2.1.1平面及其表示法1

否正确： 例1.判断下列命题是 否正确： 三点确定一个平面。 （1） 经过 三点确定一个平面。
（×）
条直线确定一个平面。 （2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A ∈ 直线a，点A ∈ 平面 α，则a ⊂ α . （×） 若点A 直线a 个公共点。 （4）平面 α与平面 β 相交，它们只有有限 个公共点。
作业： P56习题2.1A组 1，2，3（1）（2）
补充练习： 补充练习：
上的点，又点A 1、A为直线 l 上的点，又点A不在平面 内， _______个 则 与 的公共点最多有 _______个. 1
l α
α
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个 四条直线过同一点， 1或4或6 或 或 平面，则可以作_____________ _____________个不同的平面 平面，则可以作_____________个不同的平面 .
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α
观察下列问题，你能得到什么结论 ？ 观察下列问题，你能得到什么结论_？
B A C
α A
B C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.过不在同一直线上的三点
α
β
α
β
四.平面的表示方法： 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表 平面可以用希腊字母表示， 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。 点字母表示。
D C
α
β
A B
平面ABCD，平面 如：平面α ，平面 β ，平面 ，平面AC 平面BD等 平面 等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 用数学符号来表示点、 面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系： (1)点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 记为： 在直线a 点A在直线a上： 记为：A∈a 记为： 点B不在直线a上： 记为：B∈a 不在直线a (2)点与平面的位置关系： (2)点与平面的位置关系： 点与平面的位置关系 点A在平面 α 上, 记为： 记为：A∈α
l
α
A
B
1.如果一条直线上两点在 文字语言： 公理1. 文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线在 此平面内（ 此平面内（即这条直线上的所 有的点都在这个平面内）。 有的点都在这个平面内）。 图形语言： 图形语言：
α
l A B
符号语言： 符号语言：符号表示：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。 间是无限延伸的。
三.平面的画法： 平面的画法： （1）水平放置的平面： 2）垂直放置的平面： ）水平放置的平面： ）垂直放置的平面： （
ß a
通常把表示平面的平行四边形Байду номын сангаас锐角 画成45 画成 0
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 ）在画图时， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。 可以不画。
空间点、直线、平面的位置关系 空间点、直线、
观察长方体，你能发现长方体的顶点， 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱 所在的直线，以及侧面、 所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系 吗？ D′ 长方体由上下、前后、 长方体由上下、前后、
C′
A′
B′
左右六个面围成． 左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 有些面是平行的， 面是相交的； 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行， 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交， 线与面相交，每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线，等等． 内的直线，等等．
B A a
B
点B不在平面α 上, 记为：B∈α 记为：
α
A
(3)直线与平面的位置关系： (3)直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系
直线a 称直线a 直线a上的所有点都在平面α 上，称直线a 通过直线a.记为： a.记为 a 在平面α 内，或称平面α 通过直线a.记为： ⊂α 直线a 只有一个公共点A 直线a与平面 α 只有一个公共点A时，称直 相交。 记为： α 线a与平面α 相交。 记为：a∩ ＝A 直线a 没有公共点时，称直线a 直线a与平面 α 没有公共点时，称直线a与 平行。 记为： 平面 α 平行。 记为：a∩α＝φ 或 a∥α .
a a a
α
α
A
α
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 用数学符号来表示点、 面之间的位置关系：
B B
b a
A
a
A
a
α
A
A∈a B∈a
A∈α B∈α
a ⊂α b∩α＝A
α
α
a∩α ＝φ 或 a∥α
典型例题
如图，用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系． 面之间的位置关系．
文字语言： 文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言： 图形语言：
β
α
P
l
符号语言： 符号语言：
P ∈ α且P ∈ β ⇒ α ∩ β = l且P ∈ l
α 内且平行于直线 m.
B A
α
β
a m
α
a
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α 桌面
A
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面 公理1.如果一条直线上的两点在一个平面 1. 那么这条直线在此平面内（ 内，那么这条直线在此平面内（即这条直 线上的所有的点都在这个平面内）。 线上的所有的点都在这个平面内）。
（×）
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.过不在同一直线上的三点
B
α
A
C
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面
A
α
l C
B
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 2.两条相交直线唯一确定一个平面 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 3.两条平行直线唯一确定一个平面
D
C
A B
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？ 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
一.平面的概念： 平面的概念： 光滑的桌面、 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象， 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征： 平面的特征：
β
a
α
A l
α
a l b P （2） ）
B
β
（1） ）
解：在（1）中， α I β = l, a Iα = A，a I β = B. 在（2）中， α I β = l, a ⊂α, b ⊂ β , a Il = P, b Il = P.
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 把下列语句用集合符号表示 （1）点A在平面α 内，点B不在平面 α 内，点A，B 都在直线 a上； 与平面β （2）平面α 与平面β相交于直线 m，直线 a 在平 面
文字语言： 文字语言： 公理2.过不在同一直线上的三点， 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只 2.过不在同一直线上的三点 有一个平面. 有一个平面. 图形语言： 图形语言：
B
α
A
C
符号语言： 符号语言：
A, B, C三点不共线 ⇒ 有且只有一个平面α 使A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α