锐角三角函数计算

解读锐角三角函数

解读锐角三角函数锐角三角函数是介于0到90度之间的角的三角函数。

它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

锐角三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以斜边得到的比值。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，其中一锐角的邻边除以斜边得到的比值。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以邻边得到的比值。

正弦函数的值在0到1之间变化，其中sin(0) = 0，sin(90) = 1、余弦函数的值也在0到1之间变化，其中cos(0) = 1，cos(90) = 0。

正切函数的值在负无穷到正无穷之间变化，其中tan(0) = 0，tan(90) = 无穷。

锐角三角函数在几何学中的应用非常广泛。

它们可以用来计算三角形的边长和角度，求解直角三角形以及一般三角形的问题。

例如，知道一个直角三角形的一条边和一个锐角，可以利用锐角三角函数来计算其他边的长度。

此外，锐角三角函数还可以用来计算三角形的面积和高度等问题。

锐角三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来分解复杂的力或速度矢量，并求解它们的分量。

在电工学中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流。

在波动学中，正弦函数可以描述声波和光波的传播过程。

此外，锐角三角函数还出现在信号处理、图像处理和计算机图形学中。

它们可以用来模拟和处理信号、图像和曲线，从而实现音频和视频的压缩、滤波和变换等技术。

总之，锐角三角函数在数学和物理学等领域中是非常重要的。

它们的应用范围广泛，不仅可以用来解决数学和几何学问题，还可以用来研究自然科学和工程领域的现象和问题。

熟练掌握和理解锐角三角函数的特性和应用，对于学习和研究这些领域都具有重要意义。

锐角三角函数

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

冀教版数学九年级上册锐角三角函数的计算

值或角的度数
利用计算器探
索锐角三角函
数的新知
不同的计算器操作
步骤可能有所不同
1.已知 tan A=0.3249,则∠A约( B )
A.17°
B.18°
C.19°
D.20°
2.已知 sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
(1)求sin A的值;
(2)求∠B的度数.(结果精确到1″)
解:(1)在Rt△ABC

中，sinA=

=
4
5
=0.8 .
(2)∵sin A=0.8,
∴由计算器求得∠A≈53°7'48″.
∴∠B= 90°-∠A≈90°-53°7'48″
= 36°52'12″.
三角函数
的计算
用计算器求锐
角的三角函数
再继续按键:
2ndF
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45' 3″.

DEG
【练习1】
用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″)
(1)sin α=0.3275；（2）cosα=0.0547;(3)tanγ=5.
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
即tan50°26'37''≈1.210667421
37
DMS
=
做一做利用计算器计算，并填表
α三角函数
15°
50°
75°
sin α
0.2588
0.7660
0.9659
cos α

锐角三角函数公式和面积公式

锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边面积公式长方形，正方形以及圆的面积公式面积公式包括扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：S＝nπR^2÷360比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：C＝2R＋nπR÷180＝2×1＋135×3.14×1÷180＝2＋2.355＝4.355(cm)＝43.55(mm)扇形的面积：S＝nπR^2÷360＝135×3.14×1×1÷360＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)扇形还有另一个面积公式S=1/2lR其中l为弧长，R为半径三角形面积公式任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明：证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ha 2 = t 2 = －∴S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

锐角三角函数(余弦、正切)

振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛应用。例如，简谐振动的位移、速度和加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐角三角函数用于设计各种结构，如桥梁、建筑和机器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角函数用于设计和分析控制系统，以确保系统的稳定性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐角三角函数用于信号处理，如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随着k的变化而变化。

《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件

(3)csoinsαα＝tan α
第二十四章解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
知识回顾问题1 一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
A．tan 26°＜cos 27°＜sin 28° B．tan 26°＜sin 28°＜cos 27° C．sin 28°＜tan 26°＜cos 27° D．cos 27°＜sin 28°＜tan 26°
4．(3 分)在△ABC 中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，
则∠C＝_4__5_°____，sin A＋cos B＋tan C≈__1_3_4_6___．
12．(8分)已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sin α＝0.5018，求锐角α；
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ＝5，求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算：sin 248°＋sin 242°－tan 44°·tan 45°·tan 46°＝________．
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二一元二次方程根与系数关系的应用

