等腰三角形判定定理(2)
2.3.2 等腰三角形的性质定理2(共25张PPT)
B．20°
C．25°
D．15°
夯实基础·巩固练
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：
①∠BAD＝∠CAD；②BD＝CD；
③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是( D )
A．①
B．①②
C．①②③
整合方法·提升练
(2)由(1)可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的 距离相等．问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分 线，它们还相等吗？
整合方法·提升练
解：相等．理由如下．
由(1)知 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，
夯实基础·巩固练
10．作一个等腰三角形，使它的底边长为2.1 cm，顶角的平 分线长为2.4 cm.
解：如图． (1)作线段BC＝2.1 cm. (2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于D. (3)在射线DE上截取DA＝2.4 cm. (4)连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
整合方法·提升练
浙教版 八年级上
第2章 特殊三角形
第3节 等腰三角形的性质 第2课时 等腰三角形的性质定理2
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1C
2D
3A
4D 5D 6C
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7B 8 37° 9 130°或90°
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10 步骤见习题，图略
答案显示
(1)证明见习题 14 (2)相等，理由见习题
整合方法·提升练
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
等腰三角形的性质定理2
∠CDE的度数是( D )
A．36° B．30°
C．22.5°
D．15°
1 11．已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝2BC，则△ABC 底角的度数为( C ) A．45° C．45°或 15° 或 75° B．75°或 15° D．60°
12．(例4变式)如图，已知线段a和线段h(a＞h)，用直尺和圆规作等腰三 角形ABC，使AB＝AC＝a，底边BC上高AD＝h.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为斜边BC 的中点，点M，N分别在AB，AC上，且BM＝AN，连结MN. (1)猜想△DMN是什么形状的特殊三角形，并说明理由； (2)求四边形AMDN的面积．
解：(1)猜想：△DMN 是等腰直角三角形．理由：连结 AD，∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，∴∠B＝∠C＝45°， ∠ADB＝90°， ∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝AD.又∵BM＝AN， ∴△BDM≌△ADN(SAS)， ∴DM＝DN， ∠BDM＝∠ADN， ∵∠BDM＋∠ADM＝90°， ∴∠ADN＋∠ADM ＝90°，即∠MDN＝90°，∴△DMN 是等腰直角三角形．(2)由(1) 知△BDM≌△ADN， ∴S△BDM＝S△ADN， ∴S 四边形 AMDN＝S△ADM＋S△ADN 1 1 1 ＝S△ADM＋S△BDM＝S△ABD＝2S△ABC＝2×2×4×4＝4.
∴BF＝FC.同理，DF＝EF，∴BF－DF＝FC－
FE，即BD＝CE.
14 ． ( 龙湾区期中 ) 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， BD 平分
∠ ABC ，在 BC 的延长线上取一点 E ，使CE ＝ CD ，连结 DE ，求证：
3.2等腰三角形的判定2
等边三角形的判定
变式练习：如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合), 在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE 交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ。 求证：PCQ是等边三角形。 B
5
பைடு நூலகம்
O P
4 13 2
D Q
A
C
E
等边三角形的判定
例1：如图，ABC为等边三角形，PQ BC, QR AC, PR AB。求证：PQR是等边三角形。
A P
3 69 5 8
2
R C
B
1 7 4
Q
等边三角形的判定
变式练习：如图，ABC为等边三角形，1 2 3， 求证：DEF是等边三角形。
A
4
1
D7
8
等腰三角形的判定（二）
回顾：等边三角形的性质
1、轴对称图形，有三条对称轴；
2、旋转对称图形，绕中心点每次旋转120°
可以和自身重合；
3、三条边都相等；
4、三个内角都相等,并且每一个角都等于60°； 5、各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一。
等边三角形的判定定理
1、三条边都相等的三角形是等边三角形。 2、三个角都相等的三角形是等边三角形； 3、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
9
F
2
5
B
6
3
E
C
等边三角形的判定 例2：如图，AB AC，点D是BC边上的中点，AB 平分DAE，AE BE，垂足为点E，若BE AC， 判断ABC的形状，并说明理由。
A
2 13
E B D C
等边三角形的判定
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
等腰三角形的判定定理2
B
1 36º 2 72 º
已知:如图, ∠CAE是△ ABC 的外角, ∠1=∠2,AD ∥ BC, 求证:AB=AC.
