八年级数学上册 14.2 乘法公式教案 (新版)新人教版

14．2 乘法公式
第1课时平方差公式
教学目标
1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学重点
平方差公式的推导和应用．
教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？
通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！
二、自主学习，指向目标
自学教材第107页至108页，思考下列问题：
1．根据条件列式：
(1)a、b两数的平方差可以表示为________；
(2) a、b两数差的平方可以表示为________；
2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．3．平方差公式(乘法)的特征是：左边是__________________，右边是__________________．
三、合作探究，达成目标
探究点一探索平方差公式
活动一：1.填写教材P107三个计算结果，
展示点评：
(1)二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(二项)
(2)观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？
(等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．)
2．归纳：两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________．
用公式表示上述规律为：(a＋b)(a－b) ＝________这就是平方差公式．
3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？(a＋b)(a－b)＝a2－b2
4．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？若能用，公式中a，b分别代表什么？
例1运用平方差公式计算
(1)(3x＋2)(3x－2)；
(2)(－x＋2y)(－x－2y)．
思考：确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？
展示点评：观察算式：①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差．
解答过程见课本P108例1
小组讨论：能运用平方差公式计算的式子有何特征？
【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：有一项相同，另一项互为相反数．
针对训练：
1．计算(2a＋5)(2a－5)等于( A )
A．4a2－25 B．4a2－5 C．2a2－25 D．2a2－5
2．计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( B )
A．m2－2m－1 B．m2－1 C．1－m2 D．m2－2m＋1
探究点二平方差公式的综合应用
活动二：计算：
(1)102×98；
(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．
展示点评：(1)例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？
(2)例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？
展示点评：第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第(2)题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算．
解答过程见课本P108例2
小组讨论：平方差公式与整式乘法有什么关系？在运用时应注意什么问题？
【反思小结】(1)可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算．
(2)有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式．
(3)在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．平方差公式的特征，公式中的字母a和b既可以表示数，也可表示字母，还可以表示多项式；
2．能应用平方差公式进行乘法运算，并能进行简单变形应用．
3．平方差公式与多项式乘法之间的关系．
五、达标检测，反思目标
1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( C )
A．(x＋y)(－x－y) B．(2x＋3y)(2x－3z)
C．(－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)
2．下列各式运算结果是x2－25y2的是( B )
A．(x＋5y)(－x＋5y) B．(－x－5y)(－x＋5y)
C．(x－y)(x＋25y) D．(x－5y)(5y－x)
3．两个连续奇数的平方差是( B )
A．6的倍数B．8的倍数C．12的倍数D．16的倍数4．计算：(2＋3x)(－2＋3x)＝__9x2－4__．
5．已知(x－ay)(x＋ay)＝x2－16y2，那么a＝__±4__．
6．计算：
(1)a(a－5)－(a＋6)(a－6)
解：原式＝a2－5a－(a2－36)
＝36－5a
(2)(x＋y)(x－y)(x2＋y2)
解：原式＝(x2－y2)(x2＋y2)
＝x4－y4
(3)9982－4
解：原式＝(998＋2)(998－2)
＝1000×996
＝996000
●布置作业，巩固目标教学难点
1．上交作业：课本P112第1题．
2．课后作业：见《学生用书》．
第2课时完全平方公式
教学目标
1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
2．熟练应用公式进行计算．
教学重点
完全平方公式的推导过程、结构特点以及几何解释，并能灵活应用．
教学难点
理解完全平方方式的结构特征，并能灵活应用．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
1．多项式乘以多项式的法则是什么？
(多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．)
2．观察下列计算过程及结果：
(1)(p＋q)(p＋q)＝________________＝________________；
(2)(x－y)(x－y)＝________________＝________________.
