重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题-含答案

5 4
或
5 3
5．若直线ax by 1与 O : x2 y 2 1 相离，则点 P a,b 与圆 O 的位置关系为（ ）
A．点 P 在圆 O 内
B．点 P 在圆 O 上
C．点 P 在圆 O 外
D．无法确定
6．设
F1
、
F2
分别为双曲线
x a
2 2
y2 b2
1a
0, b
0 的左、右焦点，双曲线上存在一点 P
A． 3 2
B．6
C． 3 2
D． 6
3．抛物线 x2 y 的准线方程是
A． y 1 4
B．
x
1 4
C． y 1 2
D． x 1 2
4．若双曲线 C 以两条坐标轴为对称轴， y 4 x 是其一条渐近线，则双曲线 C 的离心率 3
为（ ）
A． 5 4
B． 4 3
C．
4 3
或
5 3
D．
C． PQ 1 2
B．椭圆 C 的离心率为 3 4
D．
PF2
7 2
10．已知圆 C1 : x2 y2 1，C2 : ( x 3)2 ( y 3)2 r2 (r 0)．则下列说法正确的是（ ）
A．当 r 1 时，圆 C1 与圆 C2 有 4 条公切线
B．当 r 2 时， y 1是圆 C1 与圆 C2 的一条公切线
C．当 r 3时，圆 C1 与圆 C2 相交
D．当
r
4
时，圆
C1
与圆
C2
的公共弦所在直线的方程为
y
x
1 2
11．已知双曲线 C
：
x2 9
y2 16
1的左、右焦点分别为
F1 、 F2 ，过
F2 向 C
的一条渐近线
作垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ，则下列说法正确的是（ ）
A． M 为线段 NF2 的中点
，
证明： 为定值，并求出这个定值．
试卷第 6页，共 7页
六、问答题
22．如图，双曲线
:
x2
y2 m2
1 m 1 ，过原点 O 的直线 l1, l2 与双曲线 分别交于 A、
D． e12 e22 2e12e22
试卷第 1页，共 7页
二、多选题 9．已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1 、 F2 在 x 轴上，短轴长等于 2 ，焦距为 2 3 ，
过焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P 、 Q 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 4
8．椭圆 C1
:
x2 a12
y2 4
1 a1
2 与双曲线 C2
:
x2 a22
y2 4
1 a2Βιβλιοθήκη 2 有相同的焦点 F1 、 F2 ，
记椭圆 C1 的离心率为 e1 ，双曲线 C2 的离心率为 e2 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． e1e2 1
B． e2 2e1
C． e22 e12 1
A． APB MFN 180
C．
| OM | ON
| |
| |
FA FB
| |
B． AFB APB 180
D．
| OM | ON
| |
| |
MA MP
| |
试卷第 2页，共 7页
三、填空题
13．已知双曲线 C : x2 y2 1 ，则 C 的右焦点的坐标为
.
63
14．若 M (1, 2) 为圆 C : x2 + ( y -1)2 = 16 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程
94 (1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，且 PF1 PF2 16 ，求 PF2 的
大小．
试卷第 3页，共 7页
18．已知圆 C : x2 y2 2x 4 y m 0． (1)求实数 m 的取值范围； (2)若直线 l : x y 2 0 被圆 C 所截得的弦长为 2 ，求实数 m 的值．
使得
PF1
PF2
3b ，
PF1
PF2
9 ab ，则该双曲线的离心率为（ 4
）
A． 4 3
B．
5 3
C． 9 4
D． 3
7．若 F 为椭圆 C : x2 y2 1的左焦点，P 为椭圆 C 上一动点，M 2,1 ，则 MFP 周 97
长的最大值为（ ）
A． 4 2
B． 6 2
C．7
D．10
试卷第 5页，共 7页
五、证明题
21．如图，椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的离心率为
2 ，其长轴的两个端点与短轴的 2
一个端点构成的三角形的面积为 2 2 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过点
M
1,
0 的直线
l
交
C
于
A、B
两点，交直线
x
4
于点
P．若
PA
AM
，PB
BM
C． MF1 MF2 16
B．点 M 在直线 x 9 上 5
D． MF1 2 13
12．如图，F 为抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点，O 为坐标原点，过 y 轴左侧一点 P
作抛物线 C 的两条切线，切点为 A、B， PA 、 PB 分别交 y 轴于 M、N 两点，则下列结 论一定正确的是（ ）
为
．
15．若 P 是椭圆 x2 y2 1上一动点， A0,3 ，则 PA 的最大值为
．
4
16．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的焦点为 F1 ， F2 ，P
是椭圆上一点，且 F1PF2
π 3
，
若 △F1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 R 3r 时，椭圆的离心率为
．
四、问答题 17．已知双曲线的方程是 x2 y2 1．
重庆市南开中学校 2023-2024 学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 3x y 5 0 的倾斜角为（ ）
A． π 6
B．
π 3
C． 2π 3
D． 5π 6
2．若直线 x 2 y 3 0 与 mx 3y 6 0 互相垂直，则 m （ ）
19．已知抛物线 y2 x 与直线 x my 1 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点． (1)求证： OA OB ； (2)当 SAOB 10 时，求 m 的值．
试卷第 4页，共 7页
20．已知圆 C : x2 y 2 6x 4y 9 0 ，A 是圆 C 上一动点，点 B(3, 0) ，M 为线段 AB 的 中点． (1)求动点 M 的轨迹方程； (2)记 M 的轨迹为曲线 E，过点 N (1,3) 的点线 l 与曲线 E 有且只有一个交点，求直线 l 的方程．