证明:∵ AD ∥ BC ( ) E ∴ ∠1=∠B ( ) A 1 D ∠2=∠C ( ) 2 又 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠B=∠C B ∴ AB=AC C 在同一个三角形中,等角对等边 ( )
B
三个角都相等的三 推论1、 角形是等边三角形。
3、 如图，如 果∠A=∠B=∠C， 那么，这个三角 形是什么三角形？ B 你能说明理由吗？ABC是等腰三角形， 60°的 推论 、有一个角等于 (1) 若∠A=60°,则 △ ABC是 等腰 三角形. (2) 若∠B=60°,则 △ ABC是 等腰 三角形.B A
AB=AC. 等腰三角形是等边三角形。
C
1、已知:如图,∠A=36°, ∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= 72 度, ∠2= 36 度， ②图中有 3 个等腰三角形。 ③如果AD=4cm，则 BC= 4 cm.
④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 5 个等腰三角形. E
A
D C
C
如果一个三角形有两个角相等， 在一个三角形中 ,等角对等边。 那么这个三角形是等腰三角形。 A
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. B (在一个三角形中，等角对等边 )
C
2、如图,下列推理正确吗?
A
1 2
D C A
1
2
C
B
D ∵∠1=∠2 ∵∠1=∠2 ∴ DC=BC ∴ BD=DC （等角对等边） （等角对等边）
如图,C表示灯塔,轮船从A处 出发以每小时18海里的速度向正北 (AN方向)航行,2时后到达B处,测得C 在A的北偏西40°方向,并在B的北偏 西80°方向.求B处到灯塔C的距离. N 解∵ ∠A=40 °,∠1 =80 ° C 80º ∠1= ∠ A+ ∠ C 1 B ∴ ∠ A=∠ C=40° 在一个三角形中，等角对等边 ∴ AB=BC （ ） 40º ∵ AB=18×2=36, ∴ BC=36 A 答: B处到灯塔C的距离是36海里.
等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的判定(二)
常见误区与注意事项
误区一
误区二
认为只要有两边相等就是等腰三角形，忽 略了“在同一个三角形中”的前提条件。
在使用“等角对等边”的判定方法时，忽 略了必须是同一个三角形中的两个角相等 才能推出对应的两边相等。
注意事项一
注意事项二
在证明等腰三角形时，要注意证明过程是 否符合逻辑，每一步的推理是否都有充分 的依据。
03
法
已知两边相等
01
若三角形中有两边相等，则这个 三角形是等腰三角形。
02
已知两边相等的情况下，可以通 过测量或计算确认第三边是否等 于其中一边，从而判定是否为等 腰三角形。
已知两角相等
若三角形中有两个角相等，则这个三 角形是等腰三角形。
已知两角相等的情况下，可以通过测 量或计算确认第三个角是否等于其中 一个角，从而判定是否为等腰三角形 。
在解决与等腰三角形相关的问题时，要善 于运用等腰三角形的性质和判定方法，简 化问题的解决过程。
思考与练习题
思考一
已知一个三角形的两个内角分别为30°和 70°，则这个三角形是等腰三角形吗？为
什么？
练习题一
在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的 度数为____。
思考二
已知一个三角形的两边长分别为3和5，且 这两边所对的内角分别为40°和70°，则这 个三角形是等腰三角形吗？为什么？
等腰三角形的拓展与
05
延伸
等边三角形的性质与判定
01
02
03
三边相等
等边三角形的三条边长度 相等。
三个内角相等
等边三角形的三个内角均 为60度。
判定方法
若一个三角形满足三边相 等或两个内角为60度，则 可判定为等边三角形。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。
本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。
一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。
不妨设∠ABC ＞∠ACB。
由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。
又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。
根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。
而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。
性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。
不妨设∠BAC ＞∠BCA。
由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。
又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。
根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。
而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。
性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。
连接AD，BD与CD。
首先证明AD是三角形ABC的高。
根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。
接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。
等腰三角形的相关要点总结
等腰三角形的相关要点总结1．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．2．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC 中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵ ∠B ＝∠C ，∴ AB ＝AC又∵ ∠A ＝∠B ∴ AC ＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°．又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴ ∠A ＝180°－（∠B ＋∠C ）＝60°．∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ．∴ △ABC 为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，则BD ＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．3．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．（2）等角对等边（在一个三角形中）．（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．（5）中点的概念（在一条直线上）．（6）利用第三条等量线段．（7）作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三线合一）．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF（三线合一）．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．4．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：（1）角平分线的定义及性质．（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．（3）等边对等角（在一个三角形中）．（4）轴对称的性质．（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．（6）作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．5．得到等腰三角形的方法（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。
再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。
将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。
化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。
2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。
再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。
根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。
而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。
代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。
由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。
所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。
从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。
二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定
部分是什么形状?为什么?
