能量方法

B y l
x F A l
∂M ( x) F =0 AB段：M ( x) = Fx 段 C EI ∂Q l ∂M ( y ) D =y BC段：M ( y ) = Fl + Qy 段 ∂Q ∂M ( y ) CD段：M ( y ) = Fl + F ( y − l ) + Qy 段 =y ∂Q l
4）求A点得水平位移 ） 点得水平位移 添加虚拟广义力Q。 添加虚拟广义力 。 Q 此时得同名载荷可不区分。 此时得同名载荷可不区分。
δ Ax
∂M ( x) 1 = ∫ M ( x) ∂Q dx EI 0
B y l F l D
x F A l Q
1 = {∫ Flydy EI 0
2l
l
C EI
+ ∫ [ Fl + F ( y − l )] ydy}
l
17 Fl = 6 EI
3
δAx>0，说明 Ax与相应的广义力Q同向。 同向。 ，说明δ 与相应的广义力 同向
2 FR = EI
∫
3
π
0
(1 − cos φ ) dφ
2
3πFR = EI
F3
F4
l 0
M 2 ( x ) dx dVε = 2 EI
Vε = ∫ dVε =
∫
l
0
M 2 ( x) dx 2 EI
求图示悬臂梁内积聚的应变能， 梁的EI已知 已知。 例 ： 求图示悬臂梁内积聚的应变能 ， 梁的 已知 。
q
A l y B x
解：
1 M ( x) = q(l − x) 2 2
Vε =
Fl l 1 = ( ∫ Fxxdx + ∫ Fzzdz ) + 2GI P 2 EI 0 0
5 Fl = 8EI
3
l/2
l
2
求圆环开口处的张开量。（曲杆的EI已知 。（曲杆的 已知） 例 求圆环开口处的张开量。（曲杆的 已知） 一对大小相等、 解：一对大小相等、方向相反的力可以 F F 作为一个广义力， 作为一个广义力，相应的广义位移 R 为广义力作用截面的相对线位移。 为广义力作用截面的相对线位移。 1）写弯矩方程 ）
l
l
2
l
∂ 2 ∫ ∂Fi M ( x) dx 0
l
∂M ( x) 1 ∆i = ∫ M ( x) ∂Fi dx EI 0
截面的水平位移和铅垂位移。（各杆的EI已知 例 求A截面的水平位移和铅垂位移。（各杆的 已知） 截面的水平位移和铅垂位移。（各杆的 已知）
B y l F
C
） x FA 解：1）区分同名载荷 A 2）求弯矩方程 ）
广义力与广义位移的对应： 广义力与广义位移的对应： 对应 F1 1）同一点或同一截面， ）同一点或同一截面， F3 F2 F4 F1与∆1不对应。 不对应。 ∆2 ∆1 2）同种性质， ）同种性质， F1与∆2不对应。 不对应。 3）同种方位， ）同种方位， F4与∆1不对应。 不对应。
§3－3 卡氏定理
1 F作的总功为： W = ∫ d W = S = F × ∆l 作的总功为： 作的总功为 0 2 F 2l EA∆l 2 1 Fl 1 = = Vε = W = F × ∆l = F × 2l 2 EA 2 EA 2
∆l
C B
30° 45° 1m
求位移结点A的铅垂位移 求位移结点 的铅垂位移
A F
求位移AB的相对位移 求位移 的相对位移
1 1 1 外力功： 外力功：W = F × ∆ A + F × ∆ B = F × (∆ A + ∆ B ) 2 2 2 1 = F × ∆ AB 应变能： 应变能： 2 C
F A D B F
Vε = ∑ Vεi
i =1 =1
5
W = Vε
2 NAC AC
用卡氏定理求位移的解题步骤： 用卡氏定理求位移的解题步骤： 1）区分同名载荷，包括 与均布载荷集度 和力 ）区分同名载荷，包括P与均布载荷集度 与均布载荷集度F/a和力 等中的F同名 偶Fa等中的 同名； 等中的 同名； 2）添加与所求广义位移相对应的虚拟广义力； ）添加与所求广义位移相对应的虚拟广义力； 3）分段求轴力、扭矩和弯矩方程，以及它们对广 ）分段求轴力、扭矩和弯矩方程， 义力的偏导数； 义力的偏导数； 4）代入积分表达式，恢复同名载荷，令虚拟广义 ）代入积分表达式，恢复同名载荷， 力为零； 力为零； 5）积分求位移，注意积分区间与坐标系的统一。 ）积分求位移，注意积分区间与坐标系的统一。
l
C EI l D
∂M ( x) =x AB段：M ( x) = FA x 段 ∂FA ∂M ( y ) =l BC段：M ( y ) = FAl 段 ∂FA
CD段：M ( y ) = FAl + FC ( y − l ) 段
