2015年陕西高考理科数学试题及答案

2015年高考陕西省理科数学真题
一、选择题
1.设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A ．167
B ．137
C ．123
D ．93
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin()6
y x k π
ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为
（ ） A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4.二项式(1)()n
x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤
B ．||||||||a b a b -≤-
C ．2
2
()||a b a b +=+
D ．2
2
(a b)(a b)a b +-=-
8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）
A ．28
B ．10
C ．4
D ．2
9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q =>
10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额
表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．
31
42π
+ B ．
11
42π
- C ．
112π
- D ．
112π
+ 12.对二次函数2
()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值
D ．点(2,8)在曲线()y f x =上
二、填空题
13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
14.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
1x y -=的一个焦点，则p=
15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1
(0)y x x
=
>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
三、解答题
17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
()I 求A ； ()II 若7a =
，2b =求C ∆AB 的面积．
18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，
O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；
()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面
1CD A 夹角的余弦值．
19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
()I 求T 的分布列与数学期望ET ；
()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离
开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20.已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为
12
c ． ()I 求椭圆E 的离心率；
()
II 如图，AB 是圆:M ()()22
5212
x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．
21.设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，
2n ≥．
()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n x ），且1
1122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与
()n g x 的大小，并加以证明．
22.如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．
()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；
()II 若D 3DC A =，C 2B =
，求O 的直径．
23.在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232
x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．
()I 写出C 的直角坐标方程；
()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
2015年高考陕西省理科数学真题答案
一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2
{x }{0,1},M x
x M
=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x
所以0,1M
N ⎡⎤=⎣⎦，选A
2.答案：B
解析过程：
由图可知该校女教师的人数为
，选B
3.答案：C 解析过程：
试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C
4.答案：B 解析过程：
二项式(1)n
x +的展开式的通项是1r r
r n T C x +=，
令2r =得2x 的系数是2
n C ，
因为2x 的系数为15，所以2
15n C =，
即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：
试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A
11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16
x π
+Φ=-min 2y =5k =sin(
)16
x π
+Φ=max 3158y =⨯+=21
121222342
πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D
解析过程：
ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0
αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0
所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：
因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；
当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；
22
(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B
8.答案：C 解析过程：
初始条件：；
第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．
9.答案：B 解析过程：
()ln p f ab ab ==，(
)ln
22
a b a b
q f ++==， 11
(()())ln ln 22
r f a f b ab ab =+==
函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，
因为2a b ab +>，所以()()2a b
f f ab +>， 所以q p r >=，故选C
10.答案：D 解析过程：
设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥2
3110y =+=x y 34z x y =+
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D
解析过程：
如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：
假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，
所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨
=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a
c a
=-⎧⎨=+⎩，
因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2
()5108f x x x =-+
因为()2
15(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，
所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：
设数列的首项为，则，
32122800
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242
ππ⨯-
⨯⨯=-||1z ≤y x ≥21
11
42142π
ππ
-
=-
⨯1a 12015210102020a +=⨯=
所以，故该数列的首项为 14.答案：22 解析过程：
抛物线2
2(0)y px p =>的准线方程是2
p
x =-， 双曲线2
2
1x y -=的一个焦点1(2,0)F -， 因为抛物线2
2(0)y px p =>的准线 经过双曲线2
2
1x y -=的一个焦点， 所以22
p
-
=-，解得22p = 15.答案：（1,1） 解析过程：
因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是 16.答案：1.2 解析过程：
建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，
15a =5x
y e =x
y e '=x
y e =()0,1010
1x k y e ='
===P ()00,x y 00x >00
1
y x =1y x =
21y x
'=-1
y x
=P 0
220
1x x k y x ='==-
121k k ⋅=-20
11x -
=-2
1x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=2
2x py =0p >()5,22
225p ⨯=
解得，所以，即， 所以当前最大流量是
，
故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．
解析过程：
（I ）因为，所以，
由正弦定理，得 又，从而
，
由于，所以
(II)解法一：由余弦定理，得
而
得，即
因为，所以.
故ABC 的面积为
2
sin sin
3
B
=
，从而sin 7B =，
又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+sin()3
B π
=+
sin cos
cos sin
3
3
B B π
π
=+=
254p =
2252x y =2
225
y x =()()5
3235
35
522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎡
⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
⎰16
1.2403
=3
π
//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3
A π
=
2
222cos a b c bc A 7b 2,a 3
π
A =
2742c c 2230c c 0c
3c ∆1
33
bcsinA 2
2
所以ABC ∆的面积为
133sin 2bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）
解析过程：
（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，
BAD=
，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面
又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC
所以为二面角的平面角，所以.
