2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2 21
sin
7
21
，
2
7
即 AB 与平面 SBC 所成的角为 arc sin
21
（显然
7
是锐角）
20.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 1
1
1得：
1 an 1 1 an
数列
1 是等差数列，首项为
1
1
1 an
1 a1
-6-
1
1
故
1 n 1 1 n ，从而 an 1
1 an
n
1
1 （Ⅱ） bn
an 1
2
60 ，则 c 的最大值等于
(A) 2 (B) 3 (C) 2
(D) 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 , 一 题两空的题 , 其答案按先后次序填写 .
20
13. 1 x 的二项展开式中， x 的系数与 x9 的系数之差为
.
14. 已知
又显然 C ，故 cosC sin C 2
2 ，再由 cos2 C sin 2 C 1， 2
解得： cosC
62
，于是 C
4
12
18.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为 x , 因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为
0.3
故 1 0.5 x 0.3 x 0.6 ，
所以该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 1 1 0.5 1 0.6 0.8
3
6. 已 知 直 二 面 角
l
， 点 A , AC l, C 为 垂 足 ， B , BD l , D 为 垂 足 ， 若
AB 2, AC BD 1，则 D到平面 ABC的距离等于
2
3
6
(A)
(B)
(C)
(D) 1
2
3
3
-1-
7.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋友，每位朋友 1 本， 则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种
10 19
10
即 19ln 9 10
Βιβλιοθήκη Baidu19
2 ，两边同时取 e 的对数得： 9 10
e2
1 e2
综上所述： p
19
9
1
10
e2
-8-
则面 AEF与面 ABC所成的二面角的正切值等于
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b, c 。已知 A C 90 ,a c 2b ，求 C
-2-
18.（本小题满分 12 分） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为
4
3
(A)
(B)
(C)
5
5
3
4
(D)
5
5
11.已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M且与 成 60 二面角的平面
截该球面得圆 N，若该球面
的半径为 4. 圆 M的面积为 4 ，则圆 N 的面积为
(A) 7
(B) 9
(C) 11
(D) 13
12. 设向量 a, b, c 满足 a b 1,a b
1 , a c, b c
1
1 n1
n
n
n1 n 1 nn1 n
1 n1
所以 Sn
n
1
bk 1
1
1
k1
2 23
1
1
1
1
1
n n1
n1
21.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：易知： F 0,1 ，故： l : y
2x 1 ，代入椭圆方程得： 4x2 2 2x 1 0 ，
设 A x1, y1 , B x2, y2 , P x, y ，则 x1 x2
22.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）设函数 f x ln 1 x
2x ，证明：当 x 0 时， f x 0
x2
（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
20
次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为
p ，证明： p
19
9
1
10
e2
-4-
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学试题参考答案（不是标准答案）
0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的
概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（Ⅱ） X 表示该地的 100 为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求
X 的期望。
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S-ABCD 中， AB / / CD, BC CD , 侧面 SAB为等边三角形，
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题
5 分，满分 60 分．
1． B 2． B 3． A 4． D 5．C
6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题
5 分，满分 20 分．
4
13． 0 14．
3
2
15． 6 16．
2x 1 ， 得
2
6
31
A
,
B,
4
2
2 ,
，因为6 p 1
2 ,
3 1
，所以 Q
2 ,1
4
2
2
2
于是可以算得： kAP 2 2 6 ， kAQ 6 2 2 ， kBP 2 2 6 ， kBQ
2
tan PBQ 4 2 , tan APB
6 , tan PAQ 4 2 tan
3
于是四边形 APBQ对角互补，从而 A 、 P、 B、 Q 四点在同一个圆上。
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷
上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是满足题目要求的。
2 2 ， y1 y2
2 x1 x2 2 1 ，
因为 OA OB OP 0. 所以 x1 , y1 x2, y2 x, y 0,0
x, y
x1 x2 , y1 y2
2 ,
1
，将此坐标代入椭圆：
2
2
2
12 1 ，
2
2
所以点 P 在 C 上。
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） ： 4x2 2 2x 1 0 及 l : y
函数y2xx0的反函数为ay2xx4rby2xx04cy4x2xrdy4x2x0c于daa1b1bab21cab2da3b34?设sn为等差数列an的前n项和若1公差d2sk2sk24则ka8b7c6d55?设函数fxcosx0将yfx的图像向右平移个单位长度后所得的图像与原3图像重合则的最小值等于1ab3c6d933?下面四个条件中使ab成立的充分而不必要的条件是6
易算得： AD BD 5 ，
又因为侧面 SAB为等边三角形， SD=1， AB=2，
所以
2
SD
2
SA
5
2
2
2
AD , SD SB
5
2
BD
于是 SD SA , SD SB,
所以 SD 平面 SAB
（Ⅱ）设点 A 到平面 SBC 的距离为 d，
因为 SD 平面 SAB ，所以 SD AB , 从而 SD CD ,
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为
所以有 X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
p
1 0.8 0.2
C1X00
X
0.2
100 X
0.8
显然， X 服从二项分布，即 X B 100,0.2 ,
所以 EX 100 0.2 20
X 的期望为 20 19.（本小题满分 12 分）
-5-
（Ⅰ）证明：在直角梯形 ABCD 中， AB=BC=2， CD=1， AB / /CD , BC CD ，
, ， sin
5 ，则 tan 2
.