∂M ( y ) =l ∂FA
3）求A点得铅垂位移 ） 点得铅垂位移
B y l F C l D l x FA A
∫
l
0
M 2 ( x) dx = 2 EI
l
∫
l
0
q 2 (l − x ) 4 dx 8 EI
q2 = 8 EI
q 2l 5 (l − x ) 4 d x = ∫0 40 EI
二、广义力和广义位移
1 Vε = F∆l 2
1 Vε = Tφ 2
1 Vε = Mθ 2
1 Vε = F∆ 2
F称为广义力，可以代表集中力、集中力偶，分 称为广义力，可以代表集中力、集中力偶， 称为广义力 布力、一对集中力或一对集中力偶。 布力、一对集中力或一对集中力偶。 ∆称为广义位移，可以代表线位移、角位移，两 称为广义位移， 称为广义位移 可以代表线位移、角位移， 点之间的相对线位移或两个截面的相对角位移。 点之间的相对线位移或两个截面的相对角位移。
l
δ Ay
∂M ( x) 1 ∂M t ( x) 1 = ∫ M ( x) ∂F dx + GI P ∫ M t ( x) ∂F dx EI 0 0
l
δ Ay
1 = EI
l/2
1 ∂M ( z ) ∂M ( x) ∫ M ( x) ∂F dx + EI ∫ M ( z ) ∂F dz 0 0
l
M t ( z )l ∂M t ( z ) + EI P ∂F
第3章 能量法
§3－2 应变能
一、应变能 S F F F l ∆l W=F×∆l W=F × S
应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 应变能 弹性体受力而变形时所积蓄的能量 应变能 外力功
F l ∆l
F F
Fl ∆l = EA
O
d∆
F
∆l
∆l
F在d∆上所作微功: dW = F d∆l = dS 在 上所作微功:
F l = 4× 2 EA1
2 NCD CD
2 NAC AC
2 FNCD lCD + 2EA2
1 F l F l F × ∆ AB = 4 × + 2 2 EA1 2 EA2
内力 拉压： 拉压： FN 拉压： 拉压：M t 弯曲： 弯曲： M
变形
应变能
2 2
F l EA∆l FN l 1 Vε = F∆l = = ∆l = 2 2 EA EA 2l 2 2 T l GI Pφ 1 M tl = Vε = Tφ = φ= 2GI P 2 GI P 2l 2 Ml M l EI zθ 2 1 θ= Vε = Mθ = = EI z 2 2 EI z 2l
δ Ay
1 ∂M ( x) = ∫ M ( x) ∂FA dx EI 0
l
C EI
1 = {∫ Fxxdx + ∫ Flldx EI 0 0 3 2l 17 Fl + ∫ [ Fl + F ( y − l )]ldy} 应的广义力FA同向。 ，说明δ 与相应的广义力 同向。
1 外力功： 外力功： W = F × ∆ A 2 应变能： 应变能：Vε = Vε1 + Vε2
F l F l + = 2EA1 2EA2 W = Vε
2 2 1 FN1l1 FN 2l2 F ×∆A = + 2 2 EA1 2 EA2 2 N1 1
0.8m
2 N2 2
只能求沿着F方向的位移或位移分量。 只能求沿着 方向的位移或位移分量。 方向的位移或位移分量
F FS φ M FN
2）求位移 ）
=0 M (φ ) = FR(1 − cos φ ) ∂M (φ ) = R (1 − cos φ ) ∂F
C
∑M
1 δ= EI
∂M (φ ) ∫0 M (φ ) ∂F ds
l
2 = EI
∫
π
0
3
FR (1 − cos φ ) R (1 − cosφ ) Rdφ
点的铅垂位移。（已知各杆的EI=GIP ） 例 求A点的铅垂位移。（已知各杆的 点的铅垂位移。（已知各杆的 ） C 解：1）区分同名载荷 2）添加虚拟广义力 ） l F 3）求内力 ） B l/2 A
Fl M t ( z) = 2
4）求位移 ）
∂M ( x) AB段： ( x) = Fx 段 M =x ∂F ∂M ( z ) BC段： ( z ) = Fz 段 M =z ∂F ∂M ( z ) l = ∂F 2
线弹性， 1）线弹性， 的范围内其余三个量均为常量， 2）在计算长度 l 的范围内其余三个量均为常量， 应变能不能对载荷分组叠加。 3）应变能不能对载荷分组叠加。
＝ F1 F1
＋
FN = FN1 + FN 2
∆l = ∆l1 + ∆l2