湖南省长沙市长郡教育集团2020-2021学年度九年级第一学期第一次月考数学试卷 解析版

湖南省长沙市长郡教育集团2020-2021学年度初三年级第一学期
第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣的绝对值是（）
A．﹣2020B．﹣C．D．2020
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（）
A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b B．2c2﹣c2＝2
C．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y D．3a+2b＝5ab
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小
5．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（）
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
6．如图，在⊙O中，∠BOD＝120°，则∠BCD的度数是（）
A．60°B．80°C．120°D．150°
7．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
8．如图，在△ABC中，∠C＝64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（）
A．42°B．48°C．52°D．58
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）
A．B．
C．D．
10．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）
A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）11．二次函数y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠0 12．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于
B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）
A．B．3C．D．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
13．把多项式4x﹣4x3因式分解为：．
14．使得有意义的x的取值范围是．
15．如图，P A、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则P A＝cm．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点M在CD边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：．
18.先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝4．
19.求满足不等式组并把解集在数轴上表示出来．
20.2020年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎，举国上下众志成城，共
同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大．口罩也成为人们防护防疫的必备武器．临高县某药店有2500枚口罩准备出售．从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为；
（2）统计的这组数据的平均数为，众数为，中位数为；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为枚．
21.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中
点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）B1B2的长＝；四边形C2B2C1B1的面积为．
23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG＝BG；
②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．
24.某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）
与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080
日销售量y（件）806040
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），与y轴交于C（0，3），又经过点B（4，
1）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△P AB的外接圆圆心恰好在P A上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
湖南省长沙市长郡教育集团2020-2021学年度初三年级第一学期
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．﹣的绝对值是（）
A．﹣2020B．﹣C．D．2020
【分析】﹣的绝对值等于它的相反数，据此求解即可．
【解答】解：|﹣|＝．
故选：C．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．下列计算正确的是（）
A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b B．2c2﹣c2＝2
C．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y D．3a+2b＝5ab
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，故选项A错误；
∵2c2﹣c2＝c2，故选项B错误；
∵x2y﹣4yx2＝﹣3x2y，故选项C正确；
∵3a+2b不能合并，故选项D错误；
故选：C．
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
5．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（）
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
【分析】三条公路围成一个三角形，三角形中到三边的距离相等的点是三角形的内心，即三条内角平分线的交点．
【解答】解：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点．
故选：A．
6．如图，在⊙O中，∠BOD＝120°，则∠BCD的度数是（）
A．60°B．80°C．120°D．150°
【分析】根据圆周角定理得出∠A＝∠DOB＝60°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠DOB，
又∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝∠DOB＝60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
7．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（）A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，
假设每一个内角都小于90°，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（）
A．42°B．48°C．52°D．58
【分析】根据旋转的性质，可以得到AC＝AC′，然后根据∠C＝64°，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到∠B′C′B的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∠C＝64°，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∠B＝∠B′，
∴∠C＝∠AC′C＝64°，
∴∠CAC′＝52°，
∴∠BAB′＝52°，
∴∠B′AD＝52°，
∵∠B＝∠B′，∠BDC′＝∠B′DA，
∴∠BC′D＝∠B′AD＝52°，
即∠B′C′B的度数为52°，
故选：C．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0，b＜0，于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
10．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）
A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）【分析】作出对应点连线的垂直平分线，它们的交点就是M点．
【解答】解：如图，点M的坐标是（1，﹣1），
故选：B．
11．二次函数y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠0【分析】直接利用△＝b2﹣4ac≥0，进而求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4ac＝64﹣32k≥0，k≠0，
解得：k≤2且k≠0．
故选：D．
12．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于
B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）
A．B．3C．D．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理易知E是AB中点，得OE是△ABC中位线，则BC＝2OE，而OE≤OP，故BC≤2OP，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．把多项式4x﹣4x3因式分解为：4x（1+x）（1﹣x）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4x（1﹣x2）
＝4x（1+x）（1﹣x）．
故答案为：4x（1+x）（1﹣x）．
14．使得有意义的x的取值范围是x＞﹣1且x≠1．
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出x﹣1≠0且x+1＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使有意义，必须x﹣1≠0且x+1＞0，
解得：x＞﹣1且x≠1，
故答案为：x＞﹣1且x≠1．
15．如图，P A、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则P A＝5cm．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为P A、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵P A、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴P A＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝P A+PB＝10（cm）；
∴P A＝PB＝5cm，
故答案为：5．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点M在CD边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为10．
