新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-第二章章末综合提升

[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
(教师独具)
直线的倾斜角与斜率
范围是()
A．－3＜k≤0
B．k＞－ 3
C．k≥0或k＜－ 3
D．k≥0或k＜－
3 3
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
(1)C[通过画图可知k＜－3或k≥0.故选C.]
(2)[解]由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝k l，
即5－y1
x2－2
＝
1－5
3－x2
＝1，解得x2＝7，y1＝0.
求直线的倾斜角与斜率的注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
[跟进训练]
1．已知直线ax＋y＋2＝0及两点P(－2,1)，Q(3,2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是()
A．a≤－4
3或a≥
3
2B．a≤－
3
2或a≥
4
3
C．－4
3≤a≤
3
2D．－
3
2≤a≤
4
3
A[因为直线ax＋y＋2＝0过定点A(0，－2)，根据题意画出几何图形如图所示：
直线ax ＋y ＋2＝0可化为y ＝－ax －2，因为P (－2,1)，Q (3,2)， 则k AP ＝
1－(－2)－2－0＝－3
2，k AQ ＝2－(－2)3－0
＝43.
若直线y ＝－ax －2与线段PQ 相交， 即－a ≥43或－a ≤－3
2， 所以a ≤－43或a ≥3
2.]
求直线的方程
2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0.
求：(1)AC 所在的直线的方程； (2)点B 的坐标．
[思路探究] (1)直线AC 过A 点且与BH 垂直，可求直线方程．
(2)B 点在直线BH 上，线段AB 的中点在中线CM 上，列方程组求得B 点坐标． [解] (1)因为AC ⊥BH ，所以设AC 所在的直线的方程为2x ＋y ＋t ＝0. 把A (5,1)代入直线方程2x ＋y ＋t ＝0中，解得t ＝－11. 所以AC 所在的直线的方程为2x ＋y －11＝0. (2)设B (x 0，y 0)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12.
联立得方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0－2y 0－5＝0，
2×x 0＋52－y 0＋1
2－5＝0.
化简得⎩⎨⎧ x 0－2y 0－5＝0，2x 0－y 0－1＝0.解得⎩⎨⎧
x 0＝－1，
y 0＝－3.
故B (－1，－3)．
求直线方程的方法
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．
[跟进训练]
2．已知△ABC 中，A (1,3)，AB ，AC 边上中线所在直线方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在的直线方程.
[解] 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 为中点， ∵点B 在中线y －1＝0上， ∴设点B 的坐标为(x B,1)．
∵点D 为AB 的中点，又点A 的坐标为(1,3)， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x B ＋12，2.
∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上， ∴x B ＋1
2－2×2＋1＝0，∴x B ＝5. ∴点B 的坐标为(5,1)．
∵点C 在直线x －2y ＋1＝0上， ∴设点C 的坐标为(2t －1，t )． ∴AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ，
t ＋32. ∵点E 在中线BE ：y ＝1上， ∴t ＋3
2＝1，∴t ＝－1. ∴点C 的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC 各边所在直线的方程为AB ：x ＋2y －7＝0， BC ：x －4y －1＝0，AC ：x －y ＋2＝0.
两直线的平行、垂直及距离问题
12足下列条件的a ，b 的值．
(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．
[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l 1方程，同时运用垂直条件A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．
[解] (1)∵l 1⊥l 2，
∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，a
b ＝1－a ， 即b ＝
a 1－a
. 故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)
a ＝0， l 2：(a －1)x ＋y ＋
a
1－a
＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，
∴4⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23
，b ＝2.
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
[跟进训练]
3．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；
(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0, 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，
所以|10＋5λ－5|
(2＋λ)2＋(1－2λ)2
＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝1
2或λ＝2. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩⎨⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l (图略)，设d 为点A
到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．
所以d max ＝|P A |＝10.
对称问题
1．怎样求点关于点的对称点？
[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[提示] 设出所求点坐标(x, y )，利用中点坐标公式建立关于x, y 的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y 的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．
【例4】 光线通过点A (2, 3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧
2＋x 02＋3＋y 0
2＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1.
解之得，A ′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为
y －1＝(x －
1)·1＋3
1＋4
，即4x －5y ＋1＝0.
解方程组⎩⎨⎧
4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.
所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋1
3
2＋23
，即5x －4y ＋2＝0.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x －4y ＋2＝0,4x －5y ＋1＝0.
1．[变结论]在本例条件不变的情况下，求光线从A 经反射后到达B 点所经过的路程．
[解] 由本例解析知，点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(－4，－3)．所以从A 发出光线经l 反射后到达B 的路程为|A ′B |.
