【数学】福建省南安市初中数学学业质量检查试题

【关键字】数学
南安市初中学业质量检查
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
毕业学校：姓名：考生号：
一、选择题(每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请
在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．
1．－2013的倒数是（）．
A．B．C．2013D．－2013
2．下列运算，正确的是（）．
A．B．C．D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）．
A．B．C．D．
4．下列四个立体图形中，主视图为圆的是（）．
5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）．
A．调查我校九年级（1）班对“诺贝尔文学奖”获奖者莫言的作品的了解情况
B．调查我市中学生对钓鱼岛资源的了解情况
C．调查南方人对雾霾危害的了解情况
D．调查我市市民对“反对餐桌浪费，倡导节约用餐”的支持率
6．圆锥的母线长为3，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（）．
A．B．2 C．3 D．6
7．如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，
从OB上一点E射出一束光线经OA上的点D反射后，反射
光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）．
A．40°B．80°C．100°D．120°
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
8．27的立方根是．
9．某种禽流感病毒的直径为0.00 000 ，将这个数写成科学记数法是米．
10．因式分解：＝．
11．七边形的外角和为度．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，则tanB＝．
13．计算：．
14．将二次函数化为的形式为 ．
15．在△ABC 中，∠A ＝50°，若O 为△ABC 的外心，则∠BOC ＝ °．
16．如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，DE ＝4，则MN ＝ ．
17．一个正方体物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为，坡角∠A ＝
30°，∠B ＝90°，BC ＝，则：（1）AC 的长是 米；（2）当正方体DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2．
三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
18．(9分)计算：．
19．（9分）先化简，再求值：，其中．
20．（9分）已知：如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，
AB ＝AC ，BE ＝CD ．求证：AD ＝AE ．
21．（9分）在一个不透明的布袋里装有4个小球，球面上分别标有数字－1，－2，－3，4，
它们除数字外，没有任何区别，现将它们搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1个球，求摸到的小球球面上数字为负数的概率；
（2）请你通过列表或画树状图分析：随机地从袋中摸出1个球，不放回再摸出第2个球，
求两次摸出的球球面上的数字之积为奇数的概率．
22．（9分） 4月20日四川省雅安市发生7.0级地震，社会各界纷纷捐款．我市某中学九年级
600名学生全部参加了捐款活动，随机抽取了一部分学生的捐款情况进行统计，并绘制出统计图（不完整）如图所示：
（1）共抽取了 名学生，捐款金额的中位数是 元；并将条形统计图补充完整；
（2）请估计该校九年级学生中有多少名学生捐款为25元？
23．（9分）从2012年7月开始全国实施阶梯电价制．下表是某市居民“一户一表”生活用电阶
梯式计费价格表： 档 次
每户每月用电量 电价（单位：元/度） 第1档
200度及以下 第2档
超过200度不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 0.8
每户每月用电电费（元）与用电量（度）之间的函数关系如图所示．
（1）求、的值；
（2）随着夏天的到来用电量将增加，为了节约开支，
小王家计划6月份的电费不超过290元，则小王家
6月份最多能用电多少度？
24．（9分）如图，已知点A （1，a ）和点B （3，b ）是直线n mx y +=
与双曲线x
k y = （0>k ）的交点． （1）求a 与b 之间的等量关系式；
（2）当22=+n m 时，分别求直线和双曲线的解析式．
25．（12分）如图，已知△ABC，点A 在BC 边的上方，把△ABC 绕点B 逆时针方向旋转60°得
△DBE，绕点C 顺时针方向旋转60°得△FEC，连结AD 、AF ．
（1）判断：△ABD、△ACF、△BCE 是什么特殊三角形？（可直接写出答案）
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是正方形？请说明理由；
（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？请说明理由．
26．（14分）已知抛物线2
(1)4y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），直线l ：
3
y kx =-与x 轴交于点C （2，0）． （1）求k 的值；
（2）设抛物线的顶点为点D ，求过点A 、B 、D 三点的圆的半径；
（3）若点P 是x 轴上的一个动点，问是否存在⊙P 与直线l 相切，且与过点A 、B 、D 三点的圆外切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
四、附加题（共10分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分．
1．（5分）计算：x x 25-＝ ．
2．（5分）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝40°，则∠C＝ °．
南安市初中学业质量检查
数学试题参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．A ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．A ； 6．C ； 7．B ．
二、填空题（每小题4分，共40分）
8． 3； 9．7102.1-⨯； 10．2)1(+x ； 11．360； 12．53； 13．c
b ；
14．1)2(2+-=x y ； 15．100； 16．6； 17．（1）6；（2）37． 三、解答题（共89分） 18．（本小题9分）
解：原式＝1222++-………………8分
＝3…………… ……………9分
19．（本小题9分）
解：原式＝422-+-a a a ………………………4分
＝4-a ……………………………………6分
当1-=a 时，原式＝41--………………………………7分
