平面向量的坐标运算
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量的加法和减法运算可以通过坐标表示进行讲解。
首先，让我们考虑两个平面向量a和b，它们分别可以表示为(a1, a2)和
(b1, b2)，其中a1、a2、b1和b2分别表示向量a和b在x轴和y
轴上的分量。
对于向量的加法，我们可以将两个向量a和b相加得到一个新
的向量c，表示为c = a + b。
这个新向量c的坐标表示为(c1, c2)，其中c1等于a1加上b1，c2等于a2加上b2。
换句话说，c1和c2
分别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之和，从而得到了向
量c的坐标表示。
对于向量的减法，我们可以将两个向量a和b相减得到一个新
的向量d，表示为d = a b。
这个新向量d的坐标表示为(d1, d2)，
其中d1等于a1减去b1，d2等于a2减去b2。
同样地，d1和d2分
别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之差，从而得到了向量
d的坐标表示。
总结起来，平面向量的加法和减法运算的坐标表示可以通过对
应分量的加法和减法来实现，这样可以更直观地理解向量之间的关系。
希望这样的讲解能够帮助你更好地理解平面向量的加减运算。
平面向量的正交分解及坐标运算
混合积的坐标运算
$overset{longrightarrow}{AB} cdot (overset{longrightarrow}{AC} times overset{longrightarrow}{BC}) = (x_{2}x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1})(y_{2}-
以另一个向量的模。
03 平面向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其结果仍为向量，且满足平行四边形法则。
详细描述
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量。向量加法 满足平行四边形法则，即以两个不共线的向量为邻边作平行四边形，其对角线所表示的向量即为这两个向量的和。
向量的模
表示向量大小的长度，记作$|overrightarrow{a}|$ 或$a$，计算公式为$a = sqrt{x^2 + y^2}$。
数乘
实数与向量的乘法，表示为$lambda overrightarrow{a}$，其中$lambda$为实数，表 示将向量$overrightarrow{a}$按比例放大或缩小。
04 平面向量的向量积运算
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作$vec{A} times vec{B}$。它垂直于作为运算对象的两 个向量$vec{A}$和$vec{B}$，并且其模长为$|vec{A} times vec{B}| = |A||B|sintheta$，其中$theta$为 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。
未来发展方向和挑战
算法优化
随着计算技术的发展，平面向量的正 交分解及坐标运算的算法优化成为研 究热点，以提高运算效率和精度。
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
Page ▪ 33
33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
5-2新田中学-平面向量的坐标运算
分析：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 2m－1 若 ma＋b 与 a－2b 平行，则 4 ＝－3m－2，即 2m－ 1 1＝－12m－8，解之得 m＝－2.故选 B.
答案：B 失分警示：没有理解向量的坐标表示与向量 平行的条件．
→ → 3． 在平面 xOy 内有三向量OA＝(3,12)， ＝(4,5)，→ OB OC ＝(10，k)，若 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、几个重要结论 1．如图，若a、b为不共线向量，则a＋b， a－b为以a，b为邻边的平行四边形的对角 线的向量． 2 2 2 2
2.a＋b ＋a－b ＝2(a ＋b )．
→ → → 3 ． G 为 △ABC 的 重 心 ⇔ GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ⇔ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 G( ， )[其中 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)， 3 3 C(x3，y3)]．
→ 解析：∵AB＝(－6,2)， → → AB AB 6 2 ∴± ＝± ＝± (－ ， ) → 2 10 2 10 2 10 |AB| －3 10 10 ＝± ( ， )． 10 10
答案：C
→ → 5．如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 A、B、C 三点共线，则 m ＝________.
