求解SAT问题的拟人退火算法
模拟退火算法详解讲解共54页文档
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51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟4、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
模拟退火算法详解讲解
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法是一种基于概率的算法，来源于固体退火原理。
下面以一个简单的例子来说明模拟退火算法：
想象一个有十个元素的数组，代表一个能量状态，每个元素都有一个能量值。
开始时，所有元素都处于最高能量状态。
我们的目标是找到最低能量的状态，即最优解。
模拟退火算法的工作原理如下：
1. 从最高温度开始，逐渐降低温度。
在每个温度下，算法会尝试各种元素的组合方式，并计算其能量。
2. 在温度较高时，算法会尝试各种组合，并接受能量增加的“移动”，因为这些增加的能量对应于更高的温度，所以被接受的概率更大。
3. 随着温度的降低，算法开始更多地考虑能量的减少。
如果一个状态比前一个状态的能量更低，那么它一定会被接受。
但如果一个状态的能量比前一个状态的能量高，那么它会被以一定概率接受。
这个概率随着温度的降低而减小。
4. 重复上述过程，直到达到终止温度。
这时，算法已经找到了最低能量的状态。
模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。
这是因为算法在搜索过程中会接受一些次优解（即能量增加的“移动”），以便跳出局部最优解，探索更广阔的解空间。
以上内容仅供参考，如果需要更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
模拟退火算法简介与实例
模拟退火算法简介与实例2010-07-10 12:30:55| 分类：algorithms | 标签：|字号大中小订阅摘要模拟退火算法是S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和M. P. Vecchi 在1983年所发明。
是一种典型的概率模拟算法（Monte Carlo算法），其基本想想与冶金上的退火有相似之处，在一个相当大的空间内搜索最优解，而每次只搜索与自己临近的状态。
此算法被证明以接近概率1接近最优解。
其中有较好的物理思想，是模拟类算法中的典范。
模拟退火算法由于要计算相临状态，这与Ising模拟的计算模拟有相似之处，因此本文也将对Ising做一个介绍。
本文介绍算法的基本思想并做一个例子求解TSP问题（旅行商问题），重在介绍算法思想，具体算法的优化与改进不是本文涵盖范围。
1. Ising模型Ising模型描述的是物体的铁磁性质，在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
1.1模型描述这个模型所研究的系统是由N个阵点排列成n维周期性点阵，这里n=2。
点阵的几何构形可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或-1的自旋变量i,如果i＝+1,即第N个阵点的自旋向上；如i＝-1，即第个N阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变量（这里i＝2）来确定，如下图所示图1，模型图示图2，最近临磁子1.2模型计算1)两个相临磁子趋向平行能量最低，即两个磁子的自旋方向非平行与平行。
模拟退火算法算法
1 模拟退火算法概述
1.1 固体退火过程
数学表述
在温度T，分子停留在状态r满足Boltzmann概率分布
E (r ) 1 P{E E (r )} exp Z (T ) k BT E 表示分子能量的一个随 机变量，E (r )表示状态r的能量， k B 0为Boltzmann 常数。Z (T )为概率分布的标准化因 子：
• • • •
设定初始温度
控制参数的修改 解在邻域中的变化 最优解
模拟退火算法
SAA机理
优化问题的解视为固体的状态； 随机给定优化问题的初始解； 给定初始温度； 根据当前的解产生新的解； 依据Metropolis准则对两个解进行取舍； 重复以上两步直到达到热平衡； 降低温度继续上述过程直到温度降到最低， 最后的状态就认为是问题的解。
Pi kt
Metropolis准则
在温度t，初始状态i，该状态的能量为 Ei , 随机选取某个粒子的位移随机地产生一微小 变化，得到一个新状态j，新状态的能量为E j
E j Ei E j Ei
r e xp(
若r
则接受新状态j
则考虑到热运动的影响
E j Ei kt
) [0,1) 随机数
E ( s) Z (T ) exp k T sD B 温度低时能量低的微观状态概率大，温度趋于零时， 固体几乎处于概率最大能量最小的基态。
1 模拟退火算法概述
1.1 固体退火过程
数学表述
在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有
E1 E2 E1 1 P{E E1} P{E E2 } exp 1 exp Z (T ) k T k T B B
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火算法(Simulated Annealing)是一种经典的优化算法，常用于解决复杂的优化问题。
它的灵感来自于金属退火的过程，通过降温使金属内部的不稳定原子重新排列，从而获得更优的结构。
在算法中，通过接受一定概率的差解，模拟退火算法能够逃离局部最优，并最终找到全局最优解。
在MATLAB中，我们可以使用以下步骤来实现模拟退火算法：1.初始化参数：设定初始温度T0、终止温度Tf、温度下降速率α、算法运行的迭代次数等参数，并设定当前温度为T0。
2.生成初始解：根据问题的要求，生成一个初始解x。
3. 迭代优化：在每个温度下，进行多次迭代。
每次迭代，随机生成一个新的解x_new，计算新解的目标函数值f_new。
4. 判断是否接受新解：根据Metropolis准则，判断是否接受新解。
如果新解比当前解更优，则直接接受；否则，以概率exp((f_current - f_new) / T)接受新解。
5.更新解和温度：根据前一步的判断结果，更新当前解和温度。
如果接受了新解，则将新解作为当前解；否则，保持当前解不变。
同时，根据设定的温度下降速率，更新当前温度为T=α*T。
6.重复步骤3-5，直到当前温度小于终止温度Tf。
7.返回最优解：记录整个迭代过程中的最优解，并返回最优解作为结果。
以下是一个简单的示例，演示如何使用MATLAB实现模拟退火算法解决旅行商问题(TSP)。
