2011年高考数学试卷(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理科)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
(1) 复数
212i
i +-的共轭复数是 (A) 35
i - (B) 3
5i (C) i - (D) i
(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是
(A)y=x 2
(B)y=|x|+1
(C)y=-x 2
+1 (D)y=2-|x|
(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120
(B) 720 (C) 1440 （D ）5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）
13 (B) 12 (C) 23 （D ）34
(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-
(B) 35- (C) 35 （D ）45
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
（A ） （B ） （C ） （D ）
（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （C ） （B ） 2 （D ）3
（8）51
()(2a x x x x
+
-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40 （9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为
（A ）
310 （B ）4 （C ）16
3
（D ）6 （10）已知a
与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||10,
3p a b π
θ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦
3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤
->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是
（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2
π
ωϕ><
的最小正周期为π,且
()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在(0,
)2
π
单调递减 （B ）()f x 在3(,)44ππ
单调递减
（C ）()f x 在(0,)2
π单调递增 （D ）()f x 在3(,)44ππ
单调递增 （12）函数1
1y x
=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和
等于
(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8
第Ⅱ卷
包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若变量x ,y 满足约束条件329,
69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
则z =x +2y 的最小为
（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1,F 2在x 轴上， 过F 1的直线l 交C 与A ，B 两点，且⊿ABF 2的周长为16，那么C 的方程为
（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，BC=锥O-ABCD 的体积为
（16）在⊿ABC 中，B=60°，AB+2BC 的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
等比数列{n a }的各项均为正数，且12231a a +=， 23269a a a =。

（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列{
1
n
b }的前n 项和。

（18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD 。

(1)证明：PA ⊥BD
(2)若 PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品。

现用两种配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，的到下面试验结果：
(1) 分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B 配方生产一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为
2,94,2,94102,4,102.t y t t -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X
的分布列及数学期望。

（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （0，-1），B 点在直线y=-3上，M 点满足
MB //OA ,MA AB MB BA ⋅=⋅
,M 点的轨迹为曲线C 。

（1）求圆C 的方程
（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值。

（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点（1，f (1)）处的切线方程为230x y +-= （1）求a ，b 的值
（2）证明：当x >0,且x ≠1时, ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题纸上所选题目题号后的方框内打“√” （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D 、E 分别为⊿ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与⊿ABC 的顶点重合。

已知AE 的长为m
，的AC 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x+mn=0的两个根。

（1）证明C 、
B 、D 、E 四点共圆
（2）若∠A=90°，且m=4，n=6,求C 、B 、D 、E 所在圆的半径。

（23）（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos ,
22sin ,x y αα=⎧⎨
=+⎩
（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =
，P 点的轨迹为曲线C 2。

（1）求C 2的方程；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求│AB │ （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >。

（1）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值
选择题答案：
1-5 CBBAB 6-10 DBDCA 11-12 AD 填空题
13．-6 14.
22
1168
x y += 15. 解答题 17（1）13
n n a = （2）数列{
1
n
b }的前n 项和为21n n -+
18二面角A-PB-C 的余弦值为7
-
19 （1）用A 配方生产的产品的优质品率为0.3，B 配方生产的产品的优质品率为0.42
数学期望EX=2.68 20 （1）圆C 的方程2
124
y x =
- （2）O 点到l 距离的最小值为2。

21 a=1,b=1
22
23 24 {|31}x x x ≥≤-或 a=2。