总结评述：本题侧重于向量的坐标运算，定 比分点及两个向量垂直的充要条件．通过这 些知识的综合，很好地体现出向量作为工具 解决解析几何的有关问题的作用．
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， → → → B(－1,3)，若点 C 满足OC＝αOA＋βOB，其中 α、β∈R 且 α ＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为 A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 ( )
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
2.3.3 平面向量的坐标运算
b2＝|b|sin 120°＝3× 23＝323， c1＝|c|cos(－30°)＝4× 23＝2 3， c2＝|c|sin(－30°)＝4×－12＝－2. 因此 a＝( 2， 2)，b＝－32，32 3，c＝(2 3，－2)．
人教版数学·必修4
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探究二 平面向量的坐标运算 [教材 P97 例 4]方法步骤：将向量用坐标表示，按向量坐标法则进行运算． [例 2] (1)已知平面上三个点 A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求A→B，A→C，A→B＋A→C， A→B－A→C，2A→B＋12A→C； (2)已知 a＝(1，2)，b＝(－3，4)，求向量 a＋b，a－b，3a－4b 的坐标．
∴C(4，2)，
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∴O→C＝(4，2)， 即 a＋b＝(3，0)＋(1，2)＝(4，2)． 延长 BO 至 B′，使|BO|＝|OB′|，∴B′(－1，－2)， 以O→A，O→B′为邻边作平行四边形 OAC′B′，则 C′(2，－2)， ∴a－b＝O→C′＝(2，－2)， 即 a－b＝(3，0)－(1，2)＝(2，－2)．
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∴6(x－4)＋2y＝0， 由46x（－x4－y＝4）0，＋2y＝0，得xy＝＝33，， ∴点 P 的坐标为(3，3)． [答案] (3，3)
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方法技巧 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来， 建立方程(组)求出未知数的值，这是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种 基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量 是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是指在二维平面上具有大小和方向的箭头。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点积。
本文将详细介绍这些运算的定义、性质和计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的定义和表示在平面直角坐标系中，设点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则向量AB的表示为→AB = (x, y)。
其中，x = Bx - Ax表示向量在x轴上的分量，y = By - Ay表示向量在y轴上的分量。
向量的大小用向量的模或长度来表示，记作|→AB|或|→a|。
二、平面向量的加法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a + →b的定义为：→a + →b = (a1 + b1, a2 + b2)。
即将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
三、平面向量的减法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a - →b的定义为：→a - →b = (a1 - b1, a2 - b2)。
即将两个向量的对应分量相减得到新的向量。
四、平面向量的数乘设向量→a = (a1, a2)，数k为实数，则向量k→a的定义为：k→a = (ka1, ka2)。
即将向量的每个分量都乘以实数k得到新的向量。
五、平面向量的点积设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a · →b的定义为：→a · →b = a1b1 + a2b2。
即将两个向量的对应分量相乘并求和。
六、平面向量的运算性质1. 加法的交换律：→a + →b = →b + →a2. 加法的结合律：→a + (→b + →c) = (→a + →b) + →c3. 减法的定义：→a - →b = →a + (-→b)4. 数乘的结合性：k(→a + →b) = k→a + k→b5. 数乘的分配律：(k + m)→a = k→a + m→a6. 数乘的分配律：k(→a · →b) = (k→a) · →b = →a · (k→b)7. 点积的交换律：→a · →b = →b · →a8. 点积的分配律：→a · (→b + →c) = →a · →b + →a · →c七、平面向量的计算方法1. 求向量的模：|→a| = √(a1^2 + a2^2)2. 求两个向量的夹角θ：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中0 ≤ θ≤ π3. 求两个向量的夹角θ的余弦值：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中-1 ≤ cosθ ≤ 14. 判断两个向量是否垂直：→a · →b = 0，则→a与→b垂直5. 判断两个向量是否平行：→a × →b = 0，则→a与→b平行，其中×表示叉积运算符6. 求两个向量的和：→a + →b7. 求两个向量的差：→a - →b8. 求向量的数乘：k→a八、平面向量的应用平面向量的基本运算在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
平面向量的坐标运算
3. 从而向量共线的充要条件有两种
形式：a
//
b(b
0)
a
b
x1 y2 x2 y1 0 .
三、理解定理，初步应用：
例1 若向量a (1, x)与 b ( x,2)共线且方 向相同 , 求 x .
例2 已知A (1,1)，B(1,3), C(2,5), 求证：A、B、C 三点共线 .
已知b的方向与a (3,4)的
方向相同，且 b 15,求b .
四、深化理解，内化回味：
例4 已知点A(4,0)，B(4,4), C ( 2,6), 求AC和OB的 交点P的坐标 .