【分析】连接BM．先判定△F AE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD ＝AB＝8，CM＝6，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝10，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD，
∴∠F AB＝∠MAE，
∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE，
∴∠F AE＝∠MAB，
∴△F AE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝8．
∵DM＝2，
∴CM＝6．
在Rt△BCM中，BM＝＝＝10，
∴EF＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共1小题）
17．计算：．
【分析】分别根据零指数幂，负指数幂、绝对值、二次根式的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝﹣1﹣，
＝﹣1﹣+1+4﹣，
＝4﹣．
18.先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝4．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】原式＝，原式＝﹣．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝﹣．
19.求满足不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】﹣1≤x＜3，
．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①得x≥﹣1．
解不等式②得x＜3．
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上表示不等式组的解集如图：
20.2020年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎，举国上下众志成城，共
同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大．口罩也成为人们防护防疫的必备武器．临高县某药店有2500枚口罩准备出售．从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为；
（2）统计的这组数据的平均数为，众数为，中位数为；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为枚．
【考点】用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）28；（2）1.52元，1.8元，1.5元；（3）200．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0元的约多少枚．
【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；
（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52元，
∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，
中位数是：1.5元，众数是1.8元；
故答案为：1.52元，1.8元，1.5元；
（3）2500×8%＝200（枚），
答：价格为2.0元的约200枚．
故答案为：200．
21.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中
点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法证明＝即可解决问题．
（2）连接OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∵M是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝DM．
（2）解：如图，连接OM．
∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，
∴EM＝BE＝2，
∵OE＝1，∠OEM＝90°，
∴OM＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）B1B2的长＝；四边形C2B2C1B1的面积为．
【考点】勾股定理；作图﹣旋转变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）、（2）见解答；
（3）10；12．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）利用网格特点，分别延长A1O、B1O、C1O，使A2O＝A1O、B2O＝B1O、C2O＝C1O，从而得到A2、B2、C2；
（3）利用勾股定理计算B1B2的长；利用平行四边形的面积公式计算四边形C2B2C1B1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）B1B2的长＝2＝10；四边形C2B2C1B1的面积＝2×6＝12．
故答案为10，12．
23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG＝BG；
②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA，OB，OC，由AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB可证出△OAC≌△OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC＝∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；
（2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE＝90°可得出∠BAE＝90°，由同角的余角相等可得出∠BAG＝∠AEB，结合∠ABC＝∠ACB＝∠AEB可得出∠BAG＝∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG＝BG；
②由∠ADC＝∠AFB＝90°，∠ACD＝∠ABF，AC＝AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），
利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG＝x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．
在△OAC和△OAB中，，
∴△OAC≌△OAB（SSS），
∴∠OAC＝∠OAB，
∴AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
又∵AD∥BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切线．
（2）①证明：如图2，连接AE．
∵∠BCE＝90°，
∴∠BAE＝90°．
又∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°．
∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，
∴∠BAG＝∠AEB．
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAG＝∠ABC，
∴AG＝BG．
②解：在△ADC和△AFB中，，
∴△ADC≌△AFB（AAS），
∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．
设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，
∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，
∴x＝，
∴FG＝．
24.某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）
与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080
日销售量y（件）806040
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；数据分析观念．
【答案】（1）y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）a＝70．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）
＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣2≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵20≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），与y轴交于C（0，3），又经过点B（4，
1）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△P AB的外接圆圆心恰好在P A上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；数形结合；待定系数法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y＝x2﹣x+3；
（2）点P的坐标为（﹣1，6）；
（3）点E的坐标为（，）．
【分析】（1）将A（3，0），C（0，3），B（4，1）代入y＝ax2+bx+c，用待定系数法求解即可；
（2）先用圆周角定理及勾股定理的逆定理验证∠ABP＝90°，∠CAB＝90°，再过点B 作BP∥AC，写出直线AC的解析式，再解得BP的解析式，然后将直线BP和抛物线的解析式联立，解方程组并根据题意作出取舍，即可得出点P的坐标；
（3）过点B作BH⊥x轴于点H，求得∠EOF＝90°，设点E（x，﹣x+3），由勾股定理OE2，进而表示出S△OEF，从而得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）将A（3，0），C（0，3），B（4，1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝x2﹣x+3；
（2）在题1中的抛物线上存在点P，使△P AB的外接圆圆心恰好在P A上．
∵△P AB的外接圆圆心恰好在P A上，
∴∠ABP＝90°，
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴AC＝＝3，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
过点B作BP∥AC，交抛物线于点P，如图1所示：
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设直线BP的解析式为y＝﹣x+b，
则﹣4+b＝1，
解得b＝5．
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+5，
联立，
解得，，
又∵点B（4，1），
∴点P的坐标为（﹣1，6）；
（3）过点B作BH⊥x轴于点H，如图2所示：
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OAE＝45°，∠OAF＝∠BAH＝45°，
又∵∠OFE＝∠OAE，∠OEF＝∠OAF，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴OE＝OF，∠EOF＝180°﹣45°×2＝90°，
∵点E在直线AC上，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴设点E（x，﹣x+3），由勾股定理得：
OE2＝x2+（﹣x+3）2
＝2x2﹣6x+9，
∴S△OEF＝OE•OF
＝OE2
＝x2﹣3x+
＝+，
∴当x＝时，S△OEF取最小值，
此时﹣x+3＝﹣+3＝，
∴点E的坐标为（，）．。