锐角三角函数公式大全

锐角三角函数公式　sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。

锐角三角函数的应用举例

03 锐角三角函数在物理问题中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用来描述物体在斜面上的重力分量、摩擦力等，从而解决物体在斜面上的运动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进行矢量的合成与分解，例如求解两个力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题中应用举例

锐角三角函数

锐角三角函数1．对于锐角α，总有 sin 2α+ cos 2α＝。

2、 Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=cosB3、tan α＝cosAsinA 4、给出仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。

1. 互为余角的三角函数关系。

sinA=cos(90º-A) cosA=sin(90º-A)tanA=cot(90º-A) cotA=tan(90º-A)2. 锐角三角形函数随角度的变化规律：当角度在0º—90º间变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）.3. 同角三角函数的关系： sin ²α+cos ²α=1 tan α·cot α=1 tan α= cot α=4. 锐角α的三角函数的取值范围。

0<sin α<1 0<cos α<1 tan α>0 cot α>02、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（） A 20° B 30° C 40° D 50°3、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ . 5．已知α为锐角，且sin α=0.7233，则cos （90°－α）=________．6, 若∠A=60°，则化简()21-sinA = 7，Rt △ABC 中，∠C=90°且3cos sin =+B A ，则∠A= 。

8，若Sin22°31′=CosA ，则∠A= 。

9 若Sin 2A+Cos 221°= 1，则∠A= 。

12．2222sin 1sin 2sin 88sin 89+++=… _______． 10．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =552，则cos B 的值等于（） A ．51 B ．55 C ．53 D ．1 11．当∠A 是锐角且tan A 的值大于33时，∠A 一定（） sin α cos α cos α sin αA ．小于30°B ．大于30°C ．小于60°D ．大于60°12．下列各题中错误的是（）A ．sin37°=cos53°B ．sin60°=cos60°C ．cos28°37′=sin61°23′D ．cos α=sin （90－α）13比较大小：①tan21° tan31°， ②Sin21° Cos21°。

锐角三角函数拓展公式

锐角三角函数拓展公式锐角三角函数拓展公式主要包括和差公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式在三角函数的计算、化简和证明中都有广泛的应用。

1.和差公式：正弦和差公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB余弦和差公式：cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB正切和差公式：tan(A+B)=1−tanAtanBtanA+tanBtan(A−B)=1+tanAtanBtanA−tanB举例：求sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘的值。

根据正弦和差公式，我们有：sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=sin(45∘+30∘)=sin75∘查表或使用计算器得到sin75∘的值，从而完成计算。

1.倍角公式：正弦倍角公式：sin2A=2sinAcosA余弦倍角公式：cos2A=cos2A−sin2A=2cos2A−1=1−2sin2A正切倍角公式：tan2A=1−tan2A2tanA举例：求cos10∘cos50∘的值。

根据余弦倍角公式，我们有：cos10∘cos50∘=21[cos(10∘+50∘)+cos(10∘−50∘)]=21(cos60∘+cos(−40∘))由于cos 函数是偶函数，cos(−40∘)=cos40∘，所以：21(cos60∘+cos40∘)=21(21+cos40∘)查表或使用计算器得到cos40∘的值，从而完成计算。

1.半角公式：正弦半角公式：sin2A=±21−cosA余弦半角公式：cos2A=±21+cos A正切半角公式：tan2A=±1+cos A1−cosA举例：求sin15∘的值。