展示点评：怎样快速的计算形如(2x＋y)2的运算，这就是我们今天所要学习的主要内容．
二、自主学习，指向目标
自学教材第109页至110页，思考下列问题：
1．完全平方公式的推导的依据多项式乘以多项式的乘法法则
2．完全平方公式的特征是：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍；与平方差公式的区别是平方差公式是两数的和乘以两数的差，等于这两数的平方差，其结果是一个二项式．
3．从几何的角度去理解完全平方公式，观察下图，可以得到：
(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________．
三、合作探究，达成目标 探究点一 完全平方公式
活动一：1.根据条件列式：
(1)a ，b 两数和的平方可以表示为________； (2)a ，b 两数平方的和可以表示为________． 2．填写教材P 109四个计算结果． 展示点评：
(1)一个多项式的平方运算可以看做哪种形式的运算(两个相同的多项式的乘法运算) (2)课本中的二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(三项)
(3)上列算式运算的依据是什么？ (依据是多项式乘以多项式的乘法法则) (4)观察上列算式，运算出结果后的三项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和或差的平方；等号的右边是这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．)
3．归纳：由上述规律可得到公式：
(a ＋b)2＝________；(a －b)2
＝________． 完全平方公式：两数和(或差)的平方等于这两个数的______加上(或减去)这两个数积的______倍．
可记作：首平方，尾平方，二倍乘积放中央．
4．观察教材图14 .2－2及14 .2－3你通过图形中的面积，得到什么结果？
(a ＋b)2＝a 2＋ab ＋b 2＋ab ＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2
； 5．观察教材P 110例3中的两个算式，能否用完全平方公式进行计算？若能用，公式中a ，b 分别代表什么？
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m ＋n)2
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
(3)(－2a －3b)2
展示点评：从平方的意义看，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122与⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－y 2
的结果一样吗？(－2a －3b)2
与(－3b －
2a)2
的结果相同吗？而(4m ＋n)2
与(4m －n)2
的结果呢？
展示点评：互为相反数的平方结果相等，因此(y －12)2与(12－y)2
的结果一样；而4m ＋n
与4m －n 不一定相等或是相反数，因此其平方的结果不一定相等．
小组讨论：应用完全平方公式计算应注意什么？ 解答过程见课本P 110例3
反思小结：1.应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上(或减去)两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍；2.互为相反数的两个多项式的平方相等．
针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 完全平方公式的综合应用 活动二：运用完全平方公式计算：
(1)1022 (2)992
小组讨论：一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？
展示点评：把102或99写成两数和或差的形式，再进行计算．
反思小结：对于较大数的平方可以转化成两整数和(或差)的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便．
针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标
1．完全平方公式的推导及其几何意义；
2．完全平方公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式； 3．应用完全平方公式进行计算，有关数字计算题应用完全平方公式可以使计算简便． 4．数学思想：类比、数形结合． 五、达标检测，反思目标
1．( x ＋3y )2＝x 2＋6xy ＋__9y 2
__．
2．a 2－kab ＋9b 2
是完全平方式，则k ＝__±6__．
3．计算(－a －b)2
结果是( B )
A ．a 2－2ab ＋b 2
B ．a 2＋2ab ＋b 2
C ．a 2＋b 2
D ．a 2－b 2
4．运用乘法公式计算
(1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －12
； (2)1052
； 解：(1)原式＝14
x 2
－x ＋1
(2)原式＝(100＋5)2
＝1002
＋2×100×5＋25 ＝10000＋1025 ＝11025
(3)(a －b －3)(a －b ＋3)．
解：原式＝[(a －b )－3][(a －3)＋3]
＝(a －b )2
－9 ＝a 2－2ab ＋b 2
－9
5．已知x ＋y ＝9，xy ＝20，求(x －y)2
的值．