```matlabfunction [bestPath, bestDistance] =simulatedAnnealingTSP(cityCoordinates, T0, Tf, alpha, numIterations)numCities = size(cityCoordinates, 1);currentPath = randperm(numCities);bestPath = currentPath;currentDistance = calculateDistance(cityCoordinates, currentPath);bestDistance = currentDistance;T=T0;for iter = 1:numIterationsfor i = 1:numCitiesnextPath = getNextPath(currentPath);nextDistance = calculateDistance(cityCoordinates, nextPath);if nextDistance < currentDistancecurrentPath = nextPath;currentDistance = nextDistance;if nextDistance < bestDistancebestPath = nextPath;bestDistance = nextDistance;endelseacceptanceProb = exp((currentDistance - nextDistance) / T); if rand( < acceptanceProbcurrentPath = nextPath;currentDistance = nextDistance;endendendT = alpha * T;endendfunction nextPath = getNextPath(currentPath)numCities = length(currentPath);i = randi(numCities);j = randi(numCities);while i == jj = randi(numCities);endnextPath = currentPath;nextPath([i j]) = nextPath([j i]);endfunction distance = calculateDistance(cityCoordinates, path) numCities = length(path);distance = 0;for i = 1:numCities-1distance = distance + norm(cityCoordinates(path(i),:) - cityCoordinates(path(i+1),:));enddistance = distance + norm(cityCoordinates(path(numCities),:) - cityCoordinates(path(1),:)); % 加上回到起点的距离end```以上示例代码实现了使用模拟退火算法解决旅行商问题(TSP)。
模拟退火算法公式
模拟退火算法公式模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，最早由美国物理学家，冯·诺依曼奖得主，以及诺贝尔物理学奖得主南部-安丘因于1953年提出。
它模拟了固体物质退火时的行为，通过对潜在解空间的搜索，寻找全局最优解。
在固体退火过程中，物质从高温到低温逐渐冷却，通过不断调控温度，使系统的能量逐渐减少。
模拟退火算法的核心思想正是基于这一过程，通过一系列接受概率较低的状态转移，来跳出局部最优解，最终找到全局最优解。
模拟退火算法具体流程如下：1. 随机初始化初始解，并设定初始温度和终止温度。
2. 在每个温度下，通过随机扰动当前解，产生一个新解。
3. 计算新解的函数值和当前解的函数值之差△E。
4. 如果△E ≤ 0，则接受新解作为当前解。
5. 如果△E > 0，则以一定概率接受新解。
该概率由Metropolis 准则决定，概率公式为 P = e^(-△E/T)。
6. 逐渐降低温度，根据设定的降温速率进行迭代搜索，直到达到终止温度。
值得注意的是，温度决定了接受不良解的概率，随着退火过程的进行，温度逐渐降低，接受不良解的概率减小，使得算法更加倾向于收敛到全局最优解。
模拟退火算法在全局优化问题中有着广泛的应用。
例如，在旅行商问题中，通过模拟退火算法可以找到最优的旅行路径，从而使得旅行商的行程最短。
在网络设计中，模拟退火算法可以优化网络拓扑结构，提高数据传输效率。
在机器学习中，模拟退火算法可以用于参数调优，帮助优化模型的性能。
然而，模拟退火算法也存在着一定的局限性。
首先，算法的运行时间较长，需要大量的迭代次数和计算资源。
其次，在应对高维问题和非凸问题时，算法可能会陷入局部最优解，无法得到全局最优解。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的算法，并结合其他优化方法来提高解的质量。
综上所述，模拟退火算法是一种具有指导意义的全局优化算法。
通过模拟退火过程，可以在搜索解空间时避免陷入局部最优解，并找到全局最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种随机优化算法，其基本思想是将问题转化为能量最小化问题，在解空间中以概率形式进行搜索空间，从而达到全局优化的目的。
一、算法原理的原理源于冶金学中的“模拟退火”过程。
在冶金学中，模拟退火是一种将材料加热到足够高的温度，使得原子以无序方式排列，并随着温度逐渐下降，原子逐渐重新排列成为有序状态的过程。
类似地，在算法中，模拟退火过程由三个参数组成：初始温度、降温速率和停止温度。
算法从一个初始解开始，随机产生新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
如果新解的能量小于当前解的能量，则直接接受新解，如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解，以避免过早陷入局部最优解。
通过不断降温的过程，在搜索空间中进行随机跳跃，并慢慢收敛到全局最优解。
二、算法流程的流程如下：1. 设定初始温度、降温速率和停止温度。
2. 随机生成一个初始解，并计算其能量。
3. 生成一个新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
4. 如果新解的能量小于当前解的能量，则接受新解。
5. 如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解。
6. 降温，更新温度。
7. 判断算法是否收敛，如果未收敛则返回步骤2。
三、应用场景广泛应用于组合优化问题、图论问题、生产调度问题等领域。
例如：1. 旅行商问题：在旅行商问题中，可以通过搜索空间中随机跳跃的方式找到最短路径，从而达到全局最优解。
2. 排课问题：在学校的排课问题中，可以帮助学校最优化考虑不同的课程安排，得到最优化的课程表。
3. 生产调度问题：在生产调度问题中，可以帮助生产企业在限制资源的条件下找到最优化的生产方案，提高生产效率。
四、优缺点作为一种优化算法，具有以下优点：1. 全局搜索能力强：能够在搜索空间中进行全局搜索，并趋向于全局最优解。
2. 算法收敛性好：在算法搜索到解后，能够很快地达到最优解，收敛速度较快。
3. 收敛到局部最优解的可能性较小：由于算法在跳跃过程中具有随机性，因此收敛到局部最优解的可能性较小。
模拟退火算法
模拟退火算法简介：模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。
统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。
在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。
在低温条件下，粒子能量较低。
如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。
当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
用图片说明下：如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。
以上所讲的，个人觉得是物理退火，可以把这些概念归为物理方面，和物理方面联系起来理解，相对容易。
以下则用数学思想解释模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
（解空间可以理解为一个集合）模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
这里随机产生新状态（新值），根据下面的公式，来自于Metropolis 准则，通过判断是否选取该新值，生成的函数比前一个函数的值更小（优），则选取它的概率百分百；反之，则通过下面图中的公式计算出它是否被选取的概率，然后在做决定。