根据正弦半角公式，我们有：sin15∘=sin230∘=21−cos30∘查表或使用计算器得到cos30∘的值，然后代入公式计算得到sin15∘的值。

第1节锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数第一节锐角三角函数一、课标导航二、核心纲要1．锐角三角函数的概念（1）定义：在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦、余弦和正切统称为锐角A 的三角函数．（2）如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sinA =A ac =∠的对边斜边．②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cosA =A bc=∠的邻边斜边．③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tanA =A aA b=∠的对边∠的邻边．注：（1）锐角三角函数没有单位．（2）锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关．（3）sin A 是一个整体符合，即表示∠A 的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成sin ·A ，三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如sin ∠BA C ．（4）当0°＜∠A ＜90°时，0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 2．特殊角的三角函数（如下表所示）注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法（1）数形结合记忆法如下左图、中图所示，有定义可得各角的三角函数值．（2）增减规律记忆法①sin a的值随着a的增大而增大，依次为：222，，．②cos a的值随着a的增大而减小，依次为：222，，．③tan a的值随着a的增大而增大，依次为：31．3．锐角三角函数之间的关系如下右图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）互余关系：sin A=cos（90°－∠A）=cos B，cos A=sin（90°－∠A）=sinB．（2）平方关系：sin 2A+cos2A=1．（3）倒数关系：tan A·tan B=1．（4）商数关系：sintancosAAA=．4．通过构造合适的图形，求15°和75°的三角函数值（如下表所示）5．求三角函数值的常用方法 ①根据特殊角的三角函数值求值． ②借助边的数量关系求值． ③借助等角求值． ④根据三角函数关系求值．本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法．三、全能突破基础演练1．（1）在△ABC 中，∠C =90°，cos B =25，AB =15，则BC 的长为（）．A ．B ．C ．6D ．23（2）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =1，AB ，则tan A 的值为（）．A ．5B ．5C ．12D ．22．如图28－1－1所示，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，sin A =35，则这个菱形的面积为（）cm 2．A ．40B ．60C ．80D ．1003．在平面直角坐标系中，已知点A （2，1）和点B （3，0），则sin ∠AOB 的值等于（）．A ．5B ．2C ．2D ．124．如图28－1－2所示，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC =AB =，则tan ∠BCD 的值为（）．AB ．2C ．3D ．35．点A （sin30°，－tan30°）关于原点对称点A 1的坐标是．6．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cos （A －15°－12|+（sin B ）2=0，则∠C = ．7．计算：201cos 60tan 30sin 60cos 45cos30sin 30tan 60-?胺??+??°（）（）．8．如图28－1－3所示，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8cm ，EF =2cm ．（1）求AO 的长．（2）求sin C 的值．能力提升9．已知a 为锐角，且1sin 22a <<，则a 的取值范围是（）． A ．0°＜a ＜30° B ．60°＜a ＜90° C ．45°＜a ＜60° D ．30°＜a ＜45° 10．直线y =2x 与x 轴正半轴的夹角为a ，那么下列结论正确的是（）． A ．tan a =2B ．cot a =2C ．sin a =2D ．cos a =211．如图28－1－4所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF =2，BC =5，CD =3，则tan C 等于（）．A ．34B ．43C ．35D ．4512．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足a 2－ab －b 2=0，则tan A =（）．A ．1B ．2C ．12- D ．12± 13．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28－1－5所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）．A 1B 1+C ．2.5D 14．（1）如图28－1－6所示，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的格点上，则sin ∠A 的值为．（2）如图28－1－7所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是．．．15．（1）如图28－1－8所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC =2，则cos B 的值为．（2）如图28－1－9所示，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段的长．16．如图28－1－10所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线与BC 、AB 的交点分别为D 、E ．（1）若AD =10，sin ∠ADC =45，求AC 的长和tan B 的值．（2）若AD =1，∠ADC =a ，参考（1）的计算过程直接写出tan 2a的值（用sin a 和cos a 的值表示）．17．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于x 的一元二次方程a （1－x ）2+2bx +c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且3c =a +3b ．（1）判断△ABC 的形状．（2）求sin A ·sin B 的算术平方根．18．当0°＜a ＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A ．2sin （a +30°）=sin aB ．2sin （a +30°）=2sin aC ．2sin （a +30°）a +cos a （1）正确的选项是．（2）如图28－1－11（a ）所示，在△ABC 中，AC =1，∠B =30°，∠A =a ，请利用此图证明（1）中的结论．（3）两块分别含45°和30°的直角三角板按图28－1－11（b ）所示方式放置在同一平面内，BD =S △AD C ．中考链接19．（2013·四川乐山改编）如图28－1－12所示，定义：在Rt △ABC 中，锐角a 的邻边与对边的比叫做角a 的余切，记作cot a ，即cot ==ACBC角的邻边角的对边a a a ，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）cot 30°= ．（2）已知3tan =4A ，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．（3）已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图像上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图像上，且OA ⊥OB ，cot A =3，直接写出k 的值．20．（2013·广东湛江改编）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos 30°sin 230°+cos 230°= ．①sin45°=2，cos 30°=2，则sin 245°+cos 245°= ．②sin60°=2，cos 30°=12，则sin 260°+cos 260°= ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A +cos 2A = ．（1）如图28－1－13所示，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想．（2）已知：∠A为锐角（cos A＞0），且sin A=0.335，求cosA．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A、cos A是关于x的方程3x2－mx+1=0的两根，m为实数，则sin4A+cos4A= .巅峰突破21．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．A．B．2-C．0.3 D22．如图28－1－14所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC中点，将△ABC折叠，使点A与D点重合，若EF为折痕，则sin∠BED的值为，DEDF的值为．。

