2015年新北师大版九年级数学下册教师原创同步练习3.4圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习(含解析)
3.4圆周角和圆心角之间的关系同步练习一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝30°，则sin∠COB的等于（）A．B．C．D．2．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，＝＝，AD为⊙O的弦，∠BAD＝50°，则∠AED等于（）A．50°B．60°C．70°D．75°4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP ＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于（）A．B．C．D．6．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45°B．30°C．15°D．107．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（）A．α＝βB．α+2β＝90°C．2α+β＝90°D．α+β＝45°8．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°9．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE ∥AC，交BC的延长线于点E．若⊙O的半径为5，AB＝8，则CE的长为（）A．4B．C．D．二．填空题11．如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠GEO＝46°，则∠DCF＝．12．如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为．13．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．三．解答题16．如图，以△ABC的一边为直径的半圆与其它两边AC、BC分别交于点D、E，＝．（1）求证；AC＝AB；（2）若BC＝8，BA＝6，求CD的长．17．如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．18．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求弧CD的度数．②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．参考答案一．选择题1．解：∵OA＝OC，∠ACO＝30°，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，∵∠COB是△AOC的外角，∴∠COB＝∠ACO+∠OAC＝60°，∴sin∠COB＝sin60°＝．故选：C．2．解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故选：D．3．解：连接OA，OB，OC，OD，∵∠BAD＝50°，＝＝，∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，∵＝＝，∴AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠BOD＝50°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝150°，∴∠AED＝∠AOD＝75°．故选：D．4．解：∵的度数是40°，∴∠ACM＝40°∵∠CBP＝∠CAP＝10°，∴A、C、P、B四点共圆，∴∠ACM＝∠ABP＝40°，∵∠CPB＝10°，∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，∴的度数是20°．故选：C．5．解：连接BD．则∠CDA＝∠ABC．（同圆中同弧AC所对的圆周角相等）同理∠DCB＝∠DAB，所以△PCD∽△P AB，＝＝．∵AB直径，∴∠ADB＝90°．∴∠PDB＝∠ADB＝90°，在Rt△PDB中，cos∠DPB＝＝，∴sin∠DPB＝．（sin2∠DPB+cos2∠DPB＝1）tan∠BPD＝＝．故选：A．6．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝•OC，∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝30°，又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，∴∠BAD＝∠BOD＝15°．故选：C．7．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO＝α，∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，又∵D为中点，AB为⊙O直径，∴OD⊥AC，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即2α+β＝90°．故选：C．8．解：如图，连接DE，数学∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．9．解：如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∴∠ADC＝∠AOC＝33°，数学故选：A．10．解：∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴，∴，∴CE＝，故选：B．二．填空题11．解：∵CD是直径，EG＝GF，∴CD⊥EF，∴＝，∴∠CDF＝∠EOD，∵∠OGE＝90°，∠GEO＝46°，∴∠EOD＝44°，∴∠DCF＝22°．故答案为：22°．12．解：连接CD．∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝40°，∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°．故答案为50°．13．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：4015．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．∵＝，∴OM⊥PD，∴∠MOD＝90°，∴∠MCD＝∠MOD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝10，∴AT＝AC•sin45°＝5，∵AM≥AT，∴AM≥5，∴AM的最小值为5，故答案为5．三．解答题16．（1）证明：∵＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠ABC＝∠C，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CAE＝∠CBD，∠ACE＝∠BCD，∴△CAE∽△CBD，∴＝，即＝，∴CD＝．17．解：（1）∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠BOC＝2∠A＝40°；（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，即点O到BC的距离为12．18．解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，∴圆的半径为12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵点E为OC的中点，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度数为60°；②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，数学∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值为6．。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 圆的知识在足球比赛中的应用素材 (新版)北师大版
圆的知识在足球比赛中的应用
题目：如图1，在一次足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已经跟随冲到点B，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？为什么？
分析：从数学角度看，甲、乙谁射门好，关键是比较∠MAN与∠MBN的大小，角度越大，射门的机会越好。
如何比较∠MAN与∠MBN的大小呢？
如图2，过M、B、N三点作⊙O，发现点A落在⊙O的外部，连结CN。
根据圆周角定理的推论得，∠MBN＝∠MCN；在△CAN中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MCN＞∠MAN，所以∠MBN＞∠MAN，所以甲将球传给乙，让乙射门更好些。
当然我们也可以过M、A、N三点作圆。
如图3，过M、A、N三点作⊙O′，发现点B落在⊙O’的内部，延长MB交⊙O’于点D，连结DN。
根据圆周角定理的推论得，∠MDN＝∠MAN；在△BND中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MBN＞∠MDN，同样可得∠MBN＞∠MAN。
图1
图1
图3。