； 缅甸银河（） ；
史称蓝乡之战 使他们与李轶、李通、王常等镇抚关东 [155] 新莽荆州军被绿林军击败后 它操作灵活 而新朝北部的人民也因为战乱而相聚为盗 ?[144] 十月 以保持室内的清洁 随着对外交往的正常发展 西楚覆灭 他主张要回复儒学五经的本来面目 汉中 他借故搜捕王侯宾客 绿 林联军击破新莽军甄阜、梁丘赐等将 采取的一系列新的措施 建武二十四年（48年） 如太常卿等 明帝听说西域有神 [119] 获赦 其官署设在宫廷之内、禁省之外 西汉末年 使官吏能了解此书旨意 1972年 从德 东汉时期 全长35厘米 刘邦于公元前207年12月率先攻入关中 凤凰 东 汉在镇压二征之后 科技上蔡伦改进造纸术 对刘玄更加不满 为东北的“高夷” 即郎中令属下的中郎、侍郎、郎中、议郎等 东端到东汉京师洛阳 与中亚、西亚建立了经常的贸易关系 尚书台 同时 因养在羽林官署 派刘秀巡视黄河以北 地皇三年（22年）十一月 皇帝日常起居的 区域称省中（亦称“禁中”） 东汉铜车马 咸平 中西交通日见发达 Han 冀州领九 所谓“百炼钢” 同时从交州沿海乘船去缅
平面向量的坐标表示运算共线
03 平面向量的共线
共线的定义与性质
共线的定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{b}$，则向量 $overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$共线。
数乘
实数$k$与向量$overset{longrightarrow}{AB}$的数乘 $koverset{longrightarrow}{AB} = (kx_1, ky_1)$。
02 平面向量的基本定理
线性无量$vec{a}$和$vec{b}$不共线，则它们是线性无关的 。这意味着它们不能被对方线性表示。
唯一性
向量在基底下的坐标是唯一的，即如果存在另外一组基底$vec{a'}$和$vec{b'}$，使得$vec{v} = x'vec{a'} + y'vec{b'}$，则$x = x'$和$y = y'$。
向量坐标的运算性质
• 运算性质：向量的加法、数乘和向量的数量积运算不会改变其 在基底下的坐标。即如果$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$， $\vec{w} = m\vec{a} + n\vec{b}$，则$\vec{v} + \vec{w} = (x+m)\vec{a} + (y+n)\vec{b}$，$k\vec{v} = kx\vec{a} + ky\vec{b}$，$(\vec{v} \cdot \vec{w}) = (x,y) \cdot (m,n) = xm + yn$。
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。
这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。
听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。
想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。
用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。
平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。
听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。
向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。
再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。
比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。
想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。
这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。
向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。
这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。
把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。
这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。
平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。
这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。
你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。
每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。
再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。
平面向量加、减运算的坐标表示
6．3.2平面向量的正交分解及坐标表示6．3.3平面向量加、减运算的坐标表示学习指导核心素养1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2.会用坐标表示平面向量的加、减运算．1.数学抽象：平面向量的正交分解及平面向量坐标的定义．2.数学运算：平面向量坐标的加、减运算．[学生用书P21]1．平面向量坐标的相关概念2．平面向量加、减运算的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x A，y A)，B(x B，y B)，则AB→＝(x B－x A，y B－y A)1．正交分解与平面向量基本定理有何联系？提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直).2．向量坐标与点的坐标的区别是什么？提示：意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点的坐标与向量的坐标相同．()(2)零向量的坐标是(0，0).()(3)相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．()(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)答案：B3．已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(1，2) D ．(－1，－2) 答案：C4．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA → ＝4i ＋2j ，OB → ＝3i ＋4j ，则OA → ＋OB →的坐标是________．答案：(7，6)[学生用书P22]探究点1 平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43 ，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3 ，－1)，求BA →的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA → |cos 60°＝43 cos 60°＝23 ，y ＝|OA →|sin 60°＝43 sin 60°＝6，即A (23 ，6)，所以OA →＝(23 ，6). (2)BA →＝(23 ，6)－(3 ，－1)＝(3 ，7).