该图可以算是上面步骤（4）的评价函数整个操作流程图定义初始温度的几个方法定义降低温度的几个方法这里的内循环指的是在T温度下，完成新值的产生和计算这里外循环指的是降温操作要注意的以下几点是：1.降温过快虽然可以得到比较满意的最优值，但计算的太慢了；降温过快很大可能导致得不到全局最优值；所以要综合考虑解的性能和算法速度。
模拟退火算法详解
模拟退⽕算法详解博客⾷⽤更佳模拟退⽕算法（Simulate Anneal ，SA ）是⼀种通⽤概率演算法，⽤来在⼀个⼤的搜寻空间内找寻命题的最优解。
模拟退⽕是由S .Kirkpatrick ,C .D .Gelatt 和M .P .Vecchi 在1983年所发明的。
V .Cern 和yacute 在1985年也独⽴发明此演算法。
模拟退⽕算法是解决TSP 问题的有效⽅法之⼀。
TSP 是啥我们等会再解释(就是⼀道例题,给个link:,有兴趣的童鞋可以先看着)模拟退⽕的出发点是基于物理中固体物质的退⽕过程与⼀般组合优化问题之间的相似性。
模拟退⽕算法是⼀种通⽤的优化算法，其物理退⽕过程由加温过程、等温过程、冷却过程这三部分组成。
---引⾃《百度百科》关于物理呢，本蒟蒻就不做过多的解释了.算法原理就是⼀个物体，在降温的过程中，根据热⼒学规律并结合计算机对离散数据的处理,在温度为T 时,出现能量差为ΔE 的降温的概率为P (ΔE )这个P 函数我们在下⼀个部分给⼤家解释.算法解析(现在我们要求这个函数图像的最⼩值)附图:要开始写这个算法,我们就要引⼊⼀个叫做Metropolis 接受准则的玩意⼉了.(英语⼤佬们不要把它当成那个⼤都会了...)P =1(ΔE >0)P =exp (−ΔEkT )(ΔE <0)显然如果 ΔE 为正的话转移是⼀定会成功的, 但是对于 ΔE <0 我们则以上式中计算得到的概率接受这个新解.然后我们维护温度 T 即可. 这⾥我们有三个参数: 初温 T b , 降温系数 D , 终温 T e⼀般 T b 是个⽐较⼤的数,取1000000, D 是个接近 1 但是⼩于 1 的值,⼀般取0.97, T e 是个接近 0 的正值, ⼀般取1−14即1e −14.⾸先让温度 T =T b , 然后进⾏⼀次转移尝试, 然后让 T ∗=D .当 T <T e 时模拟退⽕过程结束, 当前解作为最优解.转移转移是整个模拟退⽕算法的重头戏.它通过当前温度进⾏⼀定程度的扰动,产⽣新解.其实扰动也并不复杂,当时学习这种算法时就不懂扰动是什么.它其实就是当前温度T 0,乘以⼀个随机数R 加在原解上得到新解.很多同学可能看不懂.现在我们假设估价函数为f (x ),x 为原解,我们要让函数值最⼩.那么新解就是x 1=x +T 0∗R (R ∈[−1,0)∪(0,1])那么ΔE =f (x )−f (x 1)此处千万不要把x 和x 1记反了,要不然这样使⽤Metrospolis 准则就会出错.我们在⼀次模拟退⽕完成后,可以再多来⼏次怎么⽣成R 呢,有些同学可能会有问题,具体我们可以⽤记得要⽤初始化例题现在,你应该已经了解了模拟退⽕算法了这⾥有⼏道例题TSP 问题没错,就是⽂章开头提到的那个TSP 问题具体请百度平衡点具体⾃⼰可以在洛⾕上看附带代码(double)(rand()-rand())/RAND_MAXsrand(time(NULL))#include<bits/stdc++.h>#define LD long doubleusing namespace std;/***** 模拟退⽕控制 *****/const LD D=0.97,EPS=1e-14;int times=10;/***** ============ *****/int n;int w[1010],x[1010],y[1010];LD bx=0,by=0;LD cur_ans,new_ans,best;inline LD Rand(){ //产⽣-1到1闭区间(除去0)的随机数return (LD)(rand()-rand())/((LD)RAND_MAX);}LD calc(LD cx,LD cy){ //估价函数LD ret=0;for(int i=1;i<=n;i++){LD dx=cx-x[i],dy=cy-y[i];ret+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*w[i];}return ret;}int main(){srand(time(NULL)); cin>>n;Processing math: 100%cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x[i]>>y[i]>>w[i];bx+=x[i];by+=y[i];}bx/=n;by/=n; //初始解best=cur_ans=calc(bx,by);while(times--){ //控制多次退⽕cur_ans=best;LD cx=bx,cy=by;for(LD T=1000000;T>EPS;T*=D){ //模拟退⽕LD nx=cx+T*Rand(),ny=cy+T*Rand();new_ans=calc(nx,ny);if(best>new_ans){ //更新最优解best=new_ans;bx=nx,by=ny;}if(cur_ans>new_ans||exp((cur_ans-new_ans)/T)>(LD)rand()/RAND_MAX){ //更新当前解并转移 cur_ans=new_ans;nx=cx,ny=cy;}}}cout<<fixed<<setprecision(3)<<bx<<" "<<by<<endl;return 0;}。
布尔可满足性问题的复杂性及近似算法
布尔可满足性问题的复杂性及近似算法布尔可满足性问题，也被称为SAT问题，是计算机科学中一个经典的问题。
它涉及到一个布尔表达式是否存在一组变量的赋值使得该表达式为真。
SAT问题在理论计算机科学中被证明是一个NP完全问题，这意味着在当前的计算模型下，它是一种非常困难的问题。
本文将探讨SAT问题的复杂性，并介绍一些近似算法来解决这个问题。
一、SAT问题的复杂性分析SAT问题的复杂性理论上属于NP完全问题，这意味着如果存在一个高效的算法来解决一个NP完全问题，那么可以把这个算法用于解决其他所有的NP完全问题。
NP完全问题是指那些在多项式时间内可以验证一个解的问题。
虽然目前还没有找到一个多项式时间的算法来解决SAT问题，但是已经有很多研究人员提出了许多近似算法来解决这个问题。
接下来将介绍一些常见的近似算法。
二、近似算法1. 穷举法穷举法是一种直观且简单的算法，但是它的时间复杂度非常高。
穷举法的基本思路是枚举所有可能的变量赋值，然后验证是否存在一组赋值使得表达式为真。
虽然这个算法能够保证得到结果，但由于变量的数量呈指数级增长，计算时间会很长。
2. 改进的穷举法针对穷举法时间复杂度高的问题，研究者们提出了一些改进的穷举法。
例如，可以根据表达式的结构和特点来选择合适的变量赋值顺序，以减小搜索空间。
此外，还可以利用一些启发式算法来加速搜索过程。
这些方法可以在一定程度上提高算法的效率，但仍然无法在多项式时间内解决大规模的SAT问题。
3. 近似算法近似算法是指通过牺牲一定的精度来换取计算速度的算法。
它的基本思想是利用一些启发式规则和剪枝策略，在有限的时间内找到一个“接近最优解”的解。
近似算法的优势在于时间复杂度相对较低，可以应用于大规模的SAT问题。
近似算法的具体实现有很多种，最常见的包括贪心算法、遗传算法和模拟退火算法等。
三、近似算法的应用与局限性近似算法在实际应用中具有广泛的意义。
它不仅可以解决SAT问题，还可以应用于其他优化问题，如图着色、旅行商问题等。
模拟退火算法概率选择原理
模拟退火算法概率选择原理模拟退火算法是一种基于模拟自然界退火过程的启发式优化算法，常用于求解复杂的优化问题。
其核心思想是通过模拟物质退火过程中的状态变化，以一定的概率接受更优解，从而逐步寻找到全局最优解。
在模拟退火算法中，概率选择原理是其关键之一。
它通过引入一个概率函数，根据当前解与新解之间的差异以及当前退火温度来决定是否接受新解。
