新课标高二数学文同步测试(5)(1-1第三章(2)

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人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2椭圆的简单几何性质(一)[教材研读]预习课本P37～40，思考以下问题1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，x，y的取值范围各是什么？2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？4．椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？[要点梳理]1．椭圆的简单几何性质2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()2．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.() 3．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一椭圆的简单几何性质思考：如何由椭圆的标准方程判断焦点的位置？提示：当椭圆的焦点在x轴时，x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，当椭圆的焦点在y轴时，y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标．[思路导引]将方程化为标准形式，再由a2＝b2＋c2分别求出．[解]把已知方程化为标准方程为y225＋x2＝1，则a＝5，b＝1，所以c＝25－1＝2 6.所以长轴长2a＝10，短轴长2b＝2.两个焦点分别为F1(0，－26)，F2(0,26)顶点坐标A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0)．解决由方程求椭圆几何性质的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质．[跟踪训练]1．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1[解析] x 21m ＋1＋y 21m ＝1，∵1m >1m ＋1，∴1m ＝a 2，则长轴长2a ＝21m＝2m m .[答案] C2．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解] 把已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．长轴长8，短轴长6，离心率74，焦点(－7，0)，(7，0)．题型二由椭圆的几何性质求椭圆标准方程思考：由椭圆的标准方程可以得到椭圆的哪些几何性质？提示：由椭圆的焦点的位置、离心率、长轴长、短轴长和焦距，可得标准方程．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.[思路导引] 求椭圆的标准方程时，应先确定焦点的位置，再由条件求得a ，b 等参数．[解] (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8. 从而b 2＝a 2－c 2＝48.∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1. (2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．[跟踪训练]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63.(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，因为e ＝c a ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1. 若焦点在y 轴上，则b ＝3，因为e ＝ca ＝1－b 2a 2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.所以椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.综上可知椭圆方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.题型三求椭圆的离心率思考：椭圆离心率的实质是什么？提示：求出c与a的比值，而不是具体c与a的值．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路导引]由椭圆定义，△ABF2的周长为4a，再由三角形为正三角形，求得|F1F2|＝32|AF2|，可得ca的比．[解]不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.求椭圆离心率及范围的方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．[跟踪训练]已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率．[解]若焦点在x 轴上，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26， ∴e ＝c a ＝265.若焦点在y 轴上，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265. 故椭圆C 的离心率为265.课堂归纳小结1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)[解析] 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．[答案] D2．下面关于曲线4x 2＝12－3y 2对称性的一些叙述：①关于x 轴对称；②关于y 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．其中正确叙述的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题意，曲线方程为y 24＋x 23＝1，为焦点在y 轴的椭圆方程，由椭圆性质知①②③均正确，所以选C.[答案] C3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15[解析] 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或e＝－1(舍去)．[答案]B4．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与椭圆x2a2＋y2b2＝λ(λ>0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴[解析]由方程知长、短轴的比例相同，所以有相同的离心率，答案选C.[答案]C5．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为________．[解析]由题意，可将椭圆方程化为标准式为y225＋x29＝1，由此可得a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，e＝4 5.[答案]10,6，4 5。

新课标高二数学文同步测试（9）（选修1-2第四章）

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）（1-2第四章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．192．有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．303．“对于大于2的整数，依次从2～n 检验是不是n的因数，即整除n的数。

若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数”，对上面流程说法正确的是（）A．能验证B．不能验证C．有的数可以验证，有的不行D．必须依次从2～n－1检验4．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下大将，他英勇善战，谋略超群，为建立汉朝立下不朽功勋。

据说他在一次点兵的时候，为保住事秘密，不让敌人知道自己里的事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1~3报数，结果最后一个士兵报2；又令士兵1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样韩信很快算出自己士兵的总数。

士兵至少有多少人（）A．20 B．46 C．53 D．395．注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．“烧开水泡壶茶喝”是我国著名数学家华罗庚教授作为“统筹法”的引子，虽然是生活中的小事，但其中有不少的道理。

高中数学选修2-1 同步练习专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)