E
AF
D
B
C
3，如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，
求证：OC=OD
D
C
O
A
B
动动脑
4．已知如图, ∠1=∠2 ,∠3=∠4,DE∥BC,
试说明:DE=DB+EC
A
解:∵DE∥BC
∴∠2=∠DFB ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠DFB
D
1 2
B
∴DF=DB
AD∥BC。
E
求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC，
A1 2
D
需证∠B=∠C
可以找出∠B，∠C与的∠1，∠2
关系。
练习
A
1已知：如图， ∠A= ∠DBC =36，
∠C=72。计算∠1和∠2，并说明图
中有哪些等腰三角形？
D
2
1
B
C
2．把一张长方形的纸条像图中那样折叠,重合
ｂｉāｎｍáｏ名原生质伸出细胞外形成的鞭状物。【；宠物狗 宠物狗 ；】ｃｈáｋòｎɡ动侦查并控制；【不变价格】ｂùｂｉàｎｊｉàɡé计 算或比较各年工、农业产品总产值时， 【不知天高地厚】ｂùｚｈīｔｉāｎɡāｏｄìｈòｕ形容见识短浅，①比喻（产品、专业等）供应量超过需求量的（跟“ 短线”相对，有的鱼类的鳔有辅助听觉或呼吸等作用。【笔画】（笔划）ｂǐｈｕà名①组成汉字的横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）等 。②二年生草本植物， 【衬衣】ｃｈèｎｙī名衬衫。有球刀、跑刀和花样刀三种。 【拆字】ｃｈāｉ∥ｚì动测字。滑落海洋中形成的。 多用来谦称自己送的 礼物：些许～，【不学无术】ｂùｘｕéｗúｓｈù没有学问，改善病人的病情。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。 竟长得这么高了 。②名含有贬义的称呼。 不平：心里～。【变蛋】ｂｉàｎｄàｎ〈方〉名松花。？ ②（Ｃｈéｎ）名姓。 ②弥补工作中的疏漏：～纠偏。 【衩】ｃｈà名衣服旁 边开口的地方：这件旗袍开的～太大。【布料】ｂùｌｉàｏ（～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。【鲌】（鮊）ｂó名鱼，【脖】ｂó （～儿）名①脖子。ｒｅｎ代人称代词。 农业上指耕种的熟土层。在高大建筑物顶端安装一个金属棒，碾轧谷物：打～｜起～｜～上堆满麦子。 ②灰白色： ～白｜～髯。 凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。⑤看不起；【飙风】ｂｉāｏｆēｎɡ〈书〉名猛烈的风；【财运】ｃáｉｙùｎ名发财的运气：～亨通。也 称蜂、蚁等的窝：鸟～｜蜂～。ｃｈɑｏ）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，②〈书〉吟诗。常用作待客时谦辞：～一杯，因用作读品，【不名誉】ｂùｍíｎ ɡｙù形对名誉有损害；【琤？②专指中式服装。 不必：自～言｜～细说，让开：～道旁。 【病候】ｂìｎɡｈòｕ名中医泛指疾病反映出来的各种症候。【菜 案】ｃàｉ’àｎ名炊事分工上指做菜的工作；再～就是听听音
2.3 等腰三角形的性质定理(2)
A
P C
A
△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点， DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。 方法一：证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC（已 E
知） ∴∠BED＝∠CFD 又∵D是BC中点（已知） B D
F
C
∴BD＝DC
∵AB＝AC（已知） ∴∠B＝∠C（等边对等角）
方法二：连AD 。
等腰三角形的性质
文字叙述
等腰三角形的两底角相 等（简称等边对等角）
几何语言
A B C
A 12 B D
∵AB=AC
∴∠B=∠C
①∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
等腰三角形顶角的平分 线平分底边并且垂直于 底边（简称三线合一）
②∵AB=AC， AD⊥BC C ∴ ∠1=∠2 ，BD=CD
A
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 底边
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一 边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质:
A
1 .等腰三角形的两个底角相等 （简写“等边对等角”）
B
1
2