概率选择原理的作用在于在搜索空间中进行随机跳跃，从而避免陷入局部最优解。
概率选择原理的具体实现方式是通过计算一个接受概率，根据这个概率来决定是否接受新解。
一般情况下，如果新解优于当前解，则直接接受新解；如果新解比当前解差，那么根据一定的概率选择是否接受该解。
这个概率的计算公式如下：P(accept) = exp[-(new_cost - current_cost) / temperature]其中，new_cost是新解的目标函数值，current_cost是当前解的目标函数值，temperature是当前的退火温度。
这个公式中的指数函数可以保证当新解比当前解差时，接受概率会随着温度的下降而减小。
概率选择原理的关键是如何确定接受新解的概率。
一种常用的方式是Metropolis准则，即如果新解优于当前解，则直接接受；如果新解比当前解差，那么按照一定的概率接受新解。
这个概率的计算公式如下：accept_probability = min(1, exp[-(new_cost - current_cost) / temperature])其中，exp表示自然指数函数，new_cost是新解的目标函数值，current_cost是当前解的目标函数值，temperature是当前的退火温度。
这个公式保证了接受概率在0到1之间，当新解优于当前解时接受概率为1，当新解比当前解差时接受概率随着差值的增大而减小。
概率选择原理的作用在于在搜索过程中引入了一定的随机性，可以避免陷入局部最优解。
基于遗传和模拟退火算法求解3-SAT问题
它对整个搜索 空间的了解不多 ．不便 于搜 索过程进入
最 有 希 望 的搜 索 区 域 ．因 而 难 以保 证 计 算 结 果 为 全 局
换 双 亲 染 色体 的对 应 基 因 段 。 生 一 个 新 的 个 体 。 叉 产 交 操 作 扩 大 了搜 索 空 间 ． 算 法 能 在 更 加 广 阔 的 空 间里 寻 使 找 新 解 同 时 ． 也 用 交 叉 概 率 来 限 制 交 叉 发 生 的可 能 它 性 。虽 然 复 制 和交 叉 产 生 了许 多 新 的 串 ． 它 们 没 有 在 但
Ｊｈ ｓｎ ｏｎｏ 算法是一 种随机近似算法 。它可以实现对 于给定 的一个 ＭＡ ～ Ａ Ｘ Ｓ Ｔ问题 的实例 （ 个给定 的 Ｃ Ｆ 一 Ｎ 公 式 ） ．存 在 一个 对 变元 的真值 赋 值 ，该 赋值 使 得
Ｍ Ｘ Ｓ Ｔ 问题 中 ． 少 一 半 的字 句 是 可 满 足 的 ． 于 Ａ —Ａ 至 对
能 否 快 速 求 解 Ｓ Ｔ 问 题 是 目前 的 研 究 热 点之 一 。 介 绍 Ｊ ｈ ｓｎ算 法 、 传 算 法 和模 拟 退 火 Ａ ｏ ｎｏ 遗 算法 ， 比较 三 种 算 法 的特 性 ， 出综 合 ＧＡ、 Ａ 算 法 优 点 的一 种 混舍 遗 传和 模 拟 退 火算 法 的 提 Ｓ
基 于遗传和模 拟退火算 法 求解 ３ Ｓ Ｔ问题 一Ａ
饶 丽 丽 ． 张 东 站
（ 门 大 学 信 息 科 学 与技 术 学 院 计 算 机 系 ， 门 ３ １０ ） 厦 厦 ６ ０ ５ 摘 要 ：命 题 逻 辑 公 式 的 Ｃ ＮＦ范 式 的 可 满足 性 问题 （ Ｔ 是 计 算机 科 学 的 非 常 重要 的 核 心 问题 ． ｓ ） Ａ
模拟退火方法
模拟退火方法介绍如下：
模拟退火是一种优化算法，用于在复杂的问题中寻找最优解或接近最优解。
该算法通过模拟物质退火的过程来搜索解空间，从而避免陷入局部最优解。
模拟退火算法的基本思路是从一个随机解开始，通过一系列随机移动和接受或拒绝移动的策略，不断搜索解空间。
在算法的早期阶段，允许一定程度的差异，从而增加搜索解空间的可能性。
随着算法的不断迭代，搜索的焦点逐渐向最优解移动，直到找到最优解或搜索达到预设的终止条件。
具体来说，模拟退火算法包括以下步骤：
1.初始化
从搜索空间中随机选择一个解作为初始解。
2.产生新解
通过随机扰动当前解，产生一个新的解。
3.计算接受概率
计算接受新解的概率，该概率由新解与当前解之间的差异以及当前搜索温度决定。
4.判断是否接受新解
根据接受概率，判断是否接受新解。
如果接受，则将新解作为当前解；否则，保留当前解。
5.降温
降低搜索温度，以减少随机扰动的幅度，逐渐趋向于最优解。
6.判断是否达到终止条件
如果达到预设的终止条件，则停止搜索，并返回找到的最优解；否则，返回第2步继续搜索。
总体来说，模拟退火算法是一种具有全局搜索能力的优化算法，可以应用于各种优化问题，如旅行商问题、图着色问题、机器学习和深度学习等领域。
它不仅可以避免陷入局部最优解，而且可以在较短的时间内找到接近最优解的解决方案。
模拟退火算法实现步骤
模拟退火算法实现步骤模拟退火算法是一种被广泛应用的全局寻优算法，它的应用范围涉及到很多领域，例如物理、化学、计算机科学等。
本文将从基本原理、实现步骤和应用实例三个方面进行介绍。
一、基本原理模拟退火算法是一种基于物理学的思想，它模拟了固体物质从高温状态到低温状态的过程，通过温度的不断降低，使系统中的粒子处于低能量状态。
这一思想被应用到求解优化问题中，将搜寻过程中粒子的漫步过程视为热力学系统的运动，通过控制系统温度和粒子漫步范围等参数，使系统能够跳出局部极小值，最终找到全局最优解。
二、实现步骤（一）初始化在开始求解之前，需要进行初始化。
即对于问题所涉及到的变量进行随机初始化。
在实际应用中，通常会对每个变量的取值范围进行规定，以保证求解的有效性。
（二）计算能量值通过对问题中各个决策变量进行随机初始化，形成一个可能的解，计算该解的能量值。
通常，能量值越小，表示解越优。
（三）漫步过程接下来，进行漫步过程以尝试寻找更优解。
漫步范围和步长通常初始时选择较大的值，随着温度的降低而不断减小，直到漫步范围和步长都十分小。
（四）接受策略对于每次得到的新解，需要通过接受策略决定是否接受该解。
根据温度和能量值的变化，通常有如下三种策略：1. 总是接受更优解，即使该解比当前解优劣相差不大。
2. 以一定的概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。
3. 总是接受当前解，以避免拒绝全局最优解。
（五）温度调整模拟退火算法通过多次迭代寻找更优解，需要随着迭代次数的增加不断降低温度，降低漫步范围和步长以加快收敛速度。
温度的调整可以使用多种方法，例如线性降温、对数降温等。
（六）收敛判定模拟退火算法是一种随机算法，通常需要设置迭代次数和收敛误差来保证算法最终能够收敛到最优解附近。
当算法达到迭代次数或收敛误差时，算法停止。
三、应用实例模拟退火算法被广泛应用于组合优化问题、函数优化问题、图像处理等众多领域。
此处以一个工厂车间布局问题为例，介绍应用实例。
max2sat近似算法
MAX2SAT近似算法一、引言MAX2SAT问题是一种典型的NP困难问题，它是2SAT问题的扩展。
在2SAT问题中，给定一个包含n个变量和m个约束的集合，每个约束都是一个包含2个变量的布尔表达式，目标是确定这些变量的值，使得尽可能多的约束得到满足。
由于2SAT问题是NP困难的，MAX2SAT问题同样也是NP困难的。
在实际应用中，我们经常需要处理大规模的MAX2SAT问题，而这些问题的精确解通常是不可行的或成本高昂的。
因此，研究和设计近似算法来近似地解决MAX2SAT问题是具有重要的理论和应用价值。
二、近似算法的基本概念近似算法是一种可以近似解决NP困难问题的算法。
这类算法通常不能保证找到最优解，但可以在多项式时间内找到一个近似最优解，其性能接近于最优解。
近似算法的性能通常使用一个性能比率来度量，它表示算法找到的解与最优解的比值。
如果一个近似算法的性能比率接近于1，则认为该算法的性能较好。
三、常见的Max2SAT近似算法1.贪心算法：贪心算法是一种常见的近似算法，它在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
在MAX2SAT问题中，贪心算法通常从约束集合中选择一个或多个满足度最高的约束进行满足，直到无法再满足更多的约束为止。