第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BCD ．1CB2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+-D ．22OP OA OB OC =+-3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OBD ．OC4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++=A ．BCB ．CGC ．12BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若,则下列向量中与相等的向量是A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122-+a b c D ．1122--+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，，是A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；④若空间向量a ，b ，c 满足=a b ，=b c ，则=a c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题为________________（填序号）． 10．在四面体O-ABC 中，=a ，=b ，=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= .(用a ,b ,c表示)11．在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若BCD △是正三角形，且E 为其中心，则的化简结果为________．12．在长方体1111ABCD A B C D ﹣中，下列各式运算结果为向量1BD 的是________________．（填序号）①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-；③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD -+． 13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1243OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ=________________．14．已知两非零向量12,e e ,且1e 与2e 不共线，若12λμ=+a e e (λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______.①a 与1e 共线；②a 与2e 共线；③a 与12,e e 共面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知a =3m -2n -4p ,b =(x+1)m +8n +2y p ,且a ≠0,b ≠0,若a ∥b ,求实数x ,y 的值.16．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ，BD 的中点，设2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，试用a ，b ，c 表示向量EF ．17．如图所示的多面体是以长方形ABCD 为底面的长方体的一部分,其中AB =4,BC =2,BE =2,CF =3,DG =1,求证:A ,E ,F ,G 四点共面..18．（1）已知向量1e ，2e 不共线，122=+a e e ，122=+b e e ，试判断a 与b 是否共线；（2）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且2CF FB =，2CG GD =．求证：四边形EFGH 是梯形．19．如图所示，已知几何体1111ABCD A B C D ﹣是平行六面体．（1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ，设1MN AB AD AA αβγ=++，求α，β，γ的值．。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(5)

一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．22．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B C D 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A ．12 B ．12C 1D 16．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12B ．32C ．43D ．97．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（） A ．5B ．4C ．3D ．28．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（）A ．B ．C D 11．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为A B ．2C D 12．双曲线2214x y -=的离心率为（）A B C D ．2二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．14．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.15．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.16．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．22．椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ，两点．求（1）线段AB 的长；（2）2ABF 的面积．23．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．24．已知椭圆222:1(1)x C y m m+=>，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（2）已知直线:5l y x =-，如果P 到直线l 的最小值为2，求m 的值． 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，22AB =，离心率22e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故22c a +=，即)1c a =，故离心率12c e a ===. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x =【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =，可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．10．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以12MAMC==，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.11．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即5e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b ba a BOA BOFb a a+∠==∠=-，整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.14．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.15．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-，解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为2313⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解.【详解】由题可知准线方程为2p y =-, 因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=.故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==，又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ，又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线；（Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1PM k k=-建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，抛物线与椭圆右焦点重合，12p∴=，即2p =，故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得()222240k x km x m +-+=，则()2222440km k m ∆=-->，可得1km <，设()()1122,,,B x y D x y ，212122242,km m x x x x k k-∴+==，设BD 中点为()00,M x y ，则120222x x km x k +-==，002y kx m k=+=，PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，则222212244PMk k k km km k k k -===-----，整理可得222km k =-， 1km <，则2221k -<，解得k <或k >，故直线BD的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．（1）7；（2）7. 【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，∴直线AB 的方程为1)y x =+，将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12127x x +=-，1247x x =12||x x ∴-=因此，12||||AB x x =-=． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：d ==212ABF SAB d == 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.23．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =，又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN =⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△．【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.24．（1）min ||2PA =；max ||5PA =；（2）m =. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点间的距离公式，将问题转化为二次函数求最值.（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题，设与l 平行的直线方程为y x t =+，将直线与椭圆方程联立，则0∆=，可得t =，根据图形观察可知，当t =时，直线l 与其平行线距离最小，根据最小值即可求解. 【详解】解：（1）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-2891(33)942x x ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭， ∴94x =时min 22PA =； 3x =-时max 5PA =．（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题．设与l 平行的直线方程为y x t =+，显然5t ≥-．联立方程y x t =+和22220x m y m +-= 得：()222222120mxm tx m t m +++-=，由()()4222224410m t mm tm ∆=-+-=，得：22222210m t t m t m -+-+=，即221t m =+，所以21t m =±+．根据图形观察可知，当21t m =-+时，直线l 与其平行线距离最小．25122m -++=5t ≥-． 215m +≤，所以2512m +=， 213m +=，因此28m =，故22m =±22m =．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出21t m =±+5t ≥-，考查了计算求解能力.25．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PBy k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅()1212884424244y y y y k k-+++++===，所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.26．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】（1）2AB =2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y ⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解.。