＝－5………………………………9分
20．（本小题9分）
证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C．……………3分
在△ABE 和△ACD 中，
AB ＝AC ，∠B＝∠C，BE ＝CD ．
∴△ABE≌△ACD．……………………………………7分
∴AD＝AE ．……………………………………9分
21. （本小题9分）
解：（1）P （数字为负数）＝
4
3；……………………………4分 （2）画树状图如下： ……………8分
（或列表格：略）
∴P（数字之积为奇数）6
1122==．…………………9分 22．（本小题9分）
解：（1）50，15，………………4分，
图略（其中“10元”14人）……………………6分
（2）4850
4600=⨯（名）………8分 ∴估计其中有48名学生捐款为25元．………9分
23. （本小题9分）
解：（1）5.0200100==a ，55.0200
400100210=--=b ………………4分 （2）设小王家6月份用电量为x 度
依题意得：290)400(8.0210≤-+x ………………6分
解得500≤x ……………………………………8分
答：小王家6月份用电量最多为500度……………9分
24．（本小题9分）
解：（1）∵点A （1，a ）和点B （3，b ）都在双曲线x k y =
上， ∴3
,k b k a ==．……………………………2分 ∴b a 3=．……………………………3分
（2）解法一：∵点A （1，a ）和点B （3，b ）都在直线n mx y +=上，
∴⎩⎨⎧=+=+b n m a n m 3，…………… 4分 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=232b
a n a
b m ，…………5分
∵22=+n m ， ∴22
3=-+
-b a a b ，……………………6分 化简得：4=+b a ，又由（1）知b a 3=， ∴1,3==b a ，……………………7分
∴4,1,3=-==n m k ……………………8分
∴直线的解析式为4+-=x y ，双曲线的解析式为x
y 3=
．……………9分 解法二：作AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ，
则AC a =，BD b =，且C （1，0），D （3，0），…………………4分 在n mx y +=中，当2=x 时，22=+=n m y ，
∴梯形ACDB 的中位线长为2，∴4=+b a ，…………………6分
又由（1）知b a 3=，
∴1,3==b a ，……………………7分
∴4,1,3=-==n m k ……………………8分
∴直线的解析式为4+-=x y ，双曲线的解析式为x y 3=．……………9分 25．（本小题12分）
解：（1）△ABD、△ACF、△BCE 都是等边三角形．……………………3分
（注：回答“等腰三角形”扣1分）
（2）当∠BAC＝150°且AB ＝AC 时，四边形ADEF 是正方形．……………5分
理由如下：
∵△DBE 是由△ABC 绕点B 旋转60°而得到的
∴DE＝AC
由（1）知△ACF 为等边三角形
∴AC＝AF
∴DE＝AF
同理可得，EF ＝AD
∴四边形ADEF 是平行四边形………………………7分
若∠BAC＝150°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB －∠FAC
＝360°－150°－60°－60°＝90°
此时，四边形ADEF 是矩形………………………8分
又AB ＝AC
∴AD＝AF
此时，四边形ADEF 是正方形．………………………9分
（3）当∠BAC＝60°时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．……………11分
理由如下：
若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB －∠FAC
＝360°－60°－60°－60°＝180°
此时，点A 、D 、E 、F 四点共线，
∴以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．………………………12分
26．（本小题14分）
解：（1）∵点C （2，0）在直线l ：233
y kx =-上 ∴23023
k =-………………………1分 ∴33
k =………………………2分 （2）在抛物线2(1)4y x =--中，令0y =，则2(1)40x --=，
∴121,3x x =-=， ∴A（－1，0），B （3，0）………………………3分 抛物线的对称轴是直线1x =，而点A 、B 关于直线1x =对称
∴直线1x =是AB 的垂直平分线
∴过A 、B 、D 三点的圆的圆心必在直线1x =上
设圆心为E ，半径为r ，连结AE
则AE ＝DE ＝r ，
又抛物线的顶点D 的坐标是（1，－4）
设直线1x =与x 轴交于点F
则EF ＝4－r …………………………………4分
在Rt AFE ∆中，222AE AF EF =+
∴2222(4)r r =+-…………………5分
解得52
r = ∴过A 、B 、D 三点的圆的半径为
25．……………… 6分 （3）假设存在点P ，设P （m ，0），分为两种情况讨论：
①当点P 在点B 的右边，即3m >时，如图1，
过点P 作PH ⊥直线l 于点H ，连结PE
设直线l 与y 轴交于点G ，由（1）知，32333
y x =- 令0x =，则33y =-， ∴G （0，33
-） 求PH 的长有两种方法
（方法一）在Rt △COG 中，23
33tan 23
OG OCG OC ∠===， ∴30OCG ∠=︒
∵∠HCP ＝∠OCG ＝30°
在Rt △CHP 中，∠CHP ＝90°，PC ＝2m -
∴PH ＝sin30PC ⋅︒＝
1(2)2
m -………………………7分 [（方法二）易证△COG ∽△CHP ， ∴GC OG PC PH = ∴4323
332m PH =-， ∴1(2)2
PH m =-………………………7分] ∵⊙P 与⊙E 外切，
∴PE 2
321)2(2125+=-+=m m ……………8分 在Rt △PFE 中，222PE PF EF =+，
又1PF m =-，534422
EF r =-=-=， ∴222)23()1()2321(+-=+m m ………………………9分 整理得231440m m -+=
解得1m =，23m =<（舍去）
∴点P （73
+，0）．………………………10分 ②当点P 在A 的左边，即1m <-时，如图2，
过点P 作PH ⊥直线l 于点H ，连结PE
在Rt △CHP 中，∠CHP ＝90°，PC ＝2m -
∴PH ＝sin30PC ⋅︒＝
1(2)2
m -………………………11分 ∴PE m m 2127)2(2125-=-+=…………………12分 在Rt △PFE 中，222
PE PF EF =+， 又1PF m =-，32
EF =
， ∴222)23()1()2127(+-=-m m …………………13分 整理得22120m m +-=
解得11m =-211m =->-（舍去）
∴点P （1-0）．………………………14分
综上所述，符合条件的点P 0）或（1-0）． 四、附加题（10分） 1．(5分)x 3； 2．（5分）110°．
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