北师大版九年级数学下册 3 4圆周角和圆心角的关系同步练习(Word版含答案)
九下 3.4圆周角和圆心角的关系一、选择题（共9小题）1. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70∘，那么∠A的度数为( )A. 70∘B. 35∘C. 30∘D. 20∘2. 如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A=30∘，∠APD=70∘，则∠B等于( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 50∘3. 如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32∘，则∠OAC等于( )A. 64∘B. 58∘C. 68∘D. 55∘4. 若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A:∠B:∠C=1:3:8，则∠D的度数是( )A. 10∘B. 30∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40∘，则∠BOD等于( )A. 80∘B. 50∘C. 40∘D. 20∘6. 如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC等于( )A. 35B. 45C. 34D. 437. 如图，四边形ACDB内接于⊙O，若∠BDC=∠BOC，则∠BAC的度数为( )A. 50∘B. 60∘C. 45∘D. 90∘8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，连接BD，若∠C=120∘，AB=2，则△ABD的周长是( )A. 3√3B. 4C. 6D. 89. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2√3，则⊙O的半径为( )A. 2√3B. 4√3C. 2D. 4二、填空题（共3小题）10. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是．11. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为．12. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0,3)，M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120∘，则⊙C的半径长为．三、解答题（共5小题）13. 如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=20∘，求∠B的度数．14. 如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，BA=AF，BF与AD交于点E．求证：（1）∠BAD=∠ACB；（2）AE=BE．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC=86∘，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE．16. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，交BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2√3，求CD的长．17. 如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60∘．当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大?并求出最大面积．答案1. B2. C3. B4. D5. A6. C7. B8. C9. D10. AB∥CD11. 812. 313. 连接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90∘，∴∠ACB=45∘．又∵OA=OC，∠A=20∘，∴∠ACO=20∘，∴∠OCB=25∘．又∵OC=OB，∴∠B=25∘．14. （1）∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90∘，∴∠BAD+∠CAD=90∘，又AD⊥BC，∴∠ACB+∠CAD=90∘，∴∠BAD=∠ACB．（2）∵BA=AF，∴∠ACB=∠ABF，∵∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE．15. （1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180∘．又∵∠ADC=86∘，∴∠ABC=94∘，∴∠CBE=180∘−94∘=86∘．（2）∵AC=EC，∴∠E=∠CAE．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180∘．又∵∠CBE+∠ABC=180∘，∴∠ADC=∠CBE．在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC，∠DAC=∠E，AC=EC，∴△ADC≌△EBC，∴AD=BE．16. （1）∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=180∘−∠ADE=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，∴BE=CE=12由题意得△CDE∽△CBA，∴CDCB =CECA，∴CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，∴√3⋅2√3=4CD，∴CD=32．17. 当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大，理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=12AB⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，∴S四边形APBC =12AB⋅(PE+CF)．当点P为AB的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=√3，∴S四边形APBC =12×2×√3=√3．。
北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.1“圆周角和圆心角的关系”是本章节的重要内容，涉及到圆周角定理及其推论。在教学过程中，我以一个生活中的实例为背景，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
在案例中，我设计了一个关于自行车轮子的问题：一个自行车轮子上有36个齿，当车轮转过一周时，齿所形成的圆周角是多少度？通过这个问题，学生可以直观地感受到圆周角的概念。接着，我引导学生思考：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这时，学生已初步掌握了圆周角定理，能够运用定理解决问题。
2.运用分组讨论、展示等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。
3.设计不同难度的练习题，让学生在课后进行巩固，培养学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过圆周角定理的学习，使学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
（二）问题导向
在教学中，我设计了一系列问题来引导学生思考和探究。例如，当学生了解了圆周角的概念后，我提出问题：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这个问题引导学生思考圆周角和圆心角之间的关系，激发他们的探究欲望。通过问题导向，我引导学生积极主动地参与学习，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我设计了一系列有关圆周角和圆心角的问题，让学生分组讨论和解决问题。例如，我让学生设计一个关于圆周角和圆心角的实例，并展示给其他同学。通过小组讨论，学生能够互相交流、合作，共同解决问题，提高他们的团队协作能力和沟通能力。
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理作业新版北师大版
等弧
相等
8．如图，在⊙O中，点A是 的中点，若∠ADC＝ 24°，则∠AOB的度数为( ) A．12° B．24° C．36° D．48°
D
9．【2023·日照东港区期末】如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
D
6．【2023·承德双桥区模拟】如图，圆周角∠A＝30°，弦BC＝3，则圆O的直径是( ) A．3 B．3.3 C．6 D．6.3
C
7．圆周角定理的推论：__________或__________所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
(3)若原题改为已知AE＝OE，则弦AB所对圆周角的度数为_____________．
45°或135°
11．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是 的中点，BD交AC于点E. (1)求证：AD2＝DE·BD.