高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-1-1

*
6x＋7y≤50 x≥3 ，即 y≥2 x、y∈N
*
.
(1)当 x＝3 时，7y≤32，y≤ ∴y＝2，y＝3，y＝4，此时有 3 种选购方式． (2)当 x＝4 时，7y≤36，y≤ ∵y∈N＋，∴y＝2，y＝3，此时有 2 种选购方式． (3)当 x＝5 时，y≤ ∵y∈N＋，∴y＝2 此时有 1 种选购方式． 20 ， 7
[解析] 设装修大、小客房分别为 x 间、y 间．则 1 000x＋600y≤8 000 18x＋15y≤180 x≥0且x∈N y≥0且y∈N
＋＋
，
5x＋3y≤40 6x＋5y≤60 即 x≥0且x∈N y≥0且y∈N
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＋
＋
6．已知：m∈R，a>b>1，f(x)＝ [解析] f(a)－f(b)＝ ma mb － a－1 b－1

能力提升
一、选择题 1．某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式有多少种？( A．5 种 C．7 种 [答案] C B．6 种 D．8 种 )
[解析] 设购买软件、磁盘 x 片、y 盒．依题意得 60x＋70y≤500 x≥3 y≥2 x、y∈N
[解析] ∵(a＋1)2－(a＋1)3＝(a＋1)2(－a) ＝－a(a＋1)2>0， ∴a<0 且 a≠－1 三、解答题 9．某矿山车队有 4 辆载重为 10t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360t 矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式． [解析] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，由题意，得 x＋y≤9 10×6x＋6×8y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 x＋y≤9 5x＋4y≥30 ，即 0≤x≤4 0≤y≤7

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高二数学1-2章节训练题(2)［襟时达标检测］一、选择题1.观察下列各式：72 = 49,73 = 343,74 = 2 041,…，则72°13的末两位数字为()A. 01B. 43C. 07D. 49解析：选 C 因为71=7,72=49,73=343,74=2 401, 75=16 807,76=117 649,…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期r=4.又 2 013=4X503+1,所以72°i3的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.2.已知｛知｝为等比数列，方5=2,则础2勿…加=2".若｛a"｝为等差数列，«5=2,则0｝的类似结论为()A.…“9 = 2，B. «1 + «2+ •"+«9 = 29C.们吻…^9=2X9D. ai+a2H --------- a9=2X9解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有们+°2+…+啊=2+2 备=2X9.3.定义4*B, B*C, C*D,依次对应下列4个图形：解析：选C解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母幺代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母〃代表小矩形，.•./*〃是⑵，』*C是(4).4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：101 49 16图（2）他们研究过图⑴中的1,3,6,10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数; 类似地，称图（2）中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A. 289B. 1 024C. 1 225D. 1378解析：选C 记三角形数构成的数列为{伙〃},则幻=1,仪2=3=1+2,心=6=1+2+3, 1）04=10=1+2+3+4,可得通项公式为1+2+3 + •,•+«= 5 .同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b…=n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 5. 将正整数排成下表：1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 13 14 15 16则在表中数字2 013出现在（） A.第44行第78列C.第44行第77列 n 2.V442=l 936,452=2 025,且 1 936<2 013<2 025, .*.2 013 在第 45 行.又 2 025-2 013=12,且第 45 行有 2X45-1 = 89 个数字，：.2 013 在第 89-12=77 列. 二、填空题 6.设函数/(x)= ：,(x>0),观察: X I 乙/K X )=/(^(X ))=7X +8， x/4(对=必(对)=1公+16,根据以上事实，由归纳推理可得：当“WN*且"N2 时，人3)=/(/；,-13))=. 解析：由已知可归纳如下： xX/iW=(21-i )x+21> ^(X )=(22-1)X +22>B.第45行第78列D.第45行第77列解析：选D 第〃行有2“一1个数字, 前n 行的数字个数为1+3+5H ---------- 伽一1）=x X73(X)=(23_1)X+23,A X)=(24_1)X+24,…，_4(X)=(2"-I)X+2”.答案：(2"-l)x+2”7.在平面直角坐标系乂仲中，二元一次方程Ax+By=Q(A, B不同时为0)表示过原点的直线.类似地：在空间直角坐标系O - xyz中，三元一次方程4r+场+Cz=0⑷B, C 不同时为0)表示.解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点" 类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系。