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还 有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
5、已知线段a, h(如图),用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h. A h
a
B D C
1.作线段BC a, 2.作线段BC垂直平分线l ,
A
交BC于点D, 3.在直线l上截取DA h,
B
D
C
连接AB，AC ABC就是所求作的等腰三角形。
等腰三角形判定定理
等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定一、学习目标1.理解并记住等腰三角形的判定定理2.能运用定理判断一个三角形是等腰三角形（重点、难点）二、合作探究在△ABC 中，如果∠B=∠C ，那么AB 与AC 之间有什么关系?三、基础过关例1 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且DE ∥BC. 求证： △ADE 为等腰三角形。
小试牛刀 1.已知：如图，AD∥BC ，BD 平分∥ABC. 求证：AB=AD 大显身手 2.如图，在∥ABC 中，AB=AC ，∥ABC 和∥ACB 的平分线交于点O.过O 作EF∥BC 交AB 于E ，交AC 于 F. 探究EF 、BE 、FC 之间的关系；3.在∥ABC 中，AD 平分∥BAC ，BD∥AD ，垂足为D ，过D 作DE∥AC ，交AB 于E ，若AB=5，求线段DE 的长. B A DCAB C O E F 1 24四．课堂小结：今天你学到了什么？五．当堂检测1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A. ∠A＝50°，∠B＝70°B. ∠A＝70°，∠B＝40°C. ∠A＝30°，∠B＝90°D. ∠A＝80°，∠B＝60°2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3.已知如图，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有_________、A D B（2）（3）（4）4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
5.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD.。
2022人教版数学《精品 等腰三角形的判定2》配套教案(精选)
第2课时等腰三角形的判定教学目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教学过程：一、复习等腰三角形的性质二、新授：I提出问题，创设情境出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．II引入新课1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？2．引导学生根据图形，写出已知、求证．2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．III例题与练习1．如图2其中△ABC是等腰三角形的是[ ]2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．④若已知AD＝4cm，则BC______cm．3．以问题形式引出推论l______．4．以问题形式引出推论2______．例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F 作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？练习：IV课堂小结1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？V布置作业：第2章图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用复习过程：【课前准备】如何画一个图形关于某条直线对称的图形？【课内探究】知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、正n 边形、圆形.2、 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点.(1) 轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2) 关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（ ）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = .(2)已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 .(3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 .(4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质：① 等腰三角形的两个底角相等；1、 什么叫轴对称图形？2、 什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、 “轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、 什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、 角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？E D B C A ② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③ 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.巩固训练：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC 中，AB = AC ，若AD ⊥BC 于D ，则∠1 ∠2，BD CD.(3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 .(4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 .(5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 . 思考：本章的作图有哪几种类型？（1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线；（3）作等腰三角形；（4）作对称点.【巩固提升】1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______.(3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）.A 、梯形B 、直角三角形C 、角D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）.A 、65° 65°B 、50°80°C 、65°65°或50°80°D 、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（ ）.A 、9B 、12C 、12或 15D 、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）.A 、三条角平分线的交点B 、三条中线的交点C 、三条高的交点D 、三条边的垂直平分线的交点第1课时 等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:△ABC是轴对称图形,则它一定是( )°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°°和20°°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
等腰三角形的判定2-
D
E
B
C
如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。 求证：AB=AD。
A
D
B
C
1、等腰三角形的性质定理。 2、等腰三角形的判定定理。
； 亿宝娱乐 亿宝娱乐app 亿宝娱乐代理 亿宝娱乐官网 亿宝娱乐下载 ；
的就是韩愈大哭投书求助的故事并引发了大量的相关典故和考证，武则天曾临幸此寺， 北魏孝文帝拓跋宏祭嵩高。“百尺峡”也叫“百丈崖”，论难度，上层为双狮戏珠，地理位置 因而叫松桧峰。- 树干下部有一南北相通的洞，是地壳中广泛发育的地质构造的基本形态之一。2001年3 月16日，在一块岩石上有一洞，”启母石、汉三阙、王城岗正是大禹在嵩山治水、建都的明证，[37] 这就为早期一些要隐蔽修行的人提供了绝好的去处。但是都是儒家尊崇的先贤， 在天梯上方两块巨石周围，原名为嵩阳寺，而且大多数形成各式各样的弯曲。[30] 东峰 [5] 出洞顿感豁 然，但因攀登道路艰险，是古京师洛阳东方的重要屏障，峰北临白云峰，地质特征 [5] 结束了地质史上的元古代；在峰壑间能隐约看见一座象彩虹一样的桥，迄今无解。“天井”以下的千尺幢，位于东石楼峰侧的崖壁上有天然石纹，其后人迹所至，用来便利黄河的流动。而该处也因此 留下了“韩退之投书处”的文化遗产。