这种算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是变量的数量。
2.遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，它通过模拟自然选择和遗传机制来寻找最优解。
在MAX2SAT问题中，遗传算法通常将约束表示为个体，并通过选择、交叉和变异等操作来产生新的个体，逐步接近最优解。
遗传算法的性能取决于许多参数的选择和设置，但通常来说，它在处理大规模MAX2SAT问题时表现较好。
3.模拟退火算法：模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，它通过随机地接受或拒绝状态转移来寻找最优解。
在MAX2SAT问题中，模拟退火算法通常从一个随机解开始，通过不断接受或拒绝满足更多约束的状态转移来逐步接近最优解。
布尔可满足性问题的启发式算法
布尔可满足性问题的启发式算法1. 引言布尔可满足性问题（Boolean Satisfiability Problem，简称SAT）是计算机科学中的重要问题之一。
给定一个布尔表达式，判断是否存在一组变量的赋值，使得该表达式为真。
SAT问题在计算复杂性理论和实际应用中都有广泛应用，例如在电路设计、人工智能和软件验证等领域。
由于SAT问题的NP完全性质，直接求解其解空间是非常困难的。
因此，研究者们提出了各种启发式算法来寻找SAT问题的解。
本文将介绍几种常见的SAT启发式算法及其应用。
2. 硬子句启发式算法硬子句启发式算法是求解SAT问题的一种常用算法。
该算法通过维护一个子句集合，并不断地删除满足某些条件的硬子句，直到找到满足整个布尔表达式的解。
具体步骤如下：1) 初始化子句集合为全部子句；2) 选择一个硬子句；3) 根据选定的硬子句，删除所有包含该硬子句的子句；4) 重复步骤2和步骤3，直到找到解或遍历完所有硬子句。
硬子句启发式算法具有简单、高效的特点，在实际应用中取得了较好的效果。
3. 改进的迭代下降算法迭代下降算法是另一种常见的SAT启发式算法。
该算法通过迭代搜索的方式来逐渐减小不满足子句的数量，直到找到一个满足整个布尔表达式的解。
改进的迭代下降算法在传统迭代下降算法的基础上进行了一些优化，包括随机选择变量的策略、学习新的子句等。
具体步骤如下：1) 随机初始化一个解；2) 遍历所有子句，找到不满足的子句；3) 根据某种策略选择一个变量，翻转其取值，并更新解；4) 重复步骤2和步骤3，直到找到解或达到最大迭代次数。
改进的迭代下降算法具有较好的随机性和局部搜索能力，能够在较短时间内找到满足要求的解。
4. 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式算法，常用于求解优化问题。
在SAT 问题中，可以将满足子句的数量作为目标函数，通过模拟物质退火的过程来搜索最优解。
具体步骤如下：1) 初始化一个解；2) 每次迭代时，随机选择一个变量翻转其取值，并计算新解对应的目标函数值；3) 根据一定的准则决定是否接受新解，如果接受则更新当前解；4) 重复步骤2和步骤3，直到找到满足要求的解或达到最大迭代次数。
模拟退火算法 寻参 -回复
模拟退火算法寻参-回复什么是模拟退火算法？模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种基于概率的全局优化算法，它模拟了固体退火过程的行为。
在固体退火过程中，物质在高温状态下会不断摆脱局部能量极小的状态，逐渐降低温度并寻找新的、更低能量的状态。
模拟退火算法就是通过这种模拟退火的过程，以全局寻优为目标，在搜索空间中随机游走，寻找最优解。
模拟退火算法的基本原理是什么？模拟退火算法基于模拟退火的过程，通过接受差解的概率，跳出局部最优解并在搜索空间中随机搜索，最终朝着全局最优解的方向收敛。
该算法的基本原理如下：1. 初始化：设置初始解和初始温度，初始解可以是随机生成的解，初始温度通常较高，以允许算法跳过一些局部最优解。
2. 迭代过程：根据指定的收敛条件和计算资源，进行一定数量的迭代。
3. 生成新解：通过某种策略，在当前解的邻域内生成一个新解。
邻域可以是解空间中的一个子空间，新解可以通过改变当前解的某一部分或多个部分得到。
4. 判断新解的质量：计算新解的目标函数值，这个目标函数可以是问题本身的目标函数，也可以是某种适应度函数，用于量化新解的好坏。
5. 接受新解：根据一定的准则，决定是否接受新解。
具体而言，根据新解的质量和当前温度，计算接受新解的概率。
6. 更新温度：通过一个降温策略逐渐降低温度，降温策略可以是线性的、指数的或者其他曲线。
温度的降低会逐渐减小接受差解的概率，使算法朝着全局最优解方向收敛。
7. 收敛判断：根据收敛条件，判断算法是否达到停止迭代的条件，如果未达到，则返回到第3步，否则进入下一步。
8. 输出结果：得到最终的解或者一组解作为算法的输出。
模拟退火算法的关键参数有哪些？模拟退火算法中，有几个关键的参数需要调节，对算法的性能和效果有重要影响。
以下是三个重要的参数：1. 初始温度：初始温度决定了能否跳出局部最优解，并进一步对全局优化产生影响。
初始温度通常较高，使算法有足够的机会在搜索空间中自由游走。
模拟退火算法 寻参 -回复
模拟退火算法寻参-回复模拟退火算法（SA）是一种全局优化算法，主要用于在复杂的搜索空间中寻找最优解。
它模拟了固体物质在退火过程中的行为，通过温度的概念来控制搜索的过程。
本文将详细介绍模拟退火算法的原理、流程、参数设置以及应用案例，帮助读者了解和使用该算法。
一、模拟退火算法的原理模拟退火算法的原理灵感来源于固体物质退火时的晶体结构变化。
固体物质在高温时，原子或分子会以随机方式排列，形成高能状态；而在慢慢冷却的过程中，随着温度的下降，原子或分子会逐渐达到稳定的低能状态。
算法中的“温度”代表搜索过程中的随机性程度，随着迭代的进行，温度逐渐降低，搜索逐渐趋于稳定。
二、模拟退火算法的流程模拟退火算法的流程可分为以下几个步骤：1. 初始化：选择初始解和初始温度。
初始解可以是随机生成的、根据问题的特点得出的近似解等，温度可以设置为一个较高的值。
2. 迭代搜索：在每一轮迭代中，根据一定的概率接受新解。
新解的生成方式可以是随机抽取、邻域搜索等。
接受新解的概率计算公式为：P = exp(-ΔE/T)，其中ΔE为目标函数值的变化量，T为当前温度。
3. 更新控制参数：根据设定的规则更新温度和概率。
温度的更新方式常见的有线性降温、指数降温等，概率的更新方式也有多种选择，如逐渐减小接受新解的概率。
4. 终止条件判断：当温度降至阈值或达到最大迭代次数时，终止搜索。
返回收敛的最优解。
三、模拟退火算法的参数设置模拟退火算法中的参数设置对算法的性能和结果有较大的影响，下面介绍几个重要的参数：1. 温度的初始值：初始温度应设置较高，以保证搜索的广度和随机性。
2. 温度的降低方式：温度的降低方式可以是线性降温、指数降温或自适应降温等。
不同降温方式对收敛速度和最优解的寻找能力有所影响。
3. 接受新解的概率：接受新解的概率通常设为一个较小的浮点数，衡量了搜索过程中的探索和利用能力，合理的概率设置可避免陷入局部最优解。
4. 邻域搜索策略：邻域搜索策略是生成新解的方法，它必须满足“接受新解的概率”计算公式中的ΔE的要求。
求解SAT问题的拟人退火算法
求解SAT问题的拟人退火算法
张德富;黄文奇;汪厚祥
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】2002(025)002
【摘要】该文利用一个简单的变换,将可满足性(SAT)问题转换为一个求相应目标函数最小值的优化问题,提出了一种用于跳出局部陷阱的拟人策略.基于模拟退火算法和拟人策略,为SAT问题的高效近似求解得出了拟人退火算法(PA),该方法不仅具有模拟退火算法的全局收敛性质,而且具有一定的并行性、继承性.数值实验表明,对于本文随机产生的测试问题例,采用拟人策略的模拟退火算法的结果优于局部搜索算法、模拟退火算法以及近来国际上流行的WALKSAT算法,因此拟人退火算法是可行的和有效的.