高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________．解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12，解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)．故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算同步训练新人教B版必修2

3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( ) A.x e =2 B.e x=2 C.x 2=e D.2x=e 答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2 答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案：C 4.log 2487+log 212-21log 242=_____________.答案：21- 解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-.解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯.10分钟训练 1.式子)5log 211(22+的值为( )A.52+B.52C.2+25 D.1+25答案：B 解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2NMN M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-ba =1 000.∴ba 11-=1. 解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3，∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y )3等于( )A.2aB.aC.23aD.3a答案：D 解析：ln(2x )3-ln(2y )3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 解：(1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5, ∴b=log 35. 又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c，那么( ) A.b ac 111+= B.ba c 122+=C.b ac 221+= D.ba c 212+= 答案：B解析：设3a=4b=6c=k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( )A.9B.91C.-9D.91- 答案：B 解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91.5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0} 答案：B解析：∵x＞1,∴log 2x ＞0. 又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222.7.式子n a n ana aa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n解析：原式=n aaa na na na 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg =+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a＞0,b ＞0,∴ab ba =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb).9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3,∴4lg 2a-3lga-1=0. ∴lga=1或lga=41-. ∵lga＜0, ∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3，即12lgN N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。

高二新数学文(6)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。

这里的被解释变量是（）A．作物的产量B．施肥量C．试验者D．降雨量或其他解释产量的变量2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归，根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程^y＝a＋bx中，b的取值（）A．在（－1，0）内B．等于0 C．在（0，1）内D．在［1，＋∞］内3．当绘制散点图时（）A．应将被解释变量绘制在水平轴上B．将解释变量绘制在水平轴上C．如果解释变量是类别型的，应使用不同的图示标志D．应使用能够使整体趋势大致成线性的绘图标尺4．相关系数度量（）A．两个变量之间是否存在关系B．散点图是否显示有意义的模型C．两个变量之间是否存在因果关系D．两个变量之间直线关系的强度考虑下面的列联表数据，并回答问题（5）—（8）。

5．德国生产的汽车是4缸的比例为（）A．21% B．50% C．80% D．91%6．表中4缸汽车所占的比例是（）A．21% B．50% C．80% D．91%7．表中的4缸汽车是由德国生产的比例是（）A．21% B．50% C．80% D．91%8．从表中可以得出结论（）A．原产国和汽缸数之间不存在明显的关系B．原产国和汽缸数之间的相关系数可能是0.5C．拟合这些数据的回归线可能有负的斜率D．在原产国和汽缸数之间有一些相关对于家庭暴力案件有三种处理方法：建议分居，发传票和逮捕施暴者。

