2020版高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和理解析版

第3讲 等比数列及其前n 项和
[考纲解读] 1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系．
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．(重点)
3.熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点．预测2020年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n 项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n 项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查．题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.
1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第□
012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的□03公比，公比通常用字母□04q (q ≠0)表示．数学语言表达：
a n
a n －1
＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0. (2)等比中项
如果□
05a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔□06G 2＝ab .
2．等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝□01a 1q n －1；可推广为a n
＝□02a m
q n －m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
3．等比数列的相关性质
设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则□01a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r
＝a 2
s ，其中p ，s ，r ∈N *
.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为□
02q m (k ，m ∈N *)． (3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
pa n qb n (其
中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．
(4)S m ＋n ＝S n ＋q n
S m ＝S m ＋q m
S n .
(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为
q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．
(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n
T 2n
，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1
S 偶
＝q .
1．概念辨析
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *
，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2
＝ab .( )
(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{lg a n }是等差数列．( )
(4)若数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n
1－a
.( )
(5)若数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．小题热身
(1)在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C．4 D ．±4 答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 4＝a 7a 3＝82
＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3q 2
＝2×2＝4.
(2)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则公比q ＝________，S 4＝________. 答案 －4 51
解析 q 3
＝a 4a 1＝－64，q ＝－4，S 4＝
a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×－4
1－－4
＝51. (3)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．
答案 2n
－1
解析 因为数列{a n }是等比数列，所以a 1a 4＝a 2a 3＝8. 又a 1＋a 4＝9，所以a 1，a 4是方程x 2
－9x ＋8＝0的两个根． 又因为a 1<a 4，所以a 1＝1，a 4＝8，所以q 3
＝a 4a 1
＝8，q ＝2. 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝
1·1－2
n 1－2＝2n
－1.
(4)数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________.
答案 6
解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以a n ≠0，故
a n ＋1
a n
＝2. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2
1－2n
1－2
＝126，所以2n
＝
64，故n ＝6.
题型 一 等比数列基本量的运算
1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48，则数列{a n }前8项的和S 8＝( ) A ．510 B ．126 C ．256 D ．512 答案 A
解析 由a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＝6，
a 1q 3＋a 1q 4
＝48， 得a 1＝2，q ＝2，则数列{a n }前8项的和S 8＝
2
1－28
1－2
＝510.
2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q
n －1
.
由已知得q 4
＝4q 2
，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)
n －1
或a n ＝2
n －1
.
(2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝
1－－2
n
3
.
由S m ＝63得(－2)m
＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝2n
－1.
由S m ＝63得2m
＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
等比数列的基本运算方法及数学思想
(1)等比数列的基本运算方法
①对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．如举例说明1.
②对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x
q
，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q
，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2
>0，并不适合所有情
况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．
(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法 ①方程思想，即“知三求二”．
②分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．
③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把q n
，a 1
1－q 当成整体求解．
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1
＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 B
解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1
＋r －3
2n －3
－r ＝8·3
2n －3
，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3
2－1
＋r ＝3＋r ，
∵数列是等比数列，∴当a 1满足a n ＝8·32n －3
，
即8·3
2－3
＝3＋r ＝83，即r ＝－1
3
，故选B.
2．(2018·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．
(1)求{a n }的首项和公比； (2)设S n ＝a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ，求S n .
解 (1)根据等比数列的性质，可得a 3·a 5·a 7＝a 3
5＝512， 解得a 5＝8.
设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q
2，a 7＝8q 2
，
由题设可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫8q
2－1＋(8q 2
－9)＝2(8－3)＝10，
解得q 2
＝2或12
.
∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2
＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4
＝4a 1＝8，解得a 1＝2. (2)由(1)得{a n }的通项公式为
a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，
∴a 2
n ＝[(2)
n ＋1]2
＝2
n ＋1
， 可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列． 因此S n ＝a 21
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝
41－2n
1－2
＝2
n ＋2
－4.
题型 二 等比数列的判断与证明
(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n
. (1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝
2
n ＋1
n
a n . 将n ＝1代入，得a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入，得a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而
b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.
(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n
n
，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得a n n
＝2
n －1
，所以a n ＝n ·2
n －1
.
条件探究1 将举例说明条件改为“a 1＝1，a 2
n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，且a n >0”，求{a n }的通项公式．
解 由a 2
n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以
a n ＋1a n ＝1
2
. 故{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
因此a n ＝1
2
n －1.
条件探究2 将举例说明条件改为“对任意的n ∈N *
，有a n ＋S n ＝n .设b n ＝a n －1”，求证：数列{b n }是等比数列．
证明 由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝1
2.
又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得
a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1.
∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .
∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，1
2
为公比的等比数列．
等比数列的判定方法
(1)定义法：若
a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．见举例说明(2)．
(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *
)，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n
(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n
－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
1．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列
B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列
C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列
D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 答案 C
解析 a n ＝1，b n ＝(－1)n
，
则{a n }，{b n }都是等比数列，但{a n ＋b n }不是等比数列； 设等比数列{a n }的公比为p ，等比数列{b n }的公比为q ， 则
a n ＋1
b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1
b n
＝pq . 所以数列{a n ·b n }一定是等比数列．
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，
λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λ
λ－1
.
因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1
.
(2)由(1)得S n ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫λλ－1n .
由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132
. 解得λ＝－1.
题型 三 等比数列前n 项和及性质的应用
角度1 等比数列通项的性质
1．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20
＝________.
答案 50
解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12， 所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，可解得a 10·a 11＝e 5
. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10
＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5
＝50. 角度2 等比数列的前n 项和的性质
2．数列{a n }是等比数列，前2018项中的奇数项之积是1，偶数项之积是m ，则数列{a n }的公比为( )
A.1009
m B ．m 1009 C ．±
1009
m D ．±m 1009
答案 A
解析 设数列{a n }的公比为q ，由已知得a 1a 3…a 2017＝1，a 2a 4…a 2018＝m ，则公比q 满足
q 1009＝m ，解得q ＝
1009
m .
角度3 等差数列与等比数列的综合
3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
1＋q ＝2，a 11＋q ＋q
2
＝－6.
解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n
. (2)由(1)知a 1＝－2，q ＝－2， 所以S n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1 ＝a 1＋qS n ＝－2－2S n .
S n ＋2＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋2
＝a 1＋a 2＋q 2
S n ＝－2＋4＋4S n
＝2＋4S n .
所以S n ＋1＋S n ＋2＝(－2－2S n )＋(2＋4S n )＝2S n ， 所以S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：
①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．
②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n
.如巩固迁移3.
2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝
a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1
S 偶
＝q .
(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n
S m ⇔q n
＝S n ＋m －S n
S m
(q 为公比)．如举例说明3和巩固迁移1.
1．(2018·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4
S 2
＝( )
A ．3
B ．9
C ．10
D ．13 答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，
所以6a 4＝a 6－a 5，所以6a 4＝a 4(q 2
－q )． 由题意得a 4>0，q >0.
所以q 2
－q －6＝0，解得q ＝3，
所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2
＝1＋q 2
＝10.
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84 答案 B
解析设{a n}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故选B.
3．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于( ) A．80 B．30 C．26 D．16
答案 B
解析由题意知公比大于0，由等比数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，
∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.。