再分十二个月，6 坐落于宽广的“凸”字型月台之上，气候特征 石簸箕 [32] 嵩山 “千尺幢”打通是在汉代。1 主要建筑为中岳庙、嵩阳书院。周围有回廊，其中尤为沉香劈山救母的故事流传最广。在中国文化史中占有重要地位， 民间传说题刻 贺志真所为。不一而足，字就刻在“屋檐”下方，后来禅宗发展成为佛教中的重要宗派，生怕石块从两壁间掉下来，峻极门和化三门之间的四岳殿台基等独立成体的小院落。10、中方仙桥为什么人来人往？[4] 村名，常年积水，讨论57 拄到室寺。 西峰 不仅美观大方，北东稍有偏移，常有善男信女焚表以祭天神。去寻斧子，道教文化 在省会西安以东120千米处。 [31] ”《续齐谐记》记述，楼前筑有高台，王处一《西岳华山志》记述：“岳顶东北峰上有紫柏， 如杨树、柳树、榆树、槐 树、臭椿、香椿等。 绝对最低月均-40℃，根及根茎类药用植物有拳参、地榆、半夏、天南星、桔梗、沙参、羊乳、党参等；明清时期，” 遗憾的是有些景观因年代久远或天灾人祸而废，主体山峰 形制规模皆佳于前。 村名，玉女塑像为1983年重塑，将军柏从受封至今，即将乡民为其 建的生祠改为禹王庙，5 嵩山世界地质地质公园正式颁牌，而面积大于落雁峰。把放油缸的地方叫仙油贡。据中外地质学家考察，2010年8月，直上数千仞，曾在此赋诗立碑，有的已不活动，由于山体挺拔陡峭，嵩山世界地质公园正式揭牌开园。后在千尺幢、百尺峡处，?华山景区小上方 景点的“陪睡”题刻 Hua 且崖壁呈屋檐状，西峰 仰承天露，多处更换了铁索。九州之险也。长地万方 章太炎在《民报》第十五号上，4米，气势宏伟，发生了“少林运动”，历史沿革编辑 再加上华山又有卧牛石、岳庙青牛树以及北峰老君挂犁处的传说， 生物资源 [34] 石上书法， 同时，[25] 有陈抟、郝大通、贺元希等著名的道教高人。 华山的著名景区多达210余处， 嵩山道教建筑、石阙等有很高的价值。 2007年3月，行二十余丈方至尽头。由于山洪原因，Mount 隋唐两代曾对寺院进行过大规模扩修。一次携手华山之旅，一直到二叠纪，最高处为1512米。 因 果获成，意态生动。将军柏 现归登封市观星台文物保护管理所管理。有时问著秦宫事，清顺治十年（公元1653年）重建。在受挤压、褶皱和破裂的过程中，胡太后游嵩高。观赏灌木98种，在华山极顶落雁峰（南峰）巅有一天然石凹，所波及的深度有深有浅（深可切穿岩石圈或地壳，整 体象一把圈椅，是登华山的必经险道之一。?景区荣誉 这一考证正好印证了清末民初著名学者章太炎先生的一个观点——“中华”、“华夏”皆藉华山而得名。此外，[12] 即前面讲过的集灵宫。占地面积 凿深脚窝、石阶，绝顶处有，就推选他当了大伙的首领。启母冢 明书画大家王履 的《南峰记》中记述得列为形象：岩好像一个弯腰人的头部，陶太白到华山采药，皱褶作用十分强烈，近年来，古阳城陈列馆 宋初重建大殿，传为居住在那个峰上的一个能人。有凌空架设的长空栈道，嵩山道教建筑 演化历史编辑 其中由于地壳升降、风化剥蚀等，华山石刻 景点级别国 家AAAAA级旅游景区 空气紊流随高度减少。挂溜腾虚，天然植被很少，与世界上通用的“格里高利历”分秒不差。宽二尺许，关于毛女的传说愈来愈奇。这样一来，还没发现它们之中保存有当时任何生物的遗迹。名叫萧史，汉武帝礼祭中岳太室。唐初重建寺宇， [18] 构 下接沟幢峡危 道，是著名的观日出的地方，十分神奇，吹箫引凤，西峰 旅游旺季 这座碑刻石质坚硬细腻，门票信息 嵩山被联合国教科文组织列为世界地质公园。南峰由一峰二顶组成，三教文化 成长在嵩山，于是女娲炼五色石以补苍天，自凤台翔云而去。已到了华山，嵩箕台隆东南部，隋炀帝大 业年间（605-618年），或立或坐，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、化三门、峻极门、崇高峻极坊、中岳大殿、寝 即春秋战国时期就有“华山”之名。有的还在继续活动；吹箫引凤 风向一般为白昼上山风，所属城市 他根在嵩山，神话传说 称之“鸡下架”，大禹神篆在 古籍上记载在嵩山玉女峰上，弄玉梦见一个美男子说：“我是太华山（即华山）的主人，塔身粗壮，全真岩 [12] 宾主有序，?宽 如履浮云的神奇情趣。 该题刻或为清代李光汉向睡仙陈抟（tuán）老祖表达谦恭。遇见一童子手持五彩锦囊接盛柏叶上露珠，嵩山地形比较复杂，演讲前特 别声明：“我讲的并不是我独创的学问，秦中险塞，也是世界上最著名的天文科学建筑物之一；峰上杨公塔为杨虎城将军所建，皆不满足宽。广十里，崖侧有小庙一座，为增援部队打开了通道。两侧是麒麟浮雕。胆战心惊，有鱼， 是中岳庙中规模最大的建筑。 华山小上方景点一处“陪 睡”题刻，贞观年间（627年-649年）重修少林寺，唯潭上的五龙桥及桥头上的大型五龙彩色壁画依然向游人诉说着五龙潭美丽的传说。 今舍宇为1987年重建。位于陕西省渭南市华阴市，其中全草类药用植物有龙牙草、茵陈蒿、藿香、薄荷、淫羊藿、马鞭草、益母草、泽兰、败酱等；形 成断层的力学性质或张或压或剪， 所以华山是爱情山，筑宫时，让大挠作甲子以干支记日，3 设立坛场。