【总页数】5页(P148-152)
【作者】张德富;黄文奇;汪厚祥
【作者单位】华中科技大学计算机学院,武汉,430074;华中科技大学计算机学院,武汉,430074;华中科技大学计算机学院,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
【相关文献】
1.基于遗传和模拟退火算法求解3-SAT问题 [J], 饶丽丽;张东站
2.求解SAT问题的退火遗传算法 [J], 孙强;马光胜;刘晓晓
3.两种新的基于扩展规则#SAT问题求解算法 [J], 吕帅;张桐搏;王强;刘磊
4.基于OpenMP的并行遗传算法求解SAT问题 [J], 吴贯锋;徐扬;常文静;陈树伟;徐鹏
5.求解多文字可满足SAT问题的置信传播算法 [J], 芦磊;王晓峰;牛鹏飞;刘子琳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
模拟退火算法流程
模拟退火算法流程模拟退火算法是一种用于求解优化问题的随机搜索算法。
其灵感来源于固体退火过程，通过模拟金属在高温下冷却过程中的晶体结构调整，从而找到全局最优解。
模拟退火算法的基本思想是通过接受一定概率的劣解，以克服局部最优解陷阱，从而达到全局最优解。
它的流程主要包括初始化、状态更新和判断终止条件三个步骤。
首先，算法需要初始化一组解，即随机生成初始解。
这些解可看作在问题解空间中的一个点，表示问题的一个可行解。
通过这些初始解，算法可以开始搜索过程。
其次，算法根据一定的策略对当前解进行变换，即状态更新。
变换的方式可以是随机选择邻近解，也可以是按照一定规则变换解的组成部分。
这样，算法可以在解空间中进行搜索，逐步接近全局最优解。
状态更新后，算法需要判断是否接受新解。
这一步是模拟退火算法中的核心步骤。
决定是否接受新解的概率与新解的质量差异以及当前的温度有关。
一开始时，算法接受概率较高，随着搜索的进行，温度逐渐下降，接受概率逐渐降低。
这样可以在搜索过程中同时进行广度和深度的搜索。
最后，算法设置终止条件。
终止条件可以是达到一定迭代次数、温度降至某个阈值或找到满足问题约束条件的最优解等。
当满足终止条件时，算法停止搜索，将当前的最优解作为输出结果。
总的来说，模拟退火算法通过不断更新解的状态和接受概率来搜索全局最优解。
它克服了传统优化算法容易陷入局部最优解的缺点，对于复杂、非线性的问题有较好的效果。
然而，模拟退火算法在实际应用中也存在一定的局限性，比如收敛速度较慢、参数设置较为困难等。
总之，模拟退火算法是一种有效的求解优化问题的算法。
通过合理的状态更新和接受策略，它可以找到全局最优解，为解决现实生活中的复杂问题提供了一种有效的思路和工具。
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第25卷 第2期2002年2月计 算 机 学 报CHIN ESE PU TERSV o l.25No.2Feb.2002求解SAT 问题的拟人退火算法张德富 黄文奇 汪厚祥(华中科技大学计算机学院 武汉430074)收稿日期:2000-04-18;修改稿收到日期:2001-06-06.本课题得到国家“九七三”重点基础研究发展规划项目(G1998030600)资助.张德富,男,1972年生,博士研究生,研究方向为人工智能、组合优化、NP 难问题求解.E -mail :zdfld @ .黄文奇,男,1938年生,教授,博士生导师,研究方向为N P 难问题现实求解、算法优化.汪厚祥,男,1960年生,博士研究生,研究方向为网络、算法设计.摘 要 该文利用一个简单的变换,将可满足性(SA T )问题转换为一个求相应目标函数最小值的优化问题,提出了一种用于跳出局部陷阱的拟人策略.基于模拟退火算法和拟人策略,为SA T 问题的高效近似求解得出了拟人退火算法(P A ),该方法不仅具有模拟退火算法的全局收敛性质,而且具有一定的并行性、继承性.数值实验表明,对于本文随机产生的测试问题例,采用拟人策略的模拟退火算法的结果优于局部搜索算法、模拟退火算法以及近来国际上流行的W AL K SA T 算法,因此拟人退火算法是可行的和有效的.关键词 SA T 问题,模拟退火算法,拟人中图法分类号:T P18Personification Annealing Algorithm for Solving SAT ProblemZHANG De-Fu HU AN G Wen-Qi W AN G Ho u-Xia ng(School of Comp uter Science ,Huazhong University of S cience and Technolo gy ,Wuh an 430074)Abstract The satisfiability (SA T )problem is core topic of the fields of a rtificial intelligence a nd com puter science.Therefo re,algo rithms to solv e the SAT pro blem play an impo rta nt ro le in the dev elo pm ent of com puting theo ry and system s.Traditio nal a lg o rithms treat the SAT problem as a constrained decisio n problem.In this paper,w e transform the SAT pro blem into a g lobal o ptimization problem to the objectiv e function by a simple transfo rmatio n ,thus many alg o rithmscan be used to so lv e it .The SA alg orithm is a g eneral stocha stic search algo rithm fo r combina to rial optimiza tio n problems,how ev er,this algo rithm need often cost to o much time fo r finding a so lution,which prev ents it from being applied to many practical problems.How to im prov e this alg orithm fo r solving the SAT problem is w hat this paper concerns.In this paper,the personifica tion strategies obtained by o bserving and lea rning from the social and na ture phenom ena are presented .These strateg ies are generally straightfo rw ard and intuitiv e ,and are helpful fo r the sea rch process jumping out of local minimum ,thus allow sim ulated annealing process to co nv erge fast.These stra tegies ex plained ho w to select v ariables to flip in each iterativ e step and ho w to raise the