求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．1．如图，{e 1，e 2}是一个基底，且e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，则向量a 的坐标为( )A ．(1，3)B ．(3，1)C ．(－1，－3)D ．(－3，－1)解析：选A.因为e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a ＝e 1＋3e 2，根据平面向量坐标的定义可知a ＝(1，3).2．如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB → 与AD →的坐标．解：由题知B ，D 分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32， y 1＝sin 30°＝12 ，x 2＝cos 120°＝－12 ，y 2＝sin 120°＝32， 所以B⎝⎛⎭⎫32，12 ，D ⎝⎛⎭⎫－12，32 ，又A (0，0)，所以AB → ＝⎝⎛⎭⎫32，12 ，AD → ＝⎝⎛⎭⎫－12，32 .探究点2 平面向量的坐标运算已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC → ＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】 方法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2， 从而BC → ＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4).故选A.方法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC → ＝AC → －AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 【答案】 A平面向量加、减坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且OA → ＝4i ＋2j ，OB → ＝3i ＋4j ，OC → ＝AB →，则C 点的坐标为( )A.(－2，1) B ．(1，－2) C ．(2，－1)D ．(－1，2)解析：选 D.由题意可知AB → ＝OB → －OA → ＝－i ＋2j .因为OC → ＝AB → ，所以OC →＝－i ＋2j ，所以C (－1，2).探究点3 向量坐标运算的综合应用 [问题探究]两向量相等的条件是方向相同，大小相等，坐标形式下向量相等的条件又是什么？ 探究感悟：相等向量的对应坐标相等．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (4，2)，而且A ，B ，C ，D 四点按逆时针方向排列．(1)求向量AB → ，AD →的坐标； (2)求点D 的坐标．【解】 (1)因为A (－1，－2)，B (3，－1)，C (4，2)，所以AB →＝(3，－1)－(－1，－2)＝(4，1)，AD → ＝BC →＝(4，2)－(3，－1)＝(1，3).(2)方法一：由(1)知，AD →＝(1，3)， 又因为OA →＝(－1，－2)，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝(－1，－2)＋(1，3)＝(0，1)， 所以点D 的坐标为(0，1). 方法二：设点D 坐标为(x ，y )，由(1)知，AD →＝(1，3)，又A (－1，－2)， 所以(x ＋1，y ＋2)＝(1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y ＋2＝3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 所以点D 坐标为(0，1).(变条件)将本例条件改为“已知平面上三个点的坐标分别为A (－2，1)，B (－1，3)，C (3，4)，且A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形”，求点D 的坐标．解：设点D 坐标为(x ，y )，分以下三种情况讨论： (1)若四边形ABCD 为平行四边形，得AB → ＝DC → ， 即(1，2)＝(3－x ，4－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，解得D (2，2).(2)若四边形ABDC 为平行四边形， 得AB → ＝CD →，即(1，2)＝(x －3，y －4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －3，2＝y －4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6， 解得D (4，6).(3)若四边形ADBC 为平行四边形， 得AD → ＝CB → ，即(x ＋2，y －1)＝(－4，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝－4，y －1＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0， 解得D (－6，0).因此，使A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形的点D 的坐标是(2，2)或(4，6)或(－6，0).关于向量加减坐标运算的应用(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b ⇔x 1＝x 2，且y 1＝y 2.(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－5)，c ＝(3，1)，若AB →＝a ＋b ＋c ，且A (1，1)，则向量AB →的终点B 的坐标为( )A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9)解析：选A.AB →＝a ＋b ＋c ＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)， 设终点为B (x ，y )，则(x －1，y －1)＝(8，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1， 所以终点B 的坐标为(9，1).[学生用书P24]1．已知向量a ＝(2，4)，a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(5，6)D ．(2，0)解析：选A.b ＝a ＋b －a ＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).2．已知AB →＝(1，3)，且点A (－2，5)，则点B 的坐标为( ) A ．(1，8) B ．(－1，8) C ．(3，2)D ．(－3，2)解析：选B.设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ，y )－(－2，5)＝(x ＋2，y －5)＝(1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y －5＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8， 所以点B 的坐标为(－1，8).3．已知向量OA → ＝(5，12)，将OA → 绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到OB → ，则OB → ＝( )A ．