N n a n a a a nn n n n ∈++==++．（Ⅰ）求32,a a 的值； （Ⅱ）设,2nnn a b =求数列}{n b 的通项公式n b ；参考答案：一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．B5．D 6．C 7．C 8．D二、填空题：9．801011．212．913．14．32三、解答题：15．（I ）sin sin b cB C =211sin 2sin 1263sin sin 1121||||2112ABC B B B C A acA aCa S AB BC πππ∆====∴=====⨯⨯=⨯=（II ）(1,3)n =()sin 2sin()3f x x xx π=+=+225636()[1,2]x x f x πππππ-≤≤∴-≤+≤∴-值域为16．（I ）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形 ∴O 为A 1C 中点∵D为BC中点∴OD// 1A1B2∵ODC平面AC1D∴A1B//平面AC1D（II）∵ABC-A1B1C1为直棱柱∴BB1⊥平面ABC∴BB1⊥AD∵AB=AC且D为BC中点∴AD⊥BC∴AD⊥平面BB1CC1∴AD⊥CE∵BB1C1C为正方形D、E分别为各边中点∴CD=BE CC1=BCCE=C1D∴△CC1D≌△CEB∴∠2=∠3∵∠1+∠2=90o∴∠1+∠3=90o∴C1D⊥CE∵AD⊥CE∴CE ⊥平面AC 1D（III ）过D 作DE ⊥AC 于E ，连C 、E ∵CC 1⊥平面ABC∴CC 1⊥DE∵DE ⊥AC∴DE ⊥平面，AA 1CC 1∴设C-AC 1-D 成角为α∴11cos AC EAC D S S α∆∆== 17．（I ）a n =S n -S n -1=2-a n -2+a n-12a n =a n-1112n n a a -= ∴{a n }为首项为1公比为12的GP 11()2n n a -= b n-1+b n+1=2b n∴b n 为等差数列b 1+2d+b 1+6d=182+8d=188d=16d=2∴b n =1+(n-1)·2=2n-1（II ）1211()2n n n c --= 1(21)2n n --⋅0121121212311123252(21)221232(23)2(21)21(222222)(21)21222(21)24(12)1(21)212142(21)232222233222n n n n n n nn n nn nn nn n nn T n T n n T n n n n n n ----+∴=⨯+⨯+⨯+-⋅=⨯+⨯++-⋅+-⋅-=+⨯+⨯++⨯--⋅=++++--⋅-=+--⋅-=-+--⋅=-+--⋅+=-+⋅-⋅13322nn n n T n +∴=-⨯+⋅ 18．（I ）证明：∵PA ⊥面ABCD∴PA ⊥MN PA ⊥AB∵M 、N 分别为AD 、BC 中点 ∴AB//MN∵AB ⊥AD∴AB ⊥平面PAD∵AB//MN∴MN ⊥平面PAD∵MN ⊂平面PMN∴平面PMN ⊥平面PAD（II ）过M 作MD ⊥平面PCD ，连接PO ∴∠MPO 即为所求∵V M-PCD =V P-MCD 即1133PCD MCD S MD S PA ∆∆⨯⋅=⨯⋅11212222OM ∴⨯⨯=⨯⨯⨯OM =MPOSin ∠∴== （III ）V P-MNC =V C-PMN113311122222MNC PMN S PA S h h h C PMN ∆∆⨯⋅=⨯⋅⨯⨯⨯=⨯=∴到平面 19．（I ）f ’(x)=3x 2+a g ’(x)=4x k=g ’(1)=4=f ’(1)=3+a∴a=1 f ’(x)=3x 2+1 f(x)=x 3+x ∴（1，2） ∴b=0∴g(x)=2x 2 f(x)=x 3+x（II ）G(x)=x 3+x+2tx 2+(t 2-1)x+1=x 3+2tx 2+t 2x+1 G ’(x)=3x 2+4tx+t 2 令G ’(x)=0 3x 2+4tx+t 2=0 (3x+t)(x+t)=0 x 1=3t-x 2=-t 若t>0t ->-t∴f(x)在(-∞, -t) (-t,3-) (3-, +∞)若t<0t -<-t∴f(x)在(-∞,3-)↑ (-t, +∞)↑(3-, -t) ↓ （III ）F(x)=x 3+x-m(2x 2) =x 3-2mx 2+x F ’(x)=3x 2-4mx+1 即x ∈[12, 3]时 F ’(x)≠0 ⇒x ∈[12, 3]时 F ’(x)≥0或F ’(x)≤03x 2-4mx+1≥04mx ≤3x 2+1m≤23131444x x x x +=+≥∴m≤2或3x 2-4mx+1≤0m ≥2314x x +73m ≥∴m 取值范围为{m| 73m ≥或m≤2} 20． （I ）2121242835522a a a ⨯===+ 3232221(2)2288558425885885a a a =++⨯=⨯+⨯== 43217a =（II ）11121()22n n n n n a a n a ---=-+1111()2122n n n n n n a a a ----+= 222221(123)(1)2(1)1(1)221222122112212n n nn b n n a n n n n n n n n n n n b ==+++--+=--+=-++-=+=++∴通项公式为。