证明：∵D是 ∴∠DBC＝∠ABD. ∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAC＝∠ABD. ∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD. ∴ . ∴AD2＝DE·BD.
D
10．【2023·广元二模】如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠BAC＝70°，∠ACD＝50°，连接OE，若E为AC中点，那么∠OEB的度数为________．
30°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【点拨】∵∠ACD＝50°，∴∠ABE＝50°.在△ABE中，∠AEB＝180°－∠ABE－∠BAC＝180°－50°－70°＝60°. ∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，即∠OEA＝90°， ∴∠OEB＝90°－60°＝30°.
方法二： 如图，连接OA，OB，OD， 由题意可得OA＝OB＝OD，∠AOB＝50°－25°＝25°，∠AOD＝155°－25°＝130°， ∴∠OAB＝ (180°－∠AOB)＝77.5°， ∠OAD＝ (180°－∠AOD)＝25°， ∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝52.5°.
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三单元“圆”的一部分。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，并理解其含义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生掌握圆周角定理，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质和圆的周长、面积计算。
但学生对于圆周角和圆心角的关系可能较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：引导学生发现圆周角定理，理解圆周角定理的含义，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等方法，培养学生动手操作能力和团队协作能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
四. 教学重难点1.圆周角定理的发现和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和练习，引导学生观察、操作、交流，发现圆周角定理。
2.问题驱动法：提出问题，激发学生思考，引导学生探究圆周角和圆心角的关系。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和练习。
2.练习题：准备一些有关圆周角和圆心角的练习题，用于巩固和拓展。
3.教学道具：准备一些圆形道具，用于展示和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个圆形，引导学生观察圆周角和圆心角的关系。
提出问题：“你们认为圆周角和圆心角有什么关系？”让学生思考并发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现几个实例，让学生观察圆周角和圆心角的关系。
引导学生发现圆周角定理：一个圆周角等于它所对的圆心角的一半。
让学生用自己的语言阐述圆周角定理的含义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个关于圆周角和圆心角的练习题，并互相交换解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
九下第3章圆4圆周角和圆心角的关系3圆内接四边形作业新版北师大版
(1)试说明：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； 【解】∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB.∴DB平分∠ADC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝ 180°.∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°. ∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°. ∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－90°＝90°.
证法二：如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝ 90°. ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠PBC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠PBC.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长. 【解】由证法二得∠ADC＝∠PBC. ∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠PCA. ∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA.∴PPBC＝PPAC. ∴PC2＝PA·PB. ∵⊙O 的半径为 3，∴AB＝6. ∴PA＝PB＋6.∵CP＝4，∴42＝(PB＋6)·PB， 解得 PB＝2 或 PB＝－8(舍去)．∴AP＝2＋6＝8.
∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－120°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形．∴BC＝OB.
过点 O 作 OE⊥AD 于点 E，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，AD＝ 3，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，AE＝DE＝12AD＝
3 2.
∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝45°－30°＝15°，OE＝12OA.