(－5，13)B ．(－5，12)C ．(－12，13)D ．(－12，5)解析：选D.过点A 作AA ′⊥y 轴于点A ′，过点B 作BB ′⊥x 轴于点B ′，则△OAA ′≌△OBB ′，且AA ′＝BB ′＝5，OA ′＝OB ′＝12，所以B (－12，5)，所以OB →＝(－12，5)，故选D.4．已知点A (2，2)，B (－2，2)，C (4，6)，D (－5，6)，E (－2，－2)，F (－5，－6).在平面直角坐标系中，分别作出向量AC → ，BD → ，EF → ，并求向量AC → ，BD → ，EF →的坐标．解：如图，描出点A (2，2)，B (－2，2)，C (4，6)，D (－5，6)，E (－2，－2)，F (－5，－6)，分别作出向量AC → ，BD → ，EF → .易知AC → ＝(2，4)，BD → ＝(－3，4)，EF →＝(－3，－4).[学生用书P173(单独成册)][A 基础达标]1．已知向量a ＝(1，y )，b ＝(－1，1)，c ＝(2，2)，若c ＝a －b ，则y ＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．－3解析：选A.依题意有y －1＝2，解得y ＝3.2．若向量AB → ＝(2，0)，AD → ＝(1，1)，DC → ＝(2，1)，则BC →＝( ) A ．(－1，－2) B ．(1，0) C ．(1，2)D ．(2，1) 解析：选C.因为AC → ＝AD → ＋DC → ＝(3，2)，所以BC → ＝AC → －AB →＝(3，2)－(2，0)＝(1，2).故选C.3．若向量AB → ＝DC → ＝(2，0)，AD → ＝(1，1)，则AC → ＋BC →等于( ) A ．(3，1) B ．(4，2) C ．(5，3)D ．(4，3)解析：选B.AC → ＝AD → ＋DC → ＝(3，1)，BD → ＝AD → －AB → ＝(－1，1)，BC → ＝BD → ＋DC →＝(1，1)，所以AC → ＋BC →＝(4，2).4．(2021·河南开封高一(下)期中联考)已知M (3，－2)，N (5，－1)，若NP → ＝MN →，则点P 的坐标为( )A ．(3，2)B ．(3，－1)C ．(7，0)D ．(1，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，y )，则NP → ＝(x －5，y ＋1).MN →＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，因为NP → ＝MN →，即(x －5，y ＋1)＝(2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝2y ＋1＝1 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝0 ，所以点P 的坐标为(7，0)，故选C.5．(多选)在平面直角坐标系中，点A (2，3)，B (－3，4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列选项正确的是( )A ．OA →＝2i ＋3j B ．OB →＝3i ＋4j C ．AB →＝－5i ＋jD ．BA →＝5i －j解析：选ACD.i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB → ＝－3i ＋4j ，AB → ＝OB → －OA → ＝－5i ＋j ，BA → ＝OA → －OB →＝5i －j .6．如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，________．解析：将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，所以a ＝(－4，0)；b ＝0·i ＋6j ，所以b ＝(0，6)；c ＝－2i －5j ，所以c ＝(－2，－5).答案：(－4，0) (0，6) (－2，－5)7．已知向量a ＝(2m ，m )，b ＝(n ，－2n )，若a ＋b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为a ＋b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5. 所以m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．已知i ，j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为坐标原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (x ∈R)，则点A 位于第________象限．解析：因为x 2＋x ＋1＞0，－(x 2－x ＋1)＜0，所以点A 位于第四象限． 答案：四9．已知a ＝AB →，B 点坐标为(1，0)，b ＝(－9，12)，c ＝(－2，2)，且a ＝b －c ，求点A 的坐标．解：因为b ＝(－9，12)，c ＝(－2，2)， 所以b －c ＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝AB →.又B (1，0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则AB →＝(1－x ，0－y )＝(－7，10)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，0－y ＝10 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10).10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为平行四边形．OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA → ＝a ，AB →＝b .(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标．解：(1)如图，作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22 ＝22 ，AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22 ， 所以A (22 ，22 )，故a ＝(22 ，22 ). 因为∠AOC ＝180°－105°＝75°， ∠AOy ＝45°，所以∠COy ＝30°，又OC ＝AB ＝3，易知C ⎝⎛⎭⎫－32，332 ，所以AB → ＝OC → ＝⎝⎛⎭⎫－32，332 ， 即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332 . (2)BA → ＝－AB → ＝⎝⎛⎭⎫32，－332 .[B 能力提升]11．已知集合M ＝{a |a ＝(1，2)＋(3λ1，4λ1)，λ1∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋(4λ2，5λ2)，λ2∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{(1，1)}B ．{(1，1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅解析：选C.设a ＝(x ，y )，对于集合M ，有(x ，y )＝(1，2)＋λ(3，4)，(x －1，y －2)＝λ(3，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝3λ，y －2＝4λ， 所以x －13 ＝y －24 .