柯氏向后微分方程的解

西南交通大学

硕士学位论文

对柯氏向后微分方程解的适定性及渐近解的研究

姓名：***

申请学位级别：硕士

专业：应用数学

指导教师：***

2003.2.1

摘要

论文主要用泛函分析中的线性算子Ｃ０半群理论研究生灭过程理论中柯尔莫哥洛夫向后微分方程组解的适定性，及用正算子和共轭算子的理论和一些结论研究了该方程组系数矩阵算子的占优本征值的存在性问题。

论文共分四章，重点是第三章和第四章。各章的具体内容如下：第一章回顾了马尔可夫过程理论和生灭过程理论的历史发展过程，阐明了论文的结构和需要解决的问题；第二章主要给出论文证明过程中所要用到的概念、定理及相关结论：第三章首先建立算子方程，然后用泛函分析的理论和方法研究生灭Ｑ—矩阵的性质，证明在一定条件下生灭Ｑ矩阵生成一个线性算子Ｃｏ半群ｉ（即生灭Ｑ·矩阵是某个Ｃｏ半群的无穷小生成元，从而得出柯氏向后微，、垃程组解的存在性、唯一性和稳定性的结论，并证明了该半群是正的Ｃ０’

半群，另外，论文还给出了Ｃｏ半群理论在排队论中的一个应用Ｊ煮匾章主要证明了柯氏向后微分方程组的系数矩阵存在唯一的非负本征函数，并证明了其相应本征值是实的离散的ｏＩ笄且大于其它任何本征值的实部，从而得到该本征值即为系数矩阵算子的占优本征值的结果，并给出了方程解的渐近表示，也即正解表示ｊＬ≯—一。’

关键词：生灭过程；Ｃ０半群；正算子；占优本征值ｊ

Ａｂｓｔｒａｃｔ

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第１章绪论

１．１生灭过程理论的发展历史

马尔可夫过程的原始模型是马尔可夫链，由俄国数学家Ａ．Ａ．马尔可夫于１９０７年提出【ｌ】。粗略地说，所谓马尔可夫性可以用下述语言来刻划：在已知系统目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去），换言之，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。马尔可夫过程在自然科学和许多实际问题中，例如物理学、生物学、化学、医学、规划论、排队论等，有着越来越多的应用【２１，关于这些应用请参看ｕ～１。

Ｑ过程是特殊的马尔可夫过程。生灭过程是一类特殊的Ｑ过程，也是极为重要的一类，它之所以重要，不仅因为生灭过程模型有很强的应用背景，直观明确，强烈地吸引着应用工作者的兴趣，而且在理论研究中，由于其模型精炼，往往是一般马尔可夫过程研究的切入点：一种研究方法或一类研究课题的提出往往是先以生灭过程为对象，再逐步向一般的马尔可夫过程推进。例如，王梓坤院士首创的“极限过渡法”１７】就是首先从生灭过程切入，构造了全部生灭过程，侯振挺、郭青峰【ｓＪ将之推广到齐次可列马尔可夫过程；侯振挺的《生灭过程的Ｏ＋．系统》也是首先从生灭过程角度肯定了Ｄ．Ｇ．Ｋｅｎｄａｌｌ对马尔可夫过程的著名猜想。

对任给的矩阵Ｑ：（１）在什么条件下，Ｑ成为Ｑ．矩阵，即Ｑ过程是否存在？（２）若Ｑ过程存在，是否唯一？（３）若Ｑ过程不唯一，如何构造全部Ｑ过程？这三个问题称为Ｑ过程构造论问题，也是马尔可夫过程的核心问题【９１。构造问题最早由Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ［１０】提出，他首先导出向后微分方程组和向前微分方程组。

１９４０年，Ｆｅｌｌｅｒ［ＩＪｌ证明：Ｑ过程总是存在的，并且构造了一个最小Ｑ过程，从而使问题（１）得到了完满解决。

１９４５年，Ｄｏｏｂ［ｊ２］证明：对保守的Ｑ，或者只有一个Ｑ过程，这就是最小Ｑ过程，或者有无穷多个Ｑ过程。Ｒｅｕｔｅｒ［１３】对保守的Ｑ找出了Ｑ过程唯一的充要条件，从而对保守的矩阵Ｑ，问题（２）得以圆满解决。