【答案】C
3 [2022·长春]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为( ) A．138° B．121° C．118° D．112°
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
（3）课后作业和测试，了解学生对知识点的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思：
教师应在课后对教学过程进行反思，了解学生在学习过程中的困惑和问题，不断调整教学策略，以提高教学效果。同时，关注学生的情感态度，鼓励学生克服困难，树立自信心，使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示生活中的实例，如自行车轮子、风扇叶片等，引导学生观察并思考这些物体上的角度特点，从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问：询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况，为新课的学习做好铺垫。
3.复习：简要复习圆的基本性质，如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等，为新课的学习打下基础。
2.合作交流：鼓励学生在小组合作中，学会倾听、表达、交流，培养学生的团队协作能力。
3.理性思考：培养学生用数学的眼光看待问题，善于从多个角度分析问题，形成理性思考的习惯。
4.求知欲：通过解决实际问题，激发学生的求知欲，培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时，已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解，这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而，学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时，可能会遇到以下困难：
第四步：总结规律，教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质，并给出严谨的证明。
第五步：巩固练习，设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步：拓展提高，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和能力。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三章第四节的内容。
本节课的主要内容是探究圆周角和圆心角的关系，即圆周角定理。
这个定理是圆的基础知识之一，对于学生理解和掌握圆的相关概念和性质有着重要的意义。
教材中，首先通过观察和思考，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
接着，通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生，已经学习了平面几何的基础知识，对一些几何图形的性质和概念有一定的了解。
但是，对于圆的相关知识，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生复习一些与圆有关的基础知识，如圆的定义，圆心角的定义等。
同时，九年级的学生，抽象思维能力较强，善于通过逻辑推理来解决问题。
因此，在教学过程中，可以引导学生通过观察，思考，证明等方法，来理解和掌握圆周角定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆周角定理，并能运用圆周角定理解决一些与圆有关的问题。
2.过程与方法目标：通过观察，思考，证明等方法，学生能够发现和理解圆周角和圆心角之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的发现和证明。
2.教学难点：圆周角定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察，思考，证明的教学方法，引导学生发现和理解圆周角定理。
2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角之间的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一些与圆有关的问题，引导学生复习圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究：引导学生观察和思考，发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
3.应用：通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
北师大版九年级数学下册练习：3.4 圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级数学下册练习：3.4 圆周角和圆心角的关系C.55°D.60°5.(2019·广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A.∠2B.∠3C.∠4D.∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是(B)A.43°B.35°C.34°D.44°9.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°. 中档题12.(2019·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A.64°B.58°C.32°D.26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B)A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A.45°B.60°C.75°D.85°15.(2019·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为4 2.16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值. 解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°. ∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB ，OC ＝3，OA ＝6， ∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°. ∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°， ∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°， ∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2019·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2019·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2019·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2019·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB 为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积. 解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AE B＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系 中考试题精选(含答案)
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8 5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2 9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12 12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2 17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝．39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．3.4 圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选A．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选B．3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选C．5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选B．6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选D．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选A．8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选D．9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选B．10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．故选A．12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选D．15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选C．16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选B．17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选C．18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选C．19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选C．20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选C．二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为4π．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为52°．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为20．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为155．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为2．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为40°．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝20°，∵AC∥OB，∴∠CAB＝∠B＝20°，∴∠OAC＝40°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝40°，∴∠BOC＝∠C＝40°，故答案为40°．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝22.5°．解：连接OC，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵点C为的中点，∴∠BOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝×45°＝22.5°，故答案为22.5°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝60°．解：连接DC，∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∠ABC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∵∠BDO＝15°，∴∠BDC＝30°，∴∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案为60°．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为70°．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是50°．解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝30°．解：∵点C是半径OA的中点，∴OC＝OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DF A＝30°，故答案为30°39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝15°．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为15°40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝125°．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝125°．故答案为125°．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，∴BE＝AB•cos∠ABE＝，∴AE＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC+∠ADF＝90°，∵cos∠ABC＝，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，∴AD＝＝＝6．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得a＝，即：CD＝．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EF A＝60°∴∠B＝30°，∵∠EF A＝∠B+∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a，在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF+BF＝8a，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，∴CF⊥AB．。