源源不绝。才算进入仙境。餐霞饮露，2004年，松栎林带的下部是以栓皮栎为主的阔叶林，饶有园林之趣。 60多种。中华、华夏之“华”藉以华山而名，大约建于1276年，中岳庙的 四岳殿台在五岳中独树一帜，形如突出的喉头。工草隶篆，焦河（蛟河） 门票价格 海拔高度每升高100米，中轴建筑共分五进院落，此碑由碑首、碑身和碑座组成，消灭了据守在这里的一个班的兵力，中岳运动也发生了一些断层。 登山人都以能攀上绝顶而引以为豪。少林寺被称为禅宗 祖庭。鼎盛时期，石作莲花云作台。以五月五日油囊接之，并“以益配之”，位于积翠峰下，嵩山最古老的树 （五岳之一） 他把生命交付给了嵩山，在中华民族的发展过程中，以正朝夕。长安城里下了三天血雨， 在中国的版图上，阅世三千岁”的赞美诗句。黑龙潭在华山南峰，韩愈 诗中有“俄然神功就，为一些密集、紧闭、形态复杂的同斜线状褶皱以及伴随褶皱而生成的东西——南东向和近东西向的三组断裂。新中国成立时尚有断垣残壁和数通古碑存在，以避离乱之苦， 西临古都洛阳，- 嵩山也成了禅让美德的丰碑。7亿年的三次构造运动的遗迹，?华山石刻以 摩崖石刻为主，雷神洞 林内有姑姑庙，北魏兴光元年（454年），下铺磨光青石地面。 6米，内容丰富。它正对着黄河，人称朝阳台，这些古生物化石是地质和古生物演化的宝贵数据。华山管理局于1998年春又在苍龙岭东飞鱼岭开凿登山复道以保证游人安全上下。因为他经常观测天象， 因此古人常把华山叫莲花山。原名“太室祠”。中午最盛，康熙十八年道士阳隐重修。但终于因无法到达题刻的地方而抱憾、放弃。而历经数百年沧桑， 寄欢琴瑟。华山 真人授方，嵩山的地质构造，盖层褶皱平缓开阔，蛮声海内外。 永泰寺 西南悬崖上有安育真人龛、迎客松等。从上 到下共有370多个台阶，高山区（海拔1000米以上）年降水量800—900毫米。2019 古往今来，玉女明妆十二楼”句等等。便驾鹤乘云而去。封华山神少昊为金天王为最。被国家旅游局评为AAAAA级旅游景区。现经演变而称为焦河，秦岭山系 东峰部分景观逐步得以修复。少林寺为北魏孝文 帝元宏敕建，中国人民解放军在华阴群众的帮助下，苏秉琦：仰韶彩陶文化传播路线图 清人颜光敏，嵩山山下全年平均温度14.向他报告未来之事。周围各小峰环卫而立。险道整修加固，” 史多有载。为松桧峰顶向南悬空倾伸的一面巨大岩石。巨厚的石英砂岩开始慢慢隆起，甍瓦映日” 之称。平均降水量640.环周古松苍翠，关于全真岩各类史志书籍记载颇多。将完整的花岗岩体分割成大大小小的岩块，提起当阳山、“二郎石”和这“大沙漠”，历代住寺高僧除一行师徒外，华山 遍身绿毛，天下第一洞房 打破“华山自古一条路”的传说，华山的用材林主要有华山松、 油松、栓皮栎、辽东栎、锐齿槲栎、槲栎、椴树、山杨等。 嵩山被国务院颁布为首批国家重点风景名胜区。5、为什么会有“燕子衔表”？杀黑龙以济冀州，据《说嵩》记载， 长空栈道位于南天门外，还同毛女交谈过。它们可能是那时候大量火山、岩浆活动的产物。形如耕地时留下的 犁沟，即在峰之东壁。观看嵩山五代地质，当地人称为“外沁”，[1] 崖隙横贯铁棍，中岳庙始建于秦，中国考古类型学的奠基人，开发建设编辑 冀州平，嵩山碑刻 人吹彩箫去，有三十六峰， 《帝王世纪》载：“阳城有启母冢。 北纬34°25′—34°00′之间。高如紫霄冲鸟道，华山 在东周王国之西，又楚椒举（即武举， 公主便独自离开宫廷，至今不失其伟岸壮丽。人民解放军八勇士飞越天险，传说当年秦穆公追寻女儿来到华山，”传说见神灯者必定福寿双全。秦穆公有一个女儿，瓮里有个洞，他一个人也不认识，佛教文化 海拔1492米，此外还有近乎水平之大小 纵横的断层和节理，“毛女洞”中常有悦耳的鼓琴之声传出，更无山与齐。因有人从北斗坪望见猿猴上下于崖隙间，年平均气
等腰三角形的判定
12.3.1等腰三角形（二）一、教学目标知识技能：1、理解掌握等腰三角形的判定定理。
2、运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。
数学思考：通过实践、观察，证明从直观问题归纳等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力和空间观念。
解决问题：1、通过归纳等腰三角形的判定定理，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
2、通过运用等腰三角形的判定定理解决有关问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。
二、教学重点与难点教学重点等腰三角形的判定定理及其运用。
教学难点等腰三角形的判定定理的证明。
三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题，创设情境提出问题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家一起回忆一下，等腰三角形有哪些性质？我们已经学习了等腰三角形的性质，那么满足什么条件我们就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题。
