(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)(最新整理)

形对角线的交点（。见图 7－5）
图 7－4
解： a
b
AC
2
AM
，于是
MA
1
(a
b)
2
由于 MC MA ，
于是
MC
1
(a
b)
2
又由于
a
b
BD
2 MD
，于是
MD
1
(b
a)
2
由于 MB MD ，
于是
MB
1
(b
a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
五、向量的模、方向角、投影
设 a {ax , a y , az } ，可以用它与三个坐
标轴的夹角、、 （均大于等于 0，小
5
于等于 ）来表示它的方向，称、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7－6，其余弦表示
形式cos、cos 、cos 称为方向余弦。
1． 模
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
2． 方向余弦
PP1 x2 2 2 32 x2 11 PP2 x2 12 12 x2 2
PP为： (1,0,0) ， (1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的 点与有序数组之间建立了一一对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。
◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1
◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 {a x , a y , a z } {cos, cos , cos } aa
例：已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0)，计算向量 M 1M 2 的模、方向余弦、方向角以及与
图 7－2 空间直角坐标系图 图 7－3 空间两点 M1M 2 的距离图 3．空间点 M (x, y, z) 的坐标表示方
法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若
M1 (x1, y1, z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点， 则 M 1M 2 的距离（见图 7－3），利用直
(2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 AC AB BC
(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和 b，任取空间一点 O，作 OA a ，
OB b ，规定不超过 的 AOB 称为向量 a 和 b 的夹角，记为 (a,b)
(4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影：通过点 A 作轴 u 的垂直平面，该平面与轴 u 的交点 A' 叫做点 A 在轴 u 上的投影。
或
a = ax i + ayj + azk
上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。
有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就 叫做向量 a 的坐标，并记为
a ＝ {ax，ay，az}。
4
上式叫做向量 a 的坐标表示式。
于是，起点为 M1 (x1, y1, z1 ) 终点为 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 的向量可以表示为 M 1M 2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1} 特别地，点 M (x, y, z) 对于原点 O 的向径
a b {ax bx , a y by , az bz }
a {ax , a y , az } ◆ 平行：若 a≠0 时，向量 b // a 相当于 b a ，即 {bx , by , bz } {ax , a y , az }
也相当于向量的对应坐标成比例即
bx by bz ax ay az
M 1M 2 同向的单位向量。
解： M1M 2 ＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1，1，- 2 } M1M 2 (1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 ， cos 1 ， cos 2
2
2
2
2 ， ， 3
3
3
4
设 a 0 为与 M1M 2 同向的单位向量，由于 a 0 {cos, cos , cos }
则
(1) 加法： a b (ax bx )i (a y by ) j (az bz )k
◆ 减法： a b (ax bx )i (a y by ) j (az bz )k
◆ 乘数： a (ax )i (a y ) j (az )k
◆或
a b {ax bx , a y by , az bz }
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a0 a
a 定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使 b＝ a 例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB a ， AD b ，试用
a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、MC 和 MD ，这里 M 是平行四边
b
c
时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7－
a
4
1
2． a b c 即 a (b) c 3．向量与数的乘法 a ：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0 时， a 与 a 同向，| a | | a |
(2) 0 时， a 0
(3) 0 时， a 与 a 反向，| a || || a |
性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Pr ju (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2
性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Pr ju (a) Pr ja
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自 由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角
7
坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方 向余弦的坐标表示式等概念。 作业：
8
第二节 数量积 向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂 直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
重合的向量）。
4． 量的模：向量的大小，记为 a 、 OM 。
模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5． 量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平
行。
6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a
二、向量的线性运算
1．加减法 a b c ： 加法运算规律：平行四边形法则（有
3
M 3M1 2 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6 由于 M 2 M 3 M 3M 1 ，原结论成立。
例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1,1) 的距离的两倍，求点 P 的
坐标。
解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 (x,0,0)
即得
6
a 0 { 1 , 1 ,
2 }
22 2
3． 向量在轴上的投影
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数 满足
AB ，且当 AB 与轴 u 同向时 是正的，当 AB 与轴 u 反向时 是负的，那么数 叫
做轴 u 上有向线段 AB 的值，记做 AB，即 AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，则 AB e
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的 意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：
由性质 1 知 aayx
M1M 2 M1M 2
cos cos
a a
cos cos
，当
a
az M1M 2 cos a cos
a
2 x
a
2 y
a
2 z
0 时，有
cos
ax
a
cos
ay
a
cos
az
a
ax
a
2 x
a
2 y
a
2 z
ay
a
2 x
a
2 y
a
2 z
az
a
2 x
a
2 y
a
2 z
一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向
量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向 量）。
2． 量的表示方法有: a 、 i 、 F 、 OM 等等。 3． 向量相等 a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全
如图 7－1，其符合右手规则。即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 角度
2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向。
2
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为： x 轴、 y 轴、 z 轴，坐标面分别
为 xoy 面、 yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图 7－2 所示。图 7－1 右手规则演示
(5) 向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别 为点 A' 和 B ' ，那么轴 u 上的有向线段的值 A' B' 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影，记做 Pr ju AB 。
2．投影定理
性质 1：向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦： Pr ju AB AB cos
设 a = M 1M 2 是以 M 1 (x1, y1, z1 ) 为起点、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量，i、j、k 分
别表示
图 7－5
沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－5，并应
用向量的加法规则知：
M1M 2 (x2 x1 ) i + ( y2 y1 ) j+ (z2 z1 ) k
W F s cos 其中 为 F 与 s 的夹角。
c) 性质：Ⅰ. a a a 2 Ⅱ.两个非零向量 a 与 b 垂直 a b 的充分必要条件为： a b 0 Ⅲ. a b b a Ⅳ. (a b) c a c b c
Ⅴ. (a) c (a c)
角三角形勾股定理为：
d 2 M 1M 2 2 M 1 N 2 NM 2 2 M 1 p 2 pN 2 NM 2 2
而
M1P x2 x1
PN y2 y1
所以
NM 2 z2 z1 d M 1M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
特殊地：若两点分别为 M (x, y, z) ， o(0,0,0)
d oM x 2 y 2 z 2
例 1：求证以 M1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M3(5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: M1M 2 2 (4 7)2 (3 1)2 (1 2)2 14
M 2 M 3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用
教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a) 定义： a b a b cos ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。
b) 物理上：物体在常力 F 作用下沿直线位移 s，力 F 所作的功为
OM {x, y, z}
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az， 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk.
2．向量运算的坐标表示
设 a {ax , a y , az } ， b {bx , by , bz } 即 a ax i a y j az k ， b bx i by j bz k