2
5
x2 y2
15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C :
1 的左、右焦点，点 A C ，点 M的坐标为 2,0 ，AM
9 27
为 F1 AF2 的角平分线，则 AF2
.
16. 已知点 E、F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 BB1、 CC1 上，且 B1E 2EB , CF 2FC1 ,
4.设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 1 ，公差 d 2,Sk 2 Sk 24，则 k=
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
5.设函数 f x cos x
0 ，将 y f x 的图像向右平移
图像重合，则
(A) 1 (B) 3
的最小值等于
3
(C) 6
(D) 9
个单位长度后， 所得的图像与原
2011 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 全国卷 II)
数学
本试卷共 4 页，三大题 21 小题。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
91 89 90
（共有 19 1 9 对数相乘） 2
902 902
902 90 9019
x0
10019
10019
19
9 10
由（Ⅰ）， 1 x 0 时，也有 f x
x2 2 0，
x1 x 2
故 f x 在 1,0 上单调增，所以 f
1
f0 0
10
1
即 f 1 ln 9 5 ln 9 2 0
10
10 19
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17.（本小题满分 10 分）
解：由 A C 90 ，得 B
AC
2C
2
故 sin A sin
C cosC ， sin B sin
2C cos 2C
2
2
由 a c 2b sin A sin C 2 sin B ， 故 cosC sin C 2 cos2 C ， cosC sin C 2 cos2 C sin 2 C
1.复数 z 1 i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1
(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i
2. 函数 y 2 x x 0 的反函数为
2
(A) y x x R 4
2
(B) y x x 0 4
(C) y 4x2 x R
(D) y 4x2 x 0
3.下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a b 1 (B) a b 1 (C) a 2 b2 (D) a 3 b3
8.曲线 y e2 x 1在点 0,2 处的切线与直线 y 0和 y x 围成的三角形的面积为
1
1
2
(A)
(B)
(C)
(D) 1
3
2
3
9.设 f x 是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1时， f x 2x 1 x ，则 f 5 2
1
1
1
1
(A)
(B)
(C)
(D)
2
4
4
2
10.已知抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F，直线 y 2x 4 与 C 交于 A、 B 两点，则 cos AFB
AB=BC=2， CD=SD=1.
（Ⅰ）证明： SD 平面 SAB ;
（Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。
20.（本小题满分 12 分）
1
1
设数列 an 满足 a1 0,
1
1 an 1 1 an
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
1 （Ⅱ）设 bn
an 1 ，记 Sn n
n
bk ，证明： Sn
k1
因而可以算得： SC
2 ，又 SB BC 2 ，故 S SBC
7
2
又因为 CD / / 平面 SAB, 所以点 C 到平面 SAB的距离为 SD 1
另外，显然 S SBA
32 2
4
3，
所以 V四棱锥 A SBC
1 3
7
1
d 2
V四棱锥 C SAB
3
31
得： d 2 21 7
设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ，则
1。
21.（本小题满分 12 分）
已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2 y2 1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为
2的
2
-3-
直线 l 与 C交于 A、B 两点，点 P 满足 OA OB OP 0.
（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明： A 、P、 B 、Q 四点在同一个圆上。
AQB
2 6
3
6 22
22 .（本小题满分 12 分）
证明：（Ⅰ） x 0 时， f x
1 2 x 2 2x
1x
2
x2
x2 2 0，
x1x 2
于是 f x 在 0, 上单调增，所以 f x f 0 0
（Ⅱ） p
100 99
82 81
100 20
99 98 10019
81
-7-
99 81 (98 81) 10019