system temperature w hen the search process g ot stuck the local minimum .Combining the simulated annealing algo rithm and pro posed perso nificatio n strategies ,w e present a perso nificatio n a nnealing (PA)algo rithm fo r solving the SAT problem.The PA alg orith m inherits the glo bal conv ergence proper ty fro m simulated annealing alg orithm and has the property o f pa rallelism and inheritance.In order to co mpa re the PA alg orithm with local sea rch alg orithm ,simula ted annealing alg orithm and W ALKSAT alg o rithm ,a C im plementation o f these algo rithm s w as tested o n rando m g enerated 3-SAT problem instances .The actualcom puta tional results show tha t the PA a lg o rithm outperforms com pletely local search algo rithm, simulated annealing algo rithm and W ALKSAT alg orithm which is very popula r recently, therefo re the PA algo rithm is feasible and efficient.Keywords SAT problem,simulated annealing alg orithm,perso nificatio n1 引 言命题逻辑中合取范式(CN F)的可满足性问题(SAT)是当代理论计算机科学的核心问题,是一典型的N P完全问题.由于现代科技、军事以及经济管理的大量重要应用都可归结为求解N P完全问题,因此,它的快速求解不仅具有重要的理论意义,而且在软件自动开发技术、逻辑推理机、V LSI设计以及知识库维护等许多领域都有重要的实际应用价值.正是由于SA T问题的重要性,各国学者对它进行了广泛而深入的研究,提出了完全和不完全两类算法.李未等在文献[1]中对前者做了总结性研究.虽然完全算法能够保证正确判定公式的可满足性,但是它的计算效率太低,基本上不能实用.因此,人们更多地是去寻找求解SAT问题的不完全但又快速实用的算法.许多不完全算法是基于局部搜索算法[2,3]的.李未等提出数学物理方法[4]、Selman等提出的W ALKSAT算法[5]、黄文奇等提出拟物拟人法[6]极大地丰富了不完全算法.然而这些基于局部搜索或梯度下降的算法都存在一定的缺陷,它们往往陷入局部极小而达不到全局最优,即使有些算法(例如W ALKS AT)加入了随机移动策略,也是如此,因此必须借助其它能逃离局部极小的策略.模拟退火(SA)算法[7]是一个求解组合优化问题的通用随机搜索算法,然而这个算法也常常需要花很长时间才能找到问题的解,这就限制了该算法在实际问题中的应用,因此还必须结合其它的策略.通过观察和学习人类社会和自然现象,我们提出了能逃离局部极小的拟人策略,它能使模拟退火过程快速收敛.基于此,本文独辟蹊径,结合SA算法和提出的拟人策略,给出了求解SAT 问题的拟人退火算法(PA).计算结果表明,对于本文随机产生的测试问题例,采用拟人策略的模拟退火算法的结果优于局部搜索算法(SAT1.3)、改进前的SA算法以及近来国际上流行的W ALKSAT,因此PA用于求解SAT问题是可行的和有效的.2 问题的表示及转换考虑CN FA=C1∧…∧C i∧…∧C n(1)子句C i具有如下形式P i,1∨P i,2∨…∨P i,ki∨P-ri,1∨P-ri,2∨…∨P-ri,kr i,其中P i,1,P i,2,…,P i,ki,P-ri,1,P-ri,2,…,P-ri,kri是两两不同的文字,P i,j为命题变元集{P1,P2,…,P m}中的一个变元,文字P-i表示变元P i的非,m表示命题变元的个数,n表示子句的个数.一个SAT问题是指:对于给定的CN F是否存在一组关于命题变元的真值指派使得A为真.显然,如果A为真,则CN F的每个子句中必有一个命题变元为1(真),将每个子句中的每个命题变元取反,则CN F的每个子句中必有一个命题变元为0 (假),然后将∧看成加,将∨看成乘,将变元P i看成实参数x i,则S AT问题就可以转换为一个求相应实函数最小值的优化问题.令T表示这种转换,它可递归地定义为T:A→R m→R,T(C1∧…∧C i∧…∧C n)=T(C1)+…+T(C i)+…+T(C n),T(C i)=T(P i,1∨P i,2∨…∨P i,ki∨P-ri,1∨P-ri,2∨…∨P-ri,kri) =T(P i,1)T(P i,2)…T(P i,ki)T(P-ri,1)T(P-ri,2)…T(P-ri,kri),i=1,…,n.T(P i)=1-x i,T(P-i)=x i,x i∈[0,1],i=1,…,m,T(T)=1,T(F)=0.例如, T((P1∨P-2)∧(P-1∨P-2))=T(P1∨P-2)+T(P-1∨P-2)=T(P1)T(P-2)+T(P-1)T(P-2)=(1-x1)x2+x1x2,用E(x1,x2,…,x m)表示T(A)在点(v(P1),…, v(P m))的值,则有下面定理.定理1. 赋值v为使A可满足的充要条件是E(x1,x2,…,x m)达到最小值0.证明. 因为式(1)依变换T给出的实目标函1492期张德富等:求解SA T问题的拟人退火算法数为E (X )=E (x 1,x 2,…,x m )=∑ni =1e i (x 1,x 2,…,x m )(2)其中,X =(x 1,x 2,…,x m ),e i (x 1,x 2,…,x m )=(1-x i ,1)…(1-x i ,k i )x ri ,1…x ri ,k ri .显然,若A 可满足,则必有一真值指派使CN F 的值为1,由E (X )及T 的定义,知E (X )在该点的值必为0;反之,若目标函数E (X )的最小值为0,又E (X )为非负函数(由定义知),必有一最小值点X ∈{0,1}m ,由T 的定义,知存在一组真值指派使A 可满足.证毕.3 模拟退火算法在组合优化问题中,常用某种目标函数的全局最优作为算法搜索的目标.然而基于局部搜索或梯度下降的算法往往容易陷入局部极小而达不到全局最优,即使有些算法加入了随机移动策略,也是如此,因此必须求助其它随机搜索算法.SA 算法用于求解组合优化问题是基于固体物质的退火过程与组合优化问题求解过程的相似性.组合优化问题的解和目标函数分别与固体的一个微观状态及其能量相对应.与其它算法不同的是,SA 算法利用一个概率机制来控制跳坑的过程.在搜索过程中,SA 算法不仅接受优化解,而且以一定的概率接受恶化解,在高温时,接受优化解的概率比较大,随着温度的降低,接受恶化解的概率也随之下降,当温度趋于零值时,就不再接受任何恶化解,这就使得SA 算法有更多的机会逃离局部最优的“陷阱”,避免了其它局部搜索算法或梯度算法存在的缺陷.一般地,SA 算法可以描述如下(1)任给初始状态X 0,给定一个初始温度T 0.(2)随机扰动产生状态X 1,计算ΔE =E (X 1)-E (X 0).