1锐角三角函数的计算

4.下列各式中一定成立的是（ A ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15°
5.sin80°，cos80°，tan80°的大小关系是( D ) A．tan80°＜cos80°＜sin80° B．cos80°＜tan80°＜sin80° C．sin80°＜cos80°＜tan80° D．cos80°＜sin80°＜tan80°
第一步：按计算器 tan 键；
第二步：输入角度值30，分值36 (使用 ° ′ 键″ )；
屏幕显示结果为 0.591 398 351
练一练：用计算器求sin24°37′18″的值,以下按键顺
序正确的是( A )
A. B. C. D.
例1 求下列各三角函数值: (结果保留两位小数) (1)sin 36°; (2)tan 50°26'37″.
1
60°
3 2
1 2
3
新课导入
问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时, 它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?
在Rt△ABC中,BC=ABsin 16°.
°..
思考： sin 16°如何求呢？
要解决这个问题，我们可以借助科2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
(1)求sin A的值; (2)求∠B的度数.(结果精确到1″) 解:(1)在Rt△ABC中, sin A BC 4 0.8 .

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后在计算器或计算机软件中选择对应的三角函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们就可以得到一个关于角度的函数值。将这些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用勾股定理推导得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意两边长度的比值等于这两边所夹角的正切值与第三边所对应角的正切值的比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三边相对应的角度，a、b、c 分别代表三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积之比。

锐角三角函数公式

锐角三角函数公式
锐角三角形函数公式如下：
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。

所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。

变化情况
1.锐角三角函数值都是正值。

2.当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。

锐角三角函数

锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c
a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c
b cos =∠=斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b
a tan =∠∠=的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a
b cot =∠∠=
的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
1cos sin 22=+A A
（3）倒数关系
tanA ∙tan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=A
A cos sin。

锐角三角函数公式和面积公式

锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边面积公式长方形，正方形以及圆的面积公式面积公式包括扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：S＝nπR^2÷360比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：C＝2R＋nπR÷180＝2×1＋135×3.14×1÷180＝2＋2.355＝4.355(cm)＝43.55(mm)扇形的面积：S＝nπR^2÷360＝135×3.14×1×1÷360＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)扇形还有另一个面积公式S=1/2lR其中l为弧长，R为半径三角形面积公式任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明：证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ha 2 = t 2 = －∴S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

解读锐角三角函数

锐角三角函数

冀教版数学九年级上册 锐角三角函数的计算

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锐角三角函数(余弦、正切)

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