人教版高中数学必修一《函数模型的应用实例》课时达标及答案

课时作业 (三十六 )
1．某林场计划第一年造林10 000 亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 ()
A．14400亩B．172 800亩
C．17 280亩D．20 736 亩
答案C
解析设第 x 年造林 y 亩，则 y＝10 000(1＋20%)x－1，
∴x＝4 时， y＝10 000×1.23＝17 280(亩)．
2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以 23.04 元售出．此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况
是()
A．不亏不赚B．亏 5.92 元
C．赚 5.92 元D．赚 28.96 元
答案 B
解析设甲、乙两种产品原价分别为 a，b，则 a(1＋20%)2＝23.04，b(1－20%)2＝23.04.∴a＝16 元， b＝36 元．
若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利 23.04－16＝7.04 元，乙产品亏 36－23.04＝12.96 元，
∴共亏 12.96－ 7.04＝5.92 元．
3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是 ()
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－ 0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－ 0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
答案D
4．乙从 A 地到 B 地，途中前一半时间的行驶速度是v1，后一半时间的行驶速度是v2(v1<v2)，则乙从 A 地到 B 地所走过的路程 s 与时间 t 的关系图示为 ()
答案A
5．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的
年份大约是 (lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)()
A．2015 年B．2011年
C．2010 年D．2008 年
答案B
解析设 1995 年总值为 a，经过 x 年翻两番．则 a·(1＋9%)x＝4a.
2lg2
∴x＝lg1.09≈16.
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－0.15x2和 L2＝2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得的最大利润为 ()
A．45.606 万元B．45.6 万元
C．45.56 万元D．45.51 万元
答案B
解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售 (15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－ 0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10 时， S 有最大值为 45.6(万元 )．
7．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示． (至少打开一个水口)
给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③ 4 点到 6 点不进水不出水．则一定正确的论断序号是
________．
答案①
8．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒后的高度x 米可由x＝at－5t2确定．已知射出 2 秒后箭离地面高 100 米，求弓箭能达到的最大高度．解析由 x＝at－5t2且 t＝2 时， x＝100，解得 a＝60.
∴x＝60t－5t2.
由 x＝－ 5t2＋ 60t＝－ 5(t－6)2＋180，
知当t＝6 时，x 取得最大值为180，
即弓箭能达到的最大高度为 180 米．
9．某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，
可全部租出．当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加
一辆．租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需
要维护费 50 元．
(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最
大月收益是多少？
答案(1)88 辆(2)月租金定为 4 050 时最大月收益是307 050元
10．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是[0.1,1.5]) 和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是 [4.0,5.2]) 的换算关系式为 L＝5.0＋lgV.
(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；
V 1.5②0.4④
L ① 5.0③ 4.0
(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的
小数视力值是甲的 2 倍，求乙的对数视力值．
(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)
153
解析(1)∵ 5.0＋ lg1.5＝ 5.0＋lg10＝ 5.0＋lg2＝5.0＋ lg3－lg2＝
5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，
∴①应填 5.2；
∵5.0＝5.0＋lg V，∴ V＝1，②处应填 1.0；
4
∵ 5.0＋lg0.4 ＝5.0＋ lg 10＝ 5.0＋ lg4－ 1＝ 5.0＋ 2lg2－ 1＝ 5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，∴③处应填 4.6；
∵ 4.0＝5.0＋lg V ，∴ lgV ＝－ 1.∴ V ＝0.1.
∴④处应填 0.1.
对照表补充完整如下：
V 1.5 1.0 0.4 0.1 L
5.2
5.0 4.6 4.0
(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值， 则有 4.5＝5.0＋lgV 甲，
∴ V 甲＝10
－
0.5
，则 V 乙 ＝2×10－
0.5.
∴乙的对数视力值 L 乙＝5.0＋lg(2×10
－
0.5
)＝5.0＋lg2－0.5＝5.0＋
0.301 0－0.5≈4.8.
11．某种商品生产
x 吨时，所需费用为 (101x 2
＋5x ＋100)元，而出
x
售 x 吨时，每吨售价为 p 元，这里 p ＝a ＋b (a ，b 是常数 )．
(1)写出出售这种商品所获得的利润
y 元与售出这种商品的吨数 x
之间的函数关系式；
(2)如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是
150 吨时，
所获利润最大，并且这时每吨价格是
40 元，求 a ，b.
解析
(1)y ＝(a ＋b x
)x －(101x 2
＋5x ＋100)
＝ (1b －101)x 2
＋(a －5)x －100.
－ a －5
＝150，
1 1 (2)由题意，得
2
b －
10
a ＝45，
解得
b ＝－ 30.
150
40＝a ＋ b ，
a
0.1＋15 ln a －x ，x ≤6，
1．有时可用函数
f(x)＝
x －4.4
x －4 ，x>6，
描述学习某学科知识的掌握程度，其中
x 表示某科学知识的学习
次数 (x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数
a 与学科知
识有关．
(1)证明：当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121]，
(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，
请确定相应的学科．
0.4
(1)【证明】
当 x ≥7 时， f(x ＋1)－ f(x)＝ x －3 x －4 .