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为, 所以 得 ，.
设平面的法向量， 平面的法向量，
平面与平面夹角为，
则，得，取，
，得，取， 6
∠2
π
⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2
A π
∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12
222(
,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222
B 22BC(
,,0),122
A C(0,,)CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2
222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ1110
n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1
(1,1,1)n 2210
n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =
从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：
()I T 的分布列为：
ET=32（分钟）
()II
解析过程：
以频率估计概率得T 的分布列为
从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，
的取值相互独立，且与T 的分布列相同.
设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为
50分钟， 所以事件A 对应于
“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一：
.
解法二：
故.
20.答案：()I ()II
22
x y +
=1123 解析过程：
（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，
12cos |cos ,|n n θ=〈〉=
=1BC A 1CD A 3
0.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T 121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)
P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12
P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc
则原点O 到直线的距离，由， 得
，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1)
依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且. 易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得
设
则 由，得
解得. 从而.
于是. 由
，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2)
依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设
则，，
两式相减并结合 得.
bc d a
==12d c 2222a b a c 3c a 22244x y b |AB |
10(2)1y k x 2222
(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221
212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)102
3b 2
21123x y 22244x y b |AB |
101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 1
2124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y
易知，AB 不与x 轴垂直，则，
所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得
所以，. 于是. 由
，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 21.答案： （I ）证明见解析；（II ）当时， ， 当时，，证明见解析． 解析过程：
（I ）则 所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，
12x x ≠12121k .2AB
y y x x 1(2)12y
x 224820.x x b 124x x 212
82x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)102
3b 2
2112
3x y 1x ()
()n n f x g x 1x ≠()
()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)
10,n F n 1211111112()1220,122222
12n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
n x 1()120n n F x x nx -'=++
>1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
n x n x ()n F x ()=0n n F x
即，故. (II)解法一：由题设， 设 当时,
当时, 若, 若,
所以在上递增，在上递减，
所以，即.
综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设， 当时,
当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，
11201n n n
x x 111=+22n n n x x 11().2
n
n n x g x 211()()()1,0.2n
n n n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()1
11()12.2
n n n n x h x x nx --+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22
n n n n n n x x 1x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-
11110.22n n n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()
()n n f x g x 211()1,(),0.2n n n n n x f x x x
x g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()
()n n f x g x 2n 2
221()()(1)0,2f x g x x 22()
()f x g x (2)n k k =≥()
()k k f x g x +1n k
. 又 令，
则 所以当,,在上递减；
当,,在上递增. 所以，从而 故.即，不等式也成立.
所以，对于一切的整数，都有.
解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为, 则，，
所以, 令
当时, ,所以. 当时, 而，所以，.
若, ,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以， 111k+1k 11()()()2k k k k k k x f x f x x g x x x 12112
k k x k x k 11k+121111()
22k k k k x k x k kx k x g x 1()11(x 0)k k k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x
k k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0k
h x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h 1k+1211()2k k x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k
1,2,, 1.n 111a b 11n n n a b x ()11+1(2n)n k x a k k n
-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()
111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+->≤≤1x =k k a b ()
()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n
----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11n
k x ()0k m x '<1x 11n k x ()0k
m x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()
(1)0k k m x m
所以当又,，故 综上所述，当时, ；当时 22.答案：()I 见解析()II 直径为3
解析过程：
（Ⅰ）因为是的直径，则， 又，所以，
又切于点，得，
所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则
， 又，从而，
由，解得，所以， 由切割线定理得，解得， 故，即
的直径为3.
23.答案： ()
I 22（-3x y +=()II （3,0）
解析过程：
（1）由，得，
从而有，所以 （2）设，又， 则 24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． ()I 求实数a ，b 的值；
()II
答案：()I a=-3,b=1()II 4
解析过程：
（Ⅰ）由，得，
01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,1
1a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()
()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD BC CD =
=BC
=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=
O ρθ
=2sin ρθ
=22x y +
=(223x y +-
=132P t ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
C PC ==x a b +<b a x b a --<<-
由题意得，解得；
，
时等号成立， 故
24
b a b a --
=⎧⎨-=
⎩3,1a b =-==
+≤4===1t =min 4=。