选修2-1模拟练习

AA 1DCB 1C 1 瑞安五中数学选修2-1模块综合练习一1．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（） A 、真命题与假命题的个数相同 B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2 下列各组向量中不平行的是（）A )4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB )0,0,3(),0,0,1(-==d cC )0,0,0(),0,3,2(==f eD )40,24,16(),5,3,2(=-=h g3．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴4.设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条5 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（）A 2B 2-C 2-或552D 2或552-6．双曲线4x 2+ty 2-4t=0的虚轴长等于（）（A ）t 2 （B ）-2t (C) t -2 (D)47．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 8．中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程为2x-3y=0的双曲线方程是（）（A ）154365522=-y x （B ）1365154522=-y x （C ）136********=-y x （D ）18113361322=-y x9．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．1010．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（）A ．a 42B ．a 82C ．a 423 D ．a 22二、填空题11.已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝是_____________________12 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -∙+=__________________13．已知双曲线的实轴长为2a,AB 为左支上过焦点F 1的弦，|AB|=m ，F 2为双曲线的另一个焦点，则△ABF 2的周长是__________________.14 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b ，则=x ______；若//a b则=x ______15．下列命题中: 是真命题的有 _____________.①、若m>0，则方程x2－x ＋m ＝0有实根 ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题 ③、对任意的x ∈{x|-2<x<4},|x-2|<3的否定形式④、△>0是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件.16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设集合A =(][),23,-∞-+∞ ，(2)()0x a x a -+>的解集为B (其中a <0)， ⑴求集合B⑵设:p x A ∈, :q x B ∈,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.已知抛物线px y 22=与过点M （m ，o ）的直线交于A （11,y x ），),(22y x B 两点，且)0(221>-=∙m m y y（1）求抛物线方程（2）若1-=∙求m 的值19.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？20.已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，1AA =3（I ）求证：1AC BD ⊥；（II ）求直线C A 1与侧面C C BB 11所成的角的正弦值；（III ）11AC BC 求异面直线与所成的角的余弦值。

(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。

新课标高二数学文同步测试(2)(选修1-1第二章)

图Biblioteka 20．（14分）已知圆
C1 的方程为(x－2)2+(y－1)2=
20 3
，椭圆
C 2
的方程为
x2 a2
+
y2 b
=1
（a>b>0），C2 的离心率为
2 ，如果 C
与C
2
相交于 A、B 两点，且线段 AB 恰为圆 C
2
1
2
1
的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。
参考答案
一、1．D；解析一：将方程 a2x +b2y2=1 与 ax+by2=0 转化为标准方程：
3m2 5n2
2m2 3n2
程是
（）
A．x＝± 15 y
2
B．y＝±
3．过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点
15 x C．x＝± 3 y
2
4
F 用一直线交抛物线于 P、Q
3x D．y＝± 两点，若线段4PF
与
FQ
的
长分别是 p、q，则 1 1 等于
pq
（）
A．2a
B． 1 2a
C．4a
D． 4 a
12 3
0
2
4 ），故选 A.
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2
5 ，且双曲线是对称图形，假设 P（x，
x2 1 4
），由已知 F1 P⊥F2
P，有
x2 4 x
1 5
x
x
42
1 5

1，即 x 2

24 5
2
线焦点（ 2m2 3n2 ，0），∴3m 2－5n2=2m2+3n2∴m 2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=±

高二数学选修1-2第三章复数测试题教学文案

高二数学选修1-2第三章复数测试题高二数学同步测试选修1-2（第三章）复数说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解2．已知z =x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z= （）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ．i +1的共轭复数是i －1；4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m（）A ．1B ．0C ．3D ．复数无法比较大小6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是（） A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，且z =2，则z =（）A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为．12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ．14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋yi =1()1t ti t t+++时，点(x , y )的轨迹方程．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值．16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z :(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz ．(2)z 的实部和虚部都是整数．18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2．（2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y+⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ，Λ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D ；7．A ；8．C ；9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；； 10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ；二、11．21；12．x =25, y =4； 13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i . 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋yi =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴ 点(x ，y )的轨迹方程为xy ＝1，它是以x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝、z2＝OD如图所示．则|zz12|＝52，且cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45，s i n∠A OD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250m mm⎧+-=⎨-≠⎩，解得m=2，∴m=2时，z为实数．（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩，解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0).则22)(101010ba bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++= 由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<z z ,∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<ba a * 当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解．当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a .由(2)知 a =1,2,3.∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1，因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R). 由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba ay x y y x ， ∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3,∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴)4,13[||∈w .复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合．20．讲解：从化简变形| →m |入手． |→m|2=(→m)2=(→→++-j B A i B A 2sin 252cos )2=225cossin 242A B A B-++⋅ =2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+ ， ∴2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+=89， ∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ， ∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ．又ΘA 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91．说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．。

高中数学选修1_1全册习题(答案详解)