而当 x ≥7 时，函数 y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且 (x －3)(x －4)>0，
故 f(x ＋1)－f(x)单调递减．
∴当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降．
a
(2)解析
由题意可知 0.1＋15 ln a －6＝0.85，
0.05
整理得 a －
a
6＝e
0.05
，解得 a ＝e 0.05e
－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈
(121,127]．由此知，该学科是乙学科．
1．(2013 ·庆重 )若 a<b<c ，则函数 f(x)＝(x －a) ·(x －b)＋(x －b)(x －
c)＋(x －c) ·(x －a)的两个零点分别位于区间 (
)
A ．(a ，b)和(b ，c)内
C ．(b ，c)和(c ，＋∞ )内
B ．(－∞， a)和(a ，b)内
D ．(－∞， a)和(c ，＋∞ )内
答案
A
解析 令 y 1＝(x － a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＝(x －b)[2x －(a ＋c)] ，y 2＝－ (x －c)(x －a)，由 a<b<c 作函数 y 1，y 2 的图像 (图略 )，由图可知两
函数图像的两个交点分别位于区间 (a ， b)和(b ，c)内，即函数 f(x)的两
个零点分别位于区间 (a ，b)和(b ，c)内．
2．(2013 ·南湖 )函数 f(x)＝2lnx 的图像与函数
g(x)＝x 2
－4x ＋5 的图
像的交点个数为 (
)
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
答案
B
解析
由已知 g(x)＝(x －2)2＋1，所以其顶点为 (2,1)．又 f(2)＝2ln2
∈ (1,2)，可知点 (2,1)位于函数 f(x)＝2lnx 图像的下方，故函数 f(x)＝2lnx
的图像与函数 f(x)＝x 2
－4x ＋5 的图像有 2 个交点．
3．(2013 ·津天 )函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案
B
解析 函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数即为函数 y ＝|log 0.5x|与 y 1
y ＝|log 0.5x|与 y ＝
＝2x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数
1
2x 的图像，易知有
2 个交点．
4．(2010 ·安徽 )设 abc ＞0，二次函数 f(x)＝ax 2
＋bx ＋c 的图像可能
是( )
答案D
解析由 abc>0 知 a，b，c 均为正或两负一正．
对 A，由图像知 a<0，f(0)＝c<0，故 b>0，函数对称轴为－b
2a>0，
不满足题意．
对 B，由图像知 a<0，f(0)＝c>0，故 b<0，函数对称轴为－b
2a<0，
不满足题意．
对 C，由图像知 a>0，f(0)＝c<0，故 b<0，函数对称轴为－b
2a>0，
不满足题意．
故只能选 D.
．·南湖函数＝2＋bx 与 y＝log|b
≠ ，≠
5 (2010)y ax a|x(ab 0 |a| |b|)在同一直角坐标系中的图像可能是 ()[
答案D
函数 y ＝ax 2＋bx 的两个零点是 b
解析
0，－ a .
对于 A ，B ，由抛物线知，－ b ∈(0,1)，∴ |b
∈
．
a
a
|
(0,1)
b
y ＝log|a |x 不为增函数，错误；
b
对于 C ，由抛物线知 a<0 且－ a <－1，
b
∴b<0 且a >1.
b
b
∴|a |>1.∴y ＝log|a |x 应为增函数，错误；
b
对于 D ，由抛物线知 a>0，－ a ∈(－1,0)， ∴|b
∈
，满足 ＝
b 为减函数．
a
|
(0,1)
y log|a |x
6． (2010 ·福建 ) 函数 f(x) ＝
x 2＋2x －3，x ≤0， 的零点个数为
－2＋ln x ，x>0
()
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
答案
B
解析
令 x 2
＋2x －3＝0，解得 x 1＝ 1 或 x 2＝－ 3.
∵x 1＝1>0，故舍去．
令－ 2＋ln x ＝0，即 lnx ＝2，则 x ＝e 2
.
综上可得，当 x ＝－ 3 或 x ＝e 2 时，原函数的函数值为 0.
故选 B.
1 1 x
的零点个数为 ()
．
北·京 函数
＝
2
－( 7 (2012 ) f(x) x
2
)
A．0B．1 C．2D．3答案B
1
1 x 1
1 x
22
解析令 f(x)＝ x－ (2)＝0，得 x＝(2) ，求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数．如图所示．
有 1 个交点，故选 B.
8．(2009 ·湖南 )某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不
考虑其他因素．记余下工程的费用为 y 万元．试写出 y 关于 x 的函数关系式．
解析设需新建n 个桥墩，则(n＋ 1)x＝m，即
m
n＝ x －1，
所以y＝f(x)＝ 256n＋ (n＋1)(2＋
m m
x)x＝ 256(x －1)＋ x (2＋x)x＝
256m
x＋m x＋2m－256.。