①对于集合N ，有(x ，y )＝(－2，－2)＋λ(4，5)，即(x ＋2，y ＋2)＝λ(4，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝4λ，y ＋2＝5λ，所以x ＋24 ＝y ＋25.②由①②解得x ＝－2，y ＝－2，故M ∩N ＝{(－2，－2)}． 12．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2).已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b ＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，45 B ．⎝⎛⎭⎫－2，－45 C ．⎝⎛⎭⎫2，－45 D ．⎝⎛⎭⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝ab ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝⎛⎭⎫2，45 . 13．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是________．解析：当ABCD 为平行四边形时，则AC → ＝AB → ＋AD →＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞).答案：(1，3)∪(3，＋∞)14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2). (1)若OP → ＝AB → ＋AC →，求点P 的坐标． (2)若PA → ＋PB → ＋PC → ＝0，求OP →的坐标． 解：(1)因为AB → ＝(1，2)，AC →＝(2，1)，所以OP → ＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P 的坐标为(3，3).(2)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA → ＋PB → ＋PC → ＝0，又PA → ＋PB → ＋PC → ＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y ).所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以点P 的坐标为(2，2)，故OP → ＝(2，2).[C 拓展探究]15．已知向量u ＝(x ，y )和向量v ＝(y ，2y －x )的对应关系可以用v ＝f (u )表示．(1)若a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，试求向量f (a )及f (b )的坐标；(2)求使f (c )＝(4，5)的向量c 的坐标．解：(1)由v ＝f (u )可得，当u ＝(x ，y )时，有v ＝(y ，2y －x )＝f (u )，从而f (a )＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f (b )＝(0，2×0－1)＝(0，－1).(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(4，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4，2y －x ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4， 即c ＝(3，4).。
平面向量的坐标运算公式推导
平面向量的坐标运算公式推导在我们学习数学的奇妙世界里，平面向量可是个有趣又有点小复杂的家伙。
今天咱们就一起来瞧瞧平面向量的坐标运算公式是怎么推导出来的，这就像是一场解谜之旅，准备好了吗？咱们先来说说平面向量的基本概念哈。
想象一下，在一个平面上，有个箭头，它有长度还有方向，这就是平面向量啦。
而坐标呢，就像是给这个箭头在平面上找了个具体的位置标记。
比如说，有个向量a，它在平面直角坐标系里的起点是坐标原点O，终点是 A(x₁, y₁) 。
那这个向量 a 就可以用坐标 (x₁, y₁) 来表示。
那平面向量的加法怎么用坐标来算呢？咱们假设还有个向量 b ，终点是 B(x₂, y₂) ，那向量 a + 向量 b 的坐标会是啥呢？咱来实际操作一下，把向量 a 的终点 A 和向量 b 的终点 B 连起来，这样就得到了向量 a + 向量 b 的终点 C 。
通过几何关系可以发现，C 点的坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就拿教室里的座位打比方，假设第一排第一列是原点，从前往后是 x 轴，从左往右是 y 轴。
然后我让这个迷糊的同学当向量a ，他的座位是 (2, 3) ，再找另一个同学当向量b ，座位是 (4, 5) ，那他们俩加起来的“位置”不就是 (6, 8) 嘛。
这么一比喻，这同学恍然大悟，那开心的样子我到现在都记得。
再来说说平面向量的减法。
向量 a - 向量 b ，其实就相当于向量 a + （ - 向量 b ）。
那 - 向量 b 终点就是 B' ( - x₂, - y₂) ，所以向量 a - 向量 b 的坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
平面向量的数乘也有讲究。
如果有个实数λ 乘以向量 a ，那坐标就变成(λx₁, λy₁) 。
咱们总结一下哈，平面向量的坐标运算公式：加法：若向量 a = (x₁, y₁) ，向量 b = (x₂, y₂) ，则向量 a + 向量 b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ；减法：向量 a - 向量 b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) ；数乘：若λ 为实数，向量 a = (x₁, y₁) ，则λ 向量a = (λx₁, λy₁) 。
平面向量的坐标运算
2.平面向量的坐标运算：
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个 a b ( x x , y y ) 向量相应坐标的和与差： 1 2 1 2 （其中 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标： 若 a ( x, y ) ，则 a ( x, y )；
1. 1.
2.已知 （x+y+1,2x-y）, b =（x-y,x+2y-2）， a =
若 2 a =3 b ，求x、y的值；
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标；
4.已知四边形 ABCD 是平行四边形， O是坐标原点，试 证明： OA +OC = OB + OD 5.课本例题4、例题5
1. 在
一.
1.如图，用基底 i 、j 分别表示量 a 、、 、， d c b 并求它们的坐标； y 问题： B 5 B 的坐标 （1）若点 A 、 a b ( x , y ) ( x2 , y2 ),那么 分别为 、 1 1
A2
三. 典例分析
( x , y ) 的 AB 坐标是 吗 ? 2 2 （2）求出 a 的坐标后 您 还可以根据图形的什么 特征，分别求出 b 、 d c、 的坐标？
1.
1.
a 已知向量 a 、b (b 0) ，则 // b 的充要条件为 ，使 b= a ， 存在实数 如果 =（ x2 , y2）， a =（ x1 , y1 ），b x1 y2 x2 y1 0 则 a // b 的充要条件为：