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教

课时作业20 一元二次不等式的解法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中是一元二次不等式的是(C)A．a2x2＋2≥0 B．1x2＋x<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C．2．不等式6－x－2x2<0的解集是(D)解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝32，x2＝－2，所以不等式的解集为．故选D．3．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a的值是(D) A．－2 B．－1C．0 D．1解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，代入解得a＝1.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足：x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1. 5．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( A ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2<0.∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.6．已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，则实数m 的取值X 围是( C ) A ．{m |0<m ≤3－22或m ≥3＋22} B ．{m |m <3－22或m >3＋22} C ．{m |0<m <3－22或m >3＋22} D ．{m |m ≤3－22或m ≥3＋22}解析：∵方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，∴Δ＝(－m －1)2－8m >0，即m 2－6m ＋1>0，解得m <3－22或m >3＋2 2.再根据两根之和为m ＋12>0，且两根之积为m 2>0，解得m >0.综上可得，0<m <3－22或m >3＋2 2.二、填空题7．函数f (x )＝log 2(－x 2＋x ＋12)的定义域为(－3,4)．解析：由－x 2＋x ＋12>0，得x 2－x －12<0，解得－3<x <4，所以定义域为(－3,4)．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0的解集是{x |x >3或x ≤－1}．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0，得⎩⎨⎧x ≥23或x ≤－1，x >3或x <34，即x >3或x ≤－1，故不等式组的解集为{x |x >3或x ≤－1}．9．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a 2，x －4<2a 解集不是空集，则实数a 的取值X 围是－1<a <3.解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x >1＋a 2，x <4＋2a ，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1<4＋2a ，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.三、解答题10．求下列不等式的解集． (1)－2x 2＋x ＋12<0；(2)3x 2＋5≤3x ； (3)9x 2－6x ＋1>0.解：(1)原不等式可以化为2x 2－x －12>0.∵方程2x 2－x －12＝0的解是：x 1＝1－54，x 2＝1＋54，∴原不等式的解集是{x |x <1－54或x >1＋54}．(2)原不等式变形为3x 2－3x ＋5≤0. ∵Δ<0，∴方程3x 2－3x ＋5＝0无解． ∴不等式3x 2－3x ＋5≤0的解集是∅.∴原不等式的解集是∅.(3)∵Δ＝0，∴方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝13，∴不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为{x |x ≠13}．11．已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，不等式为f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)≤0， ∴不等式的解集为(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0，当0<a <1时，有1a>a ，∴不等式的解集为当a >1时，有1a<a ，∴不等式的解集为当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．——能力提升类——12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如右图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．13．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2. 由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6>3，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x ≥0，即x >3或0≤x <1；②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>3，x <0，解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 15．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围． (2)若函数的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上，0≤a ≤1. (2)因为函数的最小值为22，所以y ＝ax 2＋2ax ＋1的最小值为12，因此4a －4a 24a ＝12(a ≠0)，解得a ＝12.于是不等式可化为x 2－x －34<0，即4x 2－4x －3<0，解得－12<x <32.故不等式x 2－x －a 2－a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32.。

新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.2)

10．A正．四3棱柱 ABCD
AB，CD 的中点，
EAF1BB．1C61BDD1
C．
中，底面边长为 2
62
G ．则三棱锥 B1
，侧棱长为D4．，E3，F EFD1 的体积 V
分别为棱
二、A填．空题66：请把答案填在（ B．题1中63横）3线上（每小题
16 6C分．，共3 24
D．16
分）．
22
5．A；分析： Q ABB1 A1 为正方形， A1B AB1 ，又平面 AB1D 平面 ABB1A1 ， A1B 面 AB1D ， A1B 是
平面 AB1D 的一个法向量，设点C 到平面 AB1D 的距离为 d ，则
d ACuuuAr 1B = AC ( A1A AB)
18．（12 分）已知棱长为 1 的正方体 A1C ，E、F 分别是1 B1 C 、1 C D 的中点．（1）求证：E、F、D、B 共面；（2）求点 A1 到平面的 BDEF 的距离；（3）求直线 A1 D 与平面 BDEF 所成的角．
19．（14 分）已知正方体 ABCD－1A1 B1 C1 D 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求：（Ⅰ）D1 E 与平面 BC1 D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角 D－BC1 －C 的大小；（Ⅲ）异面直线 B1 D1 与 BC1 之间的距离．
Ⅰ Q D为的PC中点，

uuur OD

2 4
a,0,
1 2
h
,
uuur 又PA

2 2
a,0,h
，

uuur OD

1 2
uuur PA.
uuur uuur OD∥∥ PA.