解：(x －y )2＝(x ＋y )2
－4xy ＝81－80＝1 ●布置作业，巩固目标教学难点
1．上交作业：课本第112页2、3(2)(3)、7. 2．课后作业：见《学生用书》．
第3课时 乘法公式的拓展
教学目标
1．了解添括号法则．
2．能应用添括号法则，结合乘法公式，对项数是三项或三项以上的多项式乘法进行运算．
教学重点
应用添括号法则及乘法公式进行运算．
教学难点
正确的添加括号后，应用公式进行计算．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
1．去括号法则是什么？
(如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号．)
2．我们学过的乘法公式有哪些，你能完整的叙述出来吗？
(平方差公式，完全平方公式)
3．对于形如(x＋2y－3)(x－2y＋3)的乘法可以怎样运算呢？你能运用比较简便的方法运算吗？这就是我们这节课主要学习的内容．
二、自主学习，指向目标
1．添括号的法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．它和去括号的联系是互逆变形．2．试一试，在括号内添加适当的项：
(1) (x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
(2)x－2y－4x＝x－2(y＋2x)
三、合作探究，达成目标
探究点一添括号法则
活动一：去括号：a＋(b＋c)＝________；a－(b－c)＝________
反过来，你能给下列多项式添括号吗：
a＋b＋c＝a＋(b＋c) a－b－c＝a－(b＋c)
展示点评：
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
小组讨论：添括号法则与去括号法则有什么关系？
反思小结：添括号法则与去括号法则是互逆变形的过程，其符号变化与去括号法则变化一样．
针对训练：见《学生用书》相应部分
探究点二乘法公式的推广
活动二：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________
完全平方公式：(a±b)2＝________
公式中的a 和b是一个字母，可以是一个多项式吗？如果a或b是一个多项式，如何运算？
(a和b可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，再进行运算．)
例1运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)(2)(a＋b＋c)2
思考：第(1)题首先要应用添括号法则进行变形，需要应用几次公式，应用的公式相同吗？第(2)题与第(1)题的形式、运算过程和方法有何区别？
展示点评：第1小题中先应用添括号法则把两个因式内互为相反数的两项结合变成两数的和乘以两数差的形式，先进行运算，再运用完全平方公式乘开，能合并同类项的一定要合并同类项；第2小题中应用加法交换与结合律，任意结合其中两项，应用两次完全平方公式即可．
解答过程见课本P 111例5
小组讨论：第(1)(2)题在添括号时，有什么相同点和不同点？
【反思小结】两个多项式相乘，若两个多项式中既有相同的项，又有互为相反数的项，且没有其它的项，则要运用添括号法则把相同的项或互为相反数的项，分别括起来，把添到括号内的多项式当做一个整体，再进行计算．
针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．添括号法则；
2．乘法公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；因此对于项数是三项或三项以上的多项式乘法，根据乘法的形式，添加适当的括号，再运用乘法公式运算．
五、达标检测，反思目标 1. 判断下列变形是否正确．
(1)2a －b －c 2＝2a －(b －c
2
)
(2)m －3n ＋2a －b ＝m ＋(3n ＋2a －b)
(3)2x －3y ＋2＝－(2x ＋3y －2)
(4)a －2b －4c ＋5＝(a －4c)－(2b －5) 解：(1)(2)(3)都错误，(4)正确
2．下列式子：①(3x＋1)(3x －1)＝(3x －1)2；②(x－3y)2＝x 2－3xy ＋9y 2；③(1－2xy 2)2
＝1－4x 2y 4
；④(a ＋1a )2＝a 2＋2＋1a
2；其中正确的是( D )
A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．④
3．如果x ＋y ＝－7，xy ＝12, 那么x 2－xy ＋y 2
的值为( C ) A ．61 B ．37 C ．13 D ．11 4．运用乘法公式计算
(1)(a －b －3)(a －b ＋3) (2)(a ＋2b －1)2
解：(1)原式＝[(a －b )－3][(a －b )＋3]
＝(a －b )2
－9 ＝a 2－2ab ＋b 2－9 解：原式＝[(a ＋2b )－1]2
＝(a ＋2b )2
－2(a ＋2b )＋1 ＝a 2＋4ab ＋4b 2
－2a －4b ＋1
5．求证：无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2
－2x ＋6y ＋10的值恒大于负数．
解： x 2＋y 2
－2x ＋6y ＋10 ＝x 2－2x ＋1＋y 2
＋6y ＋9
＝(x －1)2＋(y ＋3)2
∵(x －1)2≥0, (y ＋3)2
≥0 ∴x 2＋y 2
－2x ＋6y ＋10≥0
即无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2
－2x ＋6y ＋10的值恒为非负数．。