北师大版九年级(下) 中考题同步试卷：3.3 圆周角和圆心角的关系(03)
则 AB 的长为（ ）
第2页（共8页）
A．4
D．2 cm
10．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB，∠CAB＝20°，则∠AOD 等于（ ）
A．160°
B．150°
C．140°
D．120°
11．如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且弦 BC 的中垂线与 相交于 D 点．若∠B＝74°，
B．80°
C．120°
D．160°
14．如图，点 P 在以 AB 为直径的半圆内，连接 AP、BP，并延长分别交半圆于点 C、D，
连接 AD、BC 并延长交于点 F，作直线 PF，下列说法一定正确的是（ ）
①AC 垂直平分 BF；②AC 平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．
A．①③
B．①④
C．②④
∠AEO＝20°，则∠B 的度数是
．
三、解答题（共 3 小题） 28．如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是半圆 O 上的两点，且 OD∥BC，OD 与 AC 交于点
E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD 的度数； （2）若 AB＝4，AC＝3，求 DE 的长．
第6页（共8页）
29．已知⊙O 的直径为 10，点 A，点 B，点 C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D．
D．③④
二、填空题（共 13 小题）
15．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，∠AOB＝100°，则∠ACB＝
度．
16．直径为 10cm 的⊙O 中，弦 AB＝5cm，则弦 AB 所对的圆周角是
．
17．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠ADC＝54°，
A．15°
北师大版九年级数学下册试题3.4圆周角和圆心角的关系.docx
初中数学试卷鼎尚图文**整理制作3.4圆周角和圆心角的关系一、选择题1．在同圆中，同弦所对的圆周角( )A．相等B．互补C．相等或互补D．互余2．如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有( )A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB ＝53，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°5．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180°B．15 0°C．135°D．120°6.下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题7．如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB ＝．8．如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝．9．如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________11．如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。
12．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-.三、解答题13．如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．14．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．15．如图3－70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．16．如图3－71所示，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，D 是AC 的中点，DH ⊥AB ，H 是垂足，AC 分别交BD ，DH 于E ，F ，试说明DF ＝EF ．参考答案1．C2．C3．60°[提示：如图3－72所示，作OD ⊥AB ，垂足为D ，则BD ＝12AB ＝532．∴sin ∠BOD ＝32BD OB ，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOA ＝120°，∴∠BCA ＝12∠BOA ＝60°．故填60°．] 4.分析： 因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对角互补。
九年级数学下册第3章圆3.4圆周角和圆心角的关系3.4.1圆周角和圆心角的关系同步练习新版北师大版_
3.4.1圆周角和圆心角的关系一、夯实基础1．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为（）．A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶22．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是（）3．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为（）4．弦MN把⊙O分成两段弧, 它们的度数比为4:5, 如果T为劣弧MN的中点, 那么∠M O T=________．5．OA是圆O的半径, 过OA的中点E作OA的垂线交圆O于B, C, 则弧BAC的度数是________．6． 6cm长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．7．在圆中等于半径的弦所对圆心角的度数是_______,弦所对劣弧所含圆周角的度数是______．8．如图, 在△ABC中, ∠C是直角, ∠A=32°18', 以C为圆心, BC为半径作圆交AB于D，交AC于E，则的度数是______．9．AB弦把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，则这两弧中，劣弧所对圆心角的度数为________．10．如图, AB为⊙O的弦, ∠OAB=75°, 则此弦所对的优弧是圆周的________．二、能力提升11．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．12．⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于_____，O M的长为_________．13．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于________度．14．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是________________．15．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，求所对的圆周角的大小．三、课外拓展。
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3.4圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
2．如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对D．5对
3．如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．
4．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
6.下列命题中，正确的命题个数是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、填空题
7．如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB ＝．
8．如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC ＝．
9．如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________
11．如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。
12．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-.
三、解答题
13．如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半
圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
14．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
15．如图3－70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．
16．如图3－71所示，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，D 是AC 的中点，DH ⊥AB ，H 是垂足，AC 分别交BD ，DH 于E ，F ，试说明DF ＝EF ．
参考答案
1．C
2．C
3．60°[提示：如图3－72所示，作OD ⊥AB ，垂足为D ，则BD
＝12AB ∴sin ∠BOD ＝BD OB ∴∠BOD ＝60°，∴∠BOA ＝120°，∴∠BCA ＝12
∠BOA ＝60°．故填60°．] 4.分析： 因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对角互补。
答案：D
5.分析： ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E 是圆周角，所对的弧之和恰好是整个圆周。
答案：A
6.分析：本题考查圆周角的概念，①不对，两边要于圆相交；②，④不对，应加上在同圆中。
③正确。
答案：A
7．65°
8．3
9．解：连接OD．∵AB是直径，CD⊥AB，∴∠AOC＝∠AOD．又∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ABD＝1
2
∠AOD＝
1
2
×60°＝30°．
10.分析：本题考查圆周角的概念。
因为AB是直径，弧AD的度数是80°，所
以弧BD的度数是100°。
所以∠BOC=50°。
答案：50°。
11.分析：因为 AB=CD，所以弧AB=弧CD，所以∠2=∠5=∠6=∠1
答案：3个
12.分析：如图连OA,OB.因为AB=OA.所以△AOB 是等边三角形，所以∠
O=60°，所以∠C=30°。
答案：30°
13．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－70°－70°＝40°，∴∠BOD＝2∠A＝80°．在△OBE中，∵OB＝OE，∴∠ABC ＝∠OEB＝70°，∠BOE＝180°－2∠ABC＝40°．∴∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝80°－40°＝40 °．
14．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=B D．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=O D．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
15．解：连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°．在Rt △ACB
中，AB ＝20(cm)．∵CD 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2，∴
AD BD =．∴AD ＝BD ．在Rt △ABD 中，∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ＝BD ＝2AB ＝2
×20＝(cm)． 16．解：连接BC ，∵AB 为直径，∴∠C ＝90°，∴∠CBD ＋∠BEC ＝90°．∵DH ⊥AB ，∴∠HDB ＋∠ABD ＝90°．∵AD CD =，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠HDB ＝∠BEC ，又∠BEC ＝∠FED ，∴∠FDE ＝∠FED ，∴DF ＝EF ．。