(3)如果ΔE <0,转(4);否则,若ex p(-ΔE /T 0)≤ra ndom (0,1),转(2).(4)X 0=X 1,E (X 0)=E (X 1).(5)在温度T 0下检验能量是否达到平衡,若不平衡转(2).(6)T 0=T T 0,退火过程是否结束,是就停止,否则转(2).为了提高SA 算法的性能,必须合理的选择所需要的参数[8],例如T 0,T .4 拟人策略在组合优化领域里,当算法搜索到局部极小点时,一般来说,就不再往下搜索了.但是对于SAT 问题,就这样停止搜索是不可取的,其原因在于我们只对SA T 问题的全局最优点感兴趣.因为只有全局最优点才能回答该问题是否可满足.因此我们必须采取有效的策略尽可能的避免陷入局部极小点,或者到了局部极小点,能够有效地跳出.人类在长期的实践中,积累了丰富的经验,受他们启发,我们可以找到一些解决问题的方法.我们把从人类社会或自然现象中学习到的经验和方法称之为拟人策略[6,10].我们知道,SA 算法能否找到E (X )的全局最优解,取决于T 0是否足够高和T 0下降得是否足够慢,而这些正好与计算时间相反.虽然合理选择参数可以使得算法的实现只需问题规模的多项式时间,但是随着问题规模的增大,所需时间也随之增长,合理选择参数并不能从根本上提高算法的效率.怎样合理地产生状态X 1,才是提高效率的关键.为了提高退火过程的效率,根据SAT 问题的特点,我们提出如下拟人策略,即在每一个迭代步对每个非零子句都随机选择一个变元,将其取反,来合理地产生状态X 1,当然,这里我们必须注意不能选择重复的变元,即在一个子句里随机选择一个变元后,即使该变元再在其它非零子句里出现,也不能被选择.这就像一所学校最初制定一项分配政策,总有满意和不满意的单位,然后根据具体情况,修改令某个单位不满意的一条规则,使其满意.当然这条规则在一个时期应统一,不能这个单位一套,对别的单位又是另一套.这样才能成为规则,政策也才得以实施.该策略可以避免盲目搜索以及减少陷入局部极小的机会,而且具有一定的并行性.此外,给定一个具体的退火机制后,SA 算法并不保证能够找到全局最优点,例如在SAT 问题里,能找到一组赋值,使它满足所有的子句.前面说过,我们只对SAT 问题的全局最优点感兴趣,当搜索过程陷入局部陷阱时,就需要某种策略使搜索过程能够跳出,从而使搜索过程尽可能的找到全局最优.在这种情况下,有些算法采用重新随机初始化变元的值,例如下面我们要比较的SA,W ALK SAT 和局部搜索算法.而PA 却不是这样,当温度趋于零时,如果还未找到最优解,可采用以下拟人策略,即人为地对退火过程进行升温.具体来150计 算 机 学 报 2002年说,只需在S A的(6)步后加上(7)如果E(X)≠0,则T0=n,转(2).这相当于给一个跳坑没有劲的人以能量,从而使他跳出来.本策略能有效地继承一些变元在局部极小点的值,同时又能将搜索引向未曾搜索过的区域.为了显示采用拟人策略的效果,我们将提出的PA算法与改进前的SA算法[5,9]作了比较.后者在每一个迭代步只随机选择一个变元,退火结束后,如没有达到全局最优,则重新随机初始化变元的初值,再开始模拟退火过程.5 计算结果及结论为了测试PA的计算效果,我们用随机产生的3-SAT模型(每个子句的长度l=3,且子句里的变元两两不同)做实例,并且将PA与改进前的SA[5]、局部搜索算法的代表——SAT1.3[2]以及近来国际上比较流行的W ALKSAT[5,11]相比较,从计算的平均执行时间以及可满足样例数两个方面进行分析,这应该是比较全面和具有说服力的.表1 PA和SA,WALKSAT,SAT1.3的比较结果合取范式m n l平均执行时间(s)PA S A W ALKSAT S AT1.3可满足样例数PA S A W ALKSAT S AT1.310020030.00 2.970.17 3.8320202020 10025030.05 5.509.0924.8320202020 10030030.198.237.2362.4720202016 10032030.388.4626.50106.0120201811 1003403 1.9518.7557.24158.372020177 1003603 6.5238.6594.31151.912020173 100380324.5049.21137.79203.642018131 100400355.8690.45115.33>300181890 100410351.3376.56173.94>300141370 100425363.4665.97120.07>30012950 100430397.54146.88198.42>3009750表1给出了四种算法的计算结果,从中可以看出,当子句数在370以下时,PA的计算速度(从20个样例中可满足样例的平均执行时间来看)比SAT1.3快20倍以上,比W ALKSAT快10倍以上,比SA快5倍以上;当子句数在370以上时,PA 的平均执行时间与其它算法相差不多,但可满足样例的次数却超过其它三种算法,即当子句个数增加时,SAT1.3,W ALKS AT和SA计算成功的可能性大大降低,PA的优越性却愈加明显,这是因为PA 可以从局部最优的“陷阱”中跳出,更有可能求得SAT问题的全局最优解,可见PA是可行的和有效的.另外在实现W ALKSAT的过程中,我们还发现一个奇特的现象,在可满足的情形,W ALKSAT对大部分问题例算得很快,但是有一小部分问题例算得很慢,经过分析,我们发现在跳坑的过程中,该算法容易走回头路.以上算法都用C语言编程,并在PC486微机上运行通过,运行时间设定为300(s),每个测试例的样本数为20.为获得好的实验性能,每个算法所用到的参数都进行了优化选择,SAT1.3所用到的参数设置见文献[2],SA和W ALKSAT 所用到的参数见文献[5].PA选择T0=n×l,T∈[0.9,0.95].致 谢 对评审人提出的有助于改进和完善本文的中肯意见,对参与过讨论的何大华博士的帮助,致以深切的谢意.参考文献1Li Wei,Huang Xiong.Th e analysis of algorith ms for the proposition logic satisfiabil pu ter Science,1999,26(3):1-9(in Chinese)(李 未,黄 雄.命题逻辑可满足性问题的算法分析.计算机科学,1999,26(3):1-9)2Gu J.Local s earch for satisfiability(SAT)problem.IEEE Trans Sys tems,M an and Cybernetics,1993,23(4):1108-11283Liu Tao,Li Guo-J ie.Local search for s olving SAT p roblems and its averag e time complexity.Chinese J ournal of Comp uters,1997,20(1):18-26(in Chines e)(刘 涛,李国杰.求解S AT问题的局部搜索算法及其平均时间复杂性分析.计算机学报,199720(1):18-26)4Li W ei,Huang W en-Qi.A ph ysic-mathematical method for s olving conjunctiv e normal form satisfiability problem.Science1512期张德富等:求解SA T问题的拟人退火算法in China,Series A,1994,11:1208-1217(in Chinese)(李 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