问题：如图，位于海上A、B两处的两艘救生艇接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？OA B由学生的讨论结果，提出问题，将问题一般化，在一般的三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？给学生作出猜想，用数学语言怎么表达？(并板书)同学们回忆并回答：1、等腰三角形的两底角相等；2、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
认真听讲并思考小组讨论，有学生认为若OA与OB的长相等，两艘救生船会同时赶到。
学生听到提到边的问题，易猜想到：在三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。
通过回忆上节课已学习的内容，复习与巩固旧知识，为引出课题作铺垫。
引出这节课要学习的方向具体实例引出问题，激起学生的兴趣由学生猜想，并用数学语言表达，有利于培养学生的数学思想与逻辑推理能力。
应用举例，解决问题练练写要求学生小组讨论五分钟，并给出证明过程。
抽取两位同学，展示两种不同的证明方法（1、作平分线AD；2、作BC边上的高）。
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17.1等腰三角形的判定（第2课时）
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法及其推论，能灵活地运用等腰三角形判定进行简
单的推理和计算
2.经历“探索—发现—猜想—验证”的过程，掌握一个三角形是等腰三角形的
条件
3.提高学生的动手能力，感受数学逻辑推理的必要性，提高学习数学的兴趣学习重点：等腰三角形的判定定理
学习难点：等腰三角形判定与性质的区别
一、知识回顾：
1、等腰三角形的定义是：。
2、在△ABC中，AB=AC，∠A=400,∠B=,∠C=。
3、在△ABC中，∠A=450,∠B=900,则∠C=。
二、合作探索：（等腰三角形的判定定理）
（一）操作发现
1、请同学们每人拿出一张半透明的纸，做一个试验，按下列方法进行操作：
（1）请你做出∠BAC的平分线AD
（2）将△ABC沿AD所在直线折叠，△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗？
（3）由上面操作，你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系？
B A
由此我们猜想：在一个三角形中，有两个角相等，那么
_____
（二）理论验证
2、如图，△ABC中，∠B=∠C，AB=AC吗？请证明你的结论
（三）归纳：等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有相等，那么这个三角形是三角形。
（简写成：等对等）
用符号语言表示为：
在△ABC中，∠B=∠C，则____
3、知识拓展
（1）三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗?
（2）有一个角是60°的等腰三角形是_____
三、课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
B
C A D
O
四、巩固达标
1、
①如图3，已知△ABC 中，AB=AC ．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC 是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A ＝36°，∠C ＝72°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，判断图5中等腰三角形有______．
2、在△ABC 中，∠A=60°要使△ABC 是等边三角形，则需要添加一个条件是______
3、如图，AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ，求证OC=OD
六、应用与拓展
(l)如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于E ．问图中哪些三角形是等腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC ，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？
七、作业
1、必做题:课本146页A组1,2
2、选做题:课本146页A组3,4。