即|A ′B |＝(－4－1)2＋(－3－1)2＝41.
2．[变条件]把本例条件中“直线l ：x ＋y ＋1＝0”改为“直线l 为x 轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 点A (2,3)关于x 轴对称点为A ′(2，－3)． ∴反射光线方程为
y ＋31＋3＝x －2
1－2
，即4x ＋y －5＝0. 又∵反射光线与x 轴交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54，0.
∴入射光线方程为
y －03－0
＝x －54
2－54
， 即4x －y －5＝0.
对称问题的求解策略
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式
是处理这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要
抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
求圆的方程
得的弦长为27，求圆C的方程．
[思路探究]设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过方程组求解，从而得到圆的方程．[解]设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆C与y轴相切得|a|＝r，①
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，②
圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝
|a－b|
2
，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，
∴
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
|a－b|
2
2
＋(7)2＝r2.③
联立①②③解方程组可得
⎩
⎨
⎧a1＝3，
b1＝1，
r1＝3
或
⎩
⎨
⎧a2＝－3，
b2＝－1，
r2＝3.
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
1．求圆的方程的方法
求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．
2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．
(3)解出a, b, r(或D, E, F)．
(4)代入圆的方程．
[跟进训练]
4．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y －29＝0相切，求圆的方程．
[解]设圆心为M(m,0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以|4m－29|
5＝5，
即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[思路探究](1)根据圆与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；(2)根据垂径定理确定等量关系，求直线方程．
[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外
切，所以0＜y 0＜7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.
因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为
4－0
2－0
＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝
|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|
5
. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
BC 22
，
所以25＝(m ＋5)2
5＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．
[跟进训练]
5．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；
(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短，求此弦长． [解] (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线过点P (4, －3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．
(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．
此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－1
6. 在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.
圆与圆的位置关系
12(1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13； C 2(4，－2)，r 2＝13.
因为|C 1C 2|＝(－2－4)2＋(2＋2)2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．
由⎩⎨⎧
x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.
点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝4
3.
所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －
20
3y －9＝0.
判断两圆位置关系的两种方法比较
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的
组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
[跟进训练]
6.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .若AB ＝37
2，求CD 的长．
[解] 因为AB ＝37
2，圆O 半径为2，
所以点O 到直线AB 的距离为1
4，显然AB ，CD 都不平行于坐标轴． 可知AB ：y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0. 则点O 到直线AB 的距离d ＝
1k 2＋1＝1
4
，解得k ＝±15. 因为AB ⊥CD ，所以k CD ＝－1
k ， 所以CD ：y ＝－1
k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0. 点M (2,1)到直线CD 的距离d ′＝
2k 2＋1
＝1
2， 所以CD ＝21－d ′2＝2
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
122
＝ 3. [培优层·素养升华]
【例】 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －7＝0内一点P (－1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点．
(1)求圆C的圆心坐标和面积；
(2)若直线l的斜率为3，求弦AB的长；
(3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
[思路探究](1)化圆的一般式为标准方程，得出圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22即可．
(2)先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可．
(3)圆上恰有三点到直线l的距离等于2，等价于圆心(－1,0)到直线AB的距离
为r
2＝2，利用点到直线的距离公式求解．
[解](1)圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22，面积为S＝8π.
(2)直线l的方程为y－2＝3(x＋1)，即3x－y＋2＋3＝0，
圆心到直线l的距离为d＝
|－3＋2＋3|
(3)2＋1
＝1，|AB|＝2r2－d2＝2(22)2－1
＝27.
(3)因圆上恰有三点到直线l的距离等于2，转化为
圆心(－1,0)到直线AB的距离为r
2＝2，
当直线l垂直于x轴时，
显然不合题意；
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0，
由d＝|－k＋2＋k|
k2＋1
＝
2
k2＋1
＝2，
解得k＝±1，
故直线l的方程为x－y＋3＝0，或x＋y－1＝0.
1.本题反映的是本章的重点热点问题，综合考查了圆的方程、直线的方程、距离公式、两直线的位置关系及直线与圆的位置关系．
2．通过考查这些知识点和题型，培养了学生直观想象，逻辑推理，数学建模、
数学运算的核心素养．
3．本题考查知识点全面且基本，属中档题．
[跟进训练]
7．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值． [解] (1)证明：圆的方程可整理为 (x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，
此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系． 由⎩⎨⎧
x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0， 得⎩⎨⎧
x ＝4，y ＝－2.
∴已知圆过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5(a －2)2＝5a 2，
解得a ＝1＋55或a ＝1－5
5(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2，
解得a ＝1－55或a ＝1＋5
5(舍去)． 综上所述，a ＝1±5
5.。