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝（）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是（） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为（）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

新课标高二数学理同步测试(5)(选修2-1第三章3.2)

AA1DCB B1C1图普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（5）—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为2（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝，411B A 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A ．B ．171521 C ． D ．178233．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．B ．103021 C ． D ．153010154．正四棱锥的高，底边长和之间的距离S ABCD -2SO =AB =BD SC （）A ．B ．C ．D ．515555521055．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面111ABC A B C -a D 1CC 1C 的距离（）1AB D A ．B ．a 42a 82 C ． D ．a 423a 226．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离11111ABCD A B C D -1AB C 11A C D （）A ．B ．C ．D ．6333332237．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP 21⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（）A ．B ．C ．D ．62133860210302108．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，111C B A ABC -90=∠ACB 21=AA D ，E 分别是与的中点，点E 在平面AB D 上的射影是的重心G ．则1CC B A 1ABD ∆B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．B ．C ．D ．323723739．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D 是C B 延长线上一点，且111C B A ABC -3231=AA ，则二面角的大小BC BD =B AD B --1 （）A ．B ．C ．D ．3π6π65π32π10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD1111D C B A ABCD -22的中点，．则三棱锥的体积VG BD EF =⋂11EFD B - （）A ．B ．C ．D ．66331631616二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距1111ABCD A B C D -E 11A B 1D E 1BC 离．12．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截11111ABCD A B C D -E F 11A B CD B 面的距离．1AEC F 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离． 14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．。

选修1-1第三章导数测试题(含详解)1

高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。

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普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]
2005－2006学年度下学期
高中学生学科素质训练
新课标高二数学文同步测试（5）（1-1第三章（2））
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，
共50分）。

1．物体运动方程为s ＝41t 4－3，则t ＝5时的瞬时速率为
（）
A ．5 m/s
B ．25 m/s
C ．125 m/s
D ．625 m/s
2．曲线y ＝x n
（n ∈N ）在点P （2，)22
n 处切线斜率为20，那么n 为（）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
3．细杆AB 长为20 cm ，AM 段的质量与A 到M 的距离平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 段质量为8 g ，那么，当AM ＝x 时，M 处的细杆线密度ρ（x ）为（）
A ．2x
B ．4x
C ．3x
D ．5x 4．若f(x)=ax 3+bx 2+cx+d （a ＞0）为增函数，则
（）
A ．b 2-4ac ＞0
B ．b ＞0，c ＞0
C ．b=0，c ＞0
D ．b 2-3ac ＜0 5．函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则
（）
A ．0＜b ＜1
B ．b ＜1
C ．b ＞0
D ．0＜b ＜2
1 6．()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→
（）
A ．－１
Ｂ．－2
C ．－3
D ．1
7．两曲线32xy 1y 2b ax x y +-=++=与相切于点（1,－1）处，则a ，b 值分别为（） A ．0，2 B ．1，－3 C ．－1，1
D ．－1，－1 8．曲线y=ln(2x －1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离（）
A ．5
B ．25
C ．35
D ．0
9．设函数y ＝f （x ）在1x x =处有(),0x f 1='在2x x =时()2x f '不存在，则（）
A ．一定都是极值点及21x x x x ==
B ．是极值点只有1x x =
C ．都可能不是极值点及21x x x x ==
D ．至少有一个点是极值点及21x x x x ==
10．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是
（）
A ．21<<-a
B ．63<<-a
C ．63>-<a a 或
D ．21>-<a a 或
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。

11．曲线y ＝x 4的斜率等于4的切线的方程是___________．
12．垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程是____________。

13．()()()()().____________0,100021='---=f x x x x x f 则设
14．质点P 在半径为r 的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 r a d/s ，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的
速率为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。

15．（12分）（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
（2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。

16．（12分）已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△P AB面积最大．
17．（12分）已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为 1，曲线C2：y=bx3上点A（1，b）处的切线为 2，且 1⊥ 2，垂足M（2，2），求a、b的值及点P的坐标。

18．（12分）路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．
19．（14分）已知曲线S ：y=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值－4，求p 、q 的值。

20．（14分）设0>a ，求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。

参考答案（5）（1-1第三章（2））
一、
1．C ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．D ； 6．B ； 7．D ； 8．A ； 9．C ； 10．C ；二、
11．4x －y －3＝0； 12．3x+y+6=0
13．1000！；提示：()()()()()()!.10001000x 2x 1x lim 0
x 0f x f lim 0f 0
x 0
x =---=--='→→
14．－r sin t ；三、
15．解：（1）3)1(3663|'200200
++=++===x x x y k x x
当x 0=-1时，k 有最小值3，此时P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2）'s =6t+1，当t=2时，'s =13， ∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13
点拨：1、导数的几何意义：)x ('f 0就是曲线y=f(x)在点M(x 0,y 0)处的切线斜率，即)x ('f 0=k 切线。

16．解：|AB |为定值，△P AB 面积最大，只要P 到AB 的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点，设P （x ，y ）．由图可知，点P
在x 轴下方的图象上
∴y ＝－2
x ，∴y
′＝－
∵k AB ＝－ ∴－
∴x ＝4，代入y 2
＝4x （y <0）得y ＝－4．∴P （4，－4）
17．设P （t ，at 2
），则 1斜率k 1=2at
∴ 1：y-at 2
=2at(x-t) 2斜率k 2=3bx 2
|x=1=3b ∴ 2：y-b=3b(x-1) ∵ 1与 2交于点M （2，2）
∴ ⎩⎨⎧-=--=-)12(b 3b 2)
t 2(at 2at 22
∴ ⎪
⎩
⎪⎨⎧==+-21
b 02at 4at 2 ① 又 1⊥ 2
∴ k 1·k 2=-1
∴ 3
1
at -= ②
由①②得t=10，a=-30
1
∴ P(10,-
3
10) 18．解：如图，路灯距地平面的距离为DC ，人的身高为E B ．
设人从C 点运动到B 处路程为x 米，时间为t （单位：秒），AB 为人影长度，设为y ，则
∵BE ∥CD ，∴CD BE AC AB =
∴86.1=+x
y y ，又84 m/min ＝1．4 m/s ∴y ＝41x ＝207
t （x ＝1．4t ）
∵y ′＝207∴人影长度的变化速率为207
m/s
19．y’=3x 2+2px+q ……2分
令y’=0，设3x 2+2px+q=0两根为x 1,x 2，x 1<x 2，列表：
x 1
21 21
1-=x
∴ S 与x 轴相切于点（x 1，0），点（x 2，-4）在S 上 x 13+px 12+qx 1=0 ① ∴ x 23+px 22+qx 2=-4 ② 3x 12+2px 1+q=0 ③ 3x 22+2px 2+q=0 ④ ③×x 1-①得：x 1=2
p
-
④×x 2-②得：2x 23+px 22=4 又x 1+x 2=-32p ∴ x 2=6
1
-
p ，p=6 ∴ x 1=-3，x 2=-1 ∴ p=6，q=9 20．解：a
x x
x f +-
=
'121)(（0>x ）
当0>a
，0>x 时，
0)(>'x f ⇔0)42(22>+-+a x a x ，
0)(<'x f ⇔0)42(22<+-+a x a x ，
（i ）当1>a
时，对所有0>x ，恒有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞ 单调递增；
（ii ）当1=a 时，对1≠x ，恒有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递增，
又知函数
)(x f 在1=x 处连续，因此)(x f 在),0(+∞单调递增；
（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x ，
解得a a x ---<122或a a x -+->122，因此，函数
)(x f 在)12
2,0(a a ---单调递增，在),122(+∞-+-a a 单调递增，令
0)(<'x f ，即0)42(22<+-+a x a x ，
解得a